微陀螺分数阶自适应模糊神经反演终端滑模控制方法与流程

本发明涉及微陀螺控制技术领域，具体是一种微陀螺的分数阶自适应模糊神经反演终端滑模控制方法。

背景技术：

微陀螺是测量惯性导航和惯性制导系统角速度的传感器，因为它在任何环境下都能够自主导航，所以自出现以来就受到人们的广泛关注，在航天、航海、航空和军事等领域得到了普遍的应用。但是生产和制造过程中存在误差且易受温度影响，造成元件特性与设计之间的差异，从而导致微陀螺的性能降低。另外，微陀螺属于多输入多输出系统并且系统参数存在不确定性及易受外界环境的影响，使得陀螺追踪效果并不理想。传统的滑模控制方法中滑模面的设计都是采用误差的比例、微分或积分的线性组合，其中微分或积分的阶数都是整数，微陀螺的跟踪效果比较差，系统参数和角速度估计效果也比较差，容易引起抖振。

本发明的分数阶自适应模糊神经反演终端滑模控制方法中，反演设计方法是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后为每个子系统分别设计李雅普诺夫函数，一直“后退”到整个子系统，直到完成整个控制律的设计。在设计过程中，采用分数阶终端滑模面，根据李雅普诺夫函数设计带有分数阶的反演终端滑模控制律，终端滑模保证系统的跟踪误差在有限时间内收敛到零。再通过调节分数阶阶数，来提高系统的跟踪性能。然后，在带有分数阶的反演终端滑模控制律中用切换项函数代替系统不确定和干扰项总和，采用自适应模糊神经控制方法将不连续的切换项连续化，有效降低系统抖振。

Lyapunov(李雅普诺夫)函数V(x,t)是可以根据需要自由选取的，但是要符合李雅普诺夫函数的要求(即李雅普诺夫稳定性判据)，即V(x,t)是正定的，当x≠0时，V(x,t)＞0；当x＝0时，V(0,t)＝0，具有连续的偏导数；V(x,t)的一阶导是负半定的。

技术实现要素：

本发明为了避免上述不足之处，提出一种微陀螺的分数阶自适应模糊神经反演终端滑模控制方法，在线实时估计陀螺参数矩阵，有效提高控制效果和参数估计效果，保证系统的跟踪误差在有限时间内收敛到零，并且有效降低抖振。

本发明解决其技术问题是通过以下技术方案实现的：

微陀螺分数阶自适应模糊神经反演终端滑模控制方法，包括如下步骤：

(一)建立微陀螺系统的无量纲动力学方程数学模型；

(二)构建微陀螺系统的参考轨迹模型；

(三)构建基于分数阶的自适应模糊神经反演终端滑模控制器：首先为微陀螺的一个子系统设计李雅谱诺夫函数，然后设计分数阶反演终端滑模控制律，最后设计基于分数阶的自适应模糊神经反演终端滑模控制律。

进一步的，所述步骤(一)建立的微陀螺系统的无量纲动力学方程数学模型为：

其中，q为微陀螺数学模型无量纲化后的位置向量，表示对位置向量q求一阶导数，表示对位置向量q求二阶导数；Db为无量纲化后阻尼矩阵，K为无量纲化后弹簧系数矩阵，Ω为无量纲化后角速度矩阵，u为微陀螺系统的控制输入，f为系统不确定性和外界干扰总和，且有：

其中，ΔDb为惯性矩阵Db+2Ω的未知参数的不确定性，ΔK为惯性矩阵K的未知参数的不确定性，d(t)是外界干扰，假设|fi|＜ρi，i＝1,2，fi表示轴上系统不确定性和外界干扰的总和，ρi表示轴上系统不确定性和外界干扰总和的上界。

进一步的，所述步骤(二)构建微陀螺系统的参考轨迹模型为：

qr1＝A1sin(ω1t)，qr2＝A2sin(ω2t) (3)

其中qr1是指x轴的参考轨迹模型，qr2是指y轴的参考轨迹模型；A1是微陀螺在x轴方向上的振幅，A2是微陀螺在y轴方向上的振幅；ω1是微陀螺在x轴方向上给定的振动频率，ω2是微陀螺在y轴方向上给定的振动频率；t是时间变量。

进一步的，所述步骤(三)中，为微陀螺的一个子系统设计李雅谱诺夫函数的具体步骤包括：

定义矢量x1,x2分别为：

基于反演设计技术，将微陀螺系统的无量纲动力学方程数学模型(1)转换为如下形式：

定义微陀螺实际位置和参考轨迹之间的跟踪误差e1为：

e1＝x1-qr (6)

其中，qr为微陀螺系统x、y轴的参考轨迹，

跟踪误差导数的一阶导数为：

取虚拟控制量α1为：

其中，c1为误差系数，为非零的正常数；

定义跟踪误差函数e2为：

e2＝x2-α1 (9)

对具有跟踪误差e1的微陀螺子系统选取一个李雅谱诺夫函数V1为：

其中：e1^T为跟踪误差向量e1的转置，

对V1沿时间t求导得：

当e2＝0，满足负定性，保证系统是稳定的。

进一步的，所述步骤(三)中，分数阶反演终端滑模控制律u1设计步骤包括：

针对微陀螺设计分数阶终端滑模面s为：

其中，λ1,λ2,p2,p1为正实数，1＜p2/p1＜2，D^α-1e1表示对e1求α-1阶导，D表示求导，α是指分数阶的阶数；

则微陀螺分数阶终端滑模面s的导数为：

其中，D^αe1是对D^α-1e1求导的结果；

令

则

其中，R1*R2＝I，I为单位矩阵，e21,e22分别是跟踪误差e2在x轴和y轴方向上的分量；

对具有跟踪误差e2的微陀螺子系统选取李雅谱诺夫函数V2为：

根据李雅谱诺夫函数V2设计分数阶反演终端滑模控制律u1为：

其中，ρisgn(si)表示滑模切换项，用来代替系统不确定性和外界干扰总和fi，||s||表示求滑模面向量的模值，时陀螺系统是稳定的。

进一步的，所述步骤(三)中，基于分数阶的自适应模糊神经反演终端滑模控制律u'设计步骤包括：

定义微陀螺无量纲化模型中估计误差分别为：

定义模糊神经网络权值估计误差为：

其中，分别是微陀螺参数矩阵Db,K,Ω的估计值，分别为参数矩阵Db,K,Ω的参数估计误差；wi是模糊神经网络的权值，wi^*为最优模糊神经网络权值；

基于分数阶的自适应模糊神经反演终端滑模控制律u'为：

其中是模糊神经网络的输出，是对滑模切换项增益即系统不确定性和轴上系统不确定性和外界干扰总和的上界ρi的估计；

模糊神经网络输出的表现形式如下：

其中，φi称为模糊神经网络的归一化可信度；

将分数阶的自适应模糊神经反演终端滑模控制律u'作为微陀螺系统控制输入u,带入微陀螺系统的数学模型中，实现对微陀螺系统的跟踪控制；

定义第三个李雅谱诺夫函数V3为：

其中，M＝M^T＞0，N＝N^T＞0，P＝P^T＞0均为对称正定矩阵，tr{·}表示矩阵的求迹运算，η为正常数；

为了保证第三个李雅谱诺夫函数的导数在线实时估计微陀螺的系统参数，设计微陀螺参数矩阵Db,K,Ω的估计值和模糊神经网络权值wi的自适应律分别为：

其中，si,i＝1,2指滑模面在x轴和y轴方向上的分量，ri,i＝1,2是公式(14)中的r1,r2，为陀螺系统阻尼矩阵Db的估计值的自适应律的转置，为陀螺系统的弹簧系数矩阵K的估计值的自适应律的转置，为陀螺角速度矩阵的估计值的自适应律的转置，是模糊神经网络权值的自适应律；当选取上述参数自适应律时，满足李雅普诺夫稳定性定理，保证微陀螺系统全局渐进稳定性。

本发明的有益效果为：

本发明通过反演技术，将微陀螺系统分解成简单的子系统，再为每个子系统设计Lyapunov函数，使得整个控制过程清晰明了；在反演控制方法基础上，设计终端滑模面，确保了系统跟踪误差在有限时间内收敛到零；在此基础上引入分数阶，即带有偏差的分数阶导数的终端滑模面，则多了可以调节的微分阶数项，增加了调节自由度，使得控制效果有所改善；当微陀螺系统参数和角速度看作未知变量时，基于Lyapunov稳定性理论，设计参数的自适应律，实时更新微陀螺的角速度和其他系统参数的估计值；本发明具有提高陀螺系统控制性能和鲁棒性的特点，能够实现微陀螺较好的跟踪效果，使跟踪误差在有限时间内收敛到零并且降低系统抖振，以及辨识出系统参数和角速度，辨识系统参数可以了解系统的物理参数，如果某个参数距离给定的值很远，说明系统内部出现问题，需要更换原件等。

附图说明

图1是本发明分数阶自适应模糊神经反演终端滑模控制系统的原理图；

图2是本发明采用自适应模糊神经反演终端滑模控制方法的微陀螺轴跟踪效果图；

图3是本发明采用自适应模糊神经反演终端滑模控制方法的跟踪误差图；

图4是本发明采用自适应模糊神经反演终端滑模控制方法的两轴控制输入响应曲线图。

具体实施方式

下面通过具体实施例对本发明作进一步详述，以下实施例只是描述性的，不是限定性的，不能以此限定本发明的保护范围。

如图1所示，微陀螺分数阶自适应模糊神经反演终端滑模控制方法，包括以下步骤：

一、建立微陀螺系统的无量纲动力学方程数学模型

一般的微机械振动陀螺由三个部分组成：弹性材料所支撑悬挂的质量块、静电驱动装置、感测装置，将其简化为一个由质量块和弹簧构成的有阻尼振荡系统。对z轴微陀螺而言，可以认为质量块被限制只能在x-y平面内运动，而不能沿z轴运动，只围绕z轴旋转。

根据旋转系中的牛顿定律，考虑加工制造误差，再对数学模型进行无量纲化处理及等效变换后，得到的微陀螺的数学模型如下：

其中：q为微陀螺数学模型无量纲化后的位置向量，q1,q2分别为陀螺数学模型无量纲化后x轴、y轴的位置向量；q0为参考位移，Q1，Q2分别为微陀螺x轴、y轴的位置；表示对位置向量q求一阶导数，表示对位置向量q求二阶导数；为微陀螺的控制输入，ux,uy分别表示x轴和y轴的控制输入；为无量钢化后阻尼矩阵，其中，箭头→表示后者由前者计算得到是等于关系，Dxx,Dyy分别为微陀螺x轴、y轴的阻尼系数，Dxy为x轴、y轴的耦合阻尼系数，m为陀螺的质量，ω0为两轴的共振频率；为无量纲化后弹簧系数矩阵，其中，kxx,kyy分别为微陀螺x轴、y轴的弹簧系数，kxy为x轴、y轴耦合的弹簧系数；为无量纲化后角速度矩阵，其中Ωz为无量纲化后z轴角速度，Ω*z为z轴方向上的输入角速度，陀螺是沿着x-y平面运动，但是同时它也在围绕z轴旋转，所以有z轴角速度；ΔDb为惯性矩阵Db+2Ω的未知参数的不确定性，ΔK为惯性矩阵K的未知参数的不确定性，d(t)是外界干扰。

从而式(1)可以改写为：

其中，f为系统不确定性和外界干扰总和，且有：

假设|fi|＜ρi,i＝1,2，fi表示轴上系统不确定性和外界干扰的总和，ρi表示轴上系统不确定性和外界干扰总和的上界。

二、构建微陀螺系统的参考轨迹模型；

微陀螺的理想动态特性是一种无能量损耗，x轴、y轴两轴间无动态耦合的稳定正弦振荡，参考轨迹模型描述如下：

qr1＝A1sin(ω1t)，qr2＝A2sin(ω2t) (4)

其中qr1、qr2是指x轴、y轴两轴的参考轨迹模型；A1、A2分别是微陀螺在x轴、y轴方向上的振幅；ω1、ω2分别是微陀螺在x轴、y轴方向上给定的振动频率；t是时间变量。

将(4)式转化成微分方程形式为：

其中，qr＝[qr1 qr2]^T为微陀螺系统x轴、y轴的参考轨迹，表示对x轴、y轴的参考轨迹qr求二阶导，Kr＝diag{ω1²,ω2²}，diag{}表示对角矩阵，矩阵Kr表示微陀螺在x轴、y轴方向上给定的振动频率的对角矩阵。

三、构建基于分数阶的自适应模糊神经反演终端滑模控制器；

为了应用反演技术理论，首先对微陀螺的通用形式数学模型即公式(2)进行变换，定义矢量x1和x2，

则式(2)可以改写为：

基于分数阶的自适应模糊神经反演终端滑模控制器设计步骤如下：

为微陀螺的两个子系统，分别设计合适的Lyapunov函数，保证微陀螺系统的稳定性：

3.1)：为微陀螺的一个子系统，设计Lyapunov函数，保证微陀螺系统的稳定性；

定义微陀螺实际位置和参考轨迹之间的跟踪误差e1为：

e1＝x1-qr (8)

则跟踪误差导数的一阶导数为：

取虚拟控制量α1为：

其中c1为误差系数，为非零的正常数。

定义跟踪误差函数e2为：

e2＝x2-α1 (11)

对具有跟踪误差e1的微陀螺子系统选取一个Lyapunov函数V1为：

其中，e1^T为跟踪误差向量e1的转置。

对V1沿时间t求导得：

当e2＝0，则可得

满足负半定性，符合李雅普诺夫稳定性判据，故跟踪误差e1满足全局渐进稳定，渐进收敛到零，可以保证系统是稳定的。因此，进一步设计分数阶反演终端滑模控制律u1，使滑模面趋于零。在系统稳定的时候，滑模面函数s趋于零。

3.2)针对微陀螺设计分数阶反演终端滑模控制器的控制律u1：

对第二个跟踪误差e2沿时间求导得：

针对微陀螺设计分数阶终端滑模面s为：

其中，λ1,λ2,p2,p1为正实数，1＜p2/p1＜2，D^α-1e1是指对e1求α-1阶导，这是分数阶专用的写法，D表示求导，α是指分数阶的阶数，则微陀螺分数阶终端滑模面s的导数为：

其中，D^αe1是对D^α-1e1求导的结果。

令

则

其中，R1*R2＝I，I为单位矩阵，e21,e22分别是跟踪误差e2在x轴、y轴上的分量。

结合滑模面，对具有跟踪误差e2的微陀螺子系统设计第二个Lyapunov函数V2为：

对公式(20)Lyapunov函数V2两边求导可得：

由李雅普诺夫稳定性判据可知，只有才能保证微陀螺系统是稳定的；为了保证针对微陀螺系统，设计基于分数阶的反演终端滑模控制律u1为：

其中，ρisgn(si)表示滑模切换项，用来代替系统不确定性和外界干扰总和fi，i＝1,2，代表两轴分量，||s||表示求滑模面向量的模值。

将基于分数阶的反演终端滑模控制律u1代入公式(21)得：

其中，si,i＝1,2指滑模面在x轴和y轴方向上的分量，ri,i＝1,2表示公式(18)中的r1,r2。根据Lyapunov稳定性判据可以证明微陀螺系统是稳定的；

3.3)设计基于分数阶的自适应模糊神经反演终端滑模控制器的控制律u'：

由于微陀螺无量纲化模型中Db,K,Ω三个参数是未知的，并且在实际应用过程中，系统存在不确定性和外界干扰，因此反演控制律u1公式(22)不能直接应用。基于自适应理论知识，用估计值代替(22)中的三个陀螺参数矩阵，设计三个参数估计值的自适应算法，在线实时更新估计；同时用模糊神经网络输出来逼近系统不确定性和外界干扰f的上界。模糊神经网络由输入层、模糊化层、模糊推理层和输出层构成，利用模糊神经网络逼近参数不确定性和外界干扰的上界，描述为：

其中，φi称为模糊神经网络的归一化可信度，wi是模糊神经网络的权值，是模糊神经网络的输出，是对滑模切换项增益即系统不确定性和外界干扰上界ρi的估计。

在本文中假设模糊神经网络的最优输出为：

其中，wi^*为最优模糊神经网络权值。

定义微陀螺无量纲化模型中估计误差分别为：

定义模糊神经网络权值估计误差为：

其中，分别是微陀螺参数矩阵Db,K,Ω的估计值，分别为参数矩阵Db,K,Ω的参数估计误差；wi是模糊神经网络的权值，wi^*为最优模糊神经网络权值；

基于分数阶的反演终端滑模控制律公式(22)可以转换为基于分数阶的自适应模糊神经反演终端滑模控制律u'：

将分数阶的自适应模糊神经反演终端滑模控制律u'作为微陀螺系统控制输入u,带入微陀螺系统的数学模型中，实现对微陀螺系统的跟踪控制。

定义第三李雅普诺夫函数为：

其中，M＝M^T＞0，N＝N^T＞0，P＝P^T＞0均为对称正定矩阵，称作自适应固定增益矩阵，它们是可调整的参数，是可人为选取的；η为正常数；tr{·}表示矩阵的求迹运算。

对第三个Lyapunov函数等式两边求导得：

由于Db＝Db^T,K＝K^T,Ω＝-Ω^T,R1＝R1^T,并且为标量，因此：

同理可得：

所以

为保证设计自适应律为：

为陀螺系统阻尼矩阵Db的估计值的自适应律的转置，为陀螺系统的弹簧系数矩阵K的估计值的自适应律的转置，为陀螺角速度矩阵的估计值的自适应律的转置，是模糊神经网络权值的自适应律。

那么V对时间t的微分变为：

由于满足李雅普诺夫稳定性定理，由此可以得到具有跟踪误差e1的子系统、具有跟踪误差e2的子系统、终端滑模面函数s将会在有限时间内收敛到零，从而验证本发明所提出的控制方法能够实现对微陀螺的分数阶自适应模糊神经反演终端滑模控制，具有鲁棒作用，提高系统控制性能，使得跟踪效果更好可以在有限时间内收敛到零，并且降低抖振，同时在线辨识微陀螺系统参数，从而了解微陀螺系统的物理参数，如果参数辨识中某个估计值距离给定的值Db,K,Ω很远，说明系统内部出现问题，需要更换原件等。

为了更加直观地显示本发明提出的分数阶自适应反演模糊滑模控制方法的优越性，在MATLAB/SIMULINK对本发明控制方法进行计算机仿真实验。

参考现有文献，选取微陀螺的参数为：

m＝1.8×10^-7kg，Dxx＝1.8×10^-6N s/m，Dyy＝1.8×10^-6N s/m，

Dxy＝3.6×10^-7N s/m，kxx＝63.955N/m，kyy＝95.92N/m，kxy＝12.779N/m。

假定未知的输入角速度为Ωz^*＝100rad/s。首先微陀螺参数进行无量纲化处理，对于振动式微陀螺，基础质量块沿x轴，y轴振动幅值在亚微米级别，参考位移选取为q0＝1μm较为合理。因为微陀螺的操作频率在kHz范围，所以选取固有频率为ω0＝1kHz。得到微陀螺的无量纲化参数为：

ωx²＝355.3，ωy²＝532.9，ωxy＝70.99，dxx＝0.01

dyy＝0.01，dxy＝0.002，Ωz＝0.1

仿真实验中，设系统的初始条件为：q1(0)＝0.5,q2(0)＝0.5,q1(0)，q2(0)是指微陀螺在x轴、y轴的初始位置，此刻t＝0，微陀螺的两轴期望运行轨迹(参考轨迹)为：qr1＝sin(4.17t),qr2＝1.2sin(5.11t)，三个参数矩阵的估计初值分别为：

在滑模控制律中，滑模面参数取p1＝3,p2＝5，误差系数取c1＝1，取M＝N＝P＝diag(150,150)，取分数阶阶数α＝0.9。

当外界干扰取白噪声信号d＝[0.5*randn(1,1)；0.5*randn(1,1)]时，randn(1,1)表示产生随机数，仿真结果如图2至图4所示。

图2为微陀螺X、Y轴的跟踪曲线，从图中可以看出采用分数阶自适应模糊神经反演终端滑模控制方法后微陀螺的X、Y轴轨迹能够很好的追踪上参考轨迹。

图3为跟踪误差曲线图，从图中可以看出，X、Y轴上的跟踪误差e1能在有限时间内收敛到零。

图4为两轴控制输入响应曲线。用模糊神经网络方法对控制器中的滑模切换项增益即系统不确定性和外界干扰总和的上界进行逼近，可将滑模切换项连续化，有效降低了抖振。

本发明通过反演控制，简化了系统，使得整个控制器设计过程清晰明了；同时为微陀螺的每个子系统设计李雅普诺夫函数，基于自适应机制，设计自适应律，实时估计陀螺系统的参数和角速度；选取分数阶终端滑模面，在保留滑模控制优势的基础上，又多了可以调节的微分阶数项，增加了调节自由度，改善了控制性能；终端滑模面保证了系统误差在有限时间内收敛到零，提高了跟踪性能；另外，采用模糊神经网络对系统不确定性和外界干扰总和的上界进行逼近，有效降低了抖振。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。