一种基于delta算子的二级化学反应器故障估计方法

本发明涉及故障估计技术领域，具体涉及一种基于delta算子的二级化学反应器故障估计方法。

背景技术：

随着工业系统在应用和研究领域对安全性和可靠性要求的不断提高，故障诊断技术在近几十年得到了广泛的关注。故障估计是故障诊断方法的重要组成部分，它不仅可以判断故障发生的时间和地点，而且可以提供故障的大小和形状，对在线容错控制和实时检测至关重要。在基于模型的故障估计方法中，基于观测器的方法已被证明是一种有效的方法，并得到了广泛的研究。故障估计可以通过使用各种观测器技术来实现，例如自适应观测器、滑模观测器、pi观测器和增广系统观测器。在已有的文献中，有的利用未知输入观测器实现了对采样数据的鲁棒故障估计。有的利用自适应技术，研究了有向图多智能体系统的故障估计问题。有的采用鲁棒滑模广义观测器实现了不确定系统的故障估计，并考虑了不确定系统的输出估计问题。

在许多实际系统中，如化工过程、电子通信、航空航天、石油勘探等，时滞现象时有发生。它是系统不稳定的重要原因。时滞的存在使得这些实际系统的理论分析和工程应用都极为困难，因此对时滞系统的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。近年来，时滞系统的故障估计问题也得到了广泛的研究。有的针对具有时变耦合时滞的复杂动态网络，提出了故障估计与同步控制的方法。有的在模糊参数依赖观测器的基础上，研究了具有时滞的离散切换t-s模糊系统的执行器和传感器故障估计问题。

自从米德尔顿和古德温首次提出delta算子方法以来，在过去几十年中delta算子越来越受到重视。delta算子方法的最大优点是，如果采样周期足够小，离散模型几乎可以趋向于原始连续模型。它不仅避免了z变换引起的数值不稳定性，而且使系统性能趋于连续状态。有的文献提出了一种基于delta算子方法的线性系统故障估计和容错方法，但没有考虑故障估计过程中的时滞。因为时滞的存在，对未知输入鲁棒性差，其敏感性也较低，无法准确的实现故障估计。

技术实现要素：

发明目的：针对现有技术中存在的问题，本发明提供了一种基于delta算子的二级化学反应器故障估计方法，能在线准确的实现故障估计，使误差系统渐近稳定，使用方法新颖，可以实现二级化学反应器系统中的故障估计。

技术方案：本发明提供了一种基于delta算子的二级化学反应器故障估计方法，包括如下步骤：

步骤1：根据质量守恒原理构造二级化学反应器数学模型；

步骤2：依据z变换方法和delta算子方法，分别给出二级化学反应器z变换模型以及delta算子模型；

步骤3：考虑时滞、干扰、非线性和故障情况，给出系统delta算子状态方程的一般表达式；

步骤4：设计比例—积分观测器(pio)，给出误差动态方程，以及达到故障估计目标需要满足的性能指标；

步骤5：利用李亚普诺夫函数，给出系统渐进稳定的充分条件；

步骤6：利用相应引理和定理，消除系统渐进稳定的充分条件中的非线性项，将充分条件转化为方便计算的线性矩阵不等式，得出比例—积分观测器中需要设计的参数，实现二级化学反应器的故障估计。

进一步地，所述二级化学反应器为工业循环反应器，二级化学反应器的两个反应器都是恒温连续搅拌槽式反应器，所述二级化学反应器系统数学模型为：

其中，第一反应器和第二反应器的组分产物流c1和c2是可变的，需要加以控制；c2f是第二反应器的进料部件；r1和r2是循环流量，α1和α2是反应常数；f2为进料速率，v1和v2分别为第一反应器和第二反应器的体积，θ1和θ2分别为反应器停留时间，fp1是第一反应器的出料速率，fp2是第二反应器的出料速率；

因为c1＝x1(k)，c2＝x2(k)，则(1)式可以写为：

其中，x1(k)，x2(k)是状态变量，x2f为控制输入，若定义u(k)＝x2f(k)，则可得所述二级反应器系统模型的状态方程如下：

式中，

进一步地，所述步骤2中依据z变换方法和delta算子方法，分别给出二级化学反应器z变换模型以及delta算子模型具体步骤为：

步骤2.1：首先利用传统的z变化方法对所述二级反应器系统模型的状态方程进行离散化处理，可得二级化学反应器的z变换模型为：

其中，

步骤2.2：定义delta算子：

其中，h表示采样时间，h＞0；

步骤2.3：其次:利用delta算子对系统(4)进行离散化，可得二级化学反应器的delta算子模型为：

其中，

进一步地，系统delta算子状态方程的一般表达式具体为：

假设存在时变不确定性，并用一个预定义的非线性函数φ(t，x(t)，u(t))来描述系统的不确定性和模型误差，考虑到两级化学反应器系统的执行器故障和扰动，系统的故障模型可以表示为：

其中，fa(t)表示执行器故障，d(t)表示外部干扰，y(t)为系统输出，a，ad，b，bf，bd，c为已知的具有适当维数的常数矩阵；φ(t，x(t)，u(t))为具有lipschitz常数θ的非线性向量函数，即：

步骤2.5：给出以下假设，假设1：delta算子非线性时滞系统(7)是渐近稳定的；假设2：已知的具有适当维数的常数矩阵(a，c)为可观测的。

进一步地，所述步骤4中比例—积分观测器(pio)为：

其中，表示状态x(t)的估计值，为观测器输出，k1，k2分别表示比例和积分增益，l为观测器增益，对称正定矩阵γ为学习率。

进一步地，所述步骤4中误差动态方程具体如下：

定义状态估计误差：

基于delta算子的执行器故障估计算法如下：

其中，γ为学习率，是对称正定矩阵；

定义故障估计误差为：

可得状态估计误差动态方程为：

其中，

故障估计误差动态方程为：

定义增广状态和输入向量如下：

则可得delta算子误差系统为：

其中，

进一步地，所述步骤4中误差动态方程具体如下：所述步骤4中达到故障估计目标需要同时满足的性能指标，具体如下：

(1)误差系统(13)是渐进稳定的，满足：

(2)对于给定γ＞0，系统(13)满足：

其中，w1，w2为常数矩阵。

进一步地，所述步骤5中系统渐进稳定的充分条件：

对于给定γ＞0，如果存在正定对称矩阵p＞0、q＞0满足：

其中，

则增广系统(13)渐进稳定，且具有h∞性能γ。

进一步地，所述步骤6中方便计算的线性矩阵不等式形式的充分条件：

对于给定的∈1＞0，∈2＞0，∈3＞0，γ＞0，如果存在对称正定矩阵q1，q2和矩阵y，z，z1，z2满足：

其中，

则增广系统(13)渐进稳定，且具有h∞性能γ。

有益效果：

1、本发明提出了一种新颖的针对二级化学反应器的故障估计方法，采用了delta算子的方法实现了二级化学反应器系统的故障估计。delta算子统一了连续系统和离散系统的理论，提供了与移位算子和z变换相同的灵活性，并且避免了数值不稳定性问题。

2、与现有的二级化学反应器故障估计结果相比，本发明基于比例—积分观测器提出了一种基于比例项和积分项不同增益的故障估计方法。该方法提供了更大的自由度以达到性能指标，且故障估计方法的准确性更高。

附图说明

图1为本发明实施例具有延迟循环流的二级化学反应器示意图；

图2为本发明实施例外部干扰d(t)示意图；

图3为本发明实施例非线性函数φ(t，x(t)，u(t))示意图；

图4为本发明实施例故障f1(t)，f1(t)的估计值以及估计误差示意图；

图5为本发明实施例故障f2(t)，f2(t)的估计值以及估计误差示意图；

图6为本发明实施例故障f3(t)，f3(t)的估计值以及估计误差示意图；

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明以具有延迟循环流的二级化学反应器为实施对象，针对该系统中出现故障，提出一种基于delta算子的和比例积分观测器(pio)的二级化学反应器故障估计方法，该方法从理论上实现了对系统在线的进行故障估计。

本发明一种基于delta算子的二级化学反应器故障估计方法包括如下步骤：

步骤1：，根据质量守恒原理构造二级化学反应器数学模型：

循环反应器是工业中最常用的反应器。它不仅提高了总转化率，还降低了反应成本。附图1显示了一个具有延迟循环的二级化学反应器。假设两个反应器都是恒温连续搅拌槽式反应器。

我们假设反应温度保持恒定，只有来自第一反应器和第二反应器的组分产物流c1和c2是可变的，需要加以控制。c2f是第二反应器的进料部件。r1和r2是循环流量，α1和α2是反应常数。f2为进料速率，v1和v2分别为第一反应器和第二反应器的体积，θ1和θ2分别为第一反应器和第二反应器的停留时间，fp1是第一反应器的出料速率，fp2是第二反应器的出料速率，h为已知常时滞。图1所示二级化学反应器的质量平衡方程如下：

因为c1(k)＝x1(k)，c2(k)＝x2(k)，则(1)式可以写为：

其中，x1，x2是状态变量，x2f为控制输入，若定义u(k)＝x2f(k)，则

可得所述二级反应器系统模型的状态方程如下：

式中，

注记1：该系统(3)是二级化学反应器系统中无外部干扰、执行器故障和不确定性的理想数学模型。

取θ1＝θ2＝5，α1＝0.34，α2＝0.1，r1＝r2＝0.5，v1＝v2＝1，f2＝fp1＝0.2，d＝2.5，可以得到系统模型(3)的系数矩阵，如下所示：

本发明的采样时间为t＝0.1。根据归一化技术，离散化上述矩阵得：

步骤2：基于步骤1中的状态方程，依据z变换方法和delta算子方法，分别给出二级化学反应器z变换模型以及delta算子模型，具体内容如下：

首先，利用传统的z变化方法对式(3)进行离散化处理，可得二级化学反应器的z变换模型为：

其中，

delta算子的定义为：

其中，h表示采样时间，h＞0。

其次，利用delta算子对系统(4)进行离散化，可得二级化学反应器的delta算子模型为：

其中，

步骤3：考虑时滞、干扰、非线性和故障情况，给出系统delta算子状态方程的一般表达式，具体内容如下：

在实际应用中，动态系统不可避免地会出现不确定性和模型失配，从而导致系统动态模型的不确定性。在这里，我们假设存在时变不确定性，并用一个预定义的非线性函数φ(t，x(t)，u(t))来描述系统的不确定性和模型误差。考虑到两级化学反应器系统的执行器故障和扰动，系统的故障模型可以表示为：

其中，fa(t)表示执行器故障，d(t)表示外部干扰，y(t)为系统输出，a，ad，b，bf，bd，c为已知的具有适当维数的常数矩阵。φ(t，x(t)，u(t))为具有lipschitz常数θ的非线性向量函数，即：

注记2：delta算子方法与传统的连续系统和离散系统描述方法相比，是一种更好的描述方法。当采样时间h→0时，系统为连续系统；当采样时间h＝1时，则它表示的是标准的离散系统。

为了实现本发明的目标，给出了以下假设：

假设1：delta算子非线性时滞系统(7)是渐近稳定的；

假设2：(a，c)为可观测的。

步骤4：设计pio，给出误差动态方程，以及达到故障估计目标需要达到的性能指标，具体过程如下：

首先，为了估计二级化学反应器系统中的执行器故障，设计如下形式的pio：

其中，表示状态x(t)的估计值，为观测器输出，k1，k2分别表示比例和积分增益，l为观测器增益，对称正定矩阵γ为学习率。

其次，定义状态估计误差：

基于delta算子的执行器故障估计算法如下：

其中，γ为学习率，是对称正定矩阵。

定义故障估计误差为

可得状态估计误差动态方程为：

其中，

故障估计误差动态方程为：

定义增广状态和输入向量如下：

则可得delta算子误差系统为：

其中，

然后，给出达到故障估计目标需要同时满足的性能指标，如下所示：

(1)误差系统(13)是渐进稳定的，满足：

(2)对于给定γ＞0，系统(13)满足：

其中，w1，w2为常数矩阵。

注记3：式(15)中的表示加权矩阵，通过调节的值，可以提高估计误差的重视度，加快系统的响应速度，提高系统的动态性能。

为了本发明的目的，提供了以下引理：

引理1：给定对称矩阵和具有适当维数的矩阵χ(t)，则

对于χ^t(t)χ(t)≤i成立，当且仅当存在一个正数∈满足

引理2：设为一个对称矩阵，s＜0等价于s22＜0且

引理3：对于任意时间函数x(t)，y(t)，均存在：

δ(x(t)y(t))＝δ(x(t))y(t)+x(t)δ(y(t))+hδ(x(t))δ(y(t))

步骤5：利用李亚普诺夫函数，给出系统渐进稳定的充分条件，具体过程如下：

为了估计式(7)中的执行器故障，我们利用李亚普诺夫函数给出充分条件来保证系统(13)在预先设计的h∞性能指标下渐近稳定。提出了如下定理1：

定理1：对于给定γ＞0，如果存在正定对称矩阵p＞0、q＞0满足：

其中，

则增广系统(13)渐进稳定，且具有h∞性能γ。

证明：定义如下的lyapunov-krasovskii函数：

其中，p＞0，q＞0。

根据引理3，可得lyapunov-krasovski函数的导数：

将(8)的定义带入到(19)中，可得：

考虑如下性能指标：

则:

则有：

为实现性能指标(17)，必须满足下列条件：

其中，

若下式成立，则(25)成立：

利用引理2，我们可得不等式(18)，证明结束。

步骤6：消除系统渐进稳定的充分条件中的非线性项，将充分条件转化为方便计算的线性矩阵不等式，得出比例—积分观测器中需要设计的参数，实现二级化学反应器的故障估计，具体过程如下：

利用定理1、引理1和引理2，可以用以下定理2求解观测器中需要设计的参数。

定理2：对于给定的∈1＞0，∈2＞0，∈3＞0，γ＞0，如果存在对称正定矩阵q1，q2和矩阵y，z，z1，z2满足：

其中，

则增广系统(13)渐进稳定，且具有h∞性能γ。

证明：根据定理1的结果，我们首先定义：

将(15)中矩阵代入到(18)中，可得：

其中，

使用引理1和引理2处理式(27)中的非线性项，可以将矩阵φ1写为如下形式：

其中，

κ1＝[-lc00000000]

k3＝[-clc00000000]

κ4＝[0γhzcbfγhzcad0γhzcbd0000]

设z2＝l^ty，应用引理1和引理2，取χ＝i，可得不等式(25)，证明结束。

根据定理2，利用以下算法可以成功地求解观测器增益，从而实现故障估计。

算法：

第一步：使用定理2计算z，z1，z2，y；

第二步：观测器的参数k1，k2，l能分别从z2＝l^ty中求得。

定义系统(7)中的其他矩阵为：

c＝[0.10.6].

设非线性函数为φ1(t，x(t)，u(t))＝[sin(t)0]，取∈1＝1.5，∈2＝2.5，∈3＝1，γ＝50，w2＝3.4239，学习率为γ＝0.0013，利用定理2可得：

z＝2.7819e-12，z1＝1.1076，22＝-1.9838，

然后，根据算法可得pio(9)的系数矩阵：

k1＝1.6679e-0.6，k2＝664087.809，

外部干扰设置为白噪声，如图2所示，非线性项函数如图3所示，常数故障f1(t)、时变故障f2(t)、斜坡故障f3(t)由下式给出：

f1(t)、f2(t)、f3(t)的故障、故障估计值和故障估计误差，如图4、5、6所示，由仿真结果可知，无论故障是一个常数故障，时变故障，或斜坡故障，本发明均可以估计出高精度的故障。

从仿真结果中可以看出，针对二级化学反应器故障估计方法，本发明设计的故障估计观测器能够在线及时准确的估计出系统的故障，具有重要的实用参考价值。

上述实施方式只为说明本发明的技术构思及特点，其目的在于让熟悉此项技术的人能够了解本发明的内容并据以实施，并不能以此限制本发明的保护范围。凡根据本发明精神实质所做的等效变换或修饰，都应涵盖在本发明的保护范围之内。