等价于二状态变量Kalman滤波器的数字锁相环原子钟驾驭方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及时间频率、信号处理领域，具体的说是设计了一种等价于二状态变量 Kalman滤波器的数字锁相环原子钟驾驭方法。
【背景技术】
[0002] 原子钟驾驭技术在守时实验室和卫星导航系统中发挥着重要作用。对原子钟进行 驾驭的主要目的有两个：一是使被驾驭原子钟与参考原子钟时间同步，尽可能缩小它们之 间的时间偏差；二是提升被驾驭原子钟的长期稳定度。
[0003] 典型的原子钟驾驭方法包括两大类：开环驾驭方法和闭环驾驭方法。开环驾驭方 法的核心是设计合理的预测算法。闭环驾驭方法主要包括：线性二次型（LG?控制方法、开 关（Bang-Bang)控制方法和数字锁相环（DPLL)方法。但是，这些闭环驾驭方法的参数是不 容易选取的，一般都要针对每一个具体应用，通过大量仿真实验对大量参数进行比较后，选 出一组最优参数。另外，对于DPLL方法，如果参数选取不当，不但无法保证驾驭性能，还会 引起控制系统不稳定。
【发明内容】
[0004] 为解决现有技术中存在的问题，本发明的目的在于提供一种等价于二状态变量 Kalman滤波器的数字锁相环原子钟驾驭方法。
[0005] 本发明的原理是：通过一个等价于二状态变量Kalman滤波器的DPLL，用铯钟对氢 钟进行驾驭。本发明推导了该DPLL的闭环系统传递函数，证明该DPLL为二阶2类DPLL。 本发明推导了由过程噪声方差和观测噪声方差比值近似决定的Kalman增益。于是，由DPLL 的闭环传递函数可知，该比值，以及环路增益，采样间隔这3个参数决定了该DPLL的性能。 进一步，本发明给出了一个简单有效的选取参数的方法。通过等效变换，得到了等效于该 DPLL的模拟锁相环（APLL)。在频域中，通过调整参数，使该等价APLL的系统传递函数和误 差传递函数的交点频率等于氢钟和铯钟的SSB相位噪声曲线的交点频率，最终获取最优参 数。简而言之，使用参考原子钟（或时间尺度）来驾驭被驾驭原子钟（或时间尺度），使被 驾驭原子钟（或时间尺度）与参考原子钟（或时间尺度）保持同步。
[0006] 本发明采用的技术方案为：
[0007] -种等价于二状态变量Kalman滤波器的数字锁相环原子钟驾驭方法，采用以下 步骤：
[0008] S. 1推导等价于二状态变量Kalman滤波器的DPLL的传递函数；
[0009] S. 1. 1使用DPLL，用铯钟来驾驭氢钟。图1描述了该DPLL的原理结构，概括为： 获取铯钟和驾驭后氢钟的时间偏差；用环路滤波器对该时间偏差进行滤波，滤除高频噪声； 然后用滤波后的时间偏差对氢钟的时间偏差进行调整，得到驾驭后氢钟的时间偏差。图1 中：Cs代表铯钟的输出信号，符号Hm代表氢钟的输出信号，符号Steered Hm代表被驾驭氢 钟的输出信号，LF代表环路滤波器。
[0010]在Z域中，把DPLL的环路滤波器LF的传递函数记为G(z);于是，该DPLL的输出 为：
[0012] 显然，
分别为DPLL的系统传递函数和误 差传递函数；Cs代表铯钟的输出信号，符号Hm代表氢钟的输出信号，符号Steered Hm代表 被驾驭氢钟的输出信号。
[0013] 通过z = e^f'T(其中，f代表频率，T代表采样周期）的近似变化，将该DPLL等 价为相应的APLL ;于是，式（2)用SSB相位噪声的形式来表示，写成：
[0015] 式中，符号L代表SSB相位噪声，符号G代表传递函数；下标Cs代表铯钟的输出信 号，符号Hm代表氢钟的输出信号，符号Steered Hm代表被驾驭氢钟的输出信号；
[0016] S. 1. 2根据步骤S. 1. 1的系统传递函数和误差传递函数，推导等价于二状态变量 Kalman滤波器的DPLL的系统传递函数和误差传递函数的表达式；
[0017] 最终，DPLL的系统传递函数表示为：
[0019] 其中，心为环路增益。Ks:1和Ks22分别为Kalman滤波器的稳态增益；T为采样间 隔。
[0020] 该DPLL的误差传递函数表示为：
[0022] 至此，得到了等价于二状态变量Kalman滤波器的DPLL的系统传递函数和误差传 递函数。由式（22)和式（23):参数（KsmKsmT，!^)决定了该DPLL的性能。
[0023] S. 2根据步骤S. 1得到的DPLL的系统传递函数和误差传递函数，推导系统传递函 数和误差传递函数中KSldP Ks 22的由过程噪声方差Q22、观测噪声方差R、采样间隔T来表达 的近似值。
[0024] 当Kalman滤波器进入稳态时，得到
[0028]由式（30)和式（35)，Kalman增益由Q22和R之间的比例关系决定。
[0029] 令Q22= Is 2,将式（30)和式（35)代入式（22)和式（23)，得到系统传递函数和误 差传递函数，分别表示为：
[0033] 由式（36)和式（37)可以看出：当〇22=182时，参数〇?，1'，1( (|)决定了0?1^的性 能。把式（36)和式（37)代入式（1)，得到DPLL输入和输出的关系为：
[0035] S. 3根据步骤S. 2得到的系统传递函数和误差传递函数，确定参数（R，T，，优化 DPLL输出的频率稳定度，具体采用以下步骤：
[0036] 首先，铯钟和氢钟的相位噪声分别表不为：
[0040]其中符号L代表SSB相位噪声，&为载波频率，hi为噪声系数，f为边带频率，i用 于指明噪声类型。
[0041] 通过求解方程LjfVLa^f) = 0,可以求得铯钟相位噪声曲线和氢钟相位噪声曲 线交点处的频率，记为f'。
[0042] 第二，将z = e^f'T代入式（36)和式（37)，得到了等价APLL的系统传递函数和 误差传递函数，分别表示为：
[0046]由式（41)和（42)，求得系统传递函数与误差传递函数的幅频响应201og|H(f) |和 201og | He (f) |，并求得这两条曲线交点处的频率，记为f"。
[0047] 第三，对于给定的T，首先给&设一个值（为了方便分析，可以先设为1，2等整数， 然后再逐渐设为其它数值），在该aig条件下，通过改变r的值，来改变f"的值，使f"= f'。此时，两交点的频率相等。此时，在给定T情况下，可以求得相应的R。于是，得到了一 组使两交点的频率相等的参数，记为（R'，IV )。当两交点的频率相等时，DPLL最大程度地 滤除了铯钟的短期噪声和氢钟的长期噪声，使DPLL的输出的相位噪声达到了最优，所以此 时DPLL输出的频率稳定度达到了最优。
[0048] 第四，对已给定的T，改变&的值，使用同样的方法，可以得到许多组最优参数 (R'lV)。这些参数（R'lV)都是最优参数，都保证了 DPLL输出的频率稳定度达到了最 优。
[0049] 具体地，本发明步骤S. 1. 2中，式（22)和式（23)的推导过程如下：
[0050] 对于一个二状态变量的系统，其状态方程表示为：
[0052] 其中，xk和y k为两个状态变量，T为采样间隔，u k为过程噪声；
[0053] 观测方程表示为：
[0054] zk= x k+wk (4)
[0055] 其中，zk为观测量，w k为观测噪声；
[0056] 状态方程和观测方程这两个方程用矩阵的形式表示为：
[0058]其中，sk= [x k yk]T;J k= [0 u k]T;
； H = [1 0]；
[0059]过程噪声和观测噪声的方差分别为：R= E[wk2]， 其中，符号E代表取数学期望；
[0060] Kalman滤波器用下面5个公式进行描述：
[0065] pk k= (I-Kk.H)卟…（10)
[0066] 其中，是状态变量的在k时刻的估计值，Pk， k是估计误差矩阵，4,*-i是在k_l时 刻对k时刻状态变量的单步预测值，Puh是单步预测误差矩阵，K k是Kalman增益矩阵； [0067]能够证明式（5)定义的系统是完全可观测的，因此PkfpPu和Kk都收敛，把Pk，k、 K k的稳态值分别记为：Ps、PjT和Ks ;
[0068]由式（6)和式（9)，当Kalman滤波器进入稳态时，有：
[0070] 其中，毛是状态变量x的在k时刻的估计值，九是状态变量y的在k时刻的估计 值，表示Ks矩阵中的第i行第j列的元素；
[0071]定义：
[0073]将式（12)代入式（11)，得到：
[0075]式（13)在Z域中表示为：
[0077] 其中X，Y，V分别为H v*的Z变换；
[0078] 由式（14)得到：
[0080]由式（14)和式（15)，式（12)在Z域中表示为：
[0082] 其中，Z代表zk的Z变换；
[0083] 由式（16)，得到：
[0085]定义：
[0087]由式（15)、式（17)和式（18)，得到
[0089] 显然，zk是Kalman滤波器的输入，而元:是Kalman滤波器的输出；于是，式（19)表 明了稳态Kalman滤波器输入与输出之间的关系。
[0090] 于是，系统传递函数表示