专利名称：机床高速主轴的多尺度小波抗振设计方法
技术领域：
本发明属于机床结构动力学分析与动态设计领域，具体涉及一种机床高速主轴的多尺度小波抗振设计方法。
背景技术：
高速是机床设计制造的永恒主题，而机床关键部件——主轴的模态参数、稳定性等动态性能是其最关键的指标。目前，加工中心主轴转速一般为(20000-32000)r/min，齿轮机床的主轴转速也已提高到(9000-12000)r/min，而超高速磨削加工中心更是达到150,000r/min。这对机床制造企业和科研机构设计制造不断提出新的挑战，迫切要求人们通过多学科交叉，应用数字化技术对设计过程进行定量描述与分析，通过数字模拟仿真实现关键部件功能预演，认识掌握高速主轴部件动态性能的本质规律，从而指导有关结构参数和结构型式配置的最优选取，减少加工误差，提高高速主轴高精度、高效率、高可靠性加工能力。
目前，主要是采用实验方法获得的机床动态特性数据，效率低、成本高、精度差，导致机床加工误差大。但对高速主轴动态性能进行高精度数值模拟、进而减少加工误差的研究尚处于起步阶段。制约其发展的关键因素是缺乏高效率、高精度的求解方法，以实现动力学模型高保真求解。因此，构造能够高效、高精度地求解机床高速主轴动态特性的全数字化模型是机床设计中最基本、最本质的、影响最大的一个关键技术。
小波数值求解是一种新近发展起来的数值分析方法，利用小波多分辨的特性，可以获得用于结构分析的多种基函数，针对求解问题的精度要求，采用不同的基函数，然而对如何实现高效率多尺度小波数值求解，进行机床高速主轴动态特性分析，获得平稳运行的转速范围，从而减少振动，保证机床加工质量还未见报道。
发明内容
本发明的目的在于提供一种机床高速主轴的多尺度小波抗振设计方法。构造能够高效、高精度地求解机床高速主轴动态特性的多尺度小波数值求解模型，进行机床高速主轴动态特性分析，获得平稳运行的转速范围，设计机床主轴运行转速，从而减少主轴振动，保证机床加工质量。
本发明的技术方案包括如下步骤 第一步，采用区间三次埃尔米特样条小波(英文Hermite Cubic SplineWavelet on the Interval，简称HCSWI)作为多尺度插值基，建立综合考虑了陀螺力矩、横向剪切变形、主轴转动惯量、材料迟滞和粘性阻尼、轴承的交叉刚度与交叉阻尼影响的多尺度小波数值求解模型； 第二步，采用第一步中所构造的计算模型，进行机床高速主轴动态特性分析，获得平稳运行的转速范围，设计机床主轴运行转速，从而减少主轴振动，保证机床加工质量。
所述的第一步采用区间三次埃尔米特样条小波作为多尺度插值基，建立综合考虑了陀螺力矩、横向剪切变形、主轴转动惯量、材料迟滞和粘性阻尼、轴承的交叉刚度与交叉阻尼影响的多尺度小波数值求解模型，包括以下步骤 I、建立机床高速主轴动态特性分析的单尺度区间三次埃尔米特样条小波数值求解模型， 采用区间三次埃尔米特样条小波基，尺度空间V1中的尺度函数φ1，k为 小波空间Wj(j＝1，2，…)中的小波函数ψj，k为
埃尔米特样条小波具有如下特性 对于任意的j和k并且 对于任意的j1≠j2和k 将Vj中的小波基表示为
根据瑞丽-铁木辛柯梁理论，忽略轴向位移，通过哈密尔顿变分原理，并考虑材料迟滞和粘性阻尼、轴承的交叉刚度与交叉阻尼影响，获得机床高速主轴动态特性分析的计算模型 上式中，
，
，
和u分别表示系统质量矩阵、陀螺和阻尼矩阵和刚度矩阵，运用计算模型求解的核心在于求取如下积分 II、运用小波提升方案，构造高效率的多尺度求解方程，即为机床高速主轴动态特性分析的多尺度小波数值求解模型， 由区间三次埃尔米特小波基固有的直和分解关系得到的尺度空间提升关系。V1为初始尺度空间，Wl-1(l＝1，2，j-1)为小波空间。V1中的尺度函数Φ1作为初始逼近插值函数，而不同小波空间中的小波函数作为添加项不断添加进插值函数中，空间嵌套关系如下式 Vj＝V1+W1+W2+…+Wj-1 实现高效率多尺度求解的关键是实现积分项解耦。
对于积分项
多尺度积分矩阵为
上式中的子矩阵可以采用下式计算 因区间三次埃尔米特样条小波基的特性，上式中的非对角线元素积分为零。故有
从上式可知，当进行多尺度求解时，积分项Г1，1的解耦因对角线矩阵均为零阵，转为计算Ax，y，(x＝y＝ψ1，…，ψj-1)。这可以大为提高多尺度数值求解效率。
而对于积分项
多尺度积分矩阵为
此式中的子矩阵的计算式为
因区间三次埃尔米特样条小波基固有的提升特性，当从尺度l提升到l+1进行多尺度计算时，积分项Г1，0的解耦仅子矩阵
需要计算，而其他子矩阵不需要进行再次计算。
对于积分项
多尺度积分矩阵为
此式中的子矩阵的计算式为
因区间三次埃尔米特样条小波基固有的提升特性，当从尺度l提升到l+1进行多尺度计算时，积分项Г0，0的解耦仅子矩阵
需要计算，而其他子矩阵不需要进行再次计算。这同样可以提高计算效率。
这样，构造出多尺度求解方程，即为机床高速主轴动态特性分析的多尺度小波数值求解模型。当从低尺度向高尺度提升时，可以保留低尺度的数值求解方程不变，仅仅添加对角线上各子矩阵，大为提高求解效率和求解精度。
所述的第二步，包括以下步骤 i、采用第一步中所构造的计算模型进行机床高速主轴临界涡动速度和半速涡动速度分析，获得实际主轴运行过程中的动态特性数据； ii、依据获得的动态特性数据，进行共振分析，避开共振区，获得平稳运行的转速范围，设计抗振运行的高速机床主轴保证机床加工质量。
本发明具有下列区别于一般采用实验方法进行机床抗振设计的显著优势 1)所建立的机床高速主轴动态特性分析的多尺度小波数值求解计算模型综合考虑了陀螺力矩、横向剪切变形、主轴转动惯量、材料迟滞和粘性阻尼、轴承的交叉刚度与交叉阻尼的影响，具有能反映实际高速主轴临界涡动速度和半速涡动速度的高精度； 2)采用本发明方法进行高速主轴的的计算机仿真分析，依据获得的动态特性数据，避开共振区和非稳定区，获得平稳运行的转速范围，设计机床主轴运行转速，从而减少机床高速主轴在实际加工过程中的振动，保证机床加工质量； 3)本发明方法的计算机仿真分析设计不仅满足精度要求，且效率高、成本低，可替代实验方法进行机床高速主轴抗振设计。
图1为本机床高速主轴的多尺度小波抗振设计方法实施例采用的区间三次埃尔米特样条小波尺度空间V1中的尺度函数； 图2为图1中小波空间W1中的小波基； 图3为本机床高速主轴的多尺度小波抗振设计方法实施例主轴模型简图； 图4为本机床高速主轴的多尺度小波抗振设计方法实施例的区间三次埃尔米特样条小波插值基多尺度提升方案； 图5为本机床高速主轴的多尺度小波抗振设计方法实施例所构造的计算模型获得的具有材料迟滞阻尼系数ηH＝0.0002时的机床高速主轴涡动速度图。
具体实施例方式 下面结合附图对本发明的实施例作进一步详细说明 第一步，采用区间三次埃尔米特样条小波作为多尺度插值基，建立综合考虑了陀螺力矩、横向剪切变形、主轴转动惯量、材料迟滞和粘性阻尼、轴承的交叉刚度与交叉阻尼影响的多尺度小波数值求解模型，包括以下步骤 I、建立机床高速主轴动态特性分析的单尺度区间三次埃尔米特样条小波数值求解模型。
经典小波函数是定义在整个实数轴R上或一个周期函数的平方可积实数空间L2(R)上的完备基，在求解边值问题时，在边界上会出现数值振荡。而区间小波可克服这一问题。本发明采用区间三次埃尔米特样条小波基作为多尺度插值基，运用小波提升方案，构造多尺度求解方程。
L2(R)表示R上的线性平方可积实数空间。定义L2(R)中的内积 <u，v>＝∫Ru(x)v(x)dx，u，v∈L2(R). 如果<u，v>＝0，则u和v正交。L2(R)中的函数f的范数为
设φ1和φ2为支撑在区间
上的三次埃尔米特样条，即 很显然，φ1和φ2属于C1(R)。支撑在区间[-1，1]上由φ1和φ2生成的相应小波ψ1和ψ2为 这样定义的尺度函数和小波满足如下条件 小波函数的平移生成小波空间，ψ1为对称函数而ψ2为反对称函数。
由上述小波函数可进一步生成H01(0，1)空间中的小波。H01(0，1)中的小波分解关系 式(4)中V1为尺度空间，而Wj(j＝1，2，…)为不同尺度下的小波函数。
尺度空间V1中的尺度函数φ1，k为 小波空间Wj(j＝1，2，…)中的小波函数ψj，k为
区间
上的所有尺度函数φ1，k和小波函数ψ1，k如图1和图2所示。区间三次埃尔米特样条小波具有如下特性 对于任意的j和k (7) 并且 对于任意的j1≠j2和k (8) Vj中的小波基为
式(9)中，
表示V1中的尺度函数，ψs(s＝1，2，…j-1)表示Ws中的小波函数，并且
本例机床高速主轴动态特性分析模型如图3所示，主轴直径为0.1016m，长1.27m，弹性模量E＝2.068×1011Pa，材料密度ρ＝7833kg/m，泊松比μ＝0.3。主轴两端支撑在弹性阻尼轴承上，具体参数为Kwv＝Kvw＝-2.917×106N/m，Cwv＝Cvw＝0，Kww＝Kvv＝1.7513×107N/m，Cww＝Cvv＝1.7513×103Ns/m。
根据 瑞丽-铁木辛柯梁理论，忽略轴向位移，主轴势能U为 式(10)中E表示杨氏模量，w(ξ，t)和v(ξ，t)表示横向位移，l表示主轴长度，θz(x，t)和θy(x，t)表示由弯曲引起的转动位移，G表示剪切模量，I表示截面惯性矩，A表示截面面积，k表示剪切校正因子(k＝(7+12μ+4μ2)/6(1+μ)2，μ表示波松比)。
主轴动能T为 (11) 式(11)中ρ表示主轴材料密度，Ω表示转速(rad/s)，Jx表示主轴截面极惯性矩。
w(ξ，t)，v(ξ，t)，θz(ξ，t)和θy(ξ，t)可以用区间三次埃尔米特样条小波基插值表示为 式(12)中小波插值系数向量a，b，c，d为 将式(12)分别代入式(10)和式(11)，得到 式(14)中刚度子矩阵分别为 K3＝(K2)T (17) 弯曲质量矩阵为 Mb＝ρAlГ0，0 (20) 转动惯量质量矩阵为 Mr＝ρIlГ0，0 (21) 陀螺子矩阵G为 G＝ΩρJxlГ0，0 (22) 以上各式中积分项为 应用哈密尔顿变分原理于拉格朗日函数L＝U-T，可得到机床高速主轴动态特性分析的多尺度小波数值求解方程，即 式(24)中，F为力向量，M，g和K分别表示质量、陀螺和刚度矩阵，分别由下列各式给出 为求解高速主轴自然涡动速度和失稳阈值，忽略激励力，则系统方程可以表示为 式(28)中小波系数向量u＝{aT bT cT dT}T。
材料内阻尼对高速旋转转子具有重要影响。考虑材料迟滞和粘性阻尼，系统振动方程可表示为 式(29)中，ηH和ηV表示材料迟滞和粘性阻尼系数，而 而Kc1和Kc2分别为 式(31)中
和
用下式求解 和 而 和 采用线性轴承模型，如图3所示。其控制方程为 式(34)中，
为轴承力向量，ube为轴承自由度向量，轴承阻尼和刚度矩阵
和
表示为 式(35)中，Cij和Kij为轴承阻尼和刚度系数。
考虑材料内阻尼和轴承刚度和阻尼影响，系统方程变成 式(36)中，
，
，
和u分别表示系统质量矩阵、陀螺和阻尼矩阵和刚度矩阵。
为求解方便，式(36)改写为一阶状态向量，即 式(37)中 式(37)对应的自由振动频率方程为 |Eλ+F|＝0(41) 频率方程复特征根λ＝σ+i·ω＝σ+i·2πf中，ω(rad/s)为固有涡动频率(涡动速度)，f(Hz)为模态频率。σ为衰减系数，定义对数衰减系数δ δ＝0表示失稳阈值，当δ＜0时，主轴易诱发相应模态失稳。
II、运用小波提升方案，构造高效率的多尺度求解方程，即为机床高速主轴动态特性分析的多尺度小波数值求解模型。
利用区间三次埃尔米特样条小波的多分辨分析特性，得到小波基固有的直和分解关系，即 式(43)中符号
表示直和。需要指出的是小波空间自身可形成一个完备的空间，未知场函数采用小波空间中的小波基展开。然而，为保证展开时只包含有限小波项，尺度空间分解时必须包含初始尺度空间V1。图4给出由区间三次埃尔米特小波直和分解关系得到的尺度空间提升关系。V1为初始尺度空间，Wl-1(l＝1，2，j-1)为小波空间。V1中的尺度函数Φ1作为初始逼近插值函数，而不同小波空间中的小波函数作为添加项不断添加进插值函数中，空间嵌套关系如下式 实现多尺度求解的关键是实现式(23)所示的积分项多尺度嵌套计算。对于积分项
多尺度积分矩阵为
式(45)中的子矩阵采用下式计算
考虑到式(7)和式(8)，式(46)中的非对角线元素积分为零。故式(46)变成
从式(38)可知，当进行多尺度求解时，积分项Г1，1的解耦仅仅Ax，y，(x＝y＝ψ1，…，ψj-1)需要计算，而对角线矩阵均为零阵。这可以大为提高多尺度数值求解效率。
而对于积分项
多尺度积分矩阵为
式(48)中的子矩阵的计算式为
因区间三次埃尔米特样条小波基固有的提升特性，当从尺度l提升到l+1进行多尺度计算时，积分项Г1，0的解耦仅子矩阵
需要计算，而其他子矩阵不需要进行再次计算，可以提高计算效率。
对于积分项多尺度积分矩阵为
式(50)中的子矩阵的计算式为
因区间三次埃尔米特样条小波基固有的提升特性，当从尺度l提升到l+1进行多尺度计算时，积分项Г0，0的解耦仅子矩阵
需要计算，而其他子矩阵不需要进行再次计算，可以提高计算效率。
这样，构造出多尺度求解方程，即为机床高速主轴动态特性分析的多尺度小波数值求解模型。当从低尺度向高尺度提升时，可以保留低尺度的数值求解方程不变，仅仅添加对角线上各子矩阵。可大为提高求解效率和求解精度。
第二步，采用第一步中所构造的计算模型，进行机床高速主轴动态特性分析，获得平稳运行的转速范围，从而减少振动，保证加工质量，包括以下步骤 i、采用第一步中所构造的计算模型，进行机床高速主轴临界涡动速度和半速涡动速度分析，获得实际主轴运行过程中的动态特性数据； 尺度j＝1，2，3下的区间三次埃尔米特样条多尺度小波基作为插值基进行主轴涡动频率和稳定性求解，求解方程规模分别为16×16，32×32，64×64。为了进行直观的比较，运用实验结果作为比较基准。涡动频率求解结果如表1所示。
表1 4000转/分条件下涡动速度(rad/s)多尺度小波数值求解模型求解结果与实验结果比较
注释F表示正向涡动速度(rad/s) B表示反向涡动速度(rad/s) E1表示第1次实验结果(rad/s) E2表示第2次实验结果(rad/s) 由表1可知，多尺度小波数值求解模型在尺度j＝3(64×64)时，求解结果与两次实验结果E1和E2相比，十分吻合，而且尺度j＝1，2，3下求解结果表明多尺度求解模型收敛于实验结果。
图5所示为ηH＝0.0002时转子涡动速度图，横坐标表示主轴转速，纵坐标表示涡动频率。由图5可得到1、2、3阶失稳临界转速。
对于图5，ηH＝0.0002时，前3阶正向涡动转速分别为4976转/分钟(图5中ω＝Ω直线与1F曲线交点)、10476转/分钟(图5中ω＝2Ω直线与2F曲线交点)和21558转/分钟(图5中ω＝3Ω直线与2F曲线交点)，而前3阶反向涡动转速分别为4969转/分钟(图5中ω＝Ω直线与1B曲线交点)、10432转/分钟(图5中ω＝2Ω直线与2B曲线交点)和21298转/分钟(图5中ω＝3Ω直线与3B曲线交点)。而半速涡动临界速度为14780转/分钟。
ii、依据获得的动态特性数据，进行共振分析，避开共振区，获得机床主轴平稳运行的转速范围，设计高速机床主轴运行转速，确保高速转动的主轴抗振，保证机床加工质量。
根据对机床高速主轴进行涡动频率和稳定性分析，获得的实际主轴运行过程中的动态特性数据。为高速主轴设计提供依据。共振区为0.9～1.1倍临界转速范围区域，避开共振区的范围即为主轴平稳运行转速范围。对本实施例主轴获得良好加工精度的平稳运行范围为 对于具有迟滞阻尼材料的主轴，当ηH＝0.0002时，前3阶正向涡动共振区分别为4478～5473转/分钟、9628～11523转/分钟、19402～23713转/分钟。而前3阶反向涡动共振区分别为4472～5465转/分钟、9388～11475转/分钟、19168～23427转/分钟。半速涡动共振区为13302～16258转/分钟。综合可知为避免前3阶正向涡动、反向涡动、半速涡动共振对加工质量的影响，主轴平稳运行转速范围为0～4472转/分钟、5473～9388转/分钟、11523～13302转/分钟、16258～19168转/分钟、23713转/分钟～更高转速。
实施例分析结果表明本发明方法用于机床高速主轴仿真分析能够可靠地进行机床高速主轴临界涡动速度和半速涡动速度的分析，依据获得的动态特性数据，避开共振区和非稳定区，进行高速机床主轴的虚拟抗振设计，减少高速转动的主轴振动，降低机床加工误差，保证所设计的机床具有高的加工质量。同时与实验设计相比，设计效率大为提高、成本也大幅降低。
上述实施例，仅为对本发明的目的、技术方案和有益效果进一步详细说明的具体个例，本发明并非限定于此。凡在本发明的公开的范围之内所做的任何修改、等同替换、改进等，均包含在本发明的保护范围之内。
权利要求
1.机床高速主轴的多尺度小波抗振设计方法，其特征在于，
第一步，采用区间三次埃尔米特样条小波作为多尺度插值基，建立综合陀螺力矩、横向剪切变形、主轴转动惯量、材料迟滞和粘性阻尼、轴承的交叉刚度与交叉阻尼影响的多尺度小波数值求解模型；
第二步，采用第一步中所构造的计算模型，进行机床高速主轴动态特性分析，获得平稳运行的转速范围，设计机床主轴运行转速。
2.根据权利要求1所述的机床高速主轴的多尺度小波抗振设计方法，其特征在于所述的第一步包括以下步骤
I、建立机床高速主轴动态特性分析的单尺度区间三次埃尔米特样条小波数值求解模型，
采用区间三次埃尔米特样条小波基，尺度空间V1中的尺度函数φ1，k为
小波空间Wj(j＝1，2，…)中的小波函数ψj，k为
埃尔米特样条小波具有如下特性
对于任意的j和k
并且
对于任意的j1≠j2和k
将Vj中的小波基表示为
根据瑞丽-铁木辛柯梁理论，忽略轴向位移，通过哈密尔顿变分原理，并考虑材料迟滞和粘性阻尼、轴承的交叉刚度与交叉阻尼影响，获得机床高速主轴动态特性分析的计算模型
此式中，
和u分别表示系统质量矩阵、陀螺和阻尼矩阵和刚度矩阵，运用计算模型求取如下积分
II、运用小波提升方案，构造高效率的多尺度求解方程，即获得机床高速主轴动态特性分析的多尺度小波数值求解模型，
由区间三次埃尔米特小波基固有的直和分解关系得到的尺度空间提升关系，V1为初始尺度空间，Wl-1(l＝1，2，j-1)为小波空间，V1中的尺度函数Φ1作为初始逼近插值函数，而不同小波空间中的小波函数作为添加项不断添加进插值函数中，空间嵌套关系如下式
为实现高效率多尺度求解进行积分项解耦；
对于积分项
多尺度积分矩阵为
此式中的子矩阵的计算式为
因区间三次埃尔米特样条小波基的特性，Γ1，1式中的非对角线元素积分为零，故有
当进行多尺度求解时，积分项Γ1，1的解耦，因对角线矩阵均为零阵，转为计算Ax，y，(x＝y＝ψ1，…，ψj-1)；
而对于积分项
多尺度积分矩阵为
此式中的子矩阵的计算式为
因区间三次埃尔米特样条小波基固有的提升特性，当从尺度l提升到l+1进行多尺度计算时，积分项Γ1，0的解耦，仅需要计算子矩阵Bx，y，
对于积分项
多尺度积分矩阵为
此式中的子矩阵的计算式为
因区间三次埃尔米特样条小波基固有的提升特性，当从尺度l提升到l+1进行多尺度计算时，积分项Γ0，0的解耦，仅需要计算子矩阵Cx，y，
3.根据权利要求1所述的机床高速主轴的多尺度小波抗振设计方法，其特征在于所述的第二步包括以下步骤
i、采用第一步中所构造的计算模型进行机床高速主轴临界涡动速度和半速涡动速度分析，获得实际主轴运行过程中的动态特性数据；
ii、依据获得的动态特性数据，进行共振分析，获得平稳运行的转速范围，设计抗振运行的高速机床主轴转速。
全文摘要
本发明为机床高速主轴的多尺度小波抗振设计方法。第一步，采用区间三次埃尔米特样条小波作为多尺度插值基，建立综合陀螺力矩、横向剪切变形、主轴转动惯量、材料迟滞和粘性阻尼、轴承的交叉刚度与交叉阻尼影响的多尺度小波数值求解模型；第二步，采用第一步中所构造的计算模型，进行机床高速主轴动态特性分析，获得平稳运行的转速范围，设计机床主轴运行转速。实验结果表明本发明可大为提高计算机仿真高速主轴临界涡动速度和半速涡动速度的分析精度，依据获得的动态特性数据，避开共振区和非稳定区，进行高速机床主轴转速的抗振设计，保证机床加工质量。设计效率高、成本低。
文档编号B23B19/02GK101804465SQ20101013717
公开日2010年8月18日 申请日期2010年3月31日 优先权日2010年3月31日
发明者向家伟, 蒋占四, 陈东弟 申请人:桂林电子科技大学