专利名称：用于表征电气部件的线性特性的频率相关性的迭代方法
技术领域：
本发明涉及一种用于表征电气部件的线性特性的频率相关性的方 法及包括用于执行该方法的部件的装置。
背景技术：
根据测量出的数据对线性电气部件(诸如装置和系统等)的宽带才莫 拟对于电气系统的设计和验证具有日益增长的重要性。该模拟通常基于通过改变诸如频域或时域中的导纳(y)、阻抗(z)和散射(s)参数等 的表征模型行为的一组参数而对线性模型的"拟合"。该模型通常基于 多项式[l]、 [2]或者正交多项式函数[3]的比。近来，^ l点重配向量拟合 技术[4]已经得到广泛应用，并且已经提出了多种改进方式[5]、 [6]。当 已经找到以给定的准确度等级描述制表数据的参数时完成该模拟。在文 献中说明的拟合是基于对导纳矩阵的各元素的拟合。这意味着如果所施 加的电压是给定的，则由此得到的^t型非常适于计算电流。然而，不保 证模型在不同端子条件下都表现满意。例如，对于给定电流并且必须确 定电压的情况，拟合可能非常差。这种效果通常出现在导纳矩阵包含大 特征值扩展的情况中，这意味着最大的特征值和最小的特征值之间的比 很大。发明内容本发明要解决的问题是提供一种具有增大的准确度的频域响应的 近似的方法(尤其针对具有大特征值扩展的情况)。 通过权利要求1所述的方法解决该问题。因此，通过重新用公式表示传统的向量拟合技术(参见以下说明) 来拟合才莫态响应而非拟合矩阵元素来解决该问题，并且选择等于相应的特征值幅值的倒数的权重，以便实现特征值拟合的相对准确度标准。该 过程对于具有大特征值扩展的情况给出了准确度的改善。4通常会包括运行在计算机上的合适的软件部件，但是该装置还可以采用 专用专门硬件。
本发明的另外的实施例、优点及应用在从属权利要求以及对于附图 的下述说明中给出，在附图中图1是具有所应用的外部装置的电气装置(部件)的示例，图2示出单个导体架空线路(overhead line ),图3示出图2的情况的Y的特征值，图4示出图2的情况的Y的元素，图5示出图2的情况的Z=Y"的元素的特征值，图6示出连接到外部网络的电气部件(T型线路)，图7示出图6的情况的Y^v/ce的特征值，图8示出图6的情况的Y^v,.ce的元素，以及图9示出图6的情况的<formula>formula see original document page 5</formula>的元素的特征值。
具体实施方式
定义在本申请中，大写黑体字母(诸如Y)表示矩阵，并且小写黑体字 母(诸如v)表示向量。术语"电气部件"应被广义理解，并且可以涉及诸如变压器等的单 独装置，或者涉及诸如由电力线相互连接的变压器、马达等的系统等的 多个装置的集合。然而，限于由它们的频率相关导纳矩阵完全描述的线 性电气系统。介绍作为示例，我们考虑了具有n〉1个端口的电气部件。通过该电气部 件的导纳矩阵Y来描述其线性电气特性，由此定义了当向所述端口施加 电压v时通过这些端口的电流响应i:<formula>formula see original document page 5</formula>其中，s表示电流和电压的复角频率ko。如果将电流源施加到多个端子，则任意频率处的电压响应为<formula>formula see original document page 5</formula>其中，T或IY是(频率相关)变换矩阵，并且A或Ay是保持Y的特 征值的对角矩阵。
根据(2) ， Y的小特征值对应于Z中的大特征值。如果Y包含大 特征值和小特征值这两者，则Y的元素的拟合可能会导致小特征值的很 差的表示。因此，如果给定电压则拟合Y的元素导致最适合再现端子电 流的模型。然而，模型并不很适于利用给定的电流再现电压。类似地， 如果要拟合阻抗矩阵，则很适于针对给定的电流再现电压，但是针对施 加电压而要确定电流的情况，将产生差的结果。
对于拟合同样很适于所有可能的施加的模型，必须确定以类似的准 确度表示导纳(或阻抗)矩阵的所有本征向量。
因此，期望以相对于特征值;i/的模型的误差与特征值幅值相关的方 式来拟合模型，从而导致相对标准，
<formula>formula see original document page 6</formula> (3)
其中，上标"model"是指(通过执行对角化)从模型计算出的特征值， 而上标"data"是指从矩阵Y直接获得的特征值。
等式(3)的类型的相对标准的使用将"均衡"分别针对电压施加 和电流施加以及相对于任意其它(混合)端子条件的^t型的准确度，从 而使得相对模型误差针对所有的施加会具有相同的幅值级。
本申请中所考虑的一般问题在于以通过标准(3)在相对意义上保 持Y的特征值的准确度的方式根据D和E可能为0的下面的等式(4) 来识别极点留数模型。可以将极点留数模型表示为
<formula>formula see original document page 6</formula> (4)
其中m=l N的R^是与频率无关的矩阵(其中N为被考虑进去的极点 或共振数)，D和E是与频率无关的矩阵或O，并且m-l N的a附是极 点或共振的复角频率。
本发明假定一组离散频率s处的矩阵Y(X)的元素是已知的，例如根 据在这些频率处针对给定电压v的电流i的直接测量以及根据使用传统 技术从等式(1 )获得Y而知道。现在将通过改变a之前的未知参数R附、 "w以及(如果假定为非0的)D和E来将根据等式(4 )的近似值Yraf 拟合为YO)的已知值。向量拟合(现有技术)
可以将等式(4)写为针对其矩阵的所有矩阵元素i、 j的一组112个 等式，其中i=l nij=l n。这些等式与共极点组am相耦合。 下面，我们说明标量频率响应y(s)的传统有理拟合。 利用传统向量拟和(VF ) [4]的频率响应y(s)的有理拟合是迭代过程。 这相当于利用第一组极点频率{"附}解出线性问题(5):
(Z~^~ +三+ ^ + m ( 5 )
加=1 s — d伤 m=i s —"加
其中^是与频率无关的标量，其中m=l~N, y是矩阵Y中的索引i, j 的任意元素，0^是矩阵R^中的相应元素，d是矩阵D中的相应元素， e是矩阵E中的相应元素。
在解出(5)之后，将改善的第二組极点频率计算为a(s)的零点，其 通过解出特征值问题(6)而被计算出
{"j = "g(A-b ) (6) 其中A是保持第一组极点fl附作为对角元素的对角矩阵，b是一个向量， c是保持通过在前面的步骤中拟合等式(5)而获得的n^l N的^的向 量。eig是返回保持其矩阵值变元的特征值的向量的算子。
此时在迭代过程中，在(5)中重新使用通过(6)获得的新的第二 组(重配)极点频率。该极点重配过程通常在多次迭代中收敛。
当将该过程应用到具有多于一个元素的导纳矩阵时，必须改变第二 步骤(极点重配)。这通过将Y的矩阵元素堆叠成单个向量来实现，这 意味着(5)中的y(s)变为列向量。同样，(5)的右侧也变为列向量。 由于(5)中的(7(s)仍为标量，因此向量y中的所有元素(并且从而Y的 元素)变得与共极点组相拟合。
继续该迭代，直到满足停止条件为止，例如直到第一和第二组极点 频率相差小于给定量为止，或者直到对于给定极限f满足等式(3)的条 件为止。利用原始VF,在预定次数的迭代之后，或者当拟合误差(例 如，均方根误差)的范数在两次迭代之间没有改变太多时，通常终止迭 代。可以使用多种可选标准，并且这明显是取决于应用的。
在最后的步骤中，通过以《"=1解出(5)来计算留数R附。
才莫态向量拟合
7可以通过(频率相关)变换矩阵T来对角化矩阵Y:
<formula>formula see original document page 8</formula>(7)
针对每一特征对(A^,t》给出利用T右乘等式(7):
(8)
通过利用特征值的幅值的倒数缩放等式，将特征值Xi的相对准确度 保持在最小平方问题中，即
<formula>formula see original document page 8</formula>
值得注意的是该缩放比例是频率相关的量。
结合(9)和VF得到我们随后称为模态向量拟合(MVF)的方法。 MVF基本上恰如传统的VF处理那样进行，但是与传统的VF处理
不同的是将等式(5)代替为
人
为所有的模式戶l.."建立等式(10),并且将等式(10)堆叠成通 用等式。如原始VF那样，通过(6)从(10)中的(j(力获得新的第二组 (重配)极点。最后，如传统VF那样，通过以crO)-l解出(10)来计 算留数。
利用外部电路特性
在一些情况下，参见图1,要将所考虑的装置连接到具有已知阻抗 特性的外部网络。如果从装置的端子看的导纳是Yew,则总导纳是
、/ _ Iffev/ce卞、W (11)
现在端子行为由Yf^主导而不是由Y&wce主导。这可以:故用在通
过从Ytof计算特征对的MVF拟合处理中。此时等式(10)变为 ，)
— 人 —
I A I w=l & 一 am
1 d+l;^^+D+局.ti) (i2)
留数(具有已知极点)的最后计算利用(12)中的等于一的cj(s)来进行。
8示例
作为示例，参见图2，我们考虑在5km长的有损土地上的有损导体。 这给出一个2x2矩阵Y。
使用VF和MVF在1Hz-100kHz的频率范围内计算Y的极点留数 模型。在两种情况下，拟合处理使用具有14个极点和非零D的五次迭代。
图3示出Y的特征值。观察得到，当特征值扩展大(低频)时，当 通过VF拟合Y时小特征值变得不能准确地被表示。利用MVF,由于相 对标准(3),因而所有的特征值在所有频率处都被准确地表示。
图4 (实线轨迹)示出Y的元素。相同的绘图示出有理才莫型和正确 解之间的偏差。观察得到，在MVF的情况下，偏差曲线与元素幅值密 切相关，从而导致接近恒定的相对准确度，而VF则显示出很强的偏差。
图5示出Z=Y-1的结果，该结果与在将电流施加到线路端时的电 压响应相对应。可以看出，通过MVF得到的结果保持准确而通过VF 得到的结果则很差。如图3所示，后一结果是由于VF不能准确地表示 小特征值而导致的。由于Y的小特征值变为Z的大特征值，因而发生了 突难性的误差放大。利用MVF，保持了特征值的相对准确度，并且因此 对于Z也保证了准确的结果。
包括外部网络的结果
我们继续同一示例，但是参见图6，假定线路端接在具有1 kQ的电 阻的两个末端处。此时使用等式(12)进行利用MVF的Y^Wce的拟合。
Ydevice +Yext的特征值在图7中示出。由于通过1 kQ电阻接地， 因而特征值扩展比图3中的特征值扩展小得多。VF和MVF的使用看起 来像是给出了相似的结果。然而，参见图8和9，偏差曲线的检查示出 了通过MVF得到的结果对于小特征值更加准确。
如前面的示例中那样，VF和MVF方法两者均为Y^wce的拟合后 的元素给出满意的结果(图8)。但是对于Z=(Y^wce+Ye^)-1的元素 (图9),由于对小特征值的更好的表示，因而MVF给出了更准确的结果。
讨论
在一些情况下，例如当Y是平衡矩阵(作为针对本说明书中的示例 的情况)时，可以假定恒定实变换矩阵IY。这允许对角化Y且直接拟 合特征值。然后，倒数幅值加权的使用给出类似于MVF的结果。然而，
9在许多情况下，没有应用恒定矩阵TY的假设，因此必须使用MVF。
在向矩阵元素直接应用VF时，可以增大拟合级，同时监视Ymodel 对比Ydeviee的特征值，以便实现如MVF的潜在等同的良好的结果(其 代价为更高的拟合级)，但是这种方法可能更易受噪声的影响，可能产 生假象并使被动执行复杂化。
当根据噪声测量进行模拟时出现不同的情况。建议测量与系统特征 对相对应的一组电压/电流向量对。与有理拟合和#1动#丸行相结合，这导 致了 SoFT工具[7]的发展。由于对于与小特征值相对应的特征对来说噪 声水平通常低得多，因而此处MVF的使用是有好处的。向矩阵元素直 接应用VF可以容易地导致最小特征值在噪声中丟失。在实际应用中， 测量的电气元件可能具有大的特征值扩展，而相邻网络和组合的对象的 特征值具有显著较小的扩展。如果没有利用该知识，则将会不必要地限 制拟合。如上所示，可以通过在计算特征对时明确地将外部网络考虑进 去来容易地避免该问题。 结论
已经开发了在任意端子条件下保证所获得的模型的高准确度的重 新用公式表示的向量拟合(MVF)过程。这通过将特征对明确地引入才莫 拟中来实现，从而使得能够保证对所有特征值的高相对准确度。向具有
更高的准确度。MVF方法还允许将相邻网络的阻抗特性考虑进去。
所述方法允许表征具有n〉1个端口的电气部件的线性特性的频率相 关性，其中，在将施加到端口的电压与通过端口的电流相关的矩阵Y中 描述该线性特性。典型地，Y是导纳矩阵，然而也可以使用诸如阻抗矩 阵的其它矩阵。通过等式(4)来近似Y的频率相关性。 该方法包括以下步骤
a) 在离散频率s处获得Y的一组值Y(力，并且对于每个值Y(力， 获得特征值、 和本征向量"，其中i=l n。典型地，YO)的值可以通过 在期望的频率处对电气部件的测量结果来获得。
b) 通过使用第一组极点频率"w并且通过改变以下值R附以 及D和E (如果不为零的话)，来拟合等式(10 )的一组n个向量等式。
c) 从等式(6)计算第二组极点频率。
d) 通过使用在步骤c)中获得的第二组极点频率fl附作为后面的步骤b)中的第一组极点频率来重复步骤b)和C),直到满足适当的停止 条件为止。
在大多数情况下，期望知道R柳以及可选的D和E。可以通过在等 式(lO)中设置oO)- 1并解出该等式而在下一个步骤c)中求出这些值。
当将电气部件连接到外部装置时，可以用等式(12)代替步骤b) 中的等式(10)。
必须注意的是，可以用线性地依赖于一组(未知的但是与频率无关 的)参数{~}的任意频率相关矩阵值函数？({~},力来代替等式(4)、 ( 10) 和(12)中的项D + sE。如果充足数量的Y的测量值是可用的，则可以 在MVF过程的最后的步骤d)中确定参数。
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ii
权利要求
1.一种用于表征具有n＞1个端口的电气部件的线性特性的方法，其中在将施加到所述端口的电压与通过所述端口的电流相关的矩阵Y中描述所述线性特性，通过下式来近似Y的频率相关性<maths id="math0001" num="0001" ><math><![CDATA[ <mi>Y</mi> <mrow><mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo></mrow><mo>≅</mo><msub> <mi>Y</mi> <mi>rat</mi></msub><mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><munder> <mi>Σ</mi> <mi>m</mi></munder><mfrac> <msub><mi>R</mi><mi>m</mi> </msub> <mrow><mi>s</mi><mo>-</mo><msub> <mi>a</mi> <mi>m</mi></msub> </mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>D</mi><mo>+</mo><mi>sE</mi> </mrow>]]></math></maths>其中，m贯穿1至N个极点，Rm是与频率无关的矩阵，其中m＝1～N，D和E是与频率无关的矩阵或零，s表示复角频率iω，并且am是极点的复角频率，其中m＝1～N，所述方法包括步骤a)获得离散频率s处的Y的一组值Y(s)，并且对于每个值Y(s)，获得特征值λi和本征向量ti，其中i＝1～n，b)通过使用第一组极点频率am并且通过改变 id="icf0002" file="A2007800524820002C2.tif" wi="6" he="4" top= "113" left = "138" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>Rm以及假设非零的D和E，将以下的一组n个向量等式拟合为所获得的特征值λi和本征向量ti其中， id="icf0004" file="A2007800524820002C4.tif" wi="4" he="4" top= "161" left = "36" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>是m＝1～N的与频率无关的标量，c)从下式计算第二组极点频率{am}＝eig(A-b·cT)，其中，A是保持所述第一组极点频率am作为对角元素的对角矩阵，b是一个向量，c是保持通过在步骤b)获得的m＝1～N的 id="icf0005" file="A2007800524820002C5.tif" wi="4" he="4" top= "193" left = "146" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>的向量，并且eig是返回保持矩阵的特征值的向量的算子，d)通过使用步骤c)的所述第二组极点频率am作为后面的步骤b)中的所述第一组极点频率来重复步骤b)和c)，直到满足停止条件为止。
2. 根据权利要求1所迷的方法，还包括步骤e) 在步骤b)的等式中设置a(力-l,并计算R附。
3. 根据前述权利要求中的任一项所述的方法，其中所述电气部件连 接至外部装置，并且其中通过矩阵YejCf来描述所述外部装置的线性特性，其中用下式来代替步骤b)中的等式，^-A->^I 乂J m=i s - am
4. 根据前述权利要求中的任一项所述的方法，其中矩阵Y通过下 式描述施加到所述电气部件的所述端口的电压v和通过所述电气部件的 电流i之间的关系i=Yv。
5 根据前述权利要求中的任一项所述的方法，其中用线性依赖于一 组参数{~}的矩阵值函数F({~}，力来代替D+sE。
6. —种包括用于执行前述权利要求中的任一项的步骤的部件的装置。
全文摘要
本申请引入一种在任意端子条件下保证高准确度的多端口装置的有理宏模拟的新方法。通过以下来实现该方法重新用公式表示向量拟合技术以拟合特征对而非拟合矩阵元素，并且选择等于特征值幅值的倒数的权重，以便实现对于特征值拟合的相对准确度标准。该过程对于具有大特征值扩展的情况给出了准确度上的大改善。还示出了如何利用相邻网络的阻抗特性来降低拟合的复杂性并进一步改善其准确度。
文档编号G01R27/00GK101663587SQ200780052482
公开日2010年3月3日 申请日期2007年4月2日 优先权日2007年4月2日
发明者B·古斯塔夫森, C·海茨, M·蒂伯格 申请人:Abb技术有限公司