基于稀疏表示的古代壁画图像修复方法与流程

本发明涉及壁画图像修复领域，尤其涉及基于稀疏表示的古代壁画图像修复方法。

背景技术：

壁画是著名的世界文化遗产，具有极高的历史价值，文化价值和艺术价值。受自然和人为因素的影响，壁画不同程度的产生了空鼓、起甲、苏碱等病害，严重影响了文物的保护及传承。2014年到布达拉宫旅游的游客数量达到了83万，平均每天有2000多人，利用数字化的手段可以让文物容颜永驻。为了更好地进行文物保护和传播，利用现代计算机及图像处理技术对壁画进行数字化记录是一种重要的手段。在数字化过程中会造成像素的丢失，出现黑色斑点及噪声等，如何对壁画进行修复、评估及保护作为古代壁画保护及计算机图像处理等领域的研究热点一直受到关注。

目前主要通过改进修复材料和修复工艺不断提高壁画的修复水平。

技术实现要素：

本发明要解决的技术问题是：提供一种基于稀疏表示的古代壁画图像修复方法，提高壁画图像修复效果。

为解决上述问题，本发明采用的技术方案是：

a.输入缺损的古代壁画图像，该缺损的的古代壁画图像记为y，将y进行分块；

b.建立基于稀疏表示的图像修复的求解模型，该求解模型为关于整体输出图像z和稀疏表示系数qk的模型；

c.对求解模型采用块坐标下降算法求解各块的最优稀疏表示系数和最优整体输出图像

d.将各块的最优整体输出图像合并后输出。

进一步的，步骤c具体包括：

c1.利用字典学习算法，初始化字典为冗余离散余弦变化矩阵或者傅里叶变换矩阵，迭代求解最优稀疏表示系数

c2.固定步骤c1求解得到的最优稀疏表示系数利用mod算法更新字典，更新整体输出图像，并判断满足最优稀疏表示系数的误差项是否小于等于阈值，若是，则此时的整体输出图像为最优整体输出图像，进入步骤d，若不是，则返回步骤c1。

进一步的，步骤c2中，mod算法通过对重建误差项取导数，然后令导数为0，从而获得字典的更新。

进一步的，

所述求解模型为：式中，等号右边的第一项为对z与y的相似性的约束，b表示对z的整体掩膜操作矩阵，λ为拉格朗日乘子，等号右边的第二项和第三项是误差项，表示对壁画图像稀疏性和重建误差的先验，qk为z中第k块的稀疏表示系数，d为已知的字典，rk∈b，rk表示对z中第k块的分块操作矩阵，μk为加权系数。.

进一步的，最终所得到的最优整体输出图像为：

本发明的有益效果是：本发明针对数字化以后的古代壁画提出一种新的基于稀疏表示的修复方法，该算法在稀疏域针对污损壁画进行建模，通过mod(methodofoptimaldirection，方向最优化)字典学习不断优化输出图像，从而达到壁画修复的目的。通过实验表明，该方法能较好地修复布达拉宫壁画图像，降低了图像的均方误差，在实际应用中具有良好的前景。

具体实施方式

以布达拉宫壁画修复为例，本发明将理想的壁画图像表示为一个矩阵，壁画图像的残缺和脱落，就是在图像矩阵中像素或者像素块的缺损，对应于一个退化算子，表示像素丢失掉的若干个采样，壁画图像的修复问题就转化为了根据获得的降质图像计算未降质壁画图像的问题，具体思路如下：

第一步：模型建立。任一理想的壁画图像可以表示为y0∈rⁿ,稀疏表示的目标是找到一个稀疏表示向量x0，且x0的0范数||x0||0＝k0，满足：y0＝dx0。b为图像退化算子，表示图像丢失掉的p个采样，则：y＝by0。b表示单位矩阵(大小为：n×n)根据丢失掉的采样去除p行后的矩阵，则其大小为(n-p)×n。则壁画图像修复问题就转化为求其稀疏表示向量进而获得未降质图像则可以建模为式：

min||x||0满足：y＝bdx(1)

当测量或者图像本身存在噪声时，该模型转化为了的问题：

第二步：模型求解。该问题中由于原始壁画图像y0未知，且壁画图像一般较大，同时可能存在多种类型的缺损，因此需要对大的图像进行分块。d为字典，根据给定的字典d，将大的图像分割成一些小的块后，每个块都有其稀疏表示系数，降质操作b为一矩阵，将该问题转化为稀疏表示问题，即式(3)的最大后验概率问题：

在该模型中，表达式等号右边的第一项总体上衡量降质图像y和恢复图像z之间的相似程度，第二项和第三项是布达拉宫壁画的先验模型，用来确保恢复图像z中的大小为的每一块pk在其正确位置有界且误差最小。系数uij在位置上需要相互独立，即需满足pk＝rkz,表示将图像z的每一块的分块操作。

假设字典d已知，则该模型中存在2个未知量，分别是每个位置的稀疏表示向量qk和整体输出图像z，为了求解该问题，本文采用块坐标下降算法求解该问题。通过初始化z＝b^ty，然后迭代求得最优即：满足：其中σ为噪声方差，c为常数，nk为阈值，当误差项小于等于阈值项cnkσ²的时候停止迭代，通过此方法也能得到uij。该滑动窗口稀疏编码法，图像块的错误能量表示为dq-pk，可以通过图像块中现有的像素进行估计，即第k块的局部污损可以表示为：根据式(2)每次对大小为的图像进行处理，得到全部uk后，再更新z。

从而获得如下的未缺损图像

第三步:稀疏表示。输出的图像中关键就是对字典d的表示，求解时一般假设字典d∈r^n×k(k＞n)为已知，如离散余弦变化和傅里叶变换等。为了进一步提高修复壁画图像的修复能力，本发明通过mod(methodofoptimaldirection，方向最优化)算法进行字典学习，在字典学习过程中需考虑缺损像素，因此，一旦获得字典，如所示，就可以完成稀疏编码，然后固定系数，再更新字典，从而转化为求的最小值。

mod算法，也称为最优方向法(methodofoptimaldirection),通过对错误求导，然后令其为0，则可得：利用kronecker内积公式进行进一步分解,获得：则dc即为字典d中的内容按照字典顺序排列而成的向量。将图像块合并后输出即可获得最终修复图像。

综合以上思路，布达拉宫壁画图像修复方法的实施方式如下：

1.输入缺损的古代壁画图像，表示为y，将缺损图像y进行分块(如分为8×8的块)。未知的没有缺损的古代壁画图像则表示为y0，其存在缺损，即表示为一个方矩阵b对y0进行了掩膜操作，从而造成了图像的缺损，表示为y0＝bz，z即为要计算的整体输出图像。

2.建立基于稀疏表示的各块图像的求解模型：

式中，等号右边的第一项为对z与y的相似性的约束，b表示对z的整体掩膜操作矩阵，λ为拉格朗日乘子，等号右边的第二项和第三项是误差项，表示对壁画图像稀疏性和重建误差的先验，qk为z中第k块的稀疏表示系数，d为已知的字典，rk∈b，rk表示对z中第k块的分块操作矩阵，μk为加权系数。

3.利用字典学习算法，初始化字典为冗余离散余弦变化矩阵，整体输出图像为z＝b^ty，然后迭代求解最优系数

4.固定第3步求解得到的系数利用mod算法更新字典，更新输出图像z。其中，mod算法通过对重建误差项取导数，然后令导数为0，则可获得字典的更新。

5.不断循环步骤3和4，直到满足最优稀疏表示系数的误差项小于等于阈值cnkσ²，则可获得最优整体输出图像将各块最优整体输出图像合并后输出。

需要指出的是，上面所述只是说明本发明的一些原理，由于对相同技术领域的普通技术人员来说是很容易在此基础上进行若干修改和改动的。因此，本说明书并非是要将本发明局限在所示和所述的具体结构和适用范围内，故凡是所有可能被利用的相应修改以及等同物，均属于本发明所申请的专利范围。