一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法
【专利摘要】本发明提供一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列还原方法，该方法以在时间轴上稀疏采样的关键模型为输入，可以快速生成模型的整个变形序列。首先对关键模型进行模态分析，将得到的模态作为一组基对描述物体变形的动力学方程进行降维，并同时将互相耦合的方程组分解为多个互相独立的方程；再将求解时间连续的变形问题转化为求时间上积分的最小值，根据欧拉-拉格朗日定理得到解析表达式；最后求解线性方程组得到完整的变形序列。在模态分析过程中，所得到模态与数据相关，能很好地描述输入模型的变形，同时又极大地降低了数据的维度，并且结果具有解析表达式，可以实现实时交互。而且所求结果满足物体变形的动力学方程，具有物理真实性。
【专利说明】一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法
【背景技术】
[0002] 近年来，随着计算机软硬件技术的不断发展，原本十分昂贵的动作捕捉设备变得 越来越廉价（例如，Kinect)，而几何模型又可以很方便地从捕捉到的点云中重建出来。因 此，通过捕捉和重建得到高质量的静态模型变得越来越简单容易。但是，在实际的应用当 中，用户往往需要使获取到的静态模型实时地进行物理真实的形变，并且要满足给定的约 束，而这其中依然存在很多技术问题。
[0003] 首先，当前使用最常见的是基于物理的变形方法，它通过求解带有约束的动力学 方程来达到目的。但是这种方法为了保证数值稳定性以及收敛性，需要使用计算量非常大 的隐式积分的方法来求解复杂的物理方程。而且，当模型具有不同的材质分布时，这种方法 将会变得更加复杂和不可控，因为模型的本构关系会随着时间呈非线性地变化，边界和初 始条件也会变得更加复杂。
[0004] 其次，几何主导的方法通过在形状空间生成一条通过关键模型的高维的曲线来达 到目的，类似于常见的曲线拟合，而关键模型即是曲线的关键点。这种方法由于比较便于理 解，而且实现比较简单，而得到青睐。但是，这种方法缺乏动力学的合理性和物理真实性，因 此在某些情况下会产生错误，如自相交或者不自然的过度。为了达到真实的效果，就需要更 多更密的关键模型，而这会导致计算量的增加和内存的大量消耗。
[0005] 再次，无论是基于物理的方法还是基于几何的方法，都很难实现用户的交互的复 杂变形。一方面，物理定律的简化很难保证建模的精确性，而且用户很难自定义物理真实的 变形。另一方面，单纯的曲线拟合的方法在用户介入的情况下很难保证模型内在的某些特 性。所以需要开发一种数据相关的方法，可以将基于物理的方法和基于几何的方法结合起 来。
[0006] 为了解决上述问题，本发明提供一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的 还原方法，该方法以在时间轴上稀疏采样的关键模型为输入，可以快速生成模型的整个变 形序列。。
【发明内容】
[0007] 本发明解决的技术问题是：克服了现有的基于物理和基于几何的变形序列还原方 法的不足，提供了一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法。
[0008] 本发明采用的技术方案为：一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原 方法，包括以下四个步骤：
[0009] 步骤（1)、对关键模型的模态分析：根据定义在模型网格上的变形能量，计算模型 的刚度矩阵，对其进行广义的特征分解，得到模型的线性模态，然后根据线性模态计算出对 应的非线性模态作为线性模态的补充；
[0010] 步骤（2)、动力学方程的降维和去耦：用步骤（1)中的到的线性模态和非线性模 态组成一组标准正交基，利用这组基将动力学方程组从空间域投影到频率域达到降维的目 的，同时由于基向量的正交性，方程组之间的关联被去除掉，得到了一组互相独立的方程；
[0011] 步骤（3)、问题的转化和求解：将求解随时间变化的变形过程的问题转化为一个 在时间上积分的最小化问题，并根据欧拉-拉格朗日定理得到问题的解析表达式，然后通 过求解一组线性方程组得到频率域中的解；
[0012] 步骤（4)、变形序列的还原：将步骤（3)得到的频率域中的解反映射回空间域，即 得到最终的结果。
[0013] 进一步地，步骤（1)中所述的模态分析方法，应用于表面三角网格模型，采用离散 薄壳能量作为变形能量，并以能量的海森矩阵（二阶导数）作为刚度矩阵来得到模型的线 性模态，并且引入了非线性模态来补偿由线性近似带来的误差。
[0014] 进一步地，步骤（2)中所述的标准正交基是通过广义奇异值分解由线性模态和非 线性模态组成的矩阵得到的，并由这组标准正交基组成投影矩阵，将动力学方程组由数万 维映射到数百维的空间，同时将方程去耦化。
[0015] 进一步地，步骤（3)中所述将求解问随时间变化的变形过程的问题转化为一个在 时间上积分的最小化的问题，并根据欧拉-拉格朗日定理得到问题的解析表达式，利用已 知的基函数，通过求解一组线性方程组得到频率域中的解。
[0016] 本发明的原理在于：
[0017] 本发明提供一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法，该方法以 在时间轴上稀疏采样的关键模型为输入，可以快速生成模型的整个变形序列。首先对关键 模型进行模态分析，得到相应的多种模态；然后将这些模态作为一组基对描述物体变形的 动力学方程组进行降维，并同时将互相耦合的方程组分解为多个互相独立的方程；再将求 解时间连续的变形过程的问题转化为在时间上积分的最小化问题，根据欧拉-拉格朗日定 理得到其解析解；最后通过求解一组简单的线性方程组得到完整的变形序列。本发明的内 容主要包括了一下三个方面 ：
[0018] (1)关键模型的模态分析。模态分析是研究物体结构动力特性的一种近代方法，是 系统辨别方法在工程振动领域中的应用。通过模态分析方法搞清楚了结构物在各主要模态 的特性，就可以预言结构在外部或内部各种作用下产生的实际响应。在计算机领域，模态分 析被应用于大规模可变形模型的物理仿真，由于模态实际上可以看作是物体再受到外力作 用下一种倾向性的响应，通过模态便可以描述物理在外力作用下的变形。本发明将模态分 析应用于表面三角网格，利用定义在网格上的能量的二阶导来代替动力学方程中的刚度矩 阵，并对刚度矩阵进行广义奇异值分解得到线性模态，而且根据线性模态计算出非线性模 态以补偿由线性模态带来的误差。
[0019] (2)动力学方程的降维和去耦。由于模态的特性，可以将模型的变形用主要模态的 线性组合来表示，这样就可以将原来数万维的动力学方程组降低到只有数百维甚至数十维 的系统中，在不太损坏效果的情况下极大地提高了效率。与此同时，如果将模态转换成为一 组标准正交基，就可以非常巧妙地将原来互相关联的常微分方程组去耦得到互相独立的微 分方程，而这组标准正交基可以通过奇异值分解得到。
[0020] (3)问题的转化和求解。要解决的问题是求解随时间变化的变形过程的问题，这个 问题很难计算，所以本发明将其转变为一个在时间上积分的最小化问题，根据变分理论，最 小值满足欧拉-拉格朗日微分方程，而这个微分方程又可以通过由一组已知的基函数表示 的线性系统求解，效率很高。
[0021] 本发明与现有技术相比的有点在于：
[0022] 1、本发明提出的模态分析方法，使用定义在网格上的能量的二阶导来替代动力学 方程中的刚度矩阵，并对其进行广义奇异值分解来得到线性模态，由于能量的二阶导具有 解析表达式，计算简单高效。而且引入了非线性模态来补偿线性模态的误差。
[0023] 2、数据相关：本发明得到的模态是根据输入的关键模型得到的，依赖于数据，描述 了关键模型的内在特征，可以更好的描述模型的变形。
[0024] 3、物理真实：本发明是基于描述物体变形的动力学方程的，所得到的结果都是满 足物理真实和动力学合理性的。
[0025] 4、效率高：本发明通过降维，解析求解等方式降低了计算量，提高了计算效率。
[0026] 5、用户可以交互：由于高效率的实现，本发明还可以做到用户对结果进行编辑，并 即时得到反馈。
【专利附图】
【附图说明】
[0027] 图1为数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法流程图；
[0028] 图2为线性模态示例，以心脏模型为例；
[0029] 图3第一行为线性模态不合理变形示例，第二行为线性模态示例，第三行为非线 性模态示例，以恐龙模型为例；
[0030] 图4为四个不同qi(t)的示例，每个都进行了缩放以更好地展示；
[0031] 图5为变形序列还原示例，深色为关键模型，浅色为还原得到的模型，以马为例；
[0032] 图6为变形序列还原示例，深色为关键模型，浅色为还原得到的模型，以人脸为 例；
[0033] 图7为3种用户编辑结果示例，左图为编辑后得到的新的模型，右图为某一 qi(t) 编辑前后对比。
【具体实施方式】
[0034] 图1给出了数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法的总体处理流 程，下面结合其他附图及【具体实施方式】进一步说明本发明。
[0035] 本发明提供一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法，主要步骤 介绍如下：
[0036] 1、关键模型的模态分析
[0037] 在读取输入模型之后，首先是对模型进行模态分析。根据定义在模型网格上的变 形能量，利用能量的海森矩阵来替代刚度矩阵，对其进行广义的特征分解，得到模型的线性 模态，然后根据线性模态计算出对应的非线性模态作为线性模态的补充。
[0038] 1)能量定义
[0039] 本发明采用离散薄壳能量，它是一种经典的变形能量，表示为弯折能量和薄膜能 量的加权和：
[0040] E = aEF+b (EA+EL)
[0041] 弯折能量Ef度量了表面的弯曲程度，薄膜能量（EA+ED度量了表面的拉伸程度，其 中，权重a和b分别反映了薄壳的厚度和它的材质属性。弯折能量可以用二面角变化来度 量，薄膜能量可以用三角网格的边长度变化和面积变化来度量，这两种能量的计算方式可 以在常见的文献中找到。而且这种能量的二阶导数具有显式的表达式，可以很方便快速地 进行计算。
[0042] 2)线性模态
[0043] 从物体内在的角度来看，弹性物体总是倾向于朝着表面能量增长最小的方向进行 变形。假设模型网格是一条自由振动的绳子，低频的模态即是引起绳子的弹性能量变化最 小的变形方向，这种现象在三维物体中也存在。而且这种模态可以通过求解下列广义特征 值问题得到：
[0044] Kx = λ Mx
[0045] 其中，特征值Ai表示振动频率，特征向量(^(上面的方程为经典的广义特征值问 题，这里的Φ i为X的解）即是振动模态（i = 1，2…，k)，也就是前文所说的线性模态，K，M 分别是模型的刚度和质量矩阵，这里刚度矩阵是通过计算表面能量的二阶导数来得到的。 如图2所示为一个心脏模型的9个不同频率的线性模态。
[0046] 3)非线性模态
[0047] 由于在实际应用当中，线性模态会导致一些不合理的变形，如图3第一行所示。所 以本方法引入了非线性模态。它可以通过下面的公式计算得到：
【权利要求】
1. 一种数据相关且具有物理意义的物体变形序列的还原方法，其特征在于包括以下四 个步骤： 步骤（1)、对关键模型数据进行模态分析：根据定义在模型网格上的变形能量，计算模 型的刚度矩阵，对其进行广义的特征分解，得到模型的线性模态，然后根据线性模态计算出 对应的非线性模态作为线性模态的补充； 步骤（2)、动力学方程的降维和去耦：用步骤（1)中得到的线性模态和非线性模态组成 一组标准正交基，利用这组基将动力学方程组从空间域投影到频率域达到降维的目的，同 时由于基向量的正交性，方程组之间的关联被去除掉，得到了一组互相独立的方程； 步骤（3)、问题的转化和求解：将求解随时间变化的变形过程的问题转化为一个在时 间上积分的最小化问题，并根据欧拉-拉格朗日定理得到问题的解析表达式，然后通过求 解一组线性方程组得到频率域中的解； 步骤（4)、变形序列的还原：将步骤（3)得到的频率域中的解反映射回空间域，即得到 最终的结果。
2. 根据权利要求1所述的还原方法，其特征在于：步骤⑴中所述的模态分析，应用于 表面三角网格模型，采用离散薄壳能量作为变形能量，并以能量的海森矩阵作为刚度矩阵 来得到模型的线性模态，并且引入了非线性模态来补偿由线性近似带来的误差。
3. 根据权利要求1所述的还原方法，其特征在于：步骤（2)中所述的标准正交基是通 过广义奇异值分解由线性模态和非线性模态组成的矩阵得到的，并由这组标准正交基组成 投影矩阵，将动力学方程组由数万维映射到数百维的空间，同时将方程去耦化。
4. 根据权利要求1所述的还原方法，其特征在于：步骤（3)中所述将求解随时间变化 的变形过程的问题转化为一个在时间上积分的最小化的问题，并根据欧拉_拉格朗日定理 得到问题的解析表达式，利用已知的基函数，通过求解一组线性方程组得到频率域中的解。
【文档编号】G06T17/30GK104361633SQ201410613822
【公开日】2015年2月18日 申请日期:2014年11月4日 优先权日:2014年11月4日
【发明者】郝爱民, 夏清, 李帅, 秦洪 申请人:北京航空航天大学