专利名称：混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘的制作方法
技术领域：
本发明涉及数字工程方法和算盘领域。
背景技术：
本发明中“数字工程”是专指“数字计算系统工程”。它是解决四则运算法则等计算系统本身的数字工程实现技术方案。“采用工具的数字计算”历史上包括笔算、珠算、机械算、电算，以及筹算等。现代仅剩下三种，这就是数字电算、珠算、笔算。与此相应的数字计算系统工程也就仅有三种数字计算机；算盘；采用笔和纸进行笔算的数字计算系统工程，简称为“笔算工程”。
当前数字工程方法中的四则运算，首先是加法，有许多不尽如人意之处。主要表现为运算速度慢；在减法中，未能充分利用负数的作用，而且，不能“连减”。尤其在加减联合运算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺点更加扩大严重；在除法中，上述缺点依旧。总之，在最小的数体——有理数体中，四则运算情况并不满意。在笔算数字工程中，对运算的解剖，表明存在一些隐含的操作程序，以至产生“隐患”。以“二数相加”为例，算式如式一123456+345678＝469134。[文中凡未标明数制的数，均指普通十进制数。下同。]其中，十位上的和数3，解剖一下。其微程序操作是 个位上来的进位； 十位上5、7二数字与低位进位相加，即(5+7+1)。取其和的个位； 上列(5+7+1)和的进位送到高位。其余各位，情况类似。又如例二，设三数求和，算式如式二78+297+259＝634。上述情况更为加重。显然，存在下列缺点a.进位标示困难。若用小数字表明，则易混淆且字面积受限。特别是表456789时就更烦人；若以“.”符写在数字间，则易与小数点混淆且表示456789也不便；若以手指数数，则速度慢且不方便；若心算，则费脑力且易错。总之，比较讨厌，易出错。b.一般二数相加时，每一位上要有三个数相加求和。于是，需三重运算。三及三以上个数相加求和时，则更不方便。c.验算困难。一般采用重做一遍，费时费力。
减法比加法麻烦。而且不能在同一竖式中“连减”，必须断开。特别在加减联合运算时，不能一步到位。乘除法中，这类情况更为严重。而且，加减乘除运算格式不统一，除法时另起炉灶。
另一方面，在电子计算机数字工程中，这些数一般均采用普通二进制数来表示。其负数常以原码、反码、补码、移码之类来表示。在现有计算机中运算均以二个数运算，而无法实现“多重运算”。所谓“多重运算”，是指多于二个数同时进行加减。在采用其他普通Q进制等普通数制的电子计算机中，存在相应的许多复杂性。[Q为自然数。]此外，在算盘数字工程中，这些数一般采用普通二进制与普通五进制的“联合Q进制”数。因此，运算口诀繁杂，而且存在相应的一些复杂性。
发明内容
本发明提出一种新的数字工程方法，显著提高运算速度；同时加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低笔算的出错率。
本发明同时提出了，采用上述“混数进制、进位行方法”的混数算盘，显著提高运算速度，显著简化结构。运算采用混数进制中的混Q进制、或增Q进制、或偏Q进制，Q为自然数。简写为“混/增/偏Q进制”。
根据本发明的一个方面，提供一种混数进制、进位行数字工程方法，采用“混数进制”数，以“混数进制、进位行方法”运算。混数进制运算可为下列方案之一；方案一(适于计算机、笔算工程中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；②混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案二(适于计算机、算盘中；也可用于笔算工程，也可不用；)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码为“编码全一进制数”；②“编码全一进制”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③“编码全一进制数”译码为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案三(适于计算机中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为{0，±1}二进制(其特况为普通二进制)数；②{0，±1}二进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③{0，±1}二进制数译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案四(适于计算机中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为“编码{0，±1}二进制数”；②“编码{0，±1}二进制”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③“编码{0，±1}二进制数”译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；本发明中，采用方案一、方案二来展示。
“混数进制、进位行方法”包括以下第一种步骤第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；(本发明中，均采用2K个混数进制数来展示)；第2步，对K或2K个数中的二个数，进行混数进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用“对冲”、“划Q”、累加，得到这二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第3步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步的运算；如此反复，直至二数最高位也已运算为止；当采用并行运算时，二数各位同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；第4步，取K或2K个数中的另二个数，进行第2步及第3步运算；如此反复，直至K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果；或者，采用以下第二种步骤第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；(本发明中，均采用2K个混数进制数来展示)；第2步，从最低位开始，即在某一位上，取二数、K或2K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、累加；即在二数时，得到二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第3步，在上述某位上，取K或2K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对n个和为0的数先进行“对冲”；然后，对n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K或2K个数最高位也已运算为止；
第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果；或者，采用以下第三种步骤第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；(本发明中，均采用2K个混数进制数来展示)；第2步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，n个和为0的数进行“对冲”；n为≥2的整数；第3步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“混数进位”，则存放到下一运算层的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第4步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果。
混数进制、进位行数字工程方法，其中混数进制为混Q进制、或增Q进制、或偏Q进制。运算采用“进位行方法”；即在运算过程中，将产生的进位存放在相邻高位“进位行”中，然后与“按位和”一起进行运算。
对K个数中的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中n个运算数的按位加和为零，但产生进位m(与n个数的和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，将n个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。
所述混数进制数可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为Q、或(Q-1)、或Q/2、或(Q+1)/2位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符(参见第三部分增Q进制及全一码)；当采用全一码来编码混数进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列，称为“排1”；其全一码编译可以定码长或变码长。
根据本发明的另一个方面，提供一种混数进制的混Q进制、或增Q进制、或偏Q进制算盘，即“混数算盘”。当Q＝10时，即为“混十算盘”。混数进制运算可为前述方案二来展示；设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；算盘中的数字工程方法，采用前述第一种步骤。在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠沿竖档上下移动，采用“对冲”、“划Q”、累加来进行计算。在上下框之间采用15档竖档，或多于15档，或少于15档。竖档呈直线型；或者呈 型，分为长度相等的上中下三段。每段长度约为全档算珠的厚度，其起伏均有圆滑过渡，以便于算珠推动。每根竖档上贯穿有Q、或(Q-1)、或Q/2、或(Q+1)/2只算珠；当Q＝10时，有10只或9只或5只算珠。在每根竖档(7)上下各增加一个可上下移动的算珠，以横梁隔开；或者，在上框的上方具有一根横轴，横轴上相应每根竖档，均有可转动的转换标示。转换标示为正三角柱体、正方柱体、圆柱体、球体或算珠体等，二值{0，5}或三值{0，±5}状态元器件；或者，不增加。上框的水平中线位置上有上框小槽。小槽中有游标一只，或者一只以上，或者没有。游标可以在槽中左右滑动，作为参与运算及结果数的小数点或其他特定的定位标记。
混数算盘中运算数为混数进制数，简称“混数数”。混数进制为混Q进制，或增Q进制，或偏Q进制。Q＝10时是“混十数”。采用全一码及正负码编码。本发明混数算盘中，其编译码采用定码长来展示。
图1为混Q算盘的机械结构示意图(Q＝10)。图中标有1.算珠，2.左框，3.游标1，4.游标2，5.上框，6.上框小槽，7.竖档，8.右框，9.下框。
图2为增/偏Q算盘的机械结构示意图(Q＝10)。图中标有1.算珠，2.左框，3.游标1，4.游标2，5.上框，6.上框小槽，7.竖档，8.右框，9.下框，10.“转换标示”。
图3为“转换标示”10。
具体实施例方式
第一部分混数进制、进位行数字工程方法1.《进位行方法》1.1进位与《进位行方法》在电子计算机等数值运算中，运算速度提高的关键之一，就在于“进位”。进位的获得，进位的存贮以及进位的参予运算都是至关重要的。“进位”就是争“速度”。在笔算工程中，还直接影响到“出错率”。本部分以笔算工程为例。所谓《进位行方法》就是，在运算过程中，将产生的进位存放在参予运算与“按位和”数同等的位置上，然后与“按位和”一起进行运算。通常同运算层中二数相加时，将各位上的进位排列成一行，称为“进位行”。(运算层的概念，见下节。)举例如下，设二普通十进制数求和，算式如式三123456+345678＝469134。个位运算(6+8)＝14，其进位1写于下一行的高一位上。依此类推。式中二数相加时，各位上不计进位的求和，称为“按位加”。其和称为“按位和”。按位和的数据行，称为“行”。行与进位行组成“运算层”。
1.2《进位行方法》分析1.2.1二数求和的分析采用《进位行方法》的加法运算由上节可知①二数相加时，每一位上只有二个数相加；在进位行中直接标示进位，不存在任何困难；②验算十分方便。
二数相加时，任意位上要么有进位记为1，要么无进位记为0；[引理二]二数相加时，任意位上的和可为0～9之一。但是，当该位上有向高位进位时，该位上的和只能为0～8之一，而不能为9。
由[引理一]和[引理二]可得[定理一]二数相加时，当且仅当某位上没有向高位进位时，该位上的和才可能出现9。
1.2.2层次概念及运算层设二数求和。算式为式四5843029+4746979＝10590008。由式四可见，运算是分层次进行的。运算层将一个运算解剖成子运算。每一运算层中，又将子运算解剖成微运算。微运算仅完成一项简单运算。这就是运算的“层次”概念。“层次”概念是数学中的基本概念，《进位行方法》正是建立在此基础上。以往的加法运算方法，本质上也隐含“层次”概念。因此，《进位行方法》中的“层次”，从总体上看并未增加运算的复杂性。反之，以往的方法由于隐含了“层次”，反而进一步增加了运算的复杂性。这一点，也进一步造成运算速度被降低。
1.2.3唯一的运算层二数相加时，特别情况下会出现多次运算层。各层有如下关系成立。
二数相加时，当某位前一运算层上有进位时，其后各运算层上均不可能出现进位。(由引理一、二得)[引理四]二数相加时，当某位后一运算层上有进位时，其前各运算层上必无进位。(由引理一、二得)[定理二]二数相加时，同一位各运算层上，要么都无进位，要么只能有一个进位。(由引理三、四得)[推论]二数相加时，可以将全部各层进位行合并为一个进位行；除第0运算层(初始运算式)外，可以将各运算层合并为一个运算层。
1.2.4三数及三数以上求和分析设三数求和，算式为231+786+989＝2006(式五)。又，设六数求和。算式为786+666+575+321+699+999＝4046(式六)。操作要点①“划Q”的运用；所谓“划Q”，即Q进制的n个数在某位上相加时，其按位加和为零，但该位上产生进位m(与n个数的和数符号一致)。n为≥2的整数，m为整数。进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同时在某位上，该n个数均不再参加运算。即，同一位上n个数和为mQ时，可将n个数均划去，然后在高位上的空位或0位处补m。在十进制时Q＝10，划Q即为“划十”。
②多个数相加，可出现二个及二个以上的运算层。为了减少运算层数，同一位上的同一运算层空位或0位中，进位及和数可以任意占位；一个运算层中某位上的进位，可以放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；③尽量减少运算层。a、较小的数，直接合并算；b、尽量在“配对”中进位；c、尽量减少在第一运算层上相加数的个数，尽量使第二及二以上运算层不出现。
④同一位上，各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；“相同数”、“连续数”等，可直接得“部分和”。
2.混数及混数进制2.1《数制理论SZLL》2.1.1按同一种规则记录数，便于用来在一个数系统中进行运算的数的制度，称为“记数系统的制度”。简称为“数制”。《数制理论SZLL》就是研究数制的生成、分类、分析、比较、变换、计算等的科学。它也是研究数制在数论、群论、集合论、博弈论等数学其他分支；及其在多值逻辑、Walsh函数、《狭义及广义模随论MSL》等各邻近学科；特别是在数字工程领域的计算机、笔算工程及算盘中应用的科学。它是数学的基础理论之一。数学科学，即“数”的科学。“数”的基本为“数制”。因此，《数制理论SZLL》是“数论”的基础，是“核心数学”的“核心”之一。
2.1.2位值制数制设，构造一个数系，其中的数以各不相同位置上的“数符”来表示。“数符”又称“数字”。数字通常从右向左水平排列。对于每个数位上的全部数字均给定一个单位值(又称“位值”)，其值由低(小)到高(大)。以此表示整个数系中每一个数的数制，称为“位值制数制”。我们以下讨论的数制，都是“位值制数制”。在不致误解时，也直接简称为“数制”。
2.1.3数制的三大要素数位I，数元集Zi和权Li。
a、数位I表示数制中数的各位数字的位置。I为序数，各位从右至左来表示。即，I＝1，2，3，…表示该数的第1，2，3，…位。
b、数元集Zi，表示第I位上的“数元”组成的集合。同一数制系统中，各个数同一位上不同符号的全体，组成一个该位上的数符集。该数符集中的元素，称为“数的元素”。简称为“数元”。因此，该数符集称为“数元集Z”。数元集Zi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的Zi均为相同的Z时，相应的数制称为“单一集数制”或“单一数制”；当各位上的Zi不全相同时，相应的数制称为“联合集数制”或“联合数制”。
数元集Zi中的数元可为复数或其他多种多样符号。在《数制理论》中，以aj来表示数元(a1，a2，a3，…)，j为自然数。以i aj表示第i位上数元aj。约定，aj＝-A(A为复数)时，可表示为aj＝A。数元集Zi以集合{a1，…，aj，…}来表示，即Zi＝{a1，…，aj，…}；或者，Zi以文字表明其特征。为便于计算，通常取数元aj为整数，以阿拉伯数字来表示。
数元集Zi的基数Pi(Pi为自然数)，表示了集的元素总数。恩格思指出它“不但决定它自己的质，而且也决定其他一切数的质。”Pi的取值不同，标示了数元集Zi的变化。各位上的Pi为相同的P，则称为“单一基数”；否则，称为“联合基数”。
在《数制理论》的“位值制数制”中，定义数中的“空位”表示“无”，其位值为0，称为“空位0”。“空位0”是0的一种，是0的一种表达形式，是一种隐含的0。通常不加以标明；在数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。“空元”是每一个“位值制数制”数元集均有的数元，其在数元集中的表示即为“空位”。通常不加以标明。“空元”是数元集中，唯一通常不计入数元aj，也不计个数，即个数为0的数元；另一方面，在特别情况下，为统一表述，则将其计入数元，其个数计为1。
c、权Li，表示第i位上的位值大小。特称此位值为“权Li”。Li为实数。为便于计算，通常取权Li为整数，特别是自然数，以阿拉伯数字来表示。不同的Li，就决定了不同的位值。在“编码理论”中，“编码”的主要特征就在于权Li。
实际中常见的权Li采用所谓“幂权”。即，令Li＝Qi(i-1)，Qi为实数。为便于计算，通常取Qi为自然数。Qi可以阿拉伯数字来表示，也可以中文小写数字来表示。常见各位Li均为幂权，而且成等比Q的数制。Q称为数制幂权的“底数”或数制的“底数”。底数Q的不同，决定了不同的Li，从而决定了不同的位值。Qi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的数制幂权Qi，其底数均为相同的Q时，相应的数制称为“单一Q进制”。简称为“Q进制”或“进制”。当各位上的数制幂权Qi，其底数不全相同时，相应的数制称为“联合Q进制”。另一种常用的权Li采用“等权”，即各位上的权L相同。
根据上述数制的三大要素，数制可以有无穷无尽的种类。
2.2混数及混数进制当数元集Zi中，含数元0时，该相应数制被称为“含0数制”。对于进制，则称为“含0进制”；当数元集Zi中，不含数元0时，该相应数制被称为“不含0数制”。对于进制，则称为“不含0进制”。
当数元集Zi中，既有正数元，又有负数元时，相应数制被称为“混数数制”。对于进制，则称为“混数进制”；混数数制中的数，称为“混数”。“混数”中既有正数元又有负数元的数，称“纯混数”。当数元集Zi中，正负数元是相反数时，相应数制称为“对称数制”。对于进制，则称为“对称进制”。
当数元集Zi中，全部数元为连续整数成为“整数段”时，该相应数制被称为“整数段数制”。对于进制，则称为“整数段进制”恩格斯指出“零比其他一切数都有更丰富的内容。”鉴于“0”的这种特殊重要性，在《数制理论》中，含0整数段去掉0时，仍作为一种特殊的整数段。
在《数制理论》中建立了“代数数制系统”。一个数制的名称采用“Zi Li”。对Q进制，则为ZiQi；单一数制时，则为ZLi；单一数制中联合Q进制时，则为ZQi。单一数制中Q进制时，则为ZQ。其中，Q以中文小写数来表示。
对于含0的普通Q进制，Z＝{0，1，…，(Q-1)}。故ZQ＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q为＞1的整数，称为“含0普通Q进制”。符号表示为{含0，Q}；对于不含0的{1，2，…，Q}Q，Q为自然数，称为“不含0普通Q进制”。符号表示为{不含0，Q}。含0和不含0的普通Q进制，合起来统称为“普通Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q}。当不致误解时，“含0普通Q进制”亦可称为“普通Q进制”，亦以符号{Q}来表示。故可以符号{二}及{十}来表示普通二进制及普通十进制。
在任一个具有整数段数元集的Q进制数制中，当P＝Q时，自然数在该数制中可以连续唯一的形态表达，称为“连续数制”，又称“普通数制”；当P＞Q时，自然数在该数制中可以连续，但有时以多种形态表达，称为“重复数制”，或“增强数制”。对于Q进制，又称为“增强Q进制”，简称为“增Q进制”；当P＜Q时，自然数在该数制中只能断续的形态表达，称为“断续数制”，或“减弱数制”。对于Q进制，又称为“减弱Q进制”，简称为“减Q进制”。
本文中的混数进制主要为以下几类对于含0的{0，±1，…，±(Q-1)}Q进制，Q为＞1的整数，称为“含0混Q进制”。符号表示为{含0，Q*}；对于不含0的{±1，±2，…，±Q}Q进制，Q为自然数，称为“不含0混Q进制”。符号表示为{不含0，Q*}。含0和不含0的混Q进制，合起来统称为“混Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q*}。当不致误解时，“含0混Q进制”亦可称为“混Q进制”，亦以符号{Q*}来表示。故可以符号{十*}及{二*}来表示“混十进制”及“混二进制”。在《数制理论》中，{十*}的名称是“单一基数P＝19，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十九，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，±1，±2，…，±9}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十*}，称为“混十进制”；{二*}的名称是“单一基数P＝3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，±1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二*}，称为“混二进制”；增Q进制中，特别重要的是P＝Q+1＞Q的一种。Q为自然数。本文中，仅指这一种。增Q进制中，含0整数段、对称增Q进制称为“含0对称增Q进制”。当不致误解时，简称为“含0增Q进制”，符号表示为{含0，QΔ}；不含0整数段、对称增Q进制称为“不含0对称增Q进制”。当不致误解时，简称为“不含0增Q进制”，符号表示为{不含0，QΔ}。含0和不含0整数段、对称增Q进制，合起来称为“对称增Q进制”，又简称为“增Q进制”。当不致误解时，“含0增Q进制”，亦简称为“增Q进制”，符号亦表示为{QΔ}。鉴于增Q进制的特别重要性，进一步表述如下。
对于含0的{0，±1，…，±Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0增Q进制”。符号表示为{含0，QΔ}；对于不含0的{±1，±2，…，±(Q+1)/2}Q进制，Q为正奇数，称为“不含0增Q进制”。符号表示为{不含0，QΔ}。含0和不含0的增Q进制，合起来统称为“增Q进制”。Q为自然数。符号表示为{QΔ}。当不致误解时，“含0增Q进制”亦可称为“增Q进制”，亦以符号{QΔ}来表示。故可以符号{十Δ}及{二Δ}来表示“增十进制”及“增二进制”。在《数制理论》中，{十Δ}的名称是“单一基数P＝11，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十一，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，±1，±2，…，±5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十Δ}，称为“增十进制”；{二Δ}的名称是“单一基数P＝3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，±1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二Δ}，称为“增二进制”；对于含0的{0，±1，…，±(Q/2-1)，Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0偏Q进制”。符号表示为{含0，Q’}；对于不含0的{±1，±2，…，±(Q-1)/2，(Q+1)/2}Q，Q为正奇数，称为“不含0偏Q进制”。符号表示为{不含0，Q’}。含0和不含0的偏Q进制，合起来统称为“偏Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q’}。当不致误解时，“含0偏Q进制”亦可称为“偏Q进制”，亦以符号{Q’}来表示。故可以符号{十’}及{二’}来表示“偏十进制”及“偏二进制”。在《数制理论》中，{十’}的名称是“单一基数P＝10，含0，整数段，偏对称的十进制”。可写为{十，含0，整数段，偏对称}十进制，或者写为{0，±1，±2，…，±4，5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十’}，称为《偏十进制》；{二’}的名称是“单一基数P＝2，含0，整数段，偏对称的二进制”。可写为{二，含0，整数段，偏对称}二进制，或者写为{0，1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二’}，称为《偏二进制》。
2.3混数编码以混数来编码的方法，称为“混数编码”。
当A进制数元以B进制数等来编码时，A进制数按位排列成相应的B进制数等。这称为“以B进制数等编码的A进制数”，简称为“B编码的A数”，或“编码B数”，或“编码数”。例，{十}328＝{二}101001000；其“编码{二}数”为0011，0010，1000。如上述“编码{0，±1}二进制数”，即指以{0，±1}二进制(其特况为普通二进制)数来编码的“编码数”。所谓“编码B数”的运算，即为“编码B进制”运算。这时，A进制数的位与位间为A进制运算，但每位中则为B进制运算。A进制数元以B进制数等来编码时，所需B进制数的最多位数，称为“码长”。固定的“码长”，称为“定码长”；如最高位0不加以标明，使之成为“空位0”时，相应“码长”是变化的，称为“变码长”。
混数进制、进位行数字工程方法，所述运算数是混数进制数。可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个增Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为Q、或(Q-1)、或Q/2、或(Q+1)/2位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；当采用全一码来编码增Q进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列，称为“排1”；其全一码编译可以定码长或变码长。
3.《混进方法HJF》四则运算。
采用混数进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混数进制、进位行方法》，简称为《混进方法HJF》。采用混Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混Q进制、进位行方法》；当不致误解时，亦可简称为《混进方法HJF》。设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去，即成为混Q进制数；采用增Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《增Q进制、进位行方法》；简称为《增进方法ZJF》。设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个增Q进制数；(一)以含0的{Q}→{QΔ}数转换为例{Q}＝{0，1，…，(Q-1)}Q， Q为＞1的整数……①{QΔ}＝{0，±1，…，±Q/2}Q。Q为正偶数……②由①及②可知，Q为≥2的偶数。
∵Q≥2，2Q≥2+Q，Q≥Q/2+1，∴(Q-1)≥Q/2当Q＝2时，(Q-1)＝Q/2，即以绝对值而言，{二}最大数元所表示{二}数，等于{二Δ}最大数元所表示{二}数；当Q为＞2的偶数时，(Q-1)＞Q/2，即以绝对值而言，{Q}最大数元所表示{Q}数，总是大于{QΔ}最大数元所表示{Q}数。这时{Q}数元(Q-1)＝{QΔ}11。即，{Q}数元(Q-1)转换成相应的{QΔ}数，为两位数11。其中，高位实质是“进位”。
由此可知，一个{Q}数转换成相应的{QΔ}数，当Q＝2时，仍为一个{QΔ}数；当Q为＞2的偶数时，可统一成为二个{QΔ}数之和。其中一个{QΔ}数，即为“进位行”数。K个{Q}数转换成相应的{QΔ}数，当Q＝2时，仍为K个{QΔ}数；当Q为＞2的偶数时，可统一成为2K个{QΔ}数之和。
(二)对于不含0的情况，Q为正奇数。可以证明，有类似的结论。
(三)如已经将一个{Q}数，另行转换为一个{QΔ}数，则K个{Q}数转换为K个{QΔ}数。
本发明中，均采用2K个增Q进制数来展示；采用偏Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《偏Q进制、进位行方法》，简称为《偏进方法PJF》。设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个偏Q进制数。
(一)以含0的{Q}→{Q’}数转换为例{Q}＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q为＞1的整数……①{Q’}＝{0，±1，…，±(Q/2-1)，Q/2}Q。Q为正偶数……②由①及②可知，Q为≥2的偶数。
Q≥2，2Q≥2+Q，Q≥Q/2+1，∴(Q-1)≥Q/2当Q＝2时，(Q-1)＝Q/2，即以绝对值而言，{二}最大数元所表示{二}数，等于{二’}最大数元所表示{二}数；当Q为＞2的偶数时，(Q-1)＞Q/2，即以绝对值而言，{Q}最大数元所表示{Q}数，总是大于{Q’}最大数元所表示{Q}数。这时{Q}数元(Q-1)＝{Q’}11。即，{Q}数元(Q-1)转换成相应的{Q’}数，为两位数11。其中，高位实质是“进位”。
由此可知，一个{Q}数转换成相应的{Q’}数，当Q＝2时，仍为一个{Q’}数；当Q为＞2的偶数时，可统一成为二个{Q’}数之和。其中一个{Q’}数，即为“进位行”数。K个{Q}数转换成相应的{Q’}数，当Q＝2时，仍为K个{Q’}数；当Q为＞2的偶数时，可统一成为2K个{Q’}数之和。
(二)对于不含0的情况，Q为正奇数。可以证明，有类似的结论。
(三)如已经将一个{Q}数，另行转换为一个{Q’}数，则K个{Q}数转换为K个{Q’}数。
本发明中，均采用2K个偏Q进制数来展示。
混数进制运算可为前述方案之一；本发明中，《混进方法HJF》采用方案一，以笔算工程来展示；可采用前述第一种或第二种步骤。这里，采用第二种步骤。
3.1{十*}的加法例123+45 6＝427(式七)
式中求得和为57 3。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和57 3不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。
3.2{十*}的减法例123-45 6＝123+456＝339例112+56-32-85+67-46＝72(式八)3.3{十*}的乘法例23 8×89＝12502 (式九)3.4{十*}的除法例5728÷23＝249……1(式十)3.5{十Δ}的加法例123+344＝433 (式七)式中求得和为423。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和433不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。
3.6{十Δ}的减法例123-344＝123+3 4 4＝341例112+14 4-32-125+13 3-54＝132 (式八)3.7{十Δ}的乘法例242×131＝11502 (式九)3.8{十Δ}的除法例14 332÷23＝251……1(式十)3.9{十’}的加法例123+344＝433(式七)式中求得和为433。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和433不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。
3.10{十’}的减法例123-344＝123+3 4 4＝341例112+14 4-32-125+13 3-54＝132 (式八)3.11{十’}的乘法例242×131＝11502(式九)3.12{十’}的除法例14 332÷23＝251……1 (式十)3.13四则运算的特点①加减法合并为加法。首先减法化为加法来运算。这一来实际计算中，加减就合并为加法了。这就消除了通常连加减的困难。这是由于混数的特性所决定。这样就产生了“约混”技术。这是指同一位上的n个数求和时，若和数为零，则这n个数可以消去。“约混”也可称为“对消”或“对冲”。即，“划Q”中m＝0时，称为“对冲”。在算式中，该位上的这n个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。在实际运算中，采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”来获得混Q数的结果。
②乘除方法简单。由于采用混数可使除法中的“减”过程变为“加”过程。为了去掉“减”过程的思路，进一步还可以令被除数变号。然后，整个“减”过程完全变成“加”过程。这可使整个运算的复杂性进一步降低。以后，我们的除法就以此来进行。应该注意，此时若出现余数，则要将该余数变号后，才是最终运算结果的余数。
同时，除法中的试商过程，可变为予先设定的迭代过程。
③四则运算加减乘除，均可全面地显著提高运算速度。
②加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低笔算的出错率。
4.《混十进制》{十*}与《普通十进制》{十}的关系。
4.1{十*}与{十}数的转换法这里指整数的情况，例如{十*}3822 96＝{十}221716(式十一)。{十}数本身即为{十*}数的一种特况，故{十}数不经转换即为{十*}数，只要将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去。
{十*}数转换成{十}数。方法有几种一种是将{十*}数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十*}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例{十*}3822 96＝{十}302006-80290＝221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加1)。另一种方法是在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如3×2××6。但，当其不在{十*}数末尾(个位)时，则最低位加1；连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如×1×70×。然后，在其最低位加1。这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。
当需转换的{十*}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。
表一4.2{十*}与{十}对照表及其说明(见表一)说明①表一中0+0-分别为从正负方向趋近于0所获得的0。
②表一中 表示形式为“连续非负整数个9”的全体的缩写。即 可为0个9，可为1个9，可为99，可为999，…等形式。这种形式表示的集合，称为“连集”。显然，“连集”为无限集。设E为整数，则 为E的“连集”，简称为“连E”。读作“E点”。以“连集”形式表示的一组无穷个数，称为“连集数组”或“连集组数”。
③ 由数10的二种表达形式可知。因此 ④在{十*}数系统中，“连集”形式有且仅有 四种。由于 故“连集”形式有且仅有 三种，亦可写为 三种。
4.3{十*}与{十}关系分析4.3.1{十}数是{十*}数的一部分，{十}数集是{十*}数集的真子集；{十*}数{十}数，即{十*}数对{十}数有真包含关系。
4.3.2{十}数与{十*}数的关系是“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{十*}就获得了多样处理的灵活性。这是{十*}运算中多样性、快速性的原因。从这一点来说，{十*}具有较强的功能。
{十}中P＝Q，因而在该数制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。{十*}中P＞Q，因而在该数制中自然数会出现多种形态表达。这正是该数制灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说{十*}是以多样性来换取了灵活性。有了它，才有了《混进方法HJF》，才有了“笔算工程”的新技术方案。有了它，也才有了处理器及其相应电子计算机新技术方案。
4.3.3{十*}数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十*}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的一组{十*}“连集组数”。所以，这种{十}数的“一”与{十*}“连集组数”的“一”组，二者是“一一对应”关系。
由此，可建立一种{十*}数与{十}数的互为映射关系。
由于变换是集到自身上的对应，所以{十}与{十*}数是“一一变换”。对于运算系统来说，{十}与{十*}数系统是“自同构”。相应{十}数的各种运算性质，亦在{十*}数系统中成立。
4.3.4应当指出，显然，上述对{十}与{十*}的分析，完全相应于{Q}与{Q*}的分析，因为{十}与{Q}是同构的。由此可知①{Q}数是{Q*}数的一部份，{Q}数集是{Q*}数集的真子集。{Q*}数{Q}数，即{Q*}数对于{Q}数有真包含关系。②{Q}数与{Q*}数的关系是“一多对应”，而不是“一一对应”。③同时，{Q}中的“一”个数与相应的{Q*}中的“一”组“连集组数”，二者之间是“一一对应”关系。④{Q}与{Q*}数系统是“自同构”。相应{Q}数系统的各种运算性质，亦在{Q*}数系统中成立。
以下为增Q进制的情况4.《增十进制》{十Δ}与《普通十进制》{十}的关系。
4.1{十Δ}与{十}数的转换法这里指整数的情况，例如{十Δ}222324＝{十}221716(式十一)。{十}数需经表一转换成为{十}Δ数。
{十Δ}数转换成{十}数。方法有几种一种是将{十Δ}数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十Δ}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例{十Δ}222324＝{十}222020-304＝221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加1)。另一种方法是在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如222×2×。但，当其不在{十Δ}数末尾(个位)时，则最低位加1；连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如×××6×5。然后，在其最低位加1。
这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。当需转换的{十Δ}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。
4.2{十Δ}与{十}对照表及其说明(见表一)说明②{十}数相应的{十Δ}数可有重复数，也可没有；③凡{十Δ}数中有数字5(正或负)出现时，则相应的{十}数有重复的{十Δ}数。此时，该相应的{十}数中可有数字5，也可没有。{十Δ}数对{十}数的重复数，以5＝15及5＝15为“主重复”，即其余重复数均可由此推出。
④实质上，由于{十Δ}的数元集中既含有5，又含有5才产生相应的重复数。换句话说，只要{十Δ}的数元集中去掉5或5，则不会产生重复数。这时，相应这种无重复数的数制，称为Q＝10的偏Q进制{Q’}。
表一{十Δ}与{十}数对照表4.3{十Δ}与{十}关系分析{十}数与{十Δ}数的关系是部分“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{十Δ}就获得了部分多样处理的灵活性。这是{十Δ}运算中部分多样性、快速性的原因。从这一点来说，{十△}具有较强的功能。
{十Δ}数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十Δ}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的一组{十Δ}数。所以，这种{十}数的“一”与{十Δ}数的“一”组，二者是“一一对应”关系。
由此，可建立一种{十Δ}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{十Δ}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{十Δ}数系统中成立。
{十Δ}中P＞Q，因而在该数制中自然数有时会出现多种形态表达。这正是该数制灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说{十Δ}是以部分多样性来换取了部分灵活性。{十}中P＝Q，因而在该数制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。
应当指出，显然，上述对{十}与{十Δ}的分析，完全相应于{Q}与{QΔ}的分析，因为{十}与{Q}是同构的。由此可知①{Q}数与{QΔ}数的关系是部分“一多对应”，而不是“一一对应”。②同时，{Q}中的“一”个数与相应的{QΔ}中的“一”组数，二者之间是“一一对应”关系。③{Q}与{QΔ}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{QΔ}数系统中成立。
以下为偏Q进制的情况4.《偏十进制》{十’}与《普通十进制》{十}的关系。
4.1{十’}与{十}数的转换法这里指整数的情况，例如{十’}222324＝{十}221716(式十一)。{十}数需经表一转换成为{十’}数。
{十’}数转换成{十}数。方法有几种一种是将{十’}数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十’}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例{十’}222324＝{十}222020-304＝221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加1)。另一种方法是在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如222×2×。但，当其不在{十’}数末尾(个位)时，则最低位加1；连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如×××6×5。然后，在其最低位加1。
这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。当需转换的{十’}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。
4.2{十’}与{十}对照表及其说明(见表一)说明表一中相应这种无重复数的数制，称为偏Q进制{Q’}，Q＝10的情况。
4.3{十’}与{十}关系分析{十’}数与{十}数的关系是“一一对应”关系。{十’}数转换为{十}
表一{十’}与{十}数对照表数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十’}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的{十’}数。由此，可建立一种{十’}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{十’}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{十’}数系统中成立。{十’}中P＝Q，因而在该数制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有多样性，也缺少了相应的灵活性。
应当指出，显然，上述对{十}与{十’}的分析，完全相应于{Q}与{Q’}的分析，因为{十}与{Q}同构。由此可知①{Q}数与{Q’}数的关系是“一一对应”。②{Q}与{Q’}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{Q’}数系统中成立。
以上分别为混Q进制、增Q进制、偏Q进制的情况5.综合上述，可有如下简明结论混数进制、《混进方法HJF》在数字工程中，可显著提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。它正是钱学森指出的数学
“直接应用的工程技术”。这种
与数字计算工程紧密结合的方法，称为“混数进制、进位行数字工程方法”。
第二部分 混数算盘混数算盘有混Q算盘和增/偏Q算盘两类。
图1为混Q算盘机械结构示意图(Q＝10)。在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠1沿竖档7上下移动，采用“对冲”、“划Q”、累加来进行计算；竖档7为15档。竖档7上有Q或(Q-1)只算珠1；当Q＝10时，为9只或10只算珠1。算珠1的初始位置，均在竖档7的中央部分，而竖档7的上下二端均为空位。游标13在上框小槽6中滑动到指定的被加数小数点位置。
本发明混Q算盘中，其编译码采用定码长来展示。混数进制运算可为前述方案二来展示；设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；在运算过程中，首先将普通Q进制数化为混Q进制数一般形式。将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去；然后进行混Q进制、进位行“混进方法HJF”的求和运算。运算结果为“混Q进制”的“混Q数”。当最终需要时，再将“混Q数”转换为普通Q进制数；或者普通十进制数。参加运算的数为混Q进制数，简称“混Q数”。当Q＝10时，则为混十进制数，简称为“混十数”。该数采用全一码及正负码编码，采用定码长来展示。
图2为增/偏Q算盘机械结构示意图(Q＝10)。混数进制运算可为前述方案二来展示；在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠1沿竖档7上下移动，采用“对冲”、“划Q”、累加来进行计算。在上下框之间采用15档竖档7。竖档7呈直线型。每根竖档7上贯穿有Q/2或(Q+1)/2只算珠1；当Q＝10时，有5只算珠1。在上框5的上方具有一根横轴，横轴上相应每根竖档7，均有可转动的转换标示10。转换标示10为正三角柱体三值{0，±5}状态元器件。上框5的水平中线位置上有上框小槽6。小槽中有游标13、游标24。游标可以在槽中左右滑动，作为参与运算及结果数的小数点或其他特定的定位标记。
算珠的初始位置，均在竖档的中央部分，而竖档的上下二端均为空位。以四则运算的加法为例，被加数布珠1在竖档7上，其个位在右边为被加数小数点的竖档7。竖档7上有Q/2或(Q+1)/2只算珠1；当Q＝10时，为5只算珠1。游标13在上框小槽6中滑动到指定的被加数小数点位置。设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；(本发明中，均采用2K个混数进制数来展示)；参加运算的数为增/偏Q进制数，简称“增/偏Q数”。当Q＝10时，简称为“增/偏十数”。该数采用全一码及正负码编码，采用定码长来展示。
算盘中的数字工程方法，采用前述第一种步骤。特点为<1>在加法运算时，依加法口诀执行。设该加数的某位为正数，则将位于竖档7中央的算珠1(称为“中珠”或“零珠”)，上拨依次紧靠上框6(称为“上珠”或“正珠”)；某位为负数时，则将位于竖档7中央的算珠1，下拨依次紧靠下框9(称为“下珠”或“负珠”)。布珠及运算照口诀。和数以混数数呈现于竖档7上。在运算过程中，当算珠从下位移到中位，或从中位移到上位，则为“加”；反之，当算珠从上位移到中位，或从中位移到下位，则为“减”或“加”负值。运算中可充分运用“对冲”及“划Q”，用来提高运算速度。
运算口诀如下①加法、乘法珠算口诀一下九上一，二下八上一，三下七上一，四下六上一，五下五上一，六下四上一，七下三上一，八下二上一，九下一上一，五下下上一。
(其中9＝8和1，7和2，6和3，5和4；8＝7和1，6和2，5和3，4和4；7＝6和1，5和2，4和3，；6＝5和1，4和2，3和3；5＝4和1，3和2；4＝3和1，2和2；3＝2和1；2＝1和1；)②加“负数”时将上述口诀变为首数为负，“上”与“下”互相替换。例如，六上四下一。这里，由于口诀与上述“对称”，故未增加复杂性。
运算格式如下 <2>运算中及运算结束时，常采用“对冲”及“划Q”。
<3>当最终结果需要转换为普通十进制数时，则照前述转换法则即可①该数为正数时，固定该正数的正数元不变。②该正数的负数元采用前述加负数的口诀。其中，“上”变为“转”即可。也就是使负数元归0，然后替换为对Q取补的相应正数元。③该数为负数时，则将该数变号，即各位变为相反数，然后再转换；或者，采用与上述口诀对称的相反口诀，转换成各位均为“下珠”。
增/偏Q算盘中，当Q＝10时，需要表示±6、±7、±8、±9，则配以表示值为二值{0，5}或三值{0，±5}中的5“转换标示”10。
增/偏Q算盘中，当Q＝10时，可以另一种转换方式正数时口诀为“双推转下一”；负数时口诀为“双推转上一”。这里所谓“双推”，对负数元是，以手指一次性同时将全部下珠(负珠)及中珠(零珠)上推一档。即，将全部下珠推为中珠，同时将全部中珠推为上珠(正珠)；对正数元是，以手指一次性同时将全部上珠(正珠)及中珠(零珠)下推一档。即，将全部上珠推为中珠，同时将全部中珠推为下珠(负珠)。这里所谓“转”，对负数元是将{0，±5}三态的“转换标示”设为5；对正数元是将{0，±5}三态的“转换标示”设为5。这里所谓“上下一”，与前述口诀中一样，为将相邻高位上的一只算珠上推一档或下推一档。
具体说，这另一种转换方式为①当需转换的混数进制数，首位为正时，表示该数为正数。这时将该数中的负数元归0；然后，替换为此负数元的绝对值对Q取补的相应正数元；再在相邻高位下一。当Q＝10时，即对此负数元“双推转下一”。②当需转换的混数进制数，首位为负时，表示该数为负数。这时将该数中的正数元归0；然后，替换为此正数元对Q取补的相应负数元；再在相邻高位上一。当Q＝10时，即对此正数元“双推转上一”。③这样转换结果即为所求{十}数。相应该数是正数时，全部算珠为上珠和中珠，同时配以{0，5}转换标示；相应该数是负数时，全部算珠为下珠和中珠，同时配以{0，5}转换标示；相应该数是0时，全部算珠为中珠，同时配以{0}转换标示。
需要指出的是，对于偏Q算盘中的偏十算盘，则上述全部运算中不使用“负5”。
图3为正三角柱体“转换标示”10。其中心有孔，贯穿在横轴上可转动。正三角柱体的三面可以不同颜色来表示{0，±5}。当需要把运算结果混十进制数转换为普通十进制数时，以此作为{0，±5}的“转换标示”。
第三部分增Q进制及全一码1.增Q进制1.1定义在一个Q进制数制中，凡P＞Q的进制，特别是P＝Q+1＞Q的进制，称为“增强Q进制”。Q为自然数。简称为“增Q进制”。其中，含0整数段、不对称增Q进制称为“含0不对称增Q进制”。
增Q进制中，当Q＝1时，即为“增一进制”。增一进制中，主要有二种。其一是{0，1}一进制，它可表示全部非负整数。其元器件为二态器件。其二是{1，1}一进制，它可表示全部整数。其元器件亦为二态器件。本文下面所称“增一进制”，除特别注明外，均指{0，1}一进制。
1.2{0，1}一进制与{Q}的关系。
1.2.1{0，1}一进制数与{Q}数的转换法。
{0，1}一进制数转换成{Q}数，可以将{0，1}一进制数中的各位数字1，以{Q}计数即可。所得{Q}计数和，即为相应的{Q}数。这就是说，{0，1}一进制数中有几个1，则相应的{Q}数即为几。显然，这是十分简单的法则(见表二)；{Q}数转换成{0，1}一进制数，可将{Q}数各位均乘以各位上的权，然后将这些积以同样个数的1，分别在所要表达的{0，1}一进制数位置上，以不重复的方式列出即可。这就是说，{Q}数为几，则{0，1}一进制数中就有几个1。显然，这也是十分简单的法则。(见表三)1.2.2{0，1}一进制数与{Q}数对照表及其说明
表二表三说明①{0，1}一进制数可表示全部{Q}数②有较多的重复数，以4位{0，1}一进制数为例，除0及4唯一外，其余均有重复数。其中，1有4个；2有6个；3有4个。于是，从0～4的重复数分别为1，4，6，4，1个。这与二项式展开系数CKn是一致的。位数n为自然数，K为0～n。
③表中
表示形式为“连续非负整数个0”的全体的缩写。即
可为0个0，可为1个0，可为00，可为000，…等形式。这种形式表示的集合，称为“连集”。显然，“连集”为无限集。设E为整数，则
为E的“连集”，简称为“连E”。读作“E点”。以“连集”形式表示的一组无穷个数，称为“连集数组”或“连集组数”。
1.2.3{0，1}一进制与{Q}关系分析。
(1)Q1，Q为自然数；1为最小的自然数，也是最基本的自然数单元。Q真包含1，这使得相应的{Q}与{0，1}一进制之间存在自然的联系。
(2){Q}数与{0，1}一进制数的关系是“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。{0，1}一进制中P＝Q+1＞Q，因而在该数制中，自然数有时会出现多种形态表达，这正是该数制灵活性所在。也可以说，{0，1}一进制是以多样性来换取了灵活性。{Q}中P＝Q，因而在该类数中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。
(3){0，1}一进制数转换为{Q}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{0，1}一进制数可经{Q}数加减直接获得，而{Q}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{Q}数也只能化为相应唯一的一组{0，1}一进制“连集组数”。所以，这种{Q}数的“一”与{0，1}一进制“连集组数”的“一”组，二者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{0，1}一进制数与{Q}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{Q}与{0，1}一进制数系统“同构”。相应{Q}数的各种基本运算性质，亦在{0，1}一进制数系统中成立。
1.3{0，1}一进制的应用{0，1}一进制由于以么元1配以0构造数，而且权为1，故其“运算”常以“传送”来实现。这是{0，1}一进制数运算快速原因之一。{0，1}一进制数运算中的“进位”，也以二数当前位的按位加和为0，而进位为Q的“划Q”逻辑实现。这种“传送”及“划Q”的逻辑实现，结构简单，速度却快。这是{0，1}一进制数运算快速原因之二。当{0，1}一进制数与各种混数进制数结合运算时，又补充了“对冲”这一结构更为简单、速度更为快速的逻辑。这是{0，1}一进制数运算快速原因之三。
上述{0，1}一进制与各种混数进制相结合，使得功能更加增强。考虑到{0，1}一进制→{Q}→各种混数进制，这其中有着内在的联系。显然，这一切均在预料之中。
2.全一进制及全一编码2.1全一进制和全一数{0，1}一进制数的多样性就获得了多样处理的灵活性。但是，由于{0，1}一进制数“连集”形式有且仅有一种 而且具有极端的多样，在同一个数中可出现一次以上的“连集”形式。由此造成同一个数的形式过于多样，难以把握，不便于控制，势必增加设备并且影响运算速度。因此，在一般情况下，有必要对{0，1}一进制数加以某种约束条件。这就产生了“全一进制”。
在{0，1}一进制的正整数中，限定每一组“连集组数”只选取自个位开始，从右向左连续排列么元1的唯一的一种形态表达；高位上均为0，或以空位表示。例如{十}数3＝{0，1}一进制数 (“/”表“或者”)，限定为{十}3＝{0，1}一进制111。这样，每一组“连集组数”中的重复数均被删除，只剩下一个全是1的唯一形态，我们称为“全一数”。表达“全一数”的进制称之为“全一进制”。表三中，{0，1}一进制数最左边的形态，即为“全一进制”数。因此，“全一进制”可以是加特定约束条件的{0，1}一进制。
在《数制理论SZLL》的“位值制数制”中，定义数中的空位表示具有隐含的“空位0”；在其数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。因此，“全一进制”可以从不含0普通Q进制{不含0，Q}中的{1}一进制获得；故可以定义“全一进制”为{1}一进制，以符号{一}来表示。当考虑到正负整数时，可以将该全一进制数的正负符号，分配到该数的各位上去，从而构造各位均带相同符号的全一进制数。本发明中除特别注明外，均指此种“全一进制”，亦以符号{一}来表示。
“全一进制”也可以从不含0混Q进制{不含0，Q*}中的“{1，1}一进制”，加约束条件获得。约束条件为该进制数，必须各位上符号均相同；还可以从不含0增一进制中的“{1，1}一进制”，加上述同样约束条件获得；此外，还可以从其它混数进制获得。
2.2全一码全一进制显然具有如下优缺点。优点①运算速度快。“传送”代替了“翻转”。②多重运算时，不需要二二求和，只需要先“对冲”后“划Q”即可得结果。这就大大加快了总体运算速度。③与{Q}转换方便；缺点①“字长”太长，位数多。(当取可变字长时，其平均字长仅为一半。) ②荷载信息量较小。因此，根据全一进制的优缺点，扬长避短，以全一进制数来编码各种混数进制数是合适的。以“全一进制”数来编码，称为“全一编码”。“全一编码”中采用的“全一数”，称为“全一码”。全一码一位编码的{二}数，即为{二}数本身。全一码九位编码的{十}数，码长增加至9倍。(当取可变码长时，其平均码长仅为5倍。)例如{十}23＝全一码＝≡。
2.3全一码的计算。
全一码的计算非常简单。n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列，称为“排1”。以二数加法为例，如11+111＝11111。特别是，在各种混数进制的数字工程中，仅仅只需先“对冲”后“划Q”，就能获得各种混数进制数的运算结果。当最终结果需要输出时，才将以全一码编码的各种混数进制数，转换成{Q}或{十}数输出。
2.4全一码的应用。
全一码主要应用于对{Q}数及各种混数进制数进行编码。特别是，①采用全一码九位编码{十}数，可以实现普通十进制{十}、全一码、进位行处理器和笔算工程及算盘。
②采用全一码九位编码{十*}数，可以实现混十进制{十*}、全一码、进位行处理器和笔算工程及算盘。
③采用全一码编码各种混数进制数，可以实现各种混数进制、全一码、进位行处理器和笔算工程及算盘。
第四部分 正负码以正数、负数或正数、0、负数的“正负数对”，来对数制的数元进行编码的方法，称为“正负码编码”。相应的码称为“正负码”。{Q*}中Q＝10时，{十*}数元人为构造如下正负码。即，将混十进制数的数元s，以三个特定值之和来编码。其中例如，一位正值，一位0值，一位负值。设，s为{十*}整数，r＝{十}0，1，2，3，4，5；{QΔ}/{Q’}中Q＝10时，{十Δ}/{十’}数元人为构造如下正负码。即，将增/偏十进制数的数元s，以三个特定值之和来编码。其中例如，一位正值，一位0值，一位负值。设，s为{十Δ}/{十’}整数，r＝{十}0，1，2。则有r+0+r+s＝r+0+r+s＝s；r+s+0+r＝s。
采用正负码编码的优点原数与正负码是“一多对应”关系。由此产生了新的重复数，增强了数据表达形式的多样性；而且可充分运用“对冲”，从而提高了运算速度。
采用正负码编码的缺点正负码编码二位或三位，使操作的复杂性增加。因而，它仅适用于算盘；在电子计算机及笔算工程中，不宜采用。
权利要求
1.一种混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，采用Q进制数，以Q进制运算；其特征在于，采用“混数进制”数，以“混数进制、进位行方法”运算。
2.如权利要求1混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，“混数进制、进位行方法”运算可为下列方案之一；方案一(适于计算机、笔算工程中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；②混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案二(适于计算机、算盘中；也可用于笔算工程，也可不用；)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码为“编码全一进制数”；②“编码全一进制数”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③“编码全一进制数”译码为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案三(适于计算机中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为{0，±1}二进制数(其特况为“普通二进制数”)；②{0，±1}二进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③{0，±1}二进制数译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案四(适于计算机中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为“编码{0，±1}二进制数”(其特况为“编码普通二进制数”)；②“编码{0，±1}二进制数”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③“编码{0，±1}二进制数”译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；本发明中，采用方案一、方案二来展示。
3.如权利要求1-2混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，“混数进制、进位行方法”包括以下第一种步骤第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；(本发明中，均采用2K个混数进制数来展示)；第2步，对K或2K个数中的二个数，进行混数进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用“对冲”、“划Q”、累加，得到这二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第3步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步的运算；如此反复，直至二数最高位也已运算为止；当采用并行运算时，二数各位同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；第4步，取K或2K个数中的另二个数，进行第2步及第3步运算；如此反复，直至K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果；或者，采用以下第二种步骤第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；(本发明中，均采用2K个混数进制数来展示)；第2步，从最低位开始，即在某一位上，取二数、K或2K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、累加；即在二数时，得到二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第3步，在上述某位上，取K或2K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对n个和为0的数先进行“对冲”；然后，对n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K或2K个数最高位也已运算为止；第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果；或者，采用以下第三种步骤第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；(本发明中，均采用2K个混数进制数来展示)；第2步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，n个和为0的数进行“对冲”；n为≥2的整数；第3步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“混数进位”，则存放到下一运算层的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第4步，采用所谓“二维运算”；即，在K或2K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得混数进制加法运算和数，即为所求K个普通Q进制数加减运算结果。
4.如权利要求1-3混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，“混数进制、进位行方法”对K个数中的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中n个运算数的按位加和为零，但产生进位m(与n个数的和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，将n个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。
5.如权利要求1-4混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，“混数进制、进位行方法”其中所述运算数是混数进制的混Q进制、或增Q进制、或偏Q进制数，Q为自然数；可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0，总位数则为Q、或(Q-1)、或Q/2、或(Q+1)/2位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；当采用全一码来编码混数进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列；其全一码编译可以定码长或变码长。
6.如权利要求1-5混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，混数算盘采用“混数进制、进位行方法”运算；设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；混数进制运算可为前述方案二；算盘中的数字工程方法，采用前述第一种步骤；在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠(1)沿竖档(7)上下移动，采用“对冲”、“划Q”、累加来进行计算；具有竖档(7)，其上有可垂直移动的一些算珠(1)。
7.如权利要求1-6混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，混数算盘竖档(7)呈直线型；或者呈 分为长度相等的上中下三段；每段长度约为全档算珠的厚度，其起伏均有圆滑过渡，以便于算珠推动；竖档(7)可以为15档，或15档以上，或15档以下。
8.如权利要求1-7混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，混数算盘每根竖档(7)上有Q、或(Q-1)、或Q/2、或(Q+1)/2只算珠(1)。
9.如权利要求1-8混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，混数算盘可在每根竖档(7)上下各增加一个可上下移动的算珠，以横梁隔开；或者，在上框(5)的上方具有一根横轴，横轴上相应每根竖档(7)，均有可转动的转换标示(10)；“转换标示”(10)为正三角柱体、正方柱体、圆柱体、球体或算珠体等，二值{0，5}或三值{0，±5}状态元器件；或者，不增加。
10.如权利要求1-9混数进制、进位行数字工程方法的混数算盘，其特征在于，混数算盘所述运算数是混数进制的混Q进制、或增Q进制、或偏Q进制数，Q为自然数；运算数用全一码及正负码编码来表示；本发明混数算盘中，采用定码长来展示。
全文摘要
本发明涉及数字工程方法和算盘领域，提出又一种新的数字工程方法，显著提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。本发明采用“混数进制、进位行方法”将参与加减运算的K个普通Q进制数转换成K或2K个混数进制数。然后对K或2K个数进行混数进制求和。从最低位开始或各位同时“按位加”，和数记入下一运算层；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处。经过如此反复运算，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止。则最后所得数，即为所求混数进制加法和数。本发明同时提供了混数算盘。
文档编号G06F15/76GK1801027SQ20051011395
公开日2006年7月12日 申请日期2005年10月17日 优先权日2004年10月17日
发明者李志中, 徐菊园 申请人:李志中