使用玻色子模式进行量子纠错的技术及相关系统和方法与流程

本申请要求于2015年12月4日提交的标题为“quantumerrorcorrectioncodesforbosonicmodes”的美国临时专利申请第62/263,473号的优先权，其全部内容通过引用并入本文。

关于联邦政府资助的研究和开发的声明

本发明是在美国国家科学基金会授予的1122492和1301798下、美国空军科学研究局授予的fa9550-14-1-0052和fa9550-15-1-0015下以及美国陆军研究局授予的w911nf-14-1-0011和w911nf-14-1-0563下由美国政府支持进行。美国政府对本发明享有一定的权利。

背景技术：

量子信息处理技术通过操纵一个或更多个量子对象来执行计算。这些技术有时被称为“量子计算”。为了执行计算，量子信息处理器利用量子对象来可靠地存储和检索信息。根据一些量子信息处理方法，已经开发了对经典计算“比特”(等于1或0)的量子模拟，其被称为量子比特(quantumbit)或“量子比特(qubit)”。量子比特可以由具有两个不同的状态(可以被认为是1状态和0状态)的任何量子系统构成，但是还具有系统可以被置于量子叠加并且因此同时以这两个状态存在的特殊属性。

在试验室中已经成功地论证了几种不同类型的量子比特。然而，在由于量子态的退相干或由于其他量子噪声而导致的信息损失之前这些系统中的很多系统的状态的寿命目前为大约100μs。尽管寿命较长，但是在能够实现对量子系统中存储的信息的可靠存储和检索的量子计算中提供纠错技术会非常重要。然而，与出于纠错目的比特可以被复制的传统计算系统不同，克隆量子系统的未知状态是不可能的。然而，该系统可以与将系统中的信息有效地传播在若干纠缠的对象上的其他量子系统纠缠在一起。

技术实现要素：

一些方面涉及操作电路量子电动力学系统的方法，该电路量子电动力学系统包括色散耦合至量子力学振荡器的物理量子比特，该方法包括：测量量子力学振荡器的第一状态的奇偶性；在测量第一状态的奇偶性之后，测量量子力学振荡器的第二状态的奇偶性，第二状态与第一状态不同；向量子力学振荡器施加第一驱动波形；以及在施加第一驱动波形的同时向物理量子比特施加第二驱动波形，其中，至少部分地基于将所测量的第二状态的奇偶性与所测量的第一状态的奇偶性进行比较的结果来选择第一驱动波形和第二驱动波形，以及其中，施加第一驱动波形和第二驱动波形至少部分地使量子力学振荡器从第二状态转变回到第一状态。

根据一些实施方式，第一状态和第二状态是相同多个光子数态的叠加，并且第一状态和第二状态具有不同的幅度。

根据一些实施方式，基于测量第一状态的奇偶性和测量第二状态的奇偶性之间的持续时间来配置第一驱动波形和第二驱动波形。

根据一些实施方式，测量第一状态和第二状态的奇偶性各自包括测量光子数奇偶模2。

根据一些实施方式，第一状态是多个光子数态的叠加。

根据一些实施方式，第一状态是具有相等的平均光子数的两个状态的叠加。

根据一些实施方式，第一状态是|w↓>和|w↑>的叠加，由下式给出：

其中n和s为正整数，并且|n>表示具有n个光子的光子数态。

根据一些实施方式，第一状态是每个具有第一平均光子数的两个状态的叠加，并且第二状态是每个具有与第一平均光子数不同的第二平均光子数的两个状态的叠加。

根据一些实施方式，基于|w↓>和|w↑>的值来配置第一驱动波形和第二驱动波形。

根据一些实施方式，从存储有多个预先确定的驱动波形的计算机可读介质中选择第一驱动波形和第二驱动波形。

根据一些实施方式，测量第一状态和第二状态的奇偶性各自包括测量光子数奇偶模n，其中n为大于2的整数。

根据一些实施方式，量子力学振荡器从第二状态回到第一状态的所述转变不经过量子力学振荡器的基态。

根据一些实施方式，量子力学振荡器是微波腔。

根据一些实施方式，物理量子比特是传输子量子比特。

一些方面涉及一种系统，该系统包括：电路量子电动力学系统，其包括色散耦合至量子力学振荡器的物理量子比特；至少一个计算机可读介质，其存储有多个驱动波形；至少一个控制器，其被配置成：测量量子力学振荡器的第一状态的奇偶性；在测量第一状态的奇偶性之后，测量量子力学振荡器的第二状态的奇偶性，第二状态与第一状态不同；至少部分基于将所测量的第二状态的奇偶性与所测量的第一状态的奇偶性进行比较的结果来从所存储的多个驱动波形中选择第一驱动波形和第二驱动波形；以及至少一个电磁辐射源，其被配置成：向量子力学振荡器施加第一驱动波形，以及在施加第一驱动波形的同时向物理量子比特施加第二驱动波形。

根据一些实施方式，基于测量第一状态的奇偶性和测量第二状态的奇偶性之间的持续时间来配置第一驱动波形和第二驱动波形。

根据一些实施方式，测量第一状态和第二状态的奇偶性各自包括测量光子数奇偶模2。

根据一些实施方式，测量第一状态和第二状态的奇偶性各自包括测量光子数奇偶模n，其中n为大于2的整数。

根据一些实施方式，施加第一驱动波形和第二驱动波形被配置成在不经过量子力学振荡器的基态的情况下将量子力学振荡器从第二状态转变回到第一状态。

根据一些实施方式，量子力学振荡器是微波腔。

根据一些实施方式，物理量子比特是传输子量子比特。

上述装置和方法实施方式可以利用上文描述或下文进一步详细描述的方面、特征和动作的任何合适的组合来实现。从以下结合附图的描述中，可以更全面地理解本教导的这些及其他方面、实施方式和特征。

附图说明

将参照以下附图来描述各个方面和实施方式。应当理解，附图不一定按比例绘制。在附图中，在各个图中示出的每个相同或几乎相同的部件由相同的附图标记表示。为了清楚起见，并非每个部件都会在每个图中标注。

图1a至图1b示出了根据一些实施方式的玻色子系统中的多级量子系统的状态的编码；

图2描绘了适用于实践本申请的各个方面的说明性系统；

图3是根据一些实施方式的纠正在玻色子系统内发生的错误的方法的流程图；

图4是根据一些实施方式的纠正在玻色子系统内发生的三类错误中的一类错误的方法的流程图；

图5是根据一些实施方式的电路量子电动力学系统的框图；

图6示出了根据一些实施方式的二项量子纠错码的双参数(n,s)空间；

图7示出了根据一些实施方式的二项量子纠错码的纠缠失真的比率；

图8a是说明性电路qed系统的简图；

图8b是利用二项量子态的编码和量子纠错进行的图8a中所描绘的系统的量子态转移场景的示意图；以及

图9是适用于实现双模代码的单量子比特双腔系统的框图。

具体实施方式

本申请涉及用于纠正展现一个或更多个玻色子模式的量子系统的状态的错误的改进的量子纠错技术。在该上下文中，“错误”是指可能由例如玻色子损失、玻色子获得、退相、系统的时间演化等导致的量子系统的状态的变化，并且错误改变系统的状态使得系统中所存储的信息被改变。

如上所述，量子多级系统例如量子比特展现基于当前的试验实践在大约100μs内退相干的量子态。虽然试验技术毫无疑问将会对此进行改进并且产生具有较长退相干时间的量子比特，但是将多级系统耦合至展现更长退相干时间的另一系统仍然会是有益的。如下面将描述的，玻色子模式对于耦合至多级系统特别理想。通过这种耦合，多级系统的状态可以替代地由玻色子模式表示，从而与以其他方式单独存在于多级系统中相比将以更长久的状态保持相同的信息。

玻色子模式中存储的量子信息可能仍然具有有限的寿命，使得在玻色子系统内仍然会发生错误。因此，当在其状态中发生错误时，会期望操纵玻色子系统以有效地纠正这些错误，并且因此重新获得系统的先前状态。如果可以纠正广泛类型的错误，则可以通过纠正可能发生的任何类型的错误而无限期地(或至少长时间段地)保持玻色子系统的状态。

腔量子电动力学(腔qed)和电路qed的领域表示实现量子纠错的一个说明性试验方法。在这些方法中，一个或更多个量子比特系统以如下方式各自耦合至谐振器腔，该方式使得允许将量子比特中包含的量子信息映射至谐振器和/或从谐振器进行映射。谐振器通常比量子比特具有更长的稳定寿命。稍后可以通过将状态从各个谐振器映射回到量子比特来在量子比特中检索量子态。

当多级系统例如量子比特被映射至与其耦合的玻色子系统的状态时，必须选择在玻色子系统中对量子比特状态进行编码的特定方法。这种对编码的选择通常简称为“代码”。

作为示例，代码可以使用谐振器的0玻色子数态表示量子比特的基态，并且使用谐振器的1玻色子数态表示量子比特的激发态。即：

其中|g>是量子比特的基态，|e>是量子比特的激发态，α和β分别是表示量子比特处于状态|g>或|e>的概率幅的复数，并且|0>和|1>分别是谐振器的0玻色子数态和1玻色子数态。虽然这是一个完美有效的代码，但是其对于很多错误例如玻色子损失不是鲁棒的。即，当发生玻色子损失时，可能无法使用该代码恢复玻色子损失之前谐振器的状态。

可以将对代码的使用更一般地书写为：

其中，|w↓>和|w↑>称为逻辑代码字(或简称为“代码字”)。因此对代码的选择—相当于对如何以玻色子系统的状态对两级系统(例如量子比特)的状态进行编码的选择—包括选择|w↓>和|w↑>的值。图1a至图1b图式地描绘了对于|w↓>和|w↑>的一些选择的编码的该过程。

当发生错误时，系统的状态转换成在和—本文中称为“错误字”—的所得到的状态的叠加，如下：

其中指数k是指已经发生的特定错误。如上所述，错误的示例包括玻色子损失、玻色子获得、退相、幅度衰减等。

通常，对代码的选择影响系统对错误多么鲁棒。即，当发生错误时，所使用的代码确定了可以在多大程度上保真地恢复先前的状态。理想的代码将与广泛类型的错误相关联，这样当发生任何错误时信息不会损失，并且可以保真地恢复逻辑代码字的任何量子叠加。一些代码尽管对于某些错误鲁棒，然而在物理系统中实现这些代码可能是不现实的。

发明人已经认识并领会到防范(protectagainst)玻色子系统中可能发生的大量错误包括玻色子获得、玻色子损失、退相和幅度衰减并且可以通过试验来实现的一类代码。如下所述，来自该类的代码在本文中被称为“二项代码”，因为该类代码可以用二项来描述。发明人已经开发了用于在来自该类的代码被用于将状态存储在玻色子系统中时纠正错误的技术。特别地，发明人已经开发了可以基于所检测到的错误应用于玻色子系统的幺正(unitary)操作。此外，发明人已经认识并领会到可以向玻色子系统例如腔谐振器施加能量以执行上述幺正操作的试验配置。

根据一些实施方式，可以使用二项代码来配置单模玻色子系统的状态。玻色子系统可以是其中应用本文所描述的技术的特别理想的系统，因为单个玻色子模式可以展现相干状态的等距间隔。例如，谐振器腔是具有等距水平间隔的简谐振荡器。玻色子模式也有助于量子通信，因为它们可以被稳定地用于量子存储器或用于与常规量子比特相互作用，或者它们可以被传播(“飞行”)用于量子通信(例如，它们可以从谐振器被捕获和释放)。特别地，单个玻色子模式可以允许状态具有比由多个玻色子模式产生的状态更低的平均玻色子数。由于玻色子损失率趋于与平均玻色子数成比例，所以单个玻色子模式通常具有比多个玻色子模式更低的错误率。而且，单个玻色子模式的纠错不需要多个玻色子模式另外需要的模式到模式纠缠操作。如下所述，本文描述的二项代码利用单个玻色子模式的玻色子数态表示代码字。

根据一些实施方式，可以结合二项代码使用玻色子系统来用作量子存储器装置。如上所述，多级系统例如量子比特可以以将在短时间尺度内退相干的状态存储一个或更多个量子比特。该状态可以替代地被存储在通过所选择的二项代码编码的玻色子系统中。该系统也会退相干，但是通常是在比多级系统展现出的退相干时间更长的时间尺度上。二项代码可以允许以完美或接近完美的程度纠正发生的错误，使得可以保持玻色子系统的状态。以这种方式，玻色子系统相对于多级系统中最初存储的量子比特用作量子存储器。如果需要，玻色子系统中的状态可以在之后被转移回多级系统。

根据一些实施方式，检测器可以被配置成监测玻色子系统以检测何时发生错误。本文描述的二项代码的特征在于，这样的检测器能够检测是否发生了任何错误，并且还检测所发生的错误的类型，同时保留玻色子系统的状态。这种类型的测量有时被称为量子非破坏性测量(qnd)。并非所有的代码都展现该特征，因为对于一些代码，对错误的检测会产生有关两个代码字中的哪一个更可能是系统的状态的信息(解除给定代码以两个所选择的代码字的量子叠加存储状态)。由于测量而导致的信息的该带走会引起系统的状态的变化。

相比之下，本文描述的二项代码提供用于检测广泛类型的错误，其中在每种情况下，检测不改变系统的状态的玻色子数。然而，当对玻色子系统的测量未检测到错误时，该操作的反作用引起玻色子模式的幅度衰减。幅度衰减不改变玻色子系统的玻色子数，但是会改变测量不同玻色子数中的每一个的概率。然而，本文描述的二项代码提供了用于将能量重新泵送至玻色子系统中以从幅度衰减恢复的显式构造。因此，无论是否检测到错误，本文结合二项代码所描述的技术允许通过施加幺正操作以抵消幅度衰减效应来保持玻色子系统的状态。

使用二项代码中的一个代码来纠正错误的说明性示例是有益的。二项代码中的一个代码使用以下代码字(即，如图1a至图1b所示，以两个代码字状态的叠加对玻色子系统进行编码)：

|w↑>＝|2>(式3)

注意，对于该对代码字，每个状态的平均玻色子数因此，玻色子的损失或获得(例如)不产生关于光子来自这两个代码字状态中的哪一个的信息。在检测玻色子损失或获得时，这保留了玻色子系统的数态。

如果该玻色子系统损失玻色子(例如，由于能量损失)，其将被变换如下：

其中，a是湮没算符。

考虑该变换的一种方法是：如果系统处于作为|0>和|4>的叠加的|w↓>状态，则明显损失的玻色子必定来自|4>状态而不是基态。因此，所得到的状态将是|3>状态。类似地，如果系统处于作为|2>状态的|w↑>状态，则在玻色子损失之后所得到的状态将是|1>状态。

如果玻色子系统是光子系统，则检测光子损失的一种方法是使用光电检测器检测离开系统的光子。然而，在很多试验配置中，执行该方法将是困难的或不现实的。因此，检测玻色子损失的另一种方法是检查奇偶性(奇数或偶数玻色子数态)。在发生错误之前，两个代码字状态将产生偶数奇偶性，因为这些代码字的所有玻色子数态都是偶数奇偶性状态。在玻色子损失之后，不管错误字状态的特定叠加如何，奇偶性都将是奇数，因为两者都具有奇数奇偶性。如上所述，这是以下测量的示例，该测量不会改变系统的玻色子数态，因为带走的信息是损失了玻色子，而在不包括关于系统处于代码字状态中的哪一个的任何信息的情况下提供该信息。

一旦检测到玻色子损失，就可以通过施加执行以下变换的幺正操作来将系统驱动至先前状态：

|3>→|w↓>

|1>→|w↑>(式4)

可以操作被配置成具有对系统的量子态的通用控制的系统来执行这种类型的状态变换，在下文论述该系统的示例。二项代码允许这种类型的纠正的一个原因是用于二项代码的错误字(例如，在上述示例中为|3>和|1>)是正交的。因此，可以施加有条件的幺正操作来将错误字状态变换成相应的代码字状态，而不管系统处于错误字状态中的哪一个。

图2描绘了适用于实践本申请的各个方面的说明性系统。在系统200中，量子比特210经由耦合215耦合至谐振器220。谐振器会损失或获得能量(例如，损失或获得玻色子)，会退相等，并且在该过程中会获得或损失能量，如图所示。能量源230可以向量子比特210和谐振器220中的一者或两者供应能量，以便对该系统执行操作，例如在谐振器中对量子比特的状态进行编码、在量子比特中对谐振器的状态进行编码、向谐振器施加幺正操作(例如，以纠正在谐振器中检测到的错误)、向量子比特施加幺正操作、或其组合。

应当理解，如上所述，耦合至玻色子系统的任何多级量子系统都可以与二项代码一起使用，但是系统200被提供为其中量子比特耦合至谐振器的一个说明性系统。在该示例中，谐振器的模式提供了玻色子模式。

系统200还包括检测器240，检测器240可以操作以检测谐振器220中的错误的发生。可以采用多种适当的方法来操作这样的检测器，该检测器可以测量谐振器的能量获得和/或能量损失，可以与量子比特210相互作用(例如，可以向量子比特施加一个或更多个幺正操作和/或可以测量量子比特的状态)，和/或可以与谐振器220相互作用(例如，可以向谐振器施加一个或更多个幺正操作和/或可以测量谐振器的状态)。这些操作的任意组合可以获得关于量子比特-谐振器系统的足够信息以确定在谐振器220中是否发生了错误。在一些实施方式中，检测器240通过施加来自能量源230的能量来向量子比特210和/或谐振器220施加一个或更多个幺正操作。

根据一些实施方式，检测器240包括被配置成检测进入和/或离开谐振器220的粒子的光电检测器或其他粒子检测器。根据一些实施方式，检测器240可以执行一系列操作以测量谐振器的状态的奇偶模2、奇偶模3、奇偶模n等中的一个或更多个。如下所述，这些测量可以指示是否已经发生玻色子损失或获得。例如在2016年7月22日提交的标题为“techniquesofoscillatorstatemanipulationforquantuminformationprocessingandrelatedsystemsandmethods”的国际申请第pct/us2016/043514号中描述了用于在量子比特-谐振器系统中执行奇偶性测量的说明性技术，该申请的全部内容通过引用并入本文。

量子比特210可以包括具有两个不同状态的任何适当的量子系统，例如但不限于基于超导约瑟夫森结的量子系统，例如电荷量子比特(库伯对盒，cooper-pairbox)、通量量子比特或相位量子比特或其组合。量子比特210可以经由耦合215而耦合至谐振器220，耦合215将量子比特的状态耦合至谐振器的状态。谐振器220可以包括支持一个或更多个玻色子模式的任何谐振器，其可以使用任何电磁、机械、磁性(例如，也称为磁振子的量子化自旋波)和/或其他技术例如但不限于任何腔谐振器(例如微波腔)来实现。根据一些实施方式，谐振器220可以是传输线谐振器。

作为说明性实施方式，量子比特210可以是耦合至超导传输线腔(谐振器220的示例)的电荷量子比特，超导传输线腔包括由基于在腔中捕获的光子的波长选择的长度分隔开的中心导体和在导体的任一侧上的接地平面。例如，谐振器的长度可以是这种波长的一半的倍数。传输线的长度也可以基于传输线的期望阻抗来选择。根据一些实施方式，传输线可以具有在1μm与100μm之间例如在5μm与50μm之间的长度，例如10μm。根据一些实施方式，传输线可以具有在5mm与50mm之间例如在10mm与30mm之间的长度，例如25mm。量子比特可以与传输线中的电场相互作用，使得对量子比特的状态的调整引起对谐振器的状态的调整。

耦合215可以利用任何技术例如通过耦合由量子比特和谐振器生成的电场和/或磁场来耦合量子比特和谐振器。根据一些实施方式，量子比特和谐振器可以经由耦合215色散耦合。根据一些实施方式，量子比特(例如传输子)可以经由压电耦合而耦合至为机械谐振器的谐振器。根据一些实施方式，可以通过将量子比特(例如传输子)耦合至声子—声子又经由磁致伸缩耦合而耦合至磁振子—来将量子比特耦合至为磁谐振器的谐振器。

在至少以下两种使用情况场景中可以使用图2的系统。首先，谐振器220可以用作存储量子比特210的状态的存储器。谐振器的状态可以使用本文描述的技术进行纠错。随后，状态可以被映射至量子比特210和/或任何其他量子比特。其次，谐振器220可以用作将量子比特210的状态沿着传输线传输到另一量子比特和/或传输到另一谐振器的传输介质。可以使用下面将描述的技术对传输期间谐振器的状态进行纠错。随后，该状态可以被映射至传输的目标。在这些使用情况中的每一种使用情况下并且在系统200的任何其他适当使用中，可以在谐振器220中使用二项代码之一表示状态。此外，如下面将进一步详细描述的，能量源230可以向量子比特和/或谐振器施加能量以基于所选择的二项代码来纠正错误。

如上所述，量子纠错包括选择使用其表示状态例如量子比特的状态的逻辑代码字。这些代码字是被嵌入在较大希尔伯特空间例如简谐振荡器的空间中的状态，使得在单个独立错误中的任何一个发生的情况下都不会损失信息并且逻辑代码字|wσ>的任何量子叠加可以被保真地恢复，其中σ＝↑,↓。这相当于找到满足量子纠错准则—也已知为knill-laflamme条件—的两个逻辑代码字：

对于所有的(其中ε是代码的可纠正错误的集合)，使得αkl是厄米特矩阵的项并且独立于逻辑字。对角化项αkk是错误的概率。来自逻辑代码字的项αkl的独立性和非对角化项的结构使不同的错误是可区分的且可纠正的。

二项代码的结构被开发并且在下面的附录a中进一步详细描述。在系统200中，可以使用二项代码基于量子比特210的状态对谐振器220的状态进行编码。可以应用通用控制技术以基于量子比特中呈现的基态和激发态的叠加来产生谐振器中的代码字状态的叠加，如图1a至图1b所示。例如，在上面引用的国际申请第pct/us2016/043514号中描述的技术描述了适用于将量子比特的状态编码成系统200中的谐振器的状态的技术。如上所述，通常这种技术可以包括操作能量源230来以一系列步骤施加能量，其中，每个步骤包括向量子比特210、向谐振器220，或者同时向量子比特和谐振器两者施加能量。

例如，如图1a至图1b所示，将量子比特状态编码为谐振器状态可以如下被实现。从图1a中示出的状态开始。在谐振器处于基态(0玻色子)的情况下，向量子比特210和谐振器220同时施加驱动脉冲，量子比特210和谐振器220激发玻色子模式，同时使量子比特最终返回到基态。如果量子比特210最初处于基态|g>，则驱动脉冲将玻色子模式220激发到状态|w↓>，但是最终使量子比特210返回到其基态。如果量子比特210最初处于激发状态|e>，则驱动脉冲将玻色子模式激发到状态|w↑>而将量子比特210驱动返回到其基态|g>。换句话说，玻色子模式220的最终状态以量子比特210的初始状态为条件。换句话说，这些驱动脉冲执行幺正状态转移操作：

u＝|g>|w↓><0|<g|+|g>|w↑><0|<e|+|g>|0><w↓|<g|+|e>|0><w↑|<g|+urest

其中，幺正操作的其余项urest与特定幺正状态转移操作无关。选择urest的自由度可以用于改变所施加的驱动脉冲以优化状态转移操作的保真度。

根据一些实施方式，二项代码可以防范在两个连续的量子纠正阶段之间的时间间隔dt中发生的多达l个玻色子损失事件。考虑离散错误的集合其中a是湮没算符，并且“1”是恒等算符并且表示无错误。

虽然将首先论述防范玻色子损失错误，但是这在下面将被概括成被设计成还防范玻色子获得退相错误和幅度衰减的代码。如本文所使用的，“防范”特定错误的代码意味着该代码是这样的：当发生错误时，能够通过一个或更多个幺正操作恢复先前的状态。

如上所述，防范(无错误或者损失单个玻色子)的代码的一个示例为

玻色子损失错误将逻辑代码字|w↓>和|w↑>带到具有奇数玻色子数的子空间，该子空间与逻辑代码字的偶数奇偶性子空间不相交，并且因此，(式5)中的qec矩阵α的非对角化部分等于零。α的其余对角化部分指示这两个状态的平均玻色子数相同，在此意味着玻色子跃迁发生或不发生的概率对于暗示量子态在错误下不变形的两个状态是同等可能的。明确地，如果量子态|ψ>＝α|w↑>+β|w↓>受玻色子跃迁的影响，它将被转换成其中错误字为和并且和分别是创建算符和湮没算符。

防范的代码的示例为：

对于该代码，除了具有相同的平均玻色子数的代码字之外，错误字和具有相同的平均玻色子数。相比之下，(式6)的代码具有带有相同的平均玻色子数的代码字，但是在损失玻色子时，错误字具有不同的平均玻色子数。鉴于此，(式7)的代码可以容忍另一玻色子损失错误并且受保护的错误集合为对于这种情况，可以通过测量玻色子数模3来检测玻色子损失错误。错误恢复过程与上述类似：在错误检测之后进行执行状态转移的幺正操作。如附录a所示，可以开发出防范任意数目l的玻色子损失错误的一系列代码。

在系统200中，可能发生的另一错误是由于谐振器的频率波动(例如诸如由所耦合的量子比特201的转换引起的耦合至玻色子数的噪声)而使谐振器202退相。发明人认识到，(式7)的代码也防范退相错误并且因此完整的错误集合为由于退相错误不会改变玻色子数，因此会导致错误状态

其是原始字和与退相有关的错误字的叠加。检测退相错误的一种方法是将产生投影测量的幺正操作施加至逻辑词基并且如果答案是否定的(并且没有检测到玻色子损失错误)，则检测到退相。然后可以通过执行状态转移的幺正操作来恢复原始状态。

因为玻色子添加错误和两个玻色子损失错误在玻色子数模3中具有相同的变化，所以可以替代地选择(式7)的代码来防范错误(＝无错误、单个玻色子损失、单个玻色子获得、退相)，并且逻辑代码字已经服从关于玻色子获得错误的qec条件：作为特殊情况，可以选择仅防范由与代码(式7)但是与代码(式6)的如下间隔相同的fock状态系数实现的

可以注意到，代码所防范的错误的类型越广泛，错误率越大，因为代码涉及更高的fock状态，类型变得越广泛，则fock状态产生更多错误的概率越高。

以上代码可以被推广以防范包括多达l个玻色子损失、多达g个玻色子获得错误并且多达d个退相事件的错误集合：

发明人认识到可以纠正由该错误集合所引起的错误的一类代码是：

其中，s＝l+g和n＝max{l,g,2d}。例如，具有值l＝1、g＝0和d＝0的式11产生式6的代码字。这些代码在本文中被称为“二项代码”，因为状态幅度涉及二项系数(应当注意，二项系数与间距s无关)。图6中示出了式11的双参数(n,s)代码空间。为了应用本文描述的纠错技术，具有对两级系统进行编码的状态的玻色子系统可以使用由式10给出的任何代码字对(即对于l、g和d的值的任何组合)来描述两级系统，即对于l、g和d的值的一些组合，玻色子系统可以具有状态：α|w↓>+β|w↑>，其中|w↓>和|w↑>由式11给出。

应当注意，二项代码在有限的希尔伯特空间中操作，这对于错误诊断和恢复所需的幺正算符的实际构造将是有益的。这可能特别适用于涉及算符的错误，其对传统代码的操作可能不如单独的算符简单。

虽然式11表示利用其表示两级系统(例如量子比特)的一类代码，发明人还开发了可以用于表示d级系统(所谓的“量子比特”或“量子比特)并且因此具有d个逻辑代码字的代码。这些代码利用多项系数而不是二项系数，并且在附录a中进行了描述。

返回到图2，从上述类别的二项代码中选择的代码可以用于在谐振器220中表示量子比特210的状态。一旦谐振器中发生错误，就可以检测到错误并且可以执行操作以纠正错误。下面参照图3详细描述纠错过程。

图3是根据一些实施方式的纠正在玻色子系统内发生的错误的方法的流程图。例如，可以在图2所示的系统200内执行图3。方法300包括以下步骤：测量玻色子系统的错误综合征，以及基于所测量的错误综合征执行纠正。方法300还包括可选的初始步骤，在该可选的初始步骤中基于所耦合的多级系统对玻色子模式的状态进行编码。

方法300可以可选地开始于动作302，在动作302中以玻色子模式的状态对多级系统的状态进行编码。在多级系统为量子比特的情况下，该编码可以利用从上述二项代码中选择的任何代码来以玻色子模式表示量子比特的状态。可替选地，如果多级系统为量子比特，则该编码可以利用从附录a中所描述的多项代码中选择的任何代码来以玻色子模式表示量子比特的状态。可以应用任何适当的技术以玻色子模式对多级系统的状态进行编码，上面描述了技术的示例。

可替选地，方法300可以开始于动作304，在动作304中玻色子模式已经预先被配置有作为从二项代码的类或多项代码的类中选择的代码字对的叠加的状态。因此，不管方法300是否包括可选的编码动作302，在动作304之前，玻色子模式处于作为从二项代码的类或多项代码的类中选择的代码字对的叠加的状态。例如，如果方法300的玻色子模式表示两级系统，则其具有作为由式11给出的代码字对中的一个代码字对的叠加的状态。

在动作304中，测量玻色子模式的错误综合征。本文所使用的“错误综合征”是指指示已经发生特定错误(或一组特定错误之一)的测量。上述错误综合征的一个示例是示出玻色子模式的玻色子数态的奇偶性(或奇偶模3、奇偶模4等)已经变化的测量。另一错误综合征是指示已经发生退相的测量(上面论述了这种类型的测量的示例)。另一错误综合征是指示没有发生错误的测量。由于测量玻色子模式的动作可以引起模式的幅度衰减，所以指示没有发生错误的测量仍然会导致基于该测量的动作，因此“无错误”也被认为是错误综合征。

根据一些实施方式，在动作304中检测玻色子损失或获得错误可以包括：将能量直接施加至玻色子模式和/或玻色子模式所耦合的另一系统的一系列操作。例如，在包括与量子比特具有强色散耦合的谐振器(例如微波腔)的系统中，其中色散耦合的强度强于量子比特和谐振器的衰减率，可以以谐振器的给定的玻色子数态为条件驱动量子比特。可以选择施加至量子比特的电磁脉冲，使得例如在施加了脉冲之后量子比特将处于特定状态，该特定状态取决于谐振器的玻色子数态。量子比特的测量则指示所耦合的谐振器的奇偶性。根据一些实施方式，玻色子数模(s+1)的测量包括执行两级量子比特的s个连续测量。

根据一些实施方式，可以通过对于d＝0,1,…,n的投影测量进行在动作304中检测退相错误。在此，对于d,d'＝0,1,…,n，是满足以下正交条件的{n^l|wσ>}l＝0，1，...，n的线性组合：

类似于对玻色子获得或损失错误的检测，对退相错误的检测可以包括将能量直接施加至玻色子模式和/或玻色子模式所耦合的另一系统的一系列操作。

例如，在包括与量子比特具有强色散耦合的谐振器(例如微波腔)的系统中，可以选择施加至谐振器和量子比特的电磁脉冲，使得在施加脉冲之后量子比特将处于特定状态，该特定状态取决于处于由某个d的跨越的子空间中的谐振器。然后对量子比特的测量将指示振荡器是否在由跨越的子空间中。如果发现振荡器在该子空间内，则可以将一个或更多个电磁脉冲(例如其可以是预先计算的)施加至该系统以执行从到|w↑>以及从到|w↓>的幺正状态转移。

根据一些实施方式，对针对d＝0,1,…,n的的测量可以包括执行两级量子比特的n+1个连续测量。

根据一些实施方式，动作304包括“无错误”的检测，“无错误”在本文中也称为“无跃迁错误”。如上所述，可以存在由于未观测到玻色子数态的变化而对玻色子模式产生的测量反作用。这种反作用降低了较高fock状态相对于较低fock状态的相对概率，该相对概率在形式上用错误算符中的因子来表达(参见下面的式14)。下面论述该错误综合征的纠正。

在动作306中，基于在动作304中检测到的错误综合征，对玻色子模式执行一个或更多个操作以变换其状态。该变换被配置成抵消由所测量的错误综合征暗示的错误，即尝试将系统转变回到错误之前其所处的状态。在一些但并非全部情况下，该变换可以是精确的。在其他情况下，变换可以使系统近似返回到其之前的状态。

根据一些实施方式，动作306可以基于随时间演化的对玻色子模式的分析来施加一个或更多个操作。例如，耦合至腔能量衰减率为κ的零温度浴的腔的密度矩阵的标准lindblad时间演化(在以腔频率旋转的框架中表示)为

在有限的时间间隔dt内，连续的时间演化导致无限的错误集合，并且对全部错误集合的精确的量子纠错是不可能的。然而，错误的概率与κdt的幂成比例，并且我们可以选择仅纠正κdt中最重要的错误。形式上，我们利用近似量子纠错(aqec)领域的概念和理论。粗略地说，每个错误算符都被扩展在κdt的幂中，并且纠正高达扩展的给定最高阶的错误。为了与选择仅纠正以κdt中的指定最高阶的概率发生的错误一致，这可能仅足以近似满足式5的qec准则，使得原始状态的所得到的恢复具有由κdt中相同的最高阶给出的准确度。

首先仅考虑由玻色子损失错误导致的幅度衰减，即式(12)的时间演化，并且在后面扩展对玻色子获得和退相过程的论述。通过基于每当玻色子损失时点击的光子倍增器的测量记录来考虑该系统的条件量子演化，我们可以“解开”lindblad式(式12)。在该量子轨迹图中，我们看到式12中的第一项表示当检测器点击时系统的玻色子损失跃迁这不是标准化的，因为它包括点击概率与成比例的事实。括号内的最后两项术语表示在没有检测到玻色子时系统在假想的非厄米特哈密顿算符下的时间演化。以上当考虑理想化错误集合时，我们为了简单起见忽略了物理错误过程的部分，即在玻色子损失跃迁之间发生的该无跃迁演化。很像feynman路径积分，我们可以关于其中在时间间隔t期间的所有可能时间处发生跃迁的所有可能轨迹上的总和来表示密度矩阵从时间0到t的演化：

其中是囊括了由确切的l个玻色子损失生成的时间演化和玻色子损失事件之间的无跃迁演化的kraus算符。通过在时间间隔t期间整合确切的l个玻色子跃迁的所有可能的跃迁时间，我们可以推出的解析表达式：

其中(参见附录b)。阻尼简谐振子的值得注意的特性是，玻色子跃迁的精确定时不起作用。这也可以从式14中的算符的阶的可互换性中看出。如果存在自克尔(self-kerr)非线性，则跃迁的精确定时很重要并且追踪它们会导致退相。总而言之，当纠正防止达到阶(κdt)^l的玻色子损失错误时，代码应当保护免受其影响的纠正错误集合是包括非幺正时间演化的跃迁和非跃迁部分的贡献的

根据一些实施方式，在其中在动作304中测量的错误综合征指示一个或更多个玻色子的损失或获得的动作306中，在动作306中应用的变换被配置成将玻色子模式从作为错误字状态的叠加的状态转变回到模式先前展现的代码字状态的叠加(例如，产生由式4给出的状态转换)。

根据一些实施方式，可以通过向玻色子模式施加纠正幺正以执行逻辑代码字与错误字之间的状态转移来执行该变换。通过选择用于恢复错误的恢复过程r，可以将错误恢复到(κdt)^m的准确度，其中错误的集合：

被分成两部分，其中，

恢复过程r的kraus算符可以被写作：

其中错误检测被投影到错误子空间并且纠正幺正执行逻辑代码字与错误字之间的状态转移。

例如，用于纠正单个玻色子损失错误的幺正操作为：

u1＝|w↓><3|+|w↑><1|+|3><w↓|+|1><w↑|

根据一些实施方式，在玻色子模式为谐振器(例如，图2所示的谐振器220)的模式的情况下，可以通过向谐振器和/或谐振器所耦合的量子比特(例如，如下面关于图5所描述的)供应能量(例如，时变电磁脉冲)的能量源向谐振器施加纠正幺正在至少一些情况下，可以执行多个操作以向谐振器施加纠正幺正这些操作可以包括向量子比特、向谐振器施加或同时向量子比特和谐振器施加能量(例如，时变脉冲)的一个或多个步骤。

根据一些实施方式，在其中在动作304中测量的错误综合征指示一个或更多个退相错误的动作306中，在动作306中应用的变换被配置成通过执行在错误代码字和逻辑代码字的子空间之间的状态转移(例如，产生由式4给出的状态转换)来恢复在退相之前的状态。在发生退相错误的事件中，算符将状态置于逻辑代码字和正交的错误字集合的叠加中，如式8所示。该事件可以被诊断，并且在通过投影测量恢复量子态之后进行条件幺正操作。

根据一些实施方式，在其中在动作304中测量的错误综合征指示没有跃迁错误综合征的动作306中，在动作306中应用的变换被配置成恢复在进行测量之前的状态。

根据一些实施方式，当在动作304中测量的错误综合征指示没有跃迁错误综合征(例如，没有检测到玻色子损失)时，在由给出的无跃迁演化情况下，量子态|ψ>＝α|w↑>+β|w↓>变换成式6的代码可以保护免受以概率发生的单个玻色子损失错误的影响。因此，根据一些实施方式，可以以相同的准确度确定无跃迁演化：

其中是与无跃迁演化相关联的错误字。注意，|w↓>＝2不受无跃迁演化的影响，因为它的激发数等于平均玻色子数。对于κdt的第一阶，无跃迁演化导致子空间内的确定性旋转。通过施加幺正操作，

原始状态可以被恢复成κdt的第一阶。

可替选地，可以通过投影到逻辑代码字的子空间的测量来执行恢复。通过结合玻色子损失和无损失错误两者的检测和纠正，总恢复过程是由kraus算符描述的其中是到玻色子数子空间kmod2即到奇偶子空间的投影。恢复过程产生即根据需要将错误过程纠正为κdt的第一阶。

总之，在动作306中，上述单模代码可以使用上述技术保护免受多达l个的玻色子损失错误的影响并且免受高达阶(κdt)^l的无跃迁演化的影响。即，这些代码是以相同的准确度保护免受的影响的近似量子纠错码。在物理上，这意味着如果观察到的多到最大值l次的玻色子损失错误不产生关于逻辑代码字|wσ>之间的总体和阶段的任何信息，则观察到的≤l次的无跃迁错误也不会产生任何信息并且具有不会使状态变形的测量反作用。换句话说，针对的代码是在相同阶上保护免受无跃迁演化的影响而不是保护免受玻色子跃迁错误的影响的代码。

图4是根据一些实施方式的纠正在玻色子系统内发生的三类错误中的一类错误的方法的流程图。方法400是在包括耦合至振荡器的量子比特的系统(例如，下面关于图5所论述的系统500)内执行的方法300的特定示例。

在动作402中，在振荡器中使用二项代码中之一对量子比特的状态进行编码以在振荡器中表示量子比特的状态，上面论述了其说明性技术。在动作404、动作406或动作408中，检测到分别可以是光子获得/损失、退相或无跃迁错误的错误综合征。上面论述了检测这些错误的说明性技术。在动作405、动作407或动作409中，分别向量子比特-振荡器系统施加变换以纠正这些错误。在一些实施方式中，动作405、动作407和/或动作409可以包括向量子比特和/或向振荡器施加电磁脉冲以执行幺正操作，幺正操作执行这些纠正。例如，可以通过脉冲的所述施加来执行上面关于图3所论述的那些幺正操作。

图5是根据一些实施方式的电路量子电动力学系统的框图。除了电磁辐射源530、控制器540和存储介质550之外，系统500还包括系统501。在一些实施方式中，预先计算的驱动波形的库可以被存储在计算机可读存储介质上并被访问以便将所述波形施加至量子系统。在图5的示例中，控制器540访问存储介质550上存储的驱动波形552(例如，响应于向控制器提供的用户输入)，并且控制电磁辐射源530以将驱动波形εq(t)和εosc(t)分别施加至量子比特和振荡器。

系统501包括物理量子比特510和量子力学振荡器520。在图5的示例中，量子比特和振荡器色散耦合，即，量子比特-振荡器失谐比量子比特和振荡器之间的耦合强度大得多(例如，大一个数量级)。电磁信号εq(t)可以被施加至物理量子比特510，以及电磁信号εosc(t)可以被施加至量子力学振荡器520。如本文所使用的，这样的电磁信号或脉冲的施加也可以被称为量子比特和/或振荡器的“驱动”。

根据一些实施方式，驱动波形εq(t)和εosc(t)可以通过用于系统500的特定期望的状态变化的数字技术来确定。具体地，可以确定允许εq(t)和εosc(t)分别同时被施加至物理量子比特和振荡器的适当的驱动波形。驱动波形εq(t)和εosc(t)可以在同一时间段期间被施加(即，可以一起开始和结束)或者可以仅在时间上交叠。这些驱动波形可以以库552被存储在存储介质550中，已经预先被计算以将系统501从初始状态转变成期望的最终状态。根据一些实施方式，驱动波形可以包括以下波形：如上所述，当被施加至量子比特510和振荡器520时，将振荡器从作为错误字的叠加的状态转变成逻辑代码字的叠加。例如，驱动波形可以包括以下波形：当被施加至量子比特和振荡器时，产生由式4给出的状态转变。

图6示出了二项代码(式11)的双参数(n,s)标记。最大的圆表示针对玻色子损失错误l＝1被保护的代码(式6)，大的正方形为针对或被保护的代码(式7)，以及大的菱形表示针对被保护的代码(式9)。参数s＝l+g设置了可检测的玻色子损失错误l和获得错误g的总数。参数n设置了代码针对玻色子损失错误、获得错误和退相错误被保护的最大阶n＝max{l,g,2d}。在标记有“s＝2n”和“s＝n”的线上或线之间所示出的代码具有针对由s＝l+g设置的玻色子损失错误和获得错误的保护，并且此外它们针对高达的退相被保护。在标记有“s＝2n”的线的左侧的代码另外还允许对s-2n个不可纠正的玻色子损失错误或获得错误的预示。在标记有“s＝n”的线的右侧的代码针对总共s个的玻色子损失和获得错误以及高达的退相错误被保护。二项代码的错误字也是有效的逻辑代码字，但是参数n具有减小的值，因为玻色子损失或获得错误减少n→n-1并且退相错误减少n→n-2。

注意，在代码字(式11)中被占用的fock状态之间的间隔为s+1。这意味着通过测量玻色子数mods+1可以唯一地区分所有玻色子损失和获得错误。接下来，式5中的量子纠错条件意味着：正如要求逻辑代码字(式6)的平均玻色子数相等一样，对于所有对于两个逻辑代码字来说相等。包含退相错误使得qec矩阵(式11)非对角化，但是从二项系数推断(followfrom)高达阶[max{l,g}/2](其中方括号表示整数部分)的退相误差也由这些代码纠正。间距s＝l+g设置可检测的且可纠正的玻色子损失和获得错误的最大数目，并且l+1可以被看作是二项量子代码的距离。可以通过n不受限制来增加退相纠正的最高程度。还要注意，由于二项代码针对(式10中)设置的错误被保护，所以它们也被保护免受作为这些错误的叠加的所有错误例如对于较小α的位移错误的影响。

图7示出了根据一些实施方式的二项量子纠错码的纠缠失真的比率。忽略恢复过程中的第一失真，可以通过不可纠正的错误的比率来估计二项代码的性能。当包括若干错误通道即比率为κ的玻色子损失错误、比率为κ+的玻色子获得错误和比率为γ的退相错误时，对主导的不可纠正的错误的准确表示取决于这些比率的相对比例。然而，假设玻色子损失通道是主导的通道κ>κ+,γ在物理上是合理的。然后，不可纠正的错误的比率也由最大的不可纠正的玻色子损失错误率，即在dt期间损失l+1个玻色子的错误比率来主导。这衡量为(κdt)^ls^l+1，其意味着对于时间步长dt存在具有有限的l、s和n的最优二项代码，该最优二项代码使不同的二项代码中的不可纠正的错误率最小化。

图7示出了对于式11的二项代码，作为以1/κ为单位的时间步长dt的函数绘制的以κ为单位的纠缠失真的比率，其中s＝l＝1,2,3,4和5，如图中标记的。在图7的示例中，出于说明的目的，假设了完美的保真恢复过程。注意每个轴的对数标度。图7中的虚线指示朴素编码|w↑/↓>＝|0/1>的性能，其在接近κ/2的较小dt处的纠缠失真的比率对应于其中的玻色子损失的比率。本文描述的二项代码优于具有时间步长dt0.4κ^-1的朴素编码方法，并且其中l≥2的二项代码随时间步长dt0.2κ^-1变得有利。纠缠失真可以被计算为其中纠缠失真通常取决于输入状态。然而，在此处我们使用完全混合状态作为输入，从此之后纠缠保真度等于过程映射的χii分量。在较小dt处，的斜率与最大的不可纠正错误pl+1/dt的比率的斜率很好地一致。

在图7的示例中，我们已经经由纠缠失真的比率对于s＝l＝0，...，5证明了二项代码的性能，在恢复过程中不存在失真并且在小时间步长dt处通过最大的不可纠正的错误率很好地近似纠缠失真的比率。物理上观察到的比例关系可以被理解，因为平均玻色子数随着暗示代码字的较快衰减的受保护的玻色子损失错误的数目l按平方增加，并且为了实现高阶保护的优点，可以适当地使检查时间dt更小。较大的代码优选较短的检查时间。然而，与单个恢复阶段有关的试验失真ε使错误率增加支持具有较长时间步长的低阶二项代码的ε/dt(参见附录c)。代码的最优性还取决于试验恢复过程的详细结构，一些失真性可以是下一轮恢复过程所抑制的可纠正错误。在存在已知错误源的情况下，可以借助于量子态滤波和平滑的方法即有效地使用测量记录来提高错误检测的置信度并且因此提高恢复过程的保真度。

除了提高量子存储器和量子比特的寿命之外，玻色子模式量子纠错也有助于量子通信，量子通信包括量子态转移和在量子网络中的两个远距离位置或节点之间生成的高保真度纠缠的量子比特对。如上面所论述的，可以使用光子或其他玻色子系统作为通信介质，其中，量子比特(或其他量子系统)将其状态映射至玻色子系统，该玻色子系统在物理空间上传输或以其他方式转移状态，并且将该状态映射至第二量子比特系统。以这种方式，通过在物理空间上传输信息，该玻色子系统充当利用光的光纤或其他通信介质的同族。

我们在此考虑示意性的任务，即图8a至图8b中示意的针对量子态的“投入和捕获”场景。图8a是电路qed硬件方案的简图，并且图8b是利用二项量子态的编码和量子纠错的量子态转移场景的示意图。在图8a至图8b的示例中，在将量子比特状态编码到发送腔之后，通过控制腔衰减，我们可以定制用于被接收腔完全吸收的飞行、行进振荡器模式的时间模式。接收腔状态可能经受了光子损失错误(式14)、退相和光子获得错误，这些错误可以通过在将接收腔解码为物理量子比特之前执行恢复过程来恢复。

图8a至图8b的说明性场景包括：将量子比特a初始化为基态和激发态的叠加α|e>a+β|g>a，使用二项代码中之一将量子比特状态编码(幺正交换操作)成发送腔的逻辑代码字使腔状态以时间反转均衡的方式(投入)泄漏进入传输线或其他种类的飞行振荡器使得逆过程(捕获)在接收腔中最有效。通过将接收腔状态解码(幺正交换操作)到导致α|e>b+β|g>b的量子比特b，转移被完成为对应于量子比特之间的量子比特状态的转移。通过利用腔的物理量子比特a和逻辑量子比特之间的cnot门替代第一个交换，可以纠缠远程物理量子比特。

该过程在转移过程的不同阶段容易受到各种错误和失真的影响。最明显的缺陷是在传输期间类似于(式12至14)的光子损失过程中飞行振荡器的状态的衰减。腔与量子比特状态之间的本地解码和编码操作也可能是不完美的。“投入和捕获”过程的重要部分是飞行振荡器的时间模式的设计，以便使接收腔的捕获尽可能没有反射。反射可以被模拟为另外的光子损失过程。另外，腔可以通过不受控制的量子比特的转换而经受退相事件，并且腔状态也可以衰减到不希望的通道而不仅仅是传输通道。如果使用朴素编码则光子损失错误导致根据传输距离的过程保真度的指数损失，并且类似地其他错误导致失真传输。当使用二项代码字或其他量子代码作为腔中的逻辑代码字时，可以在将其解码为接收量子比特b之前通过对接收腔状态执行恢复过程来提高保真度。这样，可以通过可纠正错误(式10)对完整错误过程的贡献量来提高保真度。

在经典通信中，我们通常使用电磁场的幅度和/或相位的连续变量来传输信号。流行的编码方案中的一种编码方案是相移键控(psk)，它是通过改变/调制参考信号的相位来传输数据的数字调制方案。例如，正交相移键控使用相位空间中的半径为α的圆上的4个等距点(α,iα,-α,-iα)对信息的2个经典比特进行编码。通常，我们可以使用圆{ω^kα}k＝1,2,...,d-1(其中ω＝e^i2π/d)上的d个等距点对信息的log2d个经典比特进行编码。在存在信号衰减的情况下，psk可以可靠地编码信息，只要可以可靠地提取参考信号的相位即可。由于其简单性，psk被广泛用于经典通信中的现有技术，例如蓝牙2标准和无线lan标准。

可以存在与经典psk编码密切相关的一类量子连续可变代码。二项代码可以被看作能够纠正多个激励损失错误的代码，其可以用于量子通信。具体地，二项代码可以用于纠正第三代量子中继器中的光子损失错误。从安全量子通信(量子密钥分发，qkd)的角度来看，二项代码击败窃听者。当窃听者尝试通过从代码字中去除少量光子或者通过与代码被保护免受其影响的另一算符一起起作用来探测所传送的代码字，窃听者不会获取关于正在发送的字的任何信息。这是因为这些光子损失并没有给出它们来自哪个代码字的任何暗示。事实上，这恰恰是为什么预期的接收器不管损失如何仍然可以恢复代码字的原因。

根据一些实施方式，图8a至图8b中的示例可以被重复多次以越过较大距离。换句话说，可以制造以下量子中继器：利用在初始发送腔和最终接收腔之间的多个腔，接收腔各自接收状态，然后发送状态(通过将状态从腔中泄漏出去)。

根据一些实施方式，可以形成经由光纤和/或经由用于传播电磁信号的其他适当的装置来联接微波谐振器的量子通信系统。例如，光机械换能器可以通过光机械换能器执行从微波谐振器到飞行的光学光子(以及反向下转换)的量子态转移。这种转换器可以在量子通信中发挥核心作用。根据一些实施方式，这种通信包括：从微波到光学的上转换、光学状态通过光纤的传输、以及然后在远程位置处进行的从光学到微波的下转换。所有这三个步骤都可能涉及光子损失、获得或退相错误。因此，替代使用0和1光子数态来保存量子信息，使用对于在此描述的这些错误可以被纠正的二项代码字|w↑>,|w↓>是有用的。

图9是适用于实现双模代码的单量子比特双腔系统的框图。系统900是可以实现上述双模(二项)代码的系统的另一示例。出于以下原因，图9中示出的单量子比特双腔试验配置原则上足以实现对两种模式的通用控制。

量子比特和腔之间的色散耦合的哈密顿算符(hamiltonian)具有以下形式：其中是第j个模式的湮灭算符。另外的哈密顿算符项来自对腔和量子比特的独立驱动，其中αj和受外部控制。现有的哈密顿算符项可以使用以下近似恒等式来生成更复杂有效的哈密顿算符：

这些恒等式可以被多次应用和组合以产生高阶交换子的叠加；

为了建立对多模系统的通用控制，示出每种模式可以一般地被控制并且可以在不同模式i≠j之间生成分束器相互作用(相当于)就足够了。使用恒等式(式19)，腔驱动连同色散相互作用生成对各个腔的有效的量子比特耦合驱动：

选择αi为实数或虚数导致有效算符或将这些与量子比特的预旋转和后旋转相结合产生例如再次应用(式19)使得能够构建模式算符的乘积，例如：

使用(式18)对(式21)和(式22)进行求和(其中i＝j)给出单模色散相互作用，其与外部腔驱动结合足以产生单模通用控制。与具有相反的符号以及的相同项的叠加(式23)产生足以给出对多模系统的通用控制的分束器相互作用。

附录a-扩展的二项代码

在该部分中，我们示出了光子数算符的矩的期望值对于式11的两个代码字w↑/↓相同。换句话说，我们示出了：

并且对于某个实数σ-独立的的情况方便地处理代码字之间的正交性，而的条件保证可以从各种错误(达到相关阶)中纠正字。然后我们将定义式11扩展到量子比特并且对量子比特代码字的矩执行类似的证明。

a.1的矩：二项代码

为了证明式(a1)，我们示出了w↑和w↓的矩的差异，

为零。使用定义(式11)，偶数填充字和奇数填充字之间的差异为

对于总和等于(1+x)ⁿ⁺¹(其中x＝-1)的二项展开(明显为零)。非零情况相当于取二项展开的导数并乘以x(在代入x＝-1之前)。这是因为求导的每个动作都使幂p减小，同时乘以x使x^p-1回到x^p。总之，

作用于(1+x)ⁿ⁺¹的求导的每个动作都从幂n+1中减去1。由于所以最大减去的幂为max{l,g}。然而，由于n＝max{l,g,2d}(其中d说明退相错误并且在此无关)，在求导的动作之后将总是存在1+x的非零幂的余项。因此，表达式(a4)是仅包含1+x的非零幂的关于x和1+x的多项。将x＝-1代入多项得到

a.2量子比特扩展

为了将二项代码推广到量子比特，我们首先通过得到代码字{|wσ>}σ＝↑,↓的归一化和与差来限定傅里叶变换的量子比特基

希腊语指数μ,ν现在用于评估的模数2。这个基础允许对与以上相等的的矩的类似证明，并且揭示了对量子比特情况的简单扩展。我们首先介绍扩展，并且然后产生证明。

我们使用扩展的二项系数(在其中参见和参考，这些也被称为多项系数)将以上量子比特状态扩展到量子比特情况。将d≥1设为逻辑量子比特空间的维数，我们从一般的二项系数开始递归地限定扩展的二项系数。对于非负整数n和m，限定和扩展的二项系数为

首先由欧拉研究的这些系数在如下扩展中示出达到接近幂x

注意在这种扩展中的最大幂x是(d-1)n，对于公知的二项情况其减小至n。推广到量子比特的最后成分是在以上证明中使用的一般化的(1+x)ⁿ|x＝-1＝0。为此，我们引入幺正的d个根，并且撤销对从零到d-1的所有幂w的添加，赋予零。这揭示了在限定和证明量子比特状态的纠错特性中有用的一组恒等式：

对于任何非零幂w该总和也为零，即对于非零整数l，w→w^l。对于零幂，该总和给出dⁿ。

现在我们将二项代码字推广为

其中greek指数μ,ν∈{0,1,…,d-1}从现在起以模d评估并且d≥2。与量子比特情况类似，s＝l+g并且n＝max{l,g,2d}(l量化可纠正的损失错误的数目、g量化可纠正的获得错误的数目并且d量化可纠正的退相错误的数目)。我们将这些代码称为扩展的二项代码，以将它们与量子多项代码区分开来。

a.3的矩：扩展的二项代码

类似于量子比特情况，应当清楚，的非零fock状态群之间的间隔s+1保证了对于所有的正差因此，为了满足纠错标准，我们再次需要确定的幂，的幂可以用于(在fock空间中)构造错误算符的任何对角化乘积。在此我们示出

其中是实数并且μ是独立的。使用定义(a9)，我们注意到

并且立即取消μ相关。我们现在将该总和与式(a7)关联起来。

对于总和相当于(1+x+...+x^d-1)ⁿ⁺¹的扩展，其中x＝w^ν。式(a8)揭示了该总和为零，除非ν＝0，证明是正交的。对于ν＝0情况，w^ν＝1并且式(a7)产生dⁿ⁺¹，证明被正确地标准化。

非零情况相当于对扩展(a7)求导并乘以x(在代入x＝w^ν之前)。总之，

类似于一般二项情况，作用在(1+x+...+x^d-1)ⁿ⁺¹上的求导的每个动作从幂n+1中减去1，但是n足够大，使得在所有求导的动作之后总是剩余1+x+...+x^d-1的非零幂的余项。因此，式(a12)中的每个项包含至少一个1+x+...+x^d-1的非零幂。除非ν＝0否则将x＝w^ν代入每一项产生零，并且因此式(a10)成立。

对于前几个可以根据该方法容易地确定

系数α1是代码字的平均光子数，我们可以看到系数α1与间距s、量子比特维数d以及一种类型的可纠正错误的最大数目n呈线性比例。

a.4二项代码恢复过程的幺正控制

我们在此总结了用于在光子损失通道下恢复二项代码的有条件的幺正控制。二项代码被定制成使得通过测量广义光子数奇偶性中的变化来检测光子损失和获得错误，广义光子数奇偶性用作在短时间步长中损失的光子数的代表。利用超导电路qed技术，测量光子数奇偶性的能力源自于辅助量子比特到腔的强色散耦合。当色散耦合χ的强度强于量子比特和腔的衰减率时，可以驱动以振荡器的给定光子数态为条件的量子比特。然后这可以用于以光子数为条件的量子比特操作，例如以如下广义光子奇偶性为条件翻转量子比特状态：

在该操作之后，对量子比特状态的测量通过实现了对广义光子奇偶性的测量以及对腔状态的投影。错误检测之后是执行逻辑代码字|wσ>和错误字之间的状态转移的纠正幺正其中错误操作对于k≠0是kraus算符到κdt中的第l/2次幂的近似，而对于k＝0是到第l次幂的近似。再次进行强色散量子比特相互作用，各个量子比特和腔驱动足以实现对腔的任何幺正。广义光子数奇偶性测量和随后的幺正变换实现了kraus算符重复k的所有值实现了完全恢复过程

附录b–kraus算符的推导

在此，我们推导出由标准的lindblad主方程生成的时间演化的kraus算符表示

标准的lindblad主方程为：

在非厄米特哈密顿算符下仅由无跃迁演化进行零跃迁贡献，

单个跃迁贡献包括由跃迁中断并且在所有可能的跃迁时间内被求平均的无跃迁演化，

其中κδτ是δτ期间的跃迁概率。类似地，双跃迁贡献为

并且l次跃迁的通项为

其中我们得到kraus算符的解析表达式

其中与过程的概率有关。当考虑较小的时间间隔δt并且将扩展到κδt的最低阶时，我们可以看到，粗略地说，光子损失错误以与成比例的概率发生。

如果这是正确的kraus表示，则它服从恒等关系从(式14)得出

为了验证这是否是恒等式，我们将其应用于任意的fock状态m并且意识到所得到的二项展开产生：

由于该式对于每个m都成立，所以确实满足恒等式关系kraus算符扩展不是唯一的。这种特定形式根据有多少光子损失来组织错误。由于跃迁之间的无跃迁演化，用于个光子损失的错误算符为而不仅仅为

附录c-二项代码性能的分析和优化

c.1失真的恢复过程

上面我们示出：通过不可恢复的错误的最大比率即在时间步长δt期间损失l+1个光子的比率很好地分析了保护免受l个光子损失错误的影响的二项代码(式11)的性能，

其中，为了简单起见，我们假设s＝l。恢复过程实际上总是与和失真门以及不精确的测量有关的失真相关联。我们对此进行建模，使得代码的性能以错误率为特征，错误率是最大的不可恢复的错误和恢复过程的失真ε的总和：

其中，n是pl+1尺度的前因子。最优时间步长是在最小化不可恢复的错误率和恢复过程本身的失真之间权衡的利用该最优时间步长，失真恢复的二项代码根据ε变化的最优性能如下

仅利用较小的ε来实现较高阶代码的性能优势。

c.2恢复过程的优化

对代码的恢复过程的保真度进行次优改进的简单方法是向恢复操作添加执行状态转移的幺正“回声”操作

通常，给定错误通道，可以通过使可能需要通过半定编程进行数值优化的平均失真总体上最小化来找到二项代码的最优恢复过程。经优化的恢复过程不能超过由二项代码本身设置的总准确度极限，但可以使失真中的高阶不可纠正的项的前因子显著减小。

附录d-非对角化代码

分析示例为以下代码：

该代码与二项代码l＝s＝n＝1类似地保护免受达到κδt的第一阶的错误ε2＝{ε0,ε1}的影响，但是具有显著减小的p2并且在此，如果测量产生消极答案，则检测错误的唯一方法是进行到逻辑字基的投影测量，然后进行执行的交换幺正，这使用当前技术可以实现。

该代码还可以被扩展成保护免受光子添加错误的影响，产生：

具有比相应的二项代码较小的和p2。

d.1非对角化代码的纠错过程

在此使用qec矩阵详细描述非对角化代码的纠错过程，其中k＝0,1,...,l，并且βkl是不容易为对角化形式的厄米特矩阵的项。基于厄米性，我们可以对矩阵βkl进行对角化使得

其中可以借助于对角化错误来表示实际错误

这在物理上意味着量子态|ψ>＝α|w1>+β|w2>无论何时发生真正的物理错误时，量子态都会被变换成对角化错误状态的叠加：

纠错过程通过进行询问系统处于哪个不相交的对角化错误子空间的测量来开始。明确地，如果测量是在最初处于基态的辅助l+1水平系统中执行的，则必须首先实现纠缠幺正操作

其中是到第m个对角化错误子空间的投影：

通过使用式(d3)，可以看出这是适当的投影可替选地，式(d6)至式(d7)的测量可以通过针对m＝0,1...,l依次执行缠结操作而利用辅助量子比特来实现

然后是量子比特群测量。通过这两种方法，测量结果给出了具有对受保护系统的以下测量反作用的答案m：

注意，人们不知道并且也不需要知道发生了哪些物理错误。通过经由执行状态转移的幺正操作恢复原始状态来完成纠错。从受保护的量子系统的角度来看，纠错过程由kraus算符来描述：

附录e-近似量子纠错

e.1非平凡代码的aqec的示例

在此，我们在一般水平上研究代码在无跃迁演化下的鲁棒性。在考虑最常见的情况之前，我们从具有优化代码(d1)的示例开始，

对于其qecc矩阵是对角化的。但是对于由于通过无跃迁演化的轻微混合，非对角化元素并不恒等于零，

由于在qecc矩阵中存在非零项人们会怀疑在代码(d1)的情况下ε1的最高不可纠正的错误是(κδt)²阶还是阶。

通过明确地经历错误和恢复过程，可以最好地看到该结果。在无跃迁错误和光子跃迁错误的情况下，量子态|ψ>＝α|w↑>+β|w↓>分别变换成

变换成κδt中的第一阶，其中系数为独立于α和β的和无跃迁错误的标准化错误字为

并且对于光子损失错误分别为，

其中人们注意到：错误字在由非零非对角化项捕获的两个错误之间交叠。

恢复过程为其中p1是在光子损失错误之后到字的子空间的投影，幺正操作执行状态转移并且幺正操作执行类似于代码(式6)的状态转移因此，组合的错误和恢复过程给出

其中在第一行我们已经借助于过程的概率pi和所得到的式(e2a)的状态|ψi><ψi|写出kraus算符的演化的影响。从这个表达式中我们看出，作为|ψi>中的第一阶的很多项连同相应的概率实际上产生了更高阶的项。最后一行左边的第二项来自于两个错误之间的交叠，这两个错误导致测量中的误识别错误以及随后状态转移过程中的失败即通过幺正纠正光子损失错误来以与(κδt)²成比例的概率纠正无跃迁错误。然而，由于由此产生的失真为(κδt)²阶，所以可以在我们所保护的阶忽略该错误。

附录f-多模代码

即使在没有光子损失的情况下，kraus算符对代码字也具有非平凡影响，并且期望纠正该非平凡影响。如果代码字是通过组合多个物理元素得到的具有相同激励数的状态的叠加，则可以避免该非平凡影响。具体地，一些多模玻色子代码具有与在此呈现的单模代码相同的结构，但是在多个光子模式之间缠绕，例如，

其中nm是在一种模式下具有n个光子而在另一模式下具有m个光子的状态。该代码由一个模式代码的两个副本即式6组成，其中字在两种模式之间纠缠。这些代码可以在耦合至用于对组合的腔系统执行幺正操作的公共的传输子量子比特的两个腔的最近构建的系统中来实现。

假设两种模式的光子衰减率κ相同，则在任一模式下在不存在光子损失的情况下kraus演化算符为使得并且代码字不改变。可纠正的错误仍然为单一的光子损失，这可以在两种模式中的任一模式下发生，导致产生不同的错误字：

或

或

其中是在模式i下在损失光子之后的错误字。对每种模式的奇偶性测量可以区分光子在哪种模式下损失，并且因此用于确定是纠正错误字还是纠错所需的幺正操作为交换即幺正操作

其中1res表示在玻色子激发总数≤4的情况下在希尔伯特空间中完成到幺正操作的恒等运算。除了它们涉及创建在两种模式之间纠缠的状态之外，这些类似于单模纠正。这可以使用包括两个腔之间的纠缠的试验装置来实现。然而，这种方法可能具有比等效的单模操作较低的保真度。

如在单模代码中一样，纠错的保真度可以由不可纠正的错误的比率来确定，并且对于小的κδt而言，这由两种光子损失主导。与单模代码即式6的一个路径相比，存在来自双模代码的状态的两种光子损失的三个路径。假设相等的κ，经由每个路径的两种光子损失的比率相同，所以双模代码的不可纠正的错误的比率比单模代码大三倍。哪一种代码为最优将取决于单模代码的无跃迁纠正的保真度，因为在双模情况下可以消除对该操作的需求。

由此，已经描述了本发明的至少一个实施方式的若干方面，应当理解，本领域技术人员将容易想到各种改变、修改和改进。

这样的改变、修改和改进旨在成为本公开内容的一部分，并且旨在落入本发明的精神和范围内。此外，尽管指出了本发明的优点，但是应当理解，并不是本文描述的技术的每个实施方式都将包括每个所述优点。一些实施方式可能不实现在本文中被描述为有利的任何特征，并且在一些情况下，可以实现一个或更多个所描述的特征以实现其他实施方式。因此，上述描述和附图仅作为示例。

此外，本发明可以被实施为一种方法，已经提供了该方法的示例。作为方法的一部分执行的动作可以以任何合适的方式排序。因此，即使在示例性实施方式中被示出为顺序动作，也可以构造以不同于所示的顺序执行动作的实施方式，该实施方式可以包括同时执行某些动作。

在权利要求中使用诸如“第一”、“第二”、“第三”等的序数词来修改权利要求元素本身并不意味着一个权利要求要素相对于另一个权利要求要素的任何优先级、优先或顺序或执行方法的动作的时间顺序，而仅仅用作将具有某个名称的一个权利要求要素与具有相同名称的另一要素(但是使用序数词)区分开的标记以区分权利要求要素。

此外，本文使用的措辞和术语是为了描述的目的，而不应被视为是限制性的。本文中的“包括”、“含有”或“具有”、“包含”、“含”及其变型的使用意在包括其后列出的项目及其等同物以及附加项目。