一种利用快速三角形式傅里叶变换的信号谐波分析方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及信号谐波的分析方法。更具体地，涉及一种利用快速三角形式傅里叶 变换（Fast Triangular-form Fourier Transform, FTFT)的信号谐波分析方法。
【背景技术】
[0002] 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、 密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。然而，由于傅里叶变 换计算复杂，很大程度上制约了傅里叶的应用。1965年，Cooley和Tukey在《计算机科 学》发表著名的《机器计算傅立叶级数的一种算法》论文，快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform-FFT)开始大规模应用。Cooley和Tukey的FFT算法的最基本运算为蝶形运算， 每个蝶形运算包括两个输入点，因而也称为基2算法。在这之后，又有一些新的算法，进一 步提高了 FFT的运算效率，比如基4算法，分裂基算法等，这些新算法对FFT运算效率的提 高一般在50%以内，因此，效率提高的效果有限。上述所有计算方法都是在傅里叶变换的复 指数形式上进行的，其计算推理过程相对复杂，也不利于理解。
[0003] 因此，需要提供一种快速的傅里叶变换方法应用于数字信号处理，以期提高傅里 叶变换的效率，实现快速对信号的谐波进行分析，提升数字设备的信号实时处理性能。
【发明内容】
[0004] 本发明的目的在于提供一种利用快速三角形式傅里叶变换（Fast Triangular-form Fourier Transform, FTFT)的信号谐波分析方法，可以快速获得信号各 次谐波的系数。在系数计算过程中，无须引入复数的计算形式，变换过程容易理解。采用发 明中提出变基时间抽取法（谐波衍生法），无需进行FFT运算中对数据进行的倒位序排列， 即可快速计算各次谐波的系数，较大的提高了计算效率，使乘法计算量最大减少到基2FFT 的25%以下。另外，利用变基进行谐波分析的方法具有较大的灵活性，可以据此衍生出各种 定基、混合基等计算方法，使信号谐波分析更加方便。
[0005] 为达到上述目的，本发明采用下述技术方案：
[0006] -种利用快速三角形式傅里叶变换的信号谐波分析方法，该方法包括如下步骤：
[0007] 对信号进行周期性采样，每周期得到N点信号序列，并满足N = 2S
[0008] 对N点信号序列进行基21时间抽取，i为小于L的正整数，得到2 1个2 u点信号 序列；
[0009] 对各f 1点信号序列进行傅里叶变换，得到各2 1 1点序列的自身所有的谐波系数；
[0010] 将各点序列的各次谐波系数变换成N点信号序列从1到2 u 1次谐波过程数 据；
[0011] 利用变基时间抽取的方法特性，将基从21变换至基2 1 \并不断地重复变换过程直 至基为2,并计算出对应于N点信号序列的各次谐波系数，由此得到信号的傅里叶表达式。
[0012] 优选地，步骤"将各2U点序列的各次谐波系数变换成N点信号序列从1到2 U 1 次谐波过程数据"的计算方法：
[0013]
[0014] 式中，Rnij表示第η谐波基2 1时间抽取时的第j个余弦系数的过程量；I nij为第η 谐波基21时间抽取时的第j个正弦系数的过程量；R' nij表示基2 1时间抽取后，第j个子序 列第η次谐波余弦系数；Γ ni j表示j个子序列第η次谐波的正弦系数；α = 2 π /N，N为T 周期内信号的采样点数；j α为时间抽取后第j个子序列第η次谐波系数向合成序列的第j 个过程量转换的转换基角，其中j的取值为区间[0,21 ^的整数。
[0015] 优选地，步骤"利用变基时间抽取的方法特性，将基从21变换至基2 1 \并不断地重 复变换过程直至基为2,并计算出对应于N点信号序列的各次谐波系数，由此得到信号的傅 里叶表达式"中计算基2 1 1时间抽取对应的各次谐波系数的计算方法为：
[0016] 用于频率衍生的计算方法：
[0017]
[0018]
[0019] 用于迭代过程的计算方法：
[0020]
[0021]
[0022] 式中，Rnij表示第η谐波基2 1时间抽取时的第j个余弦系数的过程量；I nij为第η 谐波基21时间抽取时的第j个正弦系数的过程量；Y u为基2 1时间抽取后，子序列所有数据 的代数和。
[0023] 优选地，利用变基时间抽取法实现基2、4或8谐波抽取的信号谐波分析方法，该方 法包括如下步骤：
[0024] 对信号进行采样，得到N点信号序列，按基2Q，Q取1、2或3抽取的方法，获取最小 序列点数为2?的子序列，并计算各子序列的所有谐波系数；
[0025] 将顺序相邻的2Q个子序列组通过变基计算获取包含2 2Q个数据的子序列的所有谐 波系数，此时子序列个数变为f2Q，转换基角为2 π j/22Q。
[0026] 不断的重复变基计算合成过程，使合成序列包含的数据点数不断增加，直到合成 的数列点数为N。
[0027] 优选地，当采样时间点数N不能使Iog4 N和Iog8 N为整数时，利用改变时间抽取 的最小序列点数，实现基4、8时间抽取的倒位序方法：
[0028] 对应于原序列序号为m的数据，用九2··· hb。）表示m值，则 :
[0029] 对应于最小序列点数为2的基8倒位序方法D ;
[0030] 对应于最小序列点数为4的基8倒位序方法九2);
[0031] 对应于最小序列点数为2的基4倒位序方法（bibot^lv··!^ D ;
[0032] 上述计算方法中采用基8时，用于第一次计算的最小子序列的点数不为8,用于基 4计算的最小子序列点数为2。
[0033] 优选地，当采样时间点数N不能使Iog4 N和Iog8 N为整数时，采用混合基方法实 现信号谐波分析的倒位序方法，方法实现基8基4混合，基8基2混合，基4基2混合的方 法：
[0034] 对应于原序列序号为m的数据，用九2··· hb。）表示m值，则 :
[0035] 基8基4混合的倒位序方法为（bibot^lv··!^九3);
[0036] 基8基2混合的倒位序方法为（bQb3b2V"l\ A 3);
[0037] 基4基2混合的倒位序方法为（b0b2V·· H);
[0038] 上述方法中基8计算方法的最后一次的计算中采用的基不为8,而基4方法的除最 后一次计算采用的基不为4。
[0039] -种利用快速三角形式傅里叶变换的信号谐波分析方法中的谐波变换方法，在实 现基从2 1变换至基2 1 \部分实现部分谐波从基21 1至2 1 2的变换，该方法的变换公式为：
[0040]
[0041] 式中，L 2 表示第NA+n次谐波基21 1时间抽取时第j个余弦系数过程量，
为第N/21+!!次谐波基21 1时间抽取时第j个正弦系数过程量。
[0042] 本发明的有益效果如下：
[0043] 本发明所述技术方案在计算过程中，无须引入复数的计算形式，变换过程容易理 解；采用谐波系数推衍法，快速计算各次谐波的系数，较大的提高了计算效率，提高了信号 处理的实时性能。例如，在对1024点信号序列进行傅里叶变换时，利用变基FTFT方法的乘 法计算次数可降至采用基2FFT算法的所需乘法计算次数25 %以下。在信号周期内的采样 数据点数越小，相对提升的效果就越显著。
【附图说明】
[0044] 下面结合附图对本发明的【具体实施方式】作进一步详细的说明。
[0045] 图1示出基于变基时间抽取的利用快速三角形式傅里叶变换的信号谐波分析方 法流程图。
[0046] 图2示出基于变基时间抽取的利用快速三角形式傅里叶变换的信号谐波分析方 法中谐波系数的中间过程数据的获取示意图。
[0047] 图3示出基于定基时间抽取的利用快速三角形式傅里叶变换的信号谐波分析方 法流程图。
[0048] 图4示出基于混合基时间抽取的利用