一种基于矩阵乘积的复杂网络构建方法
【专利摘要】本发明公开了一种新的基于矩阵乘积的复杂网络构建方法，其主要步骤包括确定生成网络集合、计算生成网络邻接矩阵集合、确定生成网络度分布多项式集合、计算复杂网络的邻接矩阵、计算复杂网络的度分布等。本发明基于多个生成网络邻接矩阵的Kronecker乘积构建复杂网络，通过选取不同的生成网络、不同数量的生成网络或调整生成网络邻接矩阵Kronecker乘积的顺序可以得到不同的生成网络。采用本发明得到的复杂网络不同于通常的随机网络、小世界网络、无标度网络及自相似网络。此外，通过对其度分布多项式表达形式的次数相乘及系数相乘的运算可以从理论上严格计算出此类复杂网络的度分布。
【专利说明】一种基于矩阵乘积的复杂网络构建方法
【技术领域】
[0001]本发明属于电数字数据处理领域，特别适用于特定功能的数据处理方法，具体涉及一种基于一个简单生成超网络邻接矩阵的Tracy-Singh积运算的超网络构建方法。
【背景技术】
[0002]复杂网络研究的深入促进了网络科学的兴起，自然科学和社会科学等许多领域的研究对象均可抽象成复杂网络进行研究。复杂网络模型的构建在社会网络、计算机网络、虚拟社会网络等其它领域的分析研究中占据极为重要的地位。上世纪中叶，ER随机网络模型的提出开创了复杂网络的系统性研究；上世纪末，WS小世界网络模型及BA无标度网络模型的相继提出开辟了复杂网络研究的新纪元。近年来，自相似特性被视为复杂网络的第三个特性而受到了人们越来越大的关注，相关学者提出了 LL自相似网络模型。ER随机网络模型、WS小世界网络模型及BA无标度网络模型均是通过对初始基网络添加不同性质的节点或调整节点之间的连接而得到的，LL自相似网络模型则是基于一个生成网络通过其邻接矩阵的迭代运算得到的。现阶段复杂网络的构建主要有如下几种方法:
[0003](I)基于图论的方法
[0004]复杂网络的研究发轫于图论，复杂网络的研究继承了图论的研究策略。参考文献[I] “On the evolut1n of random graphs”(Erdos P, Renyi A.Pub 1.Math.1nst.Hung.Acad.Sc1.，[M], 1960,5:17 - 60)采用完全随机的方式处理节点之间的连接，提出了 ER随机网络模型-ER (Vertices, Probability),构造出节点的度分布服从正态分布的随机网络(Random Network)。参考文献[2] “Collective dynamicsof’small-world’networks”(Watts D J, Strogatz S H.Nature[J].1998, 393:440 - 442)
采用随机重连处理节点之间的连接，提出了 WS网络模型-WS(Vertices, Neighbors, Re
probability)，阐述了复杂网络的小世界特征，构造出节点的度分布服从指数分布的小世界网络(‘Small-world，Network)。参考文献[3] “Emergence of Scaling in RandomNetworks”(Barabasi A L, Albert R.Science [J].1999，286:509-512)米用增长及择优处理节点之间的连接，提出了 BA 网络模型-BA (InitVertices, InitProbability, AddVert
ices，AddLink)，阐述了复杂网络的无标度性质，构造出节点的度分布服从幂律分布的无标度网络(Scale-free Network)。小世界特性与无标度特性被誉为复杂网络的两大特性，对复杂网络的许多研究均是基于WS模型或BA模型的，采用这两种方法构建的复杂网络在统计意义上具有小世界或无标度特性。
[0005](2)基于生成网络邻接矩阵的方法
[0006]参考文献[4] “一种复杂网络的构建方法”(李天瑞，刘胜久，珠杰，王红军[P]，申请号为201410092765.2的中国专利)公开了基于一个生成网络邻接矩阵的Kronecker乘积迭代的生成一系列复杂网络，构造出同时具有自相似及小世界特性的自相似网络模型-LL(InitVertices, InitProbability, IterNum)。其自相似特性源于通过生成网络邻接矩阵的Kronecker乘积迭代产生的分形矩阵形式的邻接矩阵，而其小世界特性源于其直径不超过生成网络直径的两倍。采用此方法构建的自相似网络度分布可以从理论上严格计算得到。
[0007](3)基于超图或超网络的方法
[0008]普通图一条边只能连接两个节点，超图中的“边”可包含多个节点。参考文献
[5]“一种超网络演化模型构建及特性分析”(胡枫，赵海兴，马秀娟.中国科学:物理学力学天文学[J]，2013，43:16-22)构建了一种超网络动态演化模型，从理论上分析了超度分布的特性，并进行了仿真实验，发现随着网络规模的增大，模型出现与已有的增长和优先连接复杂网络一致的结果，即复杂超网络的几种度分布显示出无标度特性。采用此方法构建的复杂网络实际上是另一种形式的无标度网络。
[0009](4)其他方法
[0010]除传统的图论、超图及超网络方法外，其他方法也用于复杂网络的构架。参考文献
[6]“基于Sierpinski分形垫的确定性复杂网络演化模型研究”(邢长明，刘方爱.物理学报[J].2010, 59 (3): 1608-1614)基于Sierpinski分形垫，通过迭代的方式构造了小世界网络模型S-DSWN和无标度网络模型S-DSFN两个确定性增长的复杂网络模型及一个确定性的统一模型S-DUM。参考文献[7] “多种类型的网络金字塔的研究进展”(方锦清，李永，刘强.复杂系统与复杂性科学.2013.10(2):69-76)总结综述了网络模型复杂性金字塔、高科技网络金字塔及广义Farey树组织的金字塔3种类型的网络金字塔，并分析了这些金字塔的特点和性质。
[0011]总体上讲，对复杂网络特性的研究仍是现今复杂网络研究的一大热点，不可否认的是，尽管对随机网络、小世界网络、无标度网络及自相似网络均有较为成熟的理论与方法，大部分研究也与真实复杂网络相符，但仍无法全面反映现实生活中真实复杂网络的各种特点，需要进一步深入研究复杂网络的各项特性。其中，网络模型的构建是重中之重。
【发明内容】
[0012]为了克服现有技术的上述缺点，本发明提供了一种新的基于生成网络邻接矩阵Kronecker乘积的复杂网络构建方法，通过确定生成网络集合、计算生成网络邻接矩阵集合、确定生成网络度分布多项式集合、计算复杂网络的邻接矩阵、计算复杂网络的度分布等步骤，基于多个生成网络邻接矩阵的Kronecker乘积得到复杂网络。通过选取不同的生成网络、不同数量的生成网络或调整生成网络邻接矩阵Kronecker乘积的顺序可以得到不同的生成网络。此外，对其度分布多项式表达形式的次数相乘及系数相乘的运算可以从理论上严格计算出此类复杂网络的度分布。特别地，当只有一种生成网络时，采用该发明构建的复杂网络退化成通常的自相似网络。
[0013]一种基于矩阵乘积的复杂网络构建方法，包括如下步骤:
[0014](I)确定生成网络集合 Ug = {G1; G2, G3, -,Gi,...};
[0015](2)计算生成网络集合Ue中所有网络Gi的邻接矩阵A(Gi),得到生成网络集合Ue的邻接矩阵集合 Ua(e) = (A(G1), A(G2), A(G3),…，A(Gi),...}:
[0016]在生成网络集合Ue中，对于任一具有η个节点的生成网络G，其邻接矩阵A(G)是ηΧη的方阵，其中对于方阵中的每一个数据，若节点i与节点j相邻，则有A(G) (i, j) = 1，否则，A(G) (i，j) =0;若生成网络G的链路数为m，则邻接矩阵A(G)中I的个数也为m，且生成网络的网络密度D
【权利要求】
1.一种基于矩阵乘积的复杂网络构建方法，其特征在于:包括如下步骤: (1)确定生成网络集合Ug= {G1; G2, G3, -,Gi,...}; (2)计算生成网络集合Ue中所有网络Gi的邻接矩阵A(Gi),得到生成网络集合Ue的邻接矩阵集合 Ua(c) = (A(G1), A(G2), A(G3),…，A(Gi),...}: 在生成网络集合Ug中，对于任一具有η个节点的生成网络G，其邻接矩阵A(G)是ηΧη的方阵，其中对于方阵中的每一个数据，若节点i与节点j相邻，则有A(G) (i, j) = 1，否则，A(G) (i，j) = O;若生成网络G的链路数为m，则邻接矩阵A(G)中I的个数也为m，且生成网络的网络密度
(3)计算生成网络集合Ue中所有网络Gi的度分布，得到生成网络集合Ue的度分布多项式集合 UPaLy(G) = {Poly (G1), Poly (G2), Poly (G3),…，Poly(Gi), 在生成网络集合Ug中，对于任一具有η个节点的生成网络G，其度分布多项式表达形式Poly(G)可表述如下:
其中，η为节点数目，Di表示第i个节点的度，Nj表示度为j的节点的数目； (4)从生成网络集合中顺次选取k个生成网络G(1)、G⑵、G(3)、…、G(k— D、G(k)，记为G(1)G(2)G(3)-G(k —仏,)，允许重复选取，对每个生成网络6(1)对应的邻接矩阵A(G(i))按如下方法计算所构建的网络的邻接矩阵Aa)(Ga))，其中，I代表运算的次数，A(1) (Ga))代表1个生成网络对应的邻接矩阵顺次进行运算后得到的一个新的复杂网络的邻接矩阵: 按照Kronecker乘积的规则/# (^v) =Au (O ?/KU进行运算，得到所构建的新的复杂网络的邻接矩阵；矩阵A(Bij)mxn及矩阵B(I3ij)pxtl的Kronecker乘积4x34^定义如下:
采用此方法顺次选取k个生成网络G(1)、G⑵、G(3)、…、G(k —d、G(k)得到新的复杂网络G(k)； (5)按照如下方法计算所构建的新的复杂网络G(k)的度分布PolyDD(Gw)，其中，I代表运算的次数，PolyDD(Gw)代表1个生成网络对应的邻接矩阵顺次进行运算后得到的新的复杂网络G(k)度分布多项式:
(6)重复步骤(4)及步骤(5)，得到指定节点数目、指定链路数目或指定生成网络数目的复杂网络时，终止操作。
2.根据权利要求1所述的一种基于矩阵乘积的复杂网络构建方法，其特征在于:确定生成网络集合Ue时，选择节点数目η小于等于10且节点间连接较少的简单网络作为生成网络。
3.根据权利要求1所述的一种基于矩阵乘积的复杂网络构建方法，其特征在于:对于顺次选取k个生成网络G(1)、G⑵、G(3)、…、G(k —d、G(k)而得到的复杂网络G(k)，得到的复杂网络的节点数
，网络密度
其中n(G(i))表示生成网络的节点数，m(G(i))生成网
络的链路数。
【文档编号】G06F19/00GK104133988SQ201410334742
【公开日】2014年11月5日 申请日期:2014年7月14日 优先权日:2014年7月14日
【发明者】李天瑞, 刘胜久, 珠杰, 王红军 申请人:西南交通大学