专利名称：一种基于多阶次分数阶傅里叶变换的图像加密与解密方法
技术领域：
本发明涉及一种基于多阶次分数阶傅里叶变换的图像加密与解密方法，属于信息安全技术领域。
背景技术：
图像信息生动形象，是人们表达信息的重要手段之一。目前，随着网络技术的快速发展，数字图像信息已广泛应用于军事、医学、金融等各个领域。但是，网络技术在使信息传递更加便利的同时，也不可避免的带来了信息安全的隐患。目前，图像信息非法盗取、窜改、传播日益猖獗，因此，保护数字图像内容安全的技术应运而生。
分数阶傅里叶变换的概念早在1929年即被提出，在20世纪80年代应用于光学领域，从90年代起成为信号处理领域的研究热点之一。分数阶傅里叶变换是傅里叶变换的广义形式，它在统一的时频域上进行信号处理，相对于传统的傅里叶变换，分数阶傅里叶变换灵活性更强，通过由0到2的阶次选择，分数阶傅里叶变换可以给出信号由时域变换到频域再变换到时域的全部特征。因此，分数阶傅里叶变换在信息安全领域得到了广泛的应用，不少学者采用分数阶傅里叶变换的核函数取代信息安全系统中傅里叶变换的核函数，提出了基于分数阶傅里叶变换的图像加密技术，利用分数阶傅里叶变换的变换阶次作为增加的密钥，扩大了密钥空间和非法窃取者解密的难度，提高了系统的安全性。
但是，现有基于分数阶傅里叶变换的数字图像加密系统只是传统基于傅里叶变换保密通信系统的简单扩展，即采用分数阶傅里叶变换或分数阶傅里叶域替代传统系统中的傅里叶变换或傅里叶域，分数阶傅里叶变换的阶次并没有得到充分的利用。
发明内容
本发明的一种基于多阶次分数阶傅里叶变换的图像加密与解密方法是选择离散采样型离散分数阶傅里叶变换为基本工具，利用多个离散分数阶傅里叶变换的变换阶次作为图像加密密钥，弥补了现有基于分数阶傅里叶变换的图像加密系统无法充分利用分数阶傅里叶变换阶次的缺点，扩大了密钥空间，提高了系统的安全性。
本发明的目的是通过下述技术方案实现的。
本发明的一种基于多阶次分数阶傅里叶变换的图像加密与解密方法，分为图像加密和图像解密两部分； 实现图像加密的步骤如下 步骤一、将尺寸为A×B的原始图像的宽和长分别分为M和N等份，得到M×N个等大小的尺寸为(A/M)×(B/N)的子图像S(a-1)N+b，a＝1，2，...，M，b＝1，2，...，N； 步骤二、将信息加密步骤一得到的每一个子图像S(a-1)N+b的每一个列向量进行M倍内插和p2[(a-1)N+b]-1阶逆离散分数阶傅里叶变换，再对其行向量进行N倍内插和p2[(a-1)N+b]阶逆离散分数阶傅里叶变换，由此得到Y(a-1)N+b，其数学表达式如式(1)所示 其中，X(a-1)N+b为对S(a-1)N+b的列向量做p2[(a-1)N+b]-1阶逆离散分数阶傅里叶变换、行向量做p2[(a-1)N+b]阶逆离散分数阶傅里叶变换所得结果，对角阵
其中l1＝0，1，...，M-1，l2＝0，1，...，N-1，定义为 步骤三、将图像加密步骤二得到的Y(a-1)N+b依次相加，得到加密图像Y，数学表达式如式(2)所示 实现图像解密的步骤如下 步骤一、由加密图像中第l1(A/M)+m行中第l2(B/N)+n个元素，其中m＝1，2，...，A/M，n＝1，2，...，B/N，建立如式(3)所示的未知数为[X(a-1)N+b]m，n，的M×N个线性方程，其中a＝1，2，...，M，b＝1，2，...，N 步骤二、由图像解密步骤一中的式(3)得到式(4)，求解出X(a-1)N+b中第m行中第n个元素的数值 其中，
和
定义为 步骤三、对图像解密步骤二得到的X(a-1)N+b的列向量和行向量分别做p2[(a-1)N+b]-1阶离散分数阶傅里叶变换和p2[(a-1)N+b]阶离散分数阶傅里叶变换，拼接出原始图像。
有益效果 ①本发明提出的图像加密技术相对于已有的基于分数阶傅里叶变换的图像加密技术充分利用了分数阶傅里叶变换的阶次变换特点，扩大了密钥空间，提高了解密误差对密钥的敏感度； ②本发明提出的图像加密技术可以与双随机相位编码等图像加密方法相结合，进一步扩大加密图像的密钥空间； ③本发明提出的图像加密与解密方法还可以应用于双图及多图加密与解密。
图1-基于多阶次分数阶傅里叶变换图像加密系统加密端系统结构图； 图2-基于多阶次分数阶傅里叶变换图像加密系统解密端系统结构图； 图3(a)-原始图像、(b)-加密图像； 图4-错误密钥下解密图像； 图5(a)-解密图像均方误差随dp1、dp2、dp3、dp4变化曲线图、(b)-解密图像均方误差随dp5、dp6、dp7、dp8变化曲线图；
具体实施例方式 本发明提出的一种基于多阶次分数阶傅里叶变换的图像加密与解密方法包括图像加密(如图1所示)和图像解密(如图2所示)，具体实现步骤如下 一、加密步骤 (一)将原始图像的行、列分别进行N倍和M倍等分，得到M×N个等大小的子图像S(a-1)N+b，a＝1，2，...，M，b＝1，2，...，N； (二)将由步骤(一)得到的子图像S(a-1)N+b的列向量做M倍内插和p2[(a-1)N+b]-1阶逆离散分数阶傅里叶变换、行向量做N倍内插和p2[(a-1)N+b]阶逆离散分数阶傅里叶变换，得到Y(a-1)N+b； (三)根据公式(2)，由步骤(二)得到的Y(a-1)N+b依次相加得到加密图像。
二、解密步骤 (一)提取出加密图像中第l(A/M)+m行中第k(B/N)+n个元素，其中l＝0，1，...，M-1，k＝0，1，...，N-1，构造如式(3)所示的线性方程； (二)根据式(4)求解出子图像S(a-1)N+b列向量和行向量分别做p2[(a-1)N+b]-1阶离散分数阶傅里叶变换和p2[(a-1)N+b]阶离散分数阶傅里叶变换所对应矩阵X(a-1)N+b的第m行第n个元素数值，进而得到X(a-1)N+b中的所有数值； (三)对图像解密步骤二得到的X(a-1)N+b的列向量和行向量分别做p2[(a-1)N+b]-1阶离散分数阶傅里叶变换和p2[(a-1)N+b]阶离散分数阶傅里叶变换拼接出原始图像。
下面结合分数阶傅里叶域信号抽样率转换的基本原理对具体实施方式
做详细理论验证。
对于尺寸为A×B的原始图像S，对其列行进行分别进行N倍和M倍等分得到尺寸为(A/M)×(B/N)的子图像S(a-1)N+b，a＝1，2，...，M，b＝1，2，...，N，对子图像S(a-1)N+b的行、列向量分别进行N倍和M倍的内插后，再对内插结果的行、列分别进行p2[(a-1)N+b]和p2[(a-1)N+b]-1阶逆离散分数阶傅里叶变换，那么所得结果可以表示为 在式(5)中，
和
分别表示表示p2[(a-1)N+b]-1阶和p2[(a-1)N+b]逆离散分数阶傅里叶变换矩阵，即 其中，Δt为时域采样间隔， θM和θN分别表示M倍和N倍内插操作，其可以表示为
对角阵
其中l1＝0，1，...，M-1，l2＝0，1，...，N-1，定义为 若将式(5)所示的Y(a-1)N+b依次相加可以得到 因此，由X(a-1)N+b中的第m行、第n列元素可以得到如式(7)所示的M×N个线性方程 因此，在由M×N个如式(7)所示线性方程构成的线性方程组中，假设
为由未知参数[X(a-1)N+b]m，n构成的矢量，那么 其中，
和
定义为 下面结合附图和实施例对本发明做详细说明 在本仿真实验中，采用如图3(a)所示的尺寸为256×256的Lena图像，图像的行和列分别进行两倍等分得到4幅子图像，每幅子图像的列向量进行2倍内插后，分别进行p1＝0.41、p3＝0.43、p5＝0.45和p7＝0.47阶逆离散分数阶傅里叶变换，每幅子图像的行向量进行2倍内插后，分别进行p2＝0.42、p4＝0.44、p6＝0.46和p8＝0.48阶逆离散分数阶傅里叶变换，系统加密端输出加密图像如图3(b)所示。
在系统解密端，若解密采用的分数阶傅里叶变换阶次与加密端复用的分数阶傅里叶变换阶次不等，那么解密就会发生错误。图4给出了当p1发生错误时候(p1＝0.4)的解密图像。图5(a)给出了解密图像均方误差分别随p1、p2、p3、p4误差(dp1、dp2、dp3、dp4)变化的曲线图。图5(b)给出了解密图像均方误差分别随p5、p6、p7、p8误差(dp5、dp6、dp7、dp8)变化的曲线图。
由以上仿真结果可以发现，在基于多阶次分数阶傅里叶变换图像加密系统系统，每个分数阶傅里叶变换阶次都可以作为图像加密的密钥，并且当每一个密钥产生0.01的误差时，都会导致解密图像出现与原始图像较大的误差，因此，本发明提出的图像加密技术相对与现有的基于分数阶傅里叶变换的图像加密技术扩大了密钥空间，具有很高的安全性。
权利要求
1.一种基于多阶次分数阶傅里叶变换的图像加密与解密方法，其特征在于分为图像加密和图像解密两部分；
实现图像加密的步骤如下
步骤一、将尺寸为A×B的原始图像的宽和长分别分为M和N等份，得到M×N个等大小的尺寸为(A/M)×(B/N)的子图像S(a-1)N+b，a＝1，2，...，M，b＝1，2，...，N；
步骤二、将信息加密步骤一得到的每一个子图像S(a-1)N+b的每一个列向量进行M倍内插和p2[(a-1)N+b]-1阶逆离散分数阶傅里叶变换，再对其行向量进行N倍内插和p2[(a-1)N+b]阶逆离散分数阶傅里叶变换，由此得到Y(a-1)N+b，其数学表达式如式(1)所示
其中，X(a-1)N+b为对S(a-1)N+b的列向量做p2[(a-1)N+b]-1阶逆离散分数阶傅里叶变换、行向量做p2[(a-1)N+b]阶逆离散分数阶傅里叶变换所得结果，对角阵
其中l1＝0，1，...，M-1，l2＝0，1，...，N-1，定义为
步骤三、将图像加密步骤二得到的Y(a-1)N+b依次相加，得到加密图像Y，数学表达式如式(2)所示
实现图像解密的步骤如下
步骤一、由加密图像中第l1(A/M)+m行中第l2(B/N)+n个元素，其中m＝1，2，...，A/M，n＝1，2，...，B/N，建立如式(3)所示的未知数为[X(a-1)N+b]m，n，的M×N个线性方程，其中a＝1，2，...，M，b＝1，2，...，N
步骤二、由图像解密步骤一中的式(3)得到式(4)，求解出X(a-1)N+b中第m行中第n个元素的数值
其中，
和
定义为
步骤三、对图像解密步骤二得到的X(a-1)N+b的列向量和行向量分别做p2[(a-1)N+b]-1阶离散分数阶傅里叶变换和p2[(a-1)N+b]阶离散分数阶傅里叶变换，拼接出原始图像。
全文摘要
本发明涉及一种基于多阶次分数阶傅里叶变换的图像加密与解密方法，属于信息安全技术领域。本发明选择离散采样型离散分数阶傅里叶变换作为基本工具，在系统加密端，将原始图像等分为多个大小相等的子图像，并且对每个子图像的行、列分别进行内插和不同阶次的离散分数阶傅里叶变换，然后将变换图像叠加得到加密图像；在系统解密端，通过建立线性方程组实现原始图像的有效恢复。本发明充分利用了分数阶傅里叶变换阶次变化的特点，并且可以与其他加密方法相结合，相对于已有的基于分数阶傅里叶变换的图像加密技术，扩大了密钥空间，提高了系统的安全性。本发明提出的方法还可以应用于双图及多图加密，为未来图像加密技术的设计提供了一条新的途径。
文档编号G06F17/14GK101739660SQ200910238479
公开日2010年6月16日 申请日期2009年11月20日 优先权日2009年11月20日
发明者陶然, 孟祥意, 王越 申请人:北京理工大学