专利名称：一种数字图像加密和解密方法
技术领域：
本发明涉及一种数字图像加密和解密方法，属于信息安全领域和图像处理领域。
背景技术：
在过去的几十年里，为了保护数字图像不受侵犯，各种数字图像加密方法相继发展起来 并被广泛采用。继Refregier和Javidi最早采用双随机相位编码技术去加密数字图像， Unnikrishnan和Singh利用分数阶傅里叶变换得到了基于分数阶傅里叶域双随机相位编码数字
图像加密方法。
分数阶傅里叶变换定义为
<formula>formula see original document page 3</formula>
(2)
其中，"为变换阶次，变换角度《=^2"/2。
相应的"阶7VxiV点离散分数阶傅里叶变换矩阵为
(3)
F"=VD"V7'
其中r表示矩阵转置，矩阵v是由F的特征向量组成v^v。lv,l…v^lv^], ^为第yt阶离
散Hermite-Gaussian特征向量，对角矩阵Da由特征值《=exp(-_/1号a)组成。 离散分数阶傅里叶矩阵满足Fa+A = F" TA和F1 = F 。
我们在使用二维离散分数阶傅里叶变换处理数字图像时，可以通过两次运用一维离散分 数阶傅里叶变换来实现。对于二维7Vx7V点数字图像P，其二维(a力)阶离散分数阶傅里叶变换 为
P(0,A)=F。.P.FA (4)其中F"和Ffc分别为7Vx W点的一维离散分数阶傅里叶矩阵。
令[expC/aO,"))]和[expC^(附，"))]分别表示Wx W点的双随机相位掩模函数，那么基于 分数阶傅里叶变换的双随机相位编码数字图像加密过程可以表示为
Q = FC{(F。(P。 [e—'")])叫。[e麵")， (5)
其中矩阵Q是加密后的图像，符号D表示矩阵元素之间乘积运算。 由于数字图像是实值的，因而根据(5)式可以得到相应的解密过程为
R =
=P (6)
F。{(Fc-Q*-Fd)C] [e'岸'")]!F6
这样，我们就得到了所期望的解密图像P。
在离散分数阶傅里叶变换的基础上，Pei提出了多阶次离散分数阶傅里叶变换，并提出基 于多阶次离散分数阶傅里叶变换的数字图像加密方法。
多阶次离散分数阶傅里叶变换定义为
Fa = VDaVr (7)
其中对角矩阵
Da ^diag&""av""。'，…，e-巧(^1)"、'—'} (8) V二[v。lv,l…v^1 —J，、是F的特征向量；向量参数a由iV个不同阶次组成
a = 。0, ■..， —,)。 (9)
将(7)式带入(5)式和(6)式，可以得到在多阶次分数阶傅里叶域的双随机相位数字图像加密 方法，其加密过程为
Q = Fc{(Fa(P。 [e一'")])F卞[e奔'")]!Fd (10)
相应的解密过程为
R= Fa{(Fc'Q*'F> ]}Fb =P (11)
其中向量a,b,c,d均为lx7V大小的阶次向量。
从(3)式和(7)式可以看出，上述基于离散分数阶傅里叶变换和多阶次离散分数阶傅里叶变 换的数字图像加密和解密过程均会使用随机相位掩模来增加图像加密的安全性，这会增加加 密和解密过程的复杂性。为了提高数字图像加密和解密的安全性，本发明提出一种可应用于信息安全领域的数字 图像加密和解密方法。同时该方法不需要在图像加密和解密过程中使用随机相位掩模，因而 降低了加密和解密过程的复杂性。该方法利用广义多阶次离散分数阶傅里叶变换对数字图像 进行加密和解密。本发明所提出的数字图像加密和解密方法包括如下的步骤
加密过程
步骤1)选择用来加密的二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换矩阵。多阶次广义离散分 数阶傅里叶变换矩阵有多种构成形式，比如F,;， F;等，因而我们可以选择不同构成方式的
多阶次广义离散分数阶傅里叶变换矩阵作为加密所采用的变换矩阵。比如，选择二维变换的 左矩阵和右矩阵分别为F;和F^ ，那么二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换为
Fa'b =Fa Fb
其中(H)表示矩阵之间的张量积，向量a,b均为lxW大小的阶次向量。
当然，二维变换所需要的两个矩阵的形式可以相同，也可以不同。比如上式中的二维多 阶次广义离散分数阶傅里叶变换矩阵F^^就是采用不同的矩阵形式。
本步骤所用到的多阶次广义离散分数阶傅里叶变换是一种广义的多阶次离散分数阶傅里 叶变换。其定义可以通过如下推导得到-
根据(3)式，令阶次"=4/《，其中S为任意整数，那么根据离散分数阶傅里叶变换的相加
性和周期性，我们有
(F""、F4二I (12)
其中I为单位矩阵。
可以看出，分数阶矩阵F^'的周期为^，因此，如果我们令K二F"、构造矩阵
F;^C,(")K' (13)
/=0
其中参数
C,("h""""^' (14)
那么我们可以得到F^6 .F^和F; =K = F4/P| 。这表明通过对离散分数阶傅里叶变换矩 阵K" = F"(4//i)线性求和得到的新矩阵F,w也为分数阶矩阵。根据(3)式，可以得到分数阶矩阵F;的对角化形式为
其中对角矩阵
<formula>formula see original document page 6</formula>
对于分数阶矩阵F;;，我们可以进一步对其分数化。令"=/^/尸2，其中A为任意整数，那么我们有
因而，我们可以构造矩阵
<formula>formula see original document page 6</formula>
其中参数
<formula>formula see original document page 6</formula>
那么，我们可以得到F--F;F;和F;-F,，。这表明矩阵F;也为分数阶矩阵c根据(3)式，我们也可以得到分数阶矩阵F;的对角化形式为
<formula>formula see original document page 6</formula>类似的，我们可以重复这种分数阶矩阵的构造过程，得到其它的分数阶矩阵形式，如F;。
由于这种分数阶矩阵是由离散分数阶傅里叶变换矩阵线性求和得到，因而称为广义离散分数阶傅里叶变换矩阵。
根据广义离散分数阶傅里叶变换矩阵的对角形式，定义多阶次广义离散分数阶傅里叶变
换矩阵为
<formula>formula see original document page 6</formula>(22)
其中V二[v。hl…v^lv^]， ^是离散分数阶傅里叶变换矩阵的特征向量；参数a为阶次向量，由W个不同的阶次组成
a-("o,",，…，^) ° (24)
同样，对于广义离散分数阶傅里叶变换矩阵F;，其多阶次形式为
F2aw = VDa2wVw (25)
其中
D; = diag p嗜线)",e—嗜,V"V.., 、} ， (26)
对于其它形式的广义离散分数阶傅里叶变换，也可以得到其对应的多阶次形式。
由于多阶次广义离散分数阶傅里叶变换不仅具有多个阶次，并且具有多种构成形式，因
而可以提高数字图像加密的安全性。
歩骤2)在歩骤1已经选择好二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换矩阵的基础上，再选
择二维变换矩阵的阶次向量a和b。对于二维变换，有两个lx7V大小的阶次向量a和b，其中
a-(a。，q,…, —,)，b = (6Q,6,，"、~—,)。阶次向量a和b的;V个分量可以人为的选取，也可以
随机的生成。
步骤3)根据加密步骤1和步骤2中所选择的变换矩阵构成形式和阶次，直接对原始数字图像进行二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换，得到加密图像。对于二维数字图像P,对其加密可以表示为
Q二F,VP《 (27)
可以看出，由于多阶次广义离散分数阶傅里叶变换具有多个变换矩阵选择形式和多个阶次选择，因而我们可以直接对数字图像进行加密，而不需要采用随机掩模运算，降低了加密过程的复杂度。同时，整个加密过程只是对原始图像进行了加密，没有用到其他函数，因而非法解密者不会从其他函数进行逆求解过程得到原始图像，这也增加了加密的安全性。解密过程
步骤l)根据加密步骤l，生成加密中所采用的二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换矩
mlw ，量2W o
步骤2)根据加密步骤2中所使用的二维变换矩阵的两个lxiV大小阶次向量a和b，生成其反阶次向量-a = ( -"。, —^,…，)和_b = ( -6。, —6,,…，—~—,)。
步骤3)根据多阶次广义离散分数阶傅里叶变换的旋转相加性，在解密步骤1和步骤2已经生成变换矩阵构成形式和阶次向量的基础上，对加密过的图像Q进行二维变换可以得到相应的解密过程为-
R = F;.Q.F: (28)
其中R为解密图像。也就是说，根据加密所釆用的多阶次广义离散分数阶傅里叶变换矩阵，阶次密钥a和b ,对加密图像Q直接做一个-a和-b阶次的多阶次广义离散分数阶傅里叶变换即可。
有益效果
本发明提出一种可应用于信息安全领域的数字图像加密和解密方法。该方法利用广义多阶次离散分数阶傅里叶变换对数字图像进行加密和解密。较之传统的离散傅里叶变换和离散分数阶傅里叶变换，由于该多阶次广义离散分数阶傅里叶变换不仅具有多个阶次参数，而且还具有多种构造方式，因而应用于数字图像加密会使得安全性更高。同时，利用该变换对数字图像进行加密和解密时，不需要利用随机相位掩模，简化了加密和解密过程，具有很强的实用性。
图l一原始图像；
图2 —采用二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换矩阵F^,w =F,aw (8)F^对原始图像加密后的图像。其中周期(^,^) = (25,25)，阶次向量(a,b)从高斯分布W(5,l)中随机产生；
图3 —采用正确的解密变换矩阵形式F,—;lwb，正确的周期以及正确的阶次向量后得到的解密图像；
图4一解密阶次向量为a'-a + S和b:b + S的解密图像，其中向量S从高斯分布W(0，l)中随机生成；
图5 —解密周期为(/^,^) = (9,9)的解密图像；
图6—采用二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换F^w =&;@&;后的加密图像。其中周期= (25,25)，(户2。，尸2/)) = (18,17)，阶次向量(a，b)从高斯分布W(5，l)中随机产生；图7—解密周期为(A。',& ') = (19,30)，(尸2。 ',P2A') = (10,12)的解密图像。下面结合附图和实施例对本发明做详细说明。
所要加密的数字图像是大小为256x256的标准"Lena"图像，如图1所示。对于其加密 和解密过程分为以下步骤 加密过程
步骤一选择用来加密的二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换矩阵。这里，选择变换
矩阵为
Fa'b =;Fa Fb (79) 其中矩阵F，；和F^见(22)式和(23)式。从(23)式可以看出，矩阵F,;还和周期有关。这里选
择F,;和F^的周期分别为= (25,25)。由于图像大小是256x256的，因而F,;和F,bw分
别也是256x256大小的。
步骤二在步骤1已经选择好二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换矩阵的基础上，再 选择二维变换矩阵的阶次向量a和b。这里选择阶次向量(a，b)从高斯分布7V(5,l)中随机产生。
然后根据(29)式，可以得到变换矩阵F^w的具体数值。
步骤三根据步骤1和步骤2中所选择的变换矩阵构成形式和阶次后，直接对原始数字 图像P进行二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换，其中多阶次广义离散分数阶傅里叶变换 矩阵F^,w，得到加密图像Q，如图2所示。
(^F;.P《 (30)
解密过程
歩骤一根据加密步骤1生成加密中所采用的二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换矩
阵F;， F，w。
步骤二根据加密步骤2中所使用的二维变换矩阵两个lx7V大小阶次向量a和b，生成 其反阶次向量一a-(-a。,一a,，…，一^一)和—b-(—6。，一6,，…，—U。
步骤三根据多阶次广义离散分数阶傅里叶变换的旋转相加性，在解密步骤1和步骤2 已经生成变换矩阵构成形式和阶次向量的基础上，对加密过的图像Q进行二维变换，得到解 密图像R为
R = F:.Q.Flwb (31)
得到的正确解密图像R见图3所示。从整个加密和解密过程可以看出，变换矩阵F,;、的产生需要用到具体的矩阵形式，周期 A，阶次向量a和b。这些参数都可以看作是加密过程中所使用的密钥，因而提高了加密的
整体安全性。为了验证加密性能，我们假定攻击者知道具体的矩阵形式，但是不知道周期阶 次向量a和b或^，此时所得到的解密图像如图4和图5所示。可以看出，即使攻击者知道
具体加密矩阵形式，但是不知道阶次向量a和b或^，其还是不可能对加密图像进行正确解
密的。当然，实际上攻击者对这些参数都是一无所知的，因而更不可能得到正确的解密图像。 需要特别指出的是，相对于传统的基于双随机相位编码技术的数字图像加密方法，本算法由 于其密钥选择空间的巨大，使得安全性很高；同时加密和解密过程不需要使用随机相位函数， 简化了整个加密和解密过程。为了更好的说明该方法的加密安全性，我们选择加密矩阵形式
》F2awb2w=F2aw F2bw，其周期参数为^。,/^) = (25,25)，(尸2。,尸2/)) = (18,17),阶次向量(a，b)从 高斯分布W(5,1)中随机产生，加密后的图像如图6所示。釆用解密周期为(^',/V)-(19,30)， (4/,尸2/) = (10,12)的解密图像如图7所示，可以看出，其它形式的多阶次广义离散分数阶傅 里叶变换矩阵用于图像加密具有同样的性能。
权利要求
1、一种数字图像加密和解密方法，其特征在于包括如下步骤加密步骤步骤1)选择用来加密的二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换的左右矩阵分别为F1wa和F2wa，那么二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换为<maths id="math0001" num="0001" ><math><![CDATA[ <mrow><msubsup> <mi>F</mi> <mrow><mn>1</mn><mi>W</mi><mn>2</mn><mi>W</mi> </mrow> <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> </mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup> <mi>F</mi> <mrow><mn>1</mn><mi>W</mi> </mrow> <mi>a</mi></msubsup><mo>⊗</mo><msubsup> <mi>F</mi> <mrow><mn>2</mn><mi>W</mi> </mrow> <mi>b</mi></msubsup> </mrow>]]></math></maths>其中 id="icf0002" file="A2009100937250002C2.tif" wi="3" he="3" top= "76" left = "28" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>表示矩阵之间的张量积；步骤2)选择二维变换矩阵的阶次向量a和b，其中a＝(a0，a1，…，aN-1)，b＝(b0，b1，…，bN-1)；步骤3)根据所选择的变换矩阵构成形式和阶次，直接对二维数字图像P进行二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换，得到加密图像，其加密过程可以表示为<maths id="math0002" num="0002" ><math><![CDATA[ <mrow><msubsup> <mrow><mi>Q</mi><mo>=</mo><mi>F</mi> </mrow> <mrow><mn>1</mn><mi>W</mi> </mrow> <mi>a</mi></msubsup><mo>·</mo><mi>P</mi><mo>·</mo><msubsup> <mi>F</mi> <mrow><mn>2</mn><mi>W</mi> </mrow> <mi>b</mi></msubsup> </mrow>]]></math></maths>解密步骤步骤1)根据加密图像Q，得到其加密步骤中所采用的二维多阶次广义离散分数阶傅里叶变换矩阵F1wa，F2wa；步骤2)根据加密步骤2中所使用的二维变换矩阵两个1×N大小阶次向量a和b，生成其反阶次向量-a＝(-a0，-a1，…，-aN-1)和-b＝(-b0，-b1，…，-bN-1)；步骤3)根据多阶次广义离散分数阶傅里叶变换的旋转相加性，在解密步骤1和步骤2的基础上，得到相应的解密图像为<maths id="math0003" num="0003" ><math><![CDATA[ <mrow><msubsup> <mrow><msub> <mi>R</mi> <mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo> </mrow></msub><mo>=</mo><mi>F</mi> </mrow> <mrow><mn>1</mn><mi>W</mi> </mrow> <mrow><mo>-</mo><mi>a</mi> </mrow></msubsup><mo>·</mo><mi>Q</mi><mo>·</mo><msubsup> <mi>F</mi> <mrow><mn>2</mn><mi>W</mi> </mrow> <mrow><mo>-</mo><mi>b</mi> </mrow></msubsup><mo>;</mo> </mrow>]]></math></maths>
2、 根据权利要求l 一种数字图像加密和解密方法所述，其特征在于加密中的二维变换矩阵的阶次向量a和b的各个分量可以人为的选取，也可以随机的生成。
全文摘要
本发明提出一种可应用于信息安全领域的数字图像加密和解密方法，属于信息安全领域和图像处理领域。该方法为了提高数字图像加密和解密的安全性，利用广义多阶次离散分数阶傅里叶变换对数字图像进行加密和解密。较之传统的离散傅里叶变换和离散分数阶傅里叶变换，由于该多阶次广义离散分数阶傅里叶变换不仅具有多个阶次参数，而且还具有多种构造方式，因而应用于数字图像加密会使得安全性更高。同时，利用该变换对数字图像进行加密和解密时，不需要利用随机相位掩模，简化了加密和解密过程，具有很强的实用性。
文档编号G06T1/00GK101661607SQ20091009372
公开日2010年3月3日 申请日期2009年9月25日 优先权日2009年9月25日
发明者峰 张, 越 王, 然 陶 申请人:北京理工大学