一种基于区间不确定性的复合材料层合板结构非概率可靠性拓扑优化方法与流程

本发明涉及复合材料层合板结构拓扑优化设计
技术领域：
，特别涉及一种基于区间不确定性的复合材料层合板结构非概率拓扑优化方法，该方法考虑复合材料弹性模量、载荷大小与位移许可值的区间不确定性，在基于非概率可靠性指标dj的约束下，对复合材料层合板结构进行拓扑优化。
背景技术：
：由于复合材料具有热稳定性好、比强度、比刚度高等优良性能，在航空航天、机械、汽车等诸多领域已经得到广泛应用。复合材料的各项优点在航空航天领域表现的尤为明显。航空航天领域对结构重量要求比较严苛，因为结构重量直接影响了飞行器的航程、有效载荷、经济性能等各项重要指标。同时，近年来，得益于计算机技术的巨大进步，结构拓扑优化技术也得到了长足发展，将结构拓扑优化设计方法融入到复合材料层合板结构的优化设计中，就能够实现在概念设计阶段给出满足性能和功能要求的复合材料层合板构件的构型，对于复合材料层合板结构设计有极大的参考意义，能够有效降低结构设计的工作难度，提高工作效率。随着工程结构系统的复杂程度在不断增加，其生产制造和服役环境的不确定性的表现随之也越来越突出。考虑各项不确定性因素的复合材料层合板结构优化设计引起广大学者和工程人员的重视，因而基于概率理论的可靠性拓扑优化设计被提了出来并得到长足发展，成为一种成熟的结构可靠性拓扑优化技术。然而，在工程结构系统中结构不确定性样本数据常常是匮乏的，获得大样本数据是困难或成本较高的。因此，基于基于概率理论的可靠性拓扑优化设计方法将不再适用。在这种情况下，虽无法得到不确定参数的精确概率分布数据，但参数不确定性的界限则易于确定。区间模型适于处理这类有界但不确定的参数。基于参数的区间模型描述，提出复合材料层合板结构非概率可靠性拓扑优化的概念。将不确定参数以区间模型描述，并将其应用于复合材料层合板结构的拓扑优化技术尚未得到充分发展和应用，本发明对于考虑区间不确定性的复合材料层合板结构非概率可靠性拓扑优化在工程上的发展和应用具有重要意义。技术实现要素：本发明要解决的技术问题是：针对复合材料层合板结构，提供一种基于区间不确定性的非概率可靠性拓扑优化方法。本发明充分考虑实际工程问题中广泛存在的区间不确定性因素，以提出的非概率可靠性指标dj作为优化模型的约束条件，所得到的可靠性设计结果更加符合工程实际情况，工程应用性更强。本发明采用的技术方案为：一种基于区间不确定性的复合材料层合板结构非概率可靠性拓扑优化方法，其实现步骤如下：步骤一：通过一阶剪切变形理论获取复合材料单层板的单元弹性矩阵，从而进一步得到不同铺层角度和厚度下的层合板单元弹性矩阵，第k层的应力-应变关系在坐标系(x,y,z)下可表示为：其中，和表示x-y坐标系的弯曲应力，和表示1-2坐标系的弯曲应力，和表示x-y坐标系的弯曲应变，和表示x-y坐标系的剪切应力，和表示1-2坐标系的剪切应力，和表示x-y坐标系的剪切应变，和为第k层材料的弯曲弹性矩阵和剪切弹性矩阵，和表示旋转到坐标系(x,y,z)后的第k层的弯曲弹性矩阵和剪切弹性矩阵。合成应力与各层应力之间的关系可以表示为：其中，hk为层合板各层厚度，t为层合板总厚度。则复合材料层合板的单元弹性矩阵d为：步骤二：考虑复合材料弹性模量、载荷大小与位移许可值的不确定性，采用区间变量ki和fi来表示整体刚度区间矩阵和载荷区间向量，采用区间向量来表示位移区间向量，根据有限元的静力平衡方程有：kiui＝fi然后利用区间参数顶点法，由复合材料层合板结构位移关于弹性模量和载荷的单调性，求出位移在区间不确定参数影响下的上下界：其中，下标corj表示位移区间向量ui中对应于第j个位移约束的分量；上标ki＝1,2，当ki＝1时表示对应值取下界，当ki＝2时表示对应值取上界，即(k-1)2＝k-1，fi1＝fi，步骤三：利用区间数学模型建立非概率可靠性指标dj，非概率可靠性指标dj定义为：每次拓扑优化迭代后实际可靠度rj和目标可靠度rtarg所对应的极限状态平面之间的距离，其中目标可靠度平面是与实际可靠度平行的平面，并且目标可靠度rtarg为一给定值，用非概率可靠性指标dj这个指标来量化当前设计的非概率可靠度，其表达式为：其中，k1＝1/2(1-rtarg)，k2＝2(1-rtarg)是两个临界斜率；和分别为实际位移区间的中心值和半径，和分别为许可位移区间的中心值和半径；步骤四：使用伴随向量法求解位移上下界的灵敏度，然后根据复合函数的求导法则得到非概率可靠性指标dj对设计变量的灵敏度；步骤五：基于simp模型，以复合材料层合板结构质量最小作为优化目标，利用基于区间不确定性的非概率可靠性指标dj作为约束，建立复合材料层合板结构非概率可靠性拓扑优化的数学模型：其中，m是优化区域的质量，xi和vi分别为第i个单元的相对密度和体积，ρ为复合材料层合板的密度，n为优化区域划分的单元总数，x为单元相对密度的下限，这是为了防止刚度矩阵奇异而设置的一个小值，dj表示非概率可靠性指标，m为约束的个数；步骤六：采用mma优化算法，以复合材料层合板结构质量最小为目标，以可靠度为约束，利用非概率可靠性指标dj和结构质量对设计变量的灵敏度进行迭代求解。在迭代过程中，若可靠性约束不满足要求或目标函数的相对变化百分比大于预设值ε时，则不满足收敛条件需要继续进行迭代优化；若可靠性约束满足要求且目标函数的相对变化百分比小于等于预设值ε时，则满足收敛条件，优化完成。本发明与现有技术相比的优点在于：本发明提供了一种基于区间不确定性的复合材料层合板结构非概率可靠性拓扑优化方法，将复合材料层合板与非概率可靠性拓扑优化技术结合起来，充分发挥复合材料轻质高强的优点和各项异性的材料特性，使得结构重量和可靠性达到最优。本发明考虑工程结构在生产制造以及运行中的不确定因素，即材料性能、外载荷和许可位移的不确定性，并以区间模型描述这些参数的不确定性，提出了具有创新性的非概率可靠性指标来描述结果的安全性，同时也提出了非概率可靠性指标对设计变量的灵敏度的高效求解方法。此非概率可靠性拓扑优化方法与传统确定性拓扑优化方法、基于概率模型的可靠性拓扑优化方法以及基于性能度量方法的非概率可靠性拓扑优化方法在本质上是不同的，它在可靠性拓扑优化设计
技术领域：
具有独创性，解决了确定性拓扑优化方法忽略不确定性参数带来的结构具有失效风险的问题，解决了基于概率模型的可靠性拓扑优化方法需要大量实验样本支撑而小样本情况下失效的问题，解决了基于性能度量方法的非概率可靠性拓扑优化方法无法明确表明结构所处的安全状态的问题。基于所提出的非概率可靠性拓扑优化方法，不仅能提高结构的安全性能，还能有效降低经济成本。附图说明图1是本发明针对基于区间不确定性的复合材料层合板结构非概率可靠性拓扑优化方法流程图；图2是本发明所用到的复合材料层合板结构示意图；图3是本发明所用到的1-2坐标系和x-y坐标系之间关系示意图；图4是本发明所用到的实际位移区间和许可位移区间的干涉模型示意图；图5是本发明所用到的区间变量和确定的典型标准空间示意图；图6是本发明所用到的极限状态平面和标准空间的6种干涉情况示意图，其中，图6(a)中图6(b)中图6(c)中图6(d)中图6(e)中图6(f)中图7是本发明所用到的非概率可靠性指标dj的正值与负值的定义示意图；图8是本发明所用到的碳纤维复合材料翼肋结构示意图；图9是本发明所用到的复合材料翼肋结构在不同设计策略下的拓扑构型示意图，其中，图9(a)是确定性拓扑构型，图9(b)是可靠度0.90拓扑构型，图9(c)是可靠度0.95拓扑构型，图9(d)是可靠度0.99拓扑构型。具体实施方式下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。如图1所示，本发明提出了一种基于区间不确定性的复合材料层合板结构非概率可靠性拓扑优化方法，包括以下步骤：(1)复合材料层合板结构的特征在于由多层复合材料构成，并且假设材料是线性弹性和正交各向异性的。如图2所示，层合板各层厚度为hk，各层角度为θk。层合板总厚度t等于各层厚度hk之和。为了分析复合材料层合板的结构响应，这里我们考虑一阶剪切变形理论用于复合材料层合板的静态分析，其中位移可以表示为：其中，u(x,y,z)、v(x,y,z)和w(x,y,z)分别表示(x,y,z)处的面内位移和横向位移。u0(x,y)、v0(x,y)和w0(x,y)分别表示中平面(z＝0)在x,y和z轴方向的位移。为中平面在y轴方向的转角，为中平面在x轴方向的转角。第k层的应变为：其中，和分别表示弯曲应变向量和剪切应变向量，和表示弯曲应变，和表示剪切应变。对于正交各项异性平板，假设横向正应力σz为0，则第k层的应力-应变关系为：其中，和表示1-2坐标系的弯曲应力，和表示1-2坐标系的弯曲应变，和表示1-2坐标系的剪切应力，和表示1-2坐标系的剪切应变，和为第k层材料的弯曲弹性矩阵和剪切弹性矩阵。下标1表示材料主方向，2表示另一方向。可通过下式计算：其中，和分别为第k层材料主向1和2的弹性模量，和分别为第k层材料主向1和2的泊松比。和分别为第k层主向2和3、主向1和3以及主向1和2的剪切模量。1-2坐标系和x-y坐标系的关系如图3所示，它们之间的转换矩阵如下式所示：其中，和分别表示第k层的弯曲旋转矩阵和剪切旋转矩阵。θk表示第k层的铺层角度。通过旋转矩阵，第k层的应力-应变关系在坐标系(x,y,z)下可表示为：其中，和表示x-y坐标系的弯曲应力，和表示x-y坐标系的弯曲应变，和表示x-y坐标系的剪切应力，和表示1-2坐标系的剪切应力，和表示旋转到坐标系(x,y,z)后的第k层的弯曲弹性矩阵和剪切弹性矩阵。合成应力与各层应力之间的关系可以表示为：则复合材料层合板的单元弹性矩阵d为：在确定正交各项异性的复合材料单层板的9个材料参数、铺层总数、各层角度和厚度后，通过以上各式即可确定复合材料层合板的单元弹性矩阵d。在结构有限元法中，单元刚度矩阵ki可通过下式得到：其中，b为单元应变-位移矩阵。复合材料层合板的总体刚度矩阵可通过单元刚度矩阵求和得到：其中，n是设计域的单元总数；(2)考虑复合材料弹性模量、载荷大小与位移许可值的不确定性，采用区间变量ki和fi来表示整体刚度区间矩阵和载荷区间向量，采用区间向量来表示位移区间向量，根据有限元的静力平衡方程有：kiui＝fi(12)利用区间参数顶点法，由复合材料层合板结构位移关于弹性模量和载荷的单调性，求出位移在区间不确定参数影响下的上下界：其中，下标corj表示位移区间向量ui中对应于第j个位移约束的分量；上标ki＝1,2，当ki＝1时表示对应值取下界，当ki＝2时表示对应值取上界，即(k-1)2＝k-1，fi1＝fi，(3)对于传统的确定性拓扑优化问题，实际位移uj,a与许用位移uj,s的关系决定了当前拓扑构型的安全程度，即：uj,a-uj,s≤0,j＝1,2,…,m(14)其中m表示位移约束的数目。但是，由于不确定性参数的存在，则需要对结构位移约束用区间进行描述(如图4所示)，即：显然，极限状态方程可定义为：以及极限状态平面：由区间数学理论，可以建立如下标准空间：其中，△uj,a和△uj,s分别为属于标准区间和的变量，和分别为实际位移区间的中心值和半径，和分别为许可位移区间的中心值和半径，它们的表达式分别为：当实际位移区间和许可位移区间之间的干涉条件满足时，与区间模型和所建立的可行域一致，极限状态函数m将标准空间中划分为两部分，即mi(uj,s,uj,a)≥0的部分为安全域，mi(uj,s,uj,a)<0的部分为失效域(如图5所示)。将式(18)代入式(17)可得：以及如图2所示，为了得到安全区域和失效区域的数学表达式，需要将失效平面与区间变量(△uj,a和△uj,s)的几何界限的交点体现出来。不失一般性，如图2所示，令△uj,s＝-1，△uj,a＝1，可得：利用式(23)，非概率可靠性指标rj可定义为安全域面积与标准空间面积的比值：如图6所示，随着实际位移区间和安全位移区间的干涉状态不同，标准空间被失效平面分割后的安全域和失效域也不同，一共有6种状态。相应的，可靠性指标rj的表达式为这包含6种情况的分段函数：由于基于梯度的优化算法要求可靠性指标具备良好的连续性和可微性使得调用mma算法求解大规模设计变量时具备完整的梯度信息，但当rj＝1和rj＝0时(对应于图3(e)和(f)两种情况)，偏导数为设计变量)总为0。此时，mma算法将不能完成优化。如前所述，基于梯度的mma优化算法需要非零解来更新设计变量xe,i，这就使得式(25)对可靠性指标的定义不一定有效，甚至会导致优化过程收敛困难。为解决上述问题，需要对可靠性指标rj进行改进，改进后的可靠性指标可用dj表示。改进的非概率可靠性指标dj定义为每一个优化迭代过程中由式(25)所定义的面积比得到的实际可靠度rj所对应的极限状态平面和目标可靠度rtarg所对应的极限状态平面之间的距离，这两个平面在标准空间中平行即表达式相差一个常数。dj的符号由两个极限状态平面的相对位置决定(如图7所示)。根据上述定义，可以发现不等式dj≤0与原可靠性约束rj≥rtarg等价，即结构安全性满足要求，反之当dj>0，结构安全性不满足要求。此外，在非概率可靠性拓扑优化迭代过程中，由于目标极限状态平面的几何位置，尤其是斜率会随着干涉条件的变化而不断变化，所以dj的表达式也是一个分段函数。改进的非概率可靠性指标dj的推导过程如下。根据目标极限状态平面的定义，可以将其数学表达式设为：其中，c0为待定系数，斜率为在工程实际中，基于安全考虑，可靠度rtarg通常是一个接近1的值，因此目标极限状态平面总是位于由δuj,a和δuj,s确定的可行域的右下侧。在这种情况下，可以推导出目标极限状态平面的两个临界范围：因此，可分为三种情况对dj进行推导：1)若则目标极限状态平面相交于可行域的上界和下界，设△uj,s＝±1，可得：由非概率可靠性指标rj的定义，可得：化简后有：由dj的定义，可得：2)若目标极限状态平面与可行域的两个交点分别满足△uj,s＝-1和△uj,a＝1，则有：由非概率可靠性指标rj的定义，可得：化简后有：由dj的定义，可得：3)若则目标极限状态平面相交于可行域的左边界和右边界，与第一种情况类似，dj的表达式为：综合上述三种情况，非概率可靠性指标dj的表达式为：至此，已经建立了基于区间数学模型的非概率可靠性指标dj。在结构实际位移区间和许可位移区间的任何干涉条件下，可靠性指标dj总能提供有效的灵敏度信息，而不是在某些情况下得到一个零值。一旦每一次拓扑优化迭代中dj能够确定，只需求解得到其对设计变量的灵敏度信息，就可调用mma算法更新设计变量，直至收敛并完成拓扑优化设计。(4)基于梯度算法求解约束最小化问题时，需要进行灵敏度分析。考虑到一旦区间和确定，dj就可以唯一确定，即：此外，需要指出的是，设计变量xi与位移许可值uj,s之间没有关联，因此，偏导数是关于uj,a和的函数。由复合函数链式求导法则，可得：由定义和可得：利用高斯消元法同时求解式(40)，得到：将式(41)代入式(39)可得：由式(38)可得：以及在拓扑优化的每一个迭代中和都可以直接得到，所以式(43)和(44)可以直接求解。然而，由于设计变量数目较大，直接求解和是一个相当耗时的过程。为解决这个问题，本发明利用伴随向量的思想建立如下的拉格朗日方程：其中λj(j＝1,2,…,m)是关于静力平衡方程的伴随向量。由于显然所以式(45)对设计变量xi求偏导可得：为避免计算的困难，令则有：其中，可以看到式(48)在形式上和静力平衡方程kua＝f一致，因此为了求解伴随向量λj，可以仅在第j个节点自由度处施加单位载荷通过一次有限元静力计算即可。将λj代入式(46)，可得实际位移的上下界对设计变量的灵敏度：任一拓扑构型下区间总体刚度ki可写为：将式(50)代入式(49)，有：至此，由式(42)-(44)以及式(51)，可靠性指标dj相对于设计变量xi的灵敏度就可完整且高效地求解。(5)基于simp模型，以复合材料层合板结构质量最小作为优化目标，利用基于区间不确定性的非概率可靠性指标dj作为约束，建立复合材料层合板结构非概率可靠性拓扑优化的数学模型：其中，m是优化区域的质量，xi和vi分别为第i个单元的相对密度和体积，ρ为复合材料层合板的密度，n为优化区域划分的单元总数，x为单元相对密度的下限，这是为了防止刚度矩阵奇异而设置的一个小值，dj表示非概率可靠性指标，m为约束的个数；(6)采用mma优化算法，以复合材料层合板结构质量最小为目标，以可靠度为约束，利用非概率可靠性指标dj和结构质量对设计变量的灵敏度进行迭代求解。在迭代过程中，若可靠性约束不满足要求或目标函数的相对变化百分比大于预设值ε时，则不满足收敛条件需要继续进行迭代优化；若可靠性约束满足要求且目标函数的相对变化百分比小于等于预设值ε时，则满足收敛条件，优化完成。具体实施例：本实施例对mt300-3k/603a单向板构成的碳纤维复合材料翼肋结构进行考虑结构刚度下的拓扑优化设计，以复合材料层合板的结构质量最小作为优化目标，以结构关注节点的位移或位移可靠度作为约束。在有限元分析中采用平面4节点单元，设计域共划分为7241个单元。mt300-3k/603a单向板的材料参数如表1所示。复合材料翼肋结构和边界条件如图8所示。复合材料层合板共有5层，各层的铺层角度分别为0°/-45°/90°/-45°/0°，各层厚度均为0.25mm。载荷分别为50n、50n、50n和-50n，许可位移分别为4mm、1mm、4mm和-0.1mm。在进行可靠性拓扑优化设计时，考虑载荷、层合板材料性能和许可位移均存在5％的分散性。复合材料层合板材料在确定性、可靠度0.9、可靠度0.95和可靠度0.99四种策略下的拓扑构型如图9所示。复合材料层合板材料在四种策略下的相对质量分数如表2所示。表1mt300-3k/603a单层板材料参数表2复合材料层合板材料1在不同设计策略下的相对质量分数设计策略相对质量分数(％)确定性拓扑优化46.1可靠性拓扑优化(rc＝0.90)57.6可靠性拓扑优化(rc＝0.95)59.5可靠性拓扑优化(rc＝0.99)63.4从优化结果可以看到，三种可靠度下的拓扑优化构型与确定性优化构型均有差别，并且随着可靠度的增加，拓扑构型更加强壮，使用的材料也更多，结构的相对质量分数由确定性策略下的46.1％增加到可靠度0.99策略下的63.2％。可见在工程实际中对复合材料层合板进行拓扑优化设计时考虑载荷、材料性能和位移等参数的不确定性是非常有必要的，忽略不确定性参数的影响可能导致结构存在失效的风险。在其他条件相同的情况下，由于复合材料铺层不同，拓扑构型也会有所不同，这主要由于复合材料存在各项异性的性质；同时，使用不同铺层的复合材料对拓扑优化后的材料使用量影响较大，不同设计策略下的相对质量分数均相差较大。综上所述，本发明提出了一种基于区间不确定性的复合材料层合板结构非概率可靠性拓扑优化方法。该方法首先通过一阶剪切变形理论获取复合材料层合板的单元弹性矩阵，从而得到不同铺层角度和厚度下的层合板材料性能；考虑外载荷、材料属性、刚度许用值等参数的不确定性，基于区间集合可靠性模型，建立非概率可靠性指标；利用伴随向量法求解非概率可靠性对设计变量的灵敏度；运用基于梯度信息的mma算法更新设计变量，迭代优化直至获得最佳拓扑构型。本发明在进行复合材料层合板结构拓扑优化的过程中合理表征了不确定性对结构构型的综合影响，结构的轻量化、安全性能以及经济性都得到有效提升。以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于含缺陷结构的优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。当前第1页12