结构变量对控制性能影响函数的计算方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于自动控制领域，具体地说是一种结构变量对控制性能影响函数的计算 方法，可用于指导耦合度的量度计算及控制器的设计。
【背景技术】
[0002] 对于很多系统的设计，都包括结构和控制两个学科，且这两个学科是相互联 系，紧密耦合的。如何量度两个系统变量间相互影响的程度是个关键问题。对于该问 题，部分文献从系统的物理构成和变量的物理含义上去分析描述，比如文献李素兰，黄 进，段宝岩.一种雷达天线伺服系统结构与控制的集成设计研究[J].机械工程学 报，2010, 46(19) :140-146针对雷达天线伺服系统的结构和控制耦合问题，指出控制学 科的控制力作为载荷施加于天线，使得天线产生刚体位移和弹性变形；反过来天线结构 的基频又直接决定天线伺服系统的伺服带宽，但是该方法只是定性分析两学科影响关 系的存在，无法给出影响度的定量描述；文献王永初，王启志.耦合度的新定义及其应 用[J].华侨大学学报，1999, 20(3) :273-277以及文献王启志.系统耦合度及其弱化方 法[J].仪器仪表学报，2000,21 (2):218-220.均是从数学图论的角度出发，根据支路 控制能力同其他干涉能力的一种特殊比值，提出了系统親合度的新定义；文献Sulaiman F. Alyaqoutj Diane L.Peters,Panos Y.Papalambrosj etal. Generalized Coupling Management in complex engineering systems optimization[J]. Journal of Mechanical Design，2011，133:1-10.中指出，若对被控对象采用LQR(Linear Quadratic Regulator，线 性二次型调节器）控制方法，则可基于KKT准则可以得到描述结构变量对控制的影响度函 数。
[0003] 采用LQR控制方法，基于KKT准则描述结构变量对控制的影响度函数的计算，包 含矩阵指数函数的精确计算。当被控对象的系统矩阵形式特殊，比如为对角阵或约当阵 时，可以得到这类矩阵的解析解 Sigurd Skogestad, Ian Postlethwaite. Multivariable feedback control:analysis and design[M]，USA:John Wiley&Sons，2005:371-400;但 是当系统矩阵不是特殊形式，甚至奇异时，该类矩阵的求解只能借助数值法进行；利用 传统的数值积分法，例如复化梯形积分、复化辛普生积分、高斯积分等，精度都较低，若要 提高精度，需将积分步长划分的尽可能的小，计算工作量大大增加，同时数值计算也严 重依赖系统矩阵的性态，造成一些求解困难，比如稳定性问题、刚度问题等。而在文献 Zhong ffanxie, Williams Fff. A precise time step method[J]. Journal of Mechanical Engineering Science，1994,208:427-430.中，由钟万勰院士等所提出的精细积分方法，分 别对于齐次方程的状态转移矩阵和非齐次方程的杜汉姆积分，给出了具体求解，具有精度 高，无需矩阵求逆，无条件稳定等优点，得到了广泛应用。而对于结构变量对控制的影响度 函数，因为矩阵的积分并不满足交换律，无法直接合并，现有精细积分方法不能求解。
[0004] 综上所述，目前没有一种稳定精确计算结构变量对控制性能影响度函数的有效方 法。
【发明内容】
[0005] 针对现有技术的不足，本发明旨在提供一种基于精细积分的计算结构变量对控制 性能影响度函数的方法，以实现对影响度的准确量化描述，为结构控制系统级的集成设计 奠定基础。
[0006] 为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
[0007] -种结构变量对控制性能影响函数的计算方法，其包括如下步骤：
[0008] S1、假设系统矩阵a是结构变量Cl1Q = 1，2…η)的函数，则对于线性时不变系统：
[0011] 其中，X为η维的状态向量，u为ρ维输入向量，y为q维输入向量；a为ηΧη维的 系统矩阵、b为ηΧρ维的输入矩阵、c为qXn维的输出矩阵；
[0012] S2、根据步骤Sl给定的系统模型，结合线性二次型LQR(Linear Quadratic Regulator)最优控制原理，设计控制器u (t)，使系统从初始时刻t。到终端时刻t f，该动态 过程中对应的性能指标函数J最小值如下：
[0014] 其中，Q。和Q为半正定的加权矩阵，R为正定的控制输入加权矩阵；e(t)为动态过 程中的实时误差，e(t f)为末端误差；
[0015] S3、确定步骤S2的LQR问题，其对应的控制输入f (t)及其性能指标的最优值Γ 分别为：
[0016] u*(t) =-R 1IdtPx ⑴
[0017] J*= X0tPx0
[0018] 其中X。为初始状态；矩阵P满足黎卡提代数方程，由能控格莱姆矩阵We (tf)来表 示：
[0019] P = a Taffc (tf)
[0020] S4、根据系统最优条件KKT准则，可得结构变量对控制性能的影响度函数Γ v:
[0022] 其中，As，λ。分别是结构和控制学科目标函数的权重因子，满足λ s+A。= 1， 0彡λ# 1，〇彡λ $ I M1Q = 1，2…η)为第i个结构变量，η为结构变量总数。
[0023] 优选的技术方案，所述步骤S3中的格莱姆矩阵We (tf)定义如下：
[0025] 上述计算过程中，第i个结构变量对所述影响度函数Γν的影响如下（其它分量
的计算方法类似），
[0027] 其中，
为格莱姆矩阵的偏导矩阵；
[0028] 所述影响度函数Γν的求解可归结为以下形式的两矩阵的求解：
[0030] 当以上两式中的A1, A2, B分别取不同的值时，即可得影响度函数Γν。
[0031] 上述计算详细过程如下：
[0032] 根据上述Wc (tf)及W" (tf)的定义式，以Tl为单位，将（0, tf)进行化分，得到在任 意时刻tk= kn (k = 〇, 1，2,…）和下一时刻t k+1= t k+n时，满足如下的递推关系：
[0035] 根据上述Wc (tk+1)及W" (tk+1)的递推式，定义基本区段Tl上的Wc (Tl)及Wa (Tl):
[0037] 将上述基本区段η根据下式进行精细划分，并且利用Taylor级数展开有限项进 行近似，分别计算各矩阵在精细区段的初始值：
[0046] 将上述增量形式的约(/>) , %(P)代入上述递推式，进一步得到全增量递推式：
[0049] 将各矩阵在精细区段的初始值代入全增量递推式；经过M次合并运算，可以得到 wc(n)、wcl(n)〇
[0050] 根据Wc(tk+1)及Wa(t k+1)的递推式，经过ts/i!次运算，可以得到对应的Wc(tf)及 Wa (tf)，从而可得计算出对应的影响度函数。
[0051] 所述的格莱姆矩阵的偏导矩阵具体如下：
[0053] 本发明的有益效果在于：
[0054] 1、本发明基于精细积分，提出了结构变量对控制性能影响度函数的稳定高精度计 算方法，为后续结构控制耦合系统的集成设计奠定了坚实的基础；
[0055] 2、仿真结果表明，本发明可以有效计算结构变量对控制性能的影响。随着结构频 率的增高，其对控制性能的影响度越来越小，故在设计控制器时必须考虑结构变量的影响， 且主要以抑制低频的振动变形为主要目标，与实际相符。
【附图说明】
[0056] 图1为本发明的流程图；
【具体实施方式】
[0057] 以下将结合附图对本发明作进一步的描述，需要说明的是，本实施例以本技术方 案为前提，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围并不限于本实 施例。<