用于立体几何的智能教学系统的制作方法

本发明涉及教育信息化技术领域和数学机械化领域，具体的说是一种应用于电子双板的中学立体几何智能教学系统。

背景技术：

电子双板包括有显示教师计算机中内容的电子白板和投影仪，其中电子白板和投影仪成对使用，以实现双画面呈现教学内容，两个电子白板的大小相同，左右并排放置；随着教育信息化的深入，电子双板以其交互性好、便于开展互动教学等优势，逐渐取代“ppt+投影仪”的多媒体教学设备，必将在教室中得到越来越多的应用。

立体几何一直是中学几何教学的重点和难点。然而，在传统“黑板徒手作图”的立体几何教学过程中，教师的大部分时间被迫从事大量的低水平、重复性的手工绘图、板书工作，教学效率较低；另一方面，对于正处于中小学的大多数学生而言，他们的空间想象能力尚处于培养阶段，还不能够全面完整地想象出复杂的空间几何关系；此外，由于黑板框架环境的限定，徒手绘制的空间图形往往不易保存，难于定位并缺乏动态变化的能力，其特有的空间立体感常常无法得到充分呈现，这些都给学生理解立体几何知识带来了很大困难。

随着教育信息化进程的推进，国内针对数学学科开发的动态几何教育系统日益增多，它们在功能上涵盖中学数学知识中的部分或大部分内容，能在一定程度上减轻教师的机械性、重复性劳动，对学生理解抽象的数学概念、发现丰富多彩的数学世界也起到了引导和辅助作用。但是，由于开发难度较大，目前国内还没有专门针对立体几何的动态几何教学系统，仅有的几款涉及立体几何的教育系统也都是类似于cad的作图软件，缺少智能交互作图、动画、轨迹、跟踪、测量等动态几何功能和自动推理相关功能，因而不能将晦涩的立体几何理论和隐藏在图形背后的关系动态呈现，影响了教师的教学效果与学生学习兴趣的提高。

技术实现要素：

本发明的目的就是为了克服上述问题，提供一种利用教育信息化技术和数学机械化的相关研究成果与数学学科相结合而设计开发的用于立体几何的智能教学系统。本发明能够将一个相对独立的教学系统融合到电子双板课堂教学之中，针对当前我国中学几何教育现状，致力于解决中学立体几何教学中的难、繁、呆等问题，旨在减轻教师机械化的劳动的同时，帮助学生培养空间想象力，加深对立体几何知识的理解与运用。

用于立体几何的智能教学系统，包含以下三层结构：

底层，由学科知识库、几何信息数据表示、素材库三个模块组成，提供给中间层使用；

中间层，由几何信息库与动态几何、课件制作工具、自动推理三个模块组成，用以联系底层与应用层；针对具体的应用完成对底层模块的封装，为应用层提供各个系统所需的基本功能；

应用层，由问题生成与求解单元、交互式作图单元、课件制作与演示三个单元组成，用于处理用户的输入和终端输出以实现人机交互。

本发明系统中各层之间采用自底向上、底层向顶层提供服务的方式进行层间信息的传递，层内部各模块之间则依据模块间关系彼此关联起来。其中，几何信息数据结构表示模块以学科知识库所提供的几何知识为基础，构造了空间几何对象的几何信息的表示方法，构成了系统的数据表示基础。依据底层几何信息数据结构表示模块提供的数据表示方法，几何信息库与动态几何模块一方面记录所有几何对象几何信息形成数据仓库，为上层应用及自动推理模块提供了数据基础；另外，采用计算机图形学、空间计算几何等技术提供用于交互式作图、课件制作与演示单元的实现接口。自动推理模块依据学科知识库中的推理规则以及几何信息库提供的几何信息完成自动推理，问题生成与求解系统在该模块基础之上，实现了几何问题的生成以及自动求解，构成了系统的重要内容。

在上述技术方案中，所述学科知识库模块是使用谓词逻辑表示的中学立体几何中的基本知识库，包括概念、事实、定理和公理，它们构成推理规则，作为推理基础供中间层自动推理模块使用。

在上述技术方案中，所述几何信息数据表示模块采用多级权限链表的数据结构对几何图元的类别、位置、大小以及图元之间的关系等几何信息进行数据表示；其具体表示方法为

(1)设计一条参数链表来保存一个页面中的所有参数，设计另一条几何元素权限链表来保存所有的几何元素，在页面每次更新时按先后顺序同步更新参数列表和元素列表；

(2)按维数大小依次赋予几何体元素权限值，其中点元素权限值为1；线型元素权限值为2；面型元素权限值为3；体型元素权限值为4；然后为每种权限的几何元素构造一条链表，并依据权限高低组合四条链表为一条权限按低到高排列的权限链表；

(3)当有新的几何元素需要添加进去或者有几何元素需要删除的时候，只需知道该几何元素所属的类型，然后迅速定位到权限链表中的位置，再进行插入或者删除操作即可；

(4)在权限链表搜索几何元素时，链表采用如下搜索机制，搜索从表头开始，如果在低权限的几何元素中子链表中搜索到，就不继续搜索高权限的几何元素了，如果搜索不到就按链表的顺序搜索权限高一级的几何元素，如果在同一权限的子链表中搜索到多个元素，则按照元素离眼睛位置的远近进行排序，选取离眼睛最近的一个。

在上述技术方案中，所述素材库模块用于存储图片、文本、动画和视音频等多媒体文件，向课件工具及课件制作与演示系统提供基础素材。

在上述技术方案中，所述几何信息库与动态几何模块分为几何信息库和动态几何两部分；几何信息库类似于信息仓库，采用链表线性存储当前工程内绘制完毕的所有图形的相应几何信息，构成了系统的数据基础；动态几何部分依据参数化的三维动态几何数学模型和“可编程点”法，利用计算机图形、空间计算几何技术实现几何信息库模块中几何信息的渲染呈现以及用户与几何信息之间的操作互动，并为交互式作图系统提供交互操作接口，实现几何信息所对应对象的移动跟踪轨迹等静态或动态的操作。其中主要采用计算机图形、空间计算几何中的opengl渲染技术实现三维空间图像的渲染与呈现，采用“可编程点”法赋予几何体动态几何特性，其具体步骤为a.选定参数t构造参数方程，分别表示三维空间点的x、y、z轴对应坐标；b.构造变量v关联参数t，与之对应；c.用户依据需要改变变量v实现点的动态变化，如跟踪，轨迹等。

在上述技术方案中，所述自动推理模块使用基于前推法的推理原理，推理模块包含输入系统、推理信息初始化、自动推理引擎，推理结论四个部分，在初始化阶段，把当前场景中的几何信息以及用户添加的参数、条件信息放入几何信息库并转化为内部推理信息，然后将推理规则反复作用于已知信息库，每次生成的信息都放入几何信息库，直到不再生成新信息或者得到结论为止，其主要流程如下，

(1)从用户交互式作图及添加的附加参数条件中获取几何信息；

(2)将几何信息转化为内部推理信息；

(3)使用学科知识库中推理规则n对内部推理信息进行推理，n的初始值为0；

(4)若推理规则产生新的几何信息，转至步骤(7)；

(5)若n＜＝最大规则数目，则规则序号n加1，转至步骤(3)；

(6)若到达不动点，则转至步骤(10)；若未到达不动点，重置规则序号n为0，转至步骤(3)；

(7)若新的几何信息在信息库中不存在，则将其存入信息库；反之，转至步骤(5)；

(8)如果新信息中包含结论，生成解答信息链表；反之转步骤(5)；

(9)将内部推理信息转化为外部信息，输出可读证明；

(10)结束。

在上述技术方案中，所述课件制作工具模块采用多页面管理，单个课件由许多运算独立的页面按顺序排列组成。

在上述技术方案中，所述交互式作图单元，用于实现用户与几何图元的交互性操作。

在上述技术方案中，所述问题生成与求解单元，用于支持用户依据交互式作图系统，或者添加额外参数、条件，提出结论猜想或目标要求以构成求解问题，并对该问题使用自动推理进行求解。

在上述技术方案中，所述课件制作与演示单元，用于辅助教师利用交互式作图方法及课件工具制作或演示课件。

本发明采用教育信息化技术和数学机械化的相关研究成果于数学学科相结合的方式，具体采用动态几何、自动推理、计算机图形学、空间计算几何等技术，紧密结合中学立体几何教学相关知识，构建了面向中学几何尤其是立体几何的智能教育系统。

通过这种技术手段，教师在使用本系统进行教学的过程中，可根据教学需求使用交互式作图系统绘制从简单到复杂的、具有动态几何特性的立体几何图形，可以很方便地观察和操纵立体图形，对图形实施动态几何、变换及测量，能够结合课件工具制作或演示用于几何教学的课件，通过问题生成与求解系统构建几何问题并自动推导求解，辅助教师教学；通过教师、系统、学生间的互动，学生能深刻地体会在动中学、变中思的学习乐趣，提高对立体几何的学习兴趣和探索能力，进而为他们深层次理解三维空间立体几何知识提供帮助。

本发明对比现有技术和传统教育系统具有以下优点：

1.可集成到电子双板课堂教学平台之上，利用电子双板课堂教学平台的优势，开展动态案例演示、交互式绘图、互动教学等教学活动；

2.结合数学学科具体知识，利用教育信息化技术构建了三维空间立体几何智能教育系统的概念，解决了中学立体几何教学难、繁、呆等问题，填补了我国教育信息化在立体几何教学领域的空白；

3.利用动态几何技术，使几何对象不仅具有很强的空间立体感，而且具备优良的动态几何特性，实现了三维空间的交互式作图、变换、测量、动态几何等运算，立体几何教学变得更加形象、直观；

4.提出“可编程点”的概念与方法，成功地将参数化与动态几何紧密联接，数学学科“数形结合”的思想得到了充分体现；

5.以三维空间动态几何的需求为出发点，采用崭新的权限多级链表数据结构替代传统平面动态几何系统复杂的父子关系树结构，数据模型简单、实用，大大降低了空间几何体运算的计算复杂度；

6.综合动态几何及自动推理技术构建出问题生成和求解系统，进一步扩展了系统的智能性，真正实现了利用计算机代替人进行重复性机械性的数学劳动的目标。

附图说明

图1为本发明实施例用于立体几何的智能教学系统的框架示意图。

图2为本发明实施例中采用的权限多级链表数据结构示意图。

图3为本发明实施例中的自动推理模块程序流程图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步的描述。

如图1所示，是本实施例用于立体几何的智能教学系统，包括以下三层架构：

底层，包括学科知识库、几何信息数据表示以及素材库三个模块，它们作为底层基础分别为中间层各个模块使用，构成了系统的基础。

中间层，包括几何信息库与动态几何、课件制作工具和自动推理等功能模块，它们针对具体的应用完成对底层模块的封装，为应用层提供各个系统所需的基本功能，是联系底层与应用层的桥梁。

应用层，包括问题生成与求解系统、交互式作图系统和课件制作与演示系统，主要用于处理用户的输入和终端输出以实现人机交互，是中间层基本功能在具体应用中的系统化实现。

以下依次对上述三层中的各个模块进行具体说明。

学科知识库模块：此模块使用谓词逻辑表示的中学立体几何中的基本知识库，包括概念、事实、定理和公理，它们构成推理规则，作为推理基础供中间层自动推理模块使用。

几何信息数据结构表示模块：图元几何信息的数据结构表示是本发明系统的基础，它主要包括几何图元的类别、位置、大小以及图元之间的关系等信息，采用怎样的数据结构进行存储直接决定了动态几何和自动推理模块的功能和效率。本发明采用一种崭新的权限多级链表数据结构，通过参数化和列表的实时更新解决了几何元素关系依赖性的问题，并通过对几何体元素的权限化为几何体的拾取操作提供了便利。如图3所示，其具体实现方法为

(1)设计一条参数链表来保存一个页面中的所有参数，设计另一条几何元素权限链表来保存所有的几何元素，在页面每次更新时按先后顺序同步更新参数列表和元素列表，从而解决几何元素关系依赖性的问题；

(2)按维数大小依次赋予几何体元素权限值，其中：点元素(自由点、交点、几何对象上点等)权限值为1；线型元素(直线，射线，二次曲线等)权限值为2；面型元素(多边形，平面等)权限值为3；体型元素(多面体等)权限值为4；然后为每种权限的几何元素构造一条链表，并依据权限高低组合四条链表为一条权限按低到高排列的权限链表；

(3)当有新的几何元素需要添加进去或者有几何元素需要删除的时候，只需知道该几何元素所属的类型，然后通过“哨兵”迅速定位到权限链表中的位置，然后进行插入或者删除操作即可；

(4)在权限链表搜索几何元素时，链表采用如下搜索机制：搜索从表头开始，如果在低权限的几何元素中子链表中搜索到，就不继续搜索高权限的几何元素了，如果搜索不到就按链表的顺序搜索权限高一级的几何元素。如果在同一权限的子链表中搜索到多个元素，则按照元素离眼睛位置的远近进行排序，选取离眼睛最近的一个。

在动态几何中，“动”与“几何体间关系不变”的概念构成了其核心内容，同一个页面的几何体之间具有着复杂的关联关系，在保持关系不变的情形下，移动一个点往往能带动场景中多个与之存在联系的其他几何对象的动态变化。当页面对象发生动态变化时，使用权限链表的实时更新机制只需要更新一次链表，相比于传统系统采用父子关系树的复杂结构，省去了建立关系树和更新时的查找相关几何元素的时间，最大化地发挥了效用。

采用权限多级链表数据结构的数据模型，不仅能保持动态过程中几何元素关系的不变性，而且在几何体的拾取操作中，也为用户提供了极大的便利。例如，创建一个球体，一条线段和线段上一点，用球体遮挡住线段使得点在球体内，现在需要对该点进行拾取。采用光线跟踪算法进行拾取操作，一般的思路将作三次光线相交算法，其分别为光线和球体相交，光线和线段相交，光线和点相交；而利用权限链表的权限搜索特性，实际上只用作一次光线相交算法就可以拾取到线段上的点了，大大地简化了拾取过程中的计算量。

素材库模块：用于存储图片、文本、动画和视音频等多媒体文件，向课件工具及课件制作与演示系统提供基础素材。

几何信息库与动态几何模块：所述几何信息库与动态几何模块分为几何信息库和动态几何部分，其中几何信息库采用链表线性存储当前工程内绘制完毕的所有图形的相应几何信息，构成了系统的数据基础；动态几何部分依据参数化的三维动态几何数学模型和“可编程点”法，利用计算机图形、空间计算几何技术实现几何信息库中几何信息的渲染呈现以及用户与几何信息之间的操作互动，并为交互式作图系统提供交互操作接口，实现几何信息所对应对象的静态或动态的操作；其中主要采用计算机图形、空间计算几何中的opengl渲染技术实现三维空间图像的渲染与呈现，采用“可编程点”法赋予几何体动态几何特性，其具体步骤为a.选定参数t构造参数方程，分别表示三维空间点的x、y、z轴对应坐标；b.构造变量v关联参数t，与之对应；c.用户依据需要改变变量v实现点的动态变化。

例如，如果用户对一个自由点t的坐标进行编程，设t的x轴坐标为：4*sin(3*v)*cos(v)，y轴的坐标为：0，z轴的坐标为：4*sin(3*v)*sin(v)，其中v为变量。那么现在跟踪t让变量v在范围(-1010)内运动起来，便可得到一个类似于花瓣的图案。基于“可编程点”方法，利用此动态几何技术，可以对几何图形作变换、测量、轨迹、跟踪以及代数表达式的测量等一系列操作。

自动推理模块：自动推理模块是系统的重要功能，它可以在当前几何信息库的基础上，推理出大量新信息。本系统使用基于前推法的推理原理，推理模块包含输入系统、推理信息初始化、自动推理引擎，推理结论四个部分。在初始化阶段，把当前场景中的几何信息以及用户添加的参数、条件信息放入几何信息库并转化为内部推理信息，然后将推理规则反复作用于已知信息库，每次生成的信息都放入几何信息库，直到不再生成新信息或者得到结论为止。其工作机制如图3所示，主要流程如下：

步骤s1，从用户交互式作图及添加的附加参数条件中获取几何信息；

步骤s2，将几何信息转化为内部推理信息；

步骤s3，使用推理规则n对内部推理信息进行推理，n的初始值为0；

步骤s4，若推理规则产生新的几何信息，转至步骤s7；

步骤s5，若n＜＝最大规则数目，则规则序号n加1，转至步骤s3；

步骤s6，若到达不动点，则转至步骤s10；若未到达不动点，重置规则序号为0，转至步骤s3；

步骤s7，若新的几何信息在信息库中不存在，则将其存入信息库；反之，转至步骤s5；

步骤s8，如果新信息中包含结论，生成解答信息链表；反之转步骤s5；

步骤s9，将内部推理信息转化为外部信息，输出可读证明；

步骤s10，结束。

通过这种智能处理机制，自动推理模块构成了问题生成与求解单元的基础与核心，为系统增添了新颖、实用的智能性。

课件制作工具模块：为了便于教师制作、演示课件，提高教学效率，系统提供用于制作面向立体几何教学的课件制作工具。为了减少因场景对象数目众多而造成的内存消耗，提出多页面管理概念：单个课件由许多运算独立的页面按顺序排列组成，因此，可以将场景中的几何对象分配到各个页面中，使它们分布于独立的内存块中，从而实现课件的可用性，并且最大限度地减小了内存的消耗。通过设计按钮，用于管理课件序列的播放状态，通过设计页面管理器，管理组成课件的页面资源，比如图片、文本、视音频等。

交互式作图单元：用于实现用户与几何图元的交互性操作，通过菜单项、工具条，鼠标点击、移动以及键盘输入等操作，用户可以非常便捷地绘制出具有动态几何特性的三维空间几何图形，完成图形属性设置和几何体变换、测量等交互性操作。所述交互式作图单元支持几何作图和关系作图等多种作图方式，能够绘制点线面、二次曲线(面)、多边形、多面体等几何图元，能运用关系绘制垂线、平行线、中点、交点、平行面等关系图形。

所述交互式作图单元支持几何对象的动态几何包括动画、变量、轨迹、跟踪，测量包括角度、距离、长度、面积、体积，变量值、方程值，和变换包括平移、旋转、放缩、对称。

交互式作图单元不仅为用户提供了动态作图、图形变换、轨迹、跟踪等多项能充分表现立体几何空间感的重要策略，还具备动态测量、智能画笔绘图、关系作图、代数运算、文本输入等重要手段，进一步提升了人机交互的便利性。

问题生成与求解单元：用于支持用户依据交互式作图系统，或者添加额外参数、条件，提出结论猜想或目标要求以构成求解问题，并对该问题使用自动推理模块进行求解，求解过程以文本可读形式输出到用户终端。

问题生成与求解单元是以一个立体几何自动推理引擎为基础构建的智能求解证明应用系统。当用户通过交互式作图，添加附加条件、参数输入推理初始条件后，可以提出结论猜想或目标要求以构成求解问题。求解系统可以对问题使用自动推理进行求解，或者在用户采取交互式辅助证明方式进行命题单步推理的过程中，给出系统提示和帮助，为使计算机替代人进行重复性的数学运算提供了极大的便利。

在使用问题生成与求解单元进行机器证明过程中，当用户点击“推理”按钮时，自动推理模块根据已有的规则库利用前推法推导出新的知识，当到达推理不动点时，自动推理模块停止继续推理，然后将推导出来的几何信息分类存储到几何信息库中去。用户可以根据自己的需要选择几何信息库中推导出来的几何信息，然后点击鼠标右键这时会弹出一个窗口将这条信息是如何证明出来的步骤列出来。另外，用户也可以先点击“推理信息设置”按钮，然后点击“结论”按钮，通过手工输入顶点序号的方法来设置待证明的结论，最后点击“证明”进行几何命题的证明。例如：作一个空间四面体a，b，c，d，然后分别作边的中点e，f，g，h，顺次连接点e，f，g，h成一个四边形，现在要证明e，f，g，h为平行四边形。可以先点击“推理”，然后在几何性息库里面找到平行信息，可以看到里面有一组平行四边形g，f，e，h，点击右键可以生成证明步骤；当然，也可以先点击“推理信息设置”按钮，通过点击“结论”按钮，选择其中的平行四边形选择项，然后依次输入e，f，g，h四个顶点的序号，再点击“证明”按钮，亦可生成e，f，g，h为平行四边形的证明步骤。

课件制作与演示单元：用于辅助教师利用交互式作图方法及课件工具制作或演示课件，完成几何教学的备课与授课。一个课件是由一系列相对独立的页面组合而成的，每个页面记载着多个按钮，它们分别对应页面中的特定对象。用户可通过点击按钮来控制页面中对象的运动、显示或隐藏。为了制作一份完整的课件，可在同一操作工程下里创建若干页面，每页有一个主按钮，它控制一串状态，每个状态又由若干个动作组成。在演示课件时，可让其周而复始地自动演示，其中每个状态所占用的时间是预先随意设定的。亦可以用翻页键手控演示，或直接控制按钮。在演示过程中，可以随时停止演示，在画面上进行即兴的操作或修改课件的内容，或根据听众的反应作出及时的说明或图示。用户在使用系统进行课件演示时，可以使用系统提供的高质量的课件资源进行辅助教学，也可以自己设计制作符合教学需求的课件，为备课、授课提供支持与帮助。