本发明涉及一种基于多胞体近似的显式模型预测控制方法，应用于飞行器优化控制领域，为飞行控制器提供了优化控制方法。
背景技术：
及意义
航空飞行器最近良好的发展受到了社会广泛关注，世界各国都在该领域加大投入，它的发展也关系着国家安全和实力的体现。其中直升机在各类飞行器中较为特殊，它能够快速起飞、降落，能够适应较困难的环境，那么相对传统的控制器而言，优化的控制器变得尤为重要，在系统正常情况下，确保系统正常运行并降低计算成本，同时提高了系统性能指标是系统评估、分析的关键。
三自由度直升机平台是可以模拟直升机飞行状态，包括直升机中控制器控制律设计，硬件软件实现，抗干扰能力等方面。能够将不同的控制方法在同一条件下进行仿真、实物测试，将飞行记录进行对比得出较优控制方法，其中系统参数会不断变化且本身模型具有不确定性影响系统的精确，因此复杂度与时间问题是作为直升机总体控制律设计和测试中的重要参考。
显式模型预测控制(explicitmodelpredictivecontrol)引入了多参数规划理论，对系统的状态区域进行凸划分，并建立对应每个状态分区上的优化问题的最优控制律与状态之间的显式函数关系(为状态的线性控制律)；该方法也有其局限性，它只适用于约束性的系统，并且复杂度会随着问题规模的增大而呈指数增加，即当输入个数增多或者控制时域变长时就需要很大的存储空间，使得处理问题的难度加大。
技术实现要素：
本发明为了克服上述缺点，提出了一种多胞体近似的方法，减少了显式模型预测控制中状态分区，大大降低了显式模型预测控制问题的复杂度，牺牲了一小部分精确性为代价降低了控制容量的存储。
显式模型预测控制就是当优化问题所含的状态变化时，无需重新求解优化问题，只需确定当前时刻系统的状态所处的分区，并按照该分区上事先建立的优化问题的显式解，直接得到对应当前参数的最优控制量。针对复杂度较大的精确显式模型预测控制中分区过多问题，本发明提供了一种新的多胞体近似方法。显式模型预测控制系统中虽然精确性较高，但在处理规模较大模型问题上复杂度很高，并且其复杂度会随着问题规模的增大而呈指数增加，本发明提供的多胞体近似方法减少了状态分区来降低复杂度，并且在三自由度直升机模型上进行了应用。
多胞体近似主要分为两个处理阶段：改进双描述法处理阶段和重心插值处理阶段。双描述法即在凸集的内部或外部不断添加半空间或顶点，越逼近于凸集，近似误差越小。改进双描述法包括对外部近似的改进以及内部近似的改进。改进的双描述法通过近似化处理，可以减少多胞体的面数，从而进一步降低计算的复杂度。重心插值在双描述法后计算得到一个分段仿射的凸函数j～，它有着一定的复杂度以及误差，然后我们通过利用重心插值法来求解函数j～的近似可行解，并证明对所得到的近似闭环系统存在一个李雅普诺夫函数，即近似闭环系统是稳定的。
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清晰，下面就对本发明的技术方案作进一步描述。多胞体近似显式模型预测控制方法，包括如下步骤：
步骤1)对三自由度直升机系统进行建模，并通过双描述法得到三自由度直升机性能指标函数；
三自由度直升机系统空间状态方程为：
选取高度角ε，俯仰角p，旋转角r，高度角速度
设计以下性能指标函数如下：
其中q是状态加权矩阵，r是输入加权矩阵，qfinal是终端状态权重，u为输入向量，x为状态向量，t为采样时间；基于以上性能指标和系统状态空间表达式，对其进行处理和计算；
将三自由度直升机性能指标函数j进行转换；双描述法将三自由度直升机指标函数j对应的多面体描述为有限个点组成的凸集，或者是有限个半空间的交集，把关于有限集b的多面体p(b)描述作为输入，以增量的形式首先在有限集b中找任意一个子集a，该子集需满足p(a)的顶点v可以直接计算这一要求，得到(a,v)是一个双描述对，并通过迭代运算将凸紧致集c描述为有限个半空间的交集或者是一组点组成的凸包，形成多胞体；
步骤2)多胞体近似化处理；
三自由度直升机性能指标函数j进行多胞体近似处理；计算一个多胞体的外部ε-近似就是寻找一个b的子集a，使得ρ(p(a),c)≤ε，包括对外部与内部近似的改进；选择一个矢量a*∈b来减小近似误差，使得
ρ(c,p(ao∪{a*}))≤ρ(c,p(ao))(3)
s1：首先找到三自由度直升机性能指标函数凸紧致集外部ε-近似p(ao)上距离c最远的顶点v*，以确定当前的近似误差
其中c是p(ao)的一个子集，由于不能对c直接计算，只能计算它的支撑函数；若
其中extreme(s)是多胞形s的顶点集；
豪斯道夫距离ρ(c,p(ao))与ρ(c,vo)相等，因此它可以通过对vo的每个元素的maxsep函数进行有限次的计算而得到；
s2：根据双描述对(vi,ai)和(ao,vo)可分别求解内部近似和外部近似，因而求解豪斯道夫距离相对比较简单，计算如下
方程(6)需要求出规模为|ai|的二次规划问题的外部近似在每一个顶点上的解；当且仅当(v,a)是一个双描述对时，有限集合
s3：基于双描述法，可以计算得到一个分段仿射的凸函数
s4：近似显式控制律；对每个顶点v∈extreme(ri)和区域ri，定义u*(v)为电机参数优化问题在顶点v的最优控制律；每个顶点v都是可行的，因此通常每个u*(v)都是可求的；若对(7)中的每个区域ri，相应的重心函数wv(x)，v∈extreme(ri)都是可求的，那么可通过在区域ri上对这些点进行插值来定义近似解
步骤3)三自由度直升机状态分区上的重心插值以及状态分区上的近似显式控制律；
求解重心函数wv(x)，对每个顶点v∈extreme(ri)和区域ri，定义u*(v)为三自由度直升机优化控制问题在顶点v的最优控制律，定义三自由度直升机状态分区上的近似解
通过重心函数法进行重心插值，对三自由度直升机近似最优代价函数
步骤4)三自由度直升机状态分区上的多胞体近似显式控制律的稳定性分析；
对步骤3)所得到的三自由度直升机状态分区上的近似显式控制律
根据近似系统的稳定性理论，说明
步骤5)三自由度直升机系统多胞体近似显式模型预测控制；
三自由度直升机多胞体显式模型预测控制工作过程分为两个部分；离线计算时，按照三自由度直升机系统控制性能指标，应用上述步骤1)—步骤4)建立三自由度直升机系统的多胞体状态区域凸划分，并计算状态分区上顶点对应的精确控制律；在线计算时，通过在直升机三个运动自由度上布置的三个旋转编码器分别测量直升机的高度角位移、俯仰角位移以及旋转角位移；分别通过求导计算，得到高度角速度，俯仰角速度，以及旋转角速度，从而获得直升机当前时刻系统状态
本发明具有以下优点：
1.本发明解决了原显示模型预测控制随规模的增大复杂度指数增加的问题，减少了分区，降低了控制器容量。
2.本发明将该方法应用于复杂的直升机模型上，且拥有良好的控制效果。
3.本发明步骤明确结构简单，拥有完善的理论支持。
附图说明
图1是三自由度直升机实物图。
图2是三自由度直升机模型图。
图3是凸集外部近似和内部近似。
图4是本发明多胞体近似双描述法的算法流程图。
图5a-图5d是多胞体近似过程,其中图5a是性能指标函数，图5b是近似后的性能指标函数，
图5c是投影操作，图5d是重心插值。,
图6是误差为0.5时模型一得到的状态分区图。
图7是误差为0.5时模型二得到的状态分区图。
图8是模型一精确显式模型预测控制作用下得到的状态分区图。
图9是模型二精确显式模型预测控制作用下得到的状态分区图。
图10是近似误差为0.5时的近似控制律。
图11是不同算法作用下高度角的状态变化轨迹图。
图12a是不同算法作用下旋转角的状态变化轨迹图，图12b是不同算法作用下俯仰角的状态变化轨迹图。
具体实施方式
以下结合附图对本发明做进一步说明：
本发明的三自由度直升机快速模型预测控制方法，如图1所示为应用对象三自由度直升机模型，图2为三自由度直升机系统模型图，同时具体包括以下步骤：
步骤1)对三自由度直升机系统进行建模，并通过双描述法得到三自由度直升机性能指标函数；
三自由度直升机系统空间状态方程为：
选取高度角ε，俯仰角p，旋转角r，高度角速度
设计以下性能指标函数如下：
其中q是状态加权矩阵，r是输入加权矩阵，qfinal是终端状态权重，u为输入向量，x为状态向量，t为采样时间；基于以上性能指标和系统状态空间表达式，对其进行处理和计算；
将三自由度直升机性能指标函数j进行转换；双描述法将三自由度直升机指标函数j对应的多面体描述为有限个点组成的凸集，或者是有限个半空间的交集，把关于有限集b的多面体p(b)描述作为输入，以增量的形式首先在有限集b中找任意一个子集a，该子集需满足p(a)的顶点v可以直接计算这一要求，得到(a,v)是一个双描述对，并通过迭代运算将凸紧致集c描述为有限个半空间的交集或者是一组点组成的凸包，形成多胞体；
步骤2)多胞体近似化处理；
三自由度直升机性能指标函数j进行多胞体近似处理；计算一个多胞体的外部ε-近似就是寻找一个b的子集a，使得ρ(p(a),c)≤ε，包括对外部与内部近似的改进；选择一个矢量a*∈b来减小近似误差，使得
ρ(c,p(ao∪{a*}))≤ρ(c,p(ao))(3)
s1：首先找到三自由度直升机性能指标函数凸紧致集外部ε-近似p(ao)上距离c最远的顶点v*，以确定当前的近似误差
其中c是p(ao)的一个子集，由于不能对c直接计算，只能计算它的支撑函数；若
其中extreme(s)是多胞形s的顶点集；
豪斯道夫距离ρ(c,p(ao))与ρ(c,vo)相等，因此它可以通过对vo的每个元素的maxsep函数进行有限次的计算而得到；
s2：根据双描述对(vi,ai)和(ao,vo)可分别求解内部近似和外部近似，因而求解豪斯道夫距离相对比较简单，计算如下
方程(6)需要求出规模为|ai|的二次规划问题的外部近似在每一个顶点上的解；当且仅当(v,a)是一个双描述对时，有限集合
s3：基于双描述法，可以计算得到一个分段仿射的凸函数
s4：近似显式控制律；对每个顶点v∈extreme(ri)和区域ri，定义u*(v)为电机参数优化问题在顶点v的最优控制律；每个顶点v都是可行的，因此通常每个u*(v)都是可求的；若对(7)中的每个区域ri，相应的重心函数wv(x)，v∈extreme(ri)都是可求的，那么可通过在区域ri上对这些点进行插值来定义近似解
步骤3)三自由度直升机状态分区上的重心插值以及状态分区上的近似显式控制律；
求解重心函数wv(x)，对每个顶点v∈extreme(ri)和区域ri，定义u*(v)为三自由度直升机优化控制问题在顶点v的最优控制律，定义三自由度直升机状态分区上的近似解
通过重心函数法进行重心插值，对三自由度直升机近似最优代价函数
步骤4)三自由度直升机状态分区上的多胞体近似显式控制律的稳定性分析；
对步骤3)所得到的三自由度直升机状态分区上的近似显式控制律
根据近似系统的稳定性理论，说明
图5为多胞体近似整个过程，图5a三自由度直升机性能指标函数。首先，对最优代价函数j*近似化处理得到
步骤5)三自由度直升机系统多胞体近似显式模型预测控制；
三自由度直升机多胞体显式模型预测控制工作过程分为两个部分；离线计算时，按照三自由度直升机系统控制性能指标，应用上述步骤1)—步骤4)建立三自由度直升机系统的多胞体状态区域凸划分，并计算状态分区上顶点对应的精确控制律；在线计算时，通过在直升机三个运动自由度上布置的三个旋转编码器分别测量直升机的高度角位移、俯仰角位移以及旋转角位移；分别通过求导计算，得到高度角速度，俯仰角速度，以及旋转角速度，从而获得直升机当前时刻系统状态
案例分析
本发明通过以具体的三自由度直升机为对象，分别对高度轴、旋转轴、俯仰轴进行实验，展现了多胞体显示模型预测控制方法在三自由度直升机具体应用的表现，通过对比实验结果，体现了本发明的优越性能。直升机旋转角与俯仰角之间存在耦合，而高度角与俯仰角、旋转角无耦合关系，所以将高度角分离出来，把高度角的模型称作模型一，俯仰角和旋转角组成的模型称作模型二，分别对两个模型进行控制。
图6、7所示为在近似误差为0.5时，多胞体近似算法对模型一和模型二进行仿真得到的状态分区图，分区数为11个和99个；图8、9显示了在精确显式模型预测控制作用下对模型一和模型二仿真得到的状态分区图，状态分区数为51个和1759个。可见，在相同参数设置下，多胞体近似算法可通过设置近似误差来减少状态分区数目。图10所示为在多胞体近似算法作用下得到的各个状态分区所对应的近似控制律。
图11所示为多胞体近似算法和精确empc两种算法作用下得到的高度角变化轨迹图。红色实线表示多胞体近似算法作用下的高度角变化轨迹，蓝色虚线表示精确empc作用下的高度角变化轨迹，比较可知，通过设定一定的近似误差，多胞体近似算法能够使高度角在更短的时间内达到稳定，实时性更好。
图12a、图12b示为多胞体近似算法和精确empc两种算法作用下得到的俯仰角、旋转角变化轨迹图。图12a中实线表示多胞体近似算法作用下俯仰角和旋转角的变化轨迹，虚线表示精确empc作用下俯仰角和旋转角的变化轨迹。通过比较可知，多胞体近似算法控制下的俯仰角和旋转角在10个控制步长内基本趋于稳定值，而精确empc作用下俯仰角和旋转角达到稳定值所需的时间更长。由此可见，多胞体近似算法能够有效地控制直升机的飞行位置和飞行姿态，与精确empc相比，具有更佳的控制实时性。
由表1可以看到，显式模型预测算法随着预测步长的增加，状态分区数也不断增加，而且增加速度非常快；多胞体近似算法仿真在n取不同的值时得到的状态分区图，随着预测步长的不断增加，状态分区数几乎不变，这就体现了多胞体近似方法的必要性。
并且通过对模型一和模型二的仿真实验可以看出，多胞体近似算法对三自由度直升机模型的控制效果良好，无论是对高度角、俯仰角还是旋转角度的控制，都能在10个控制步长内使它们达到稳定状态，从而使直升机能够保持平稳地飞行。
表1不同算法给定不同的预测步长n得到系统的状态分区数(个)
本说明书实施例所述的内容仅仅是对发明构思的实现形式的列举，本发明的保护范围不应当被视为仅限于实施例所陈述的具体形式，本发明的保护范围也及于本领域技术人员根据本发明构思所能够想到的等同技术手段。