一种基于连续系统仿真验证的剖分有限元方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于具有终端约束和轨迹约束的轨迹优化领域，涉及一种基于连续系统仿 真验证的剖分有限元方法。
【背景技术】
[0002] 在目前的空中交通管制模式下，日益增加的空中交通流量和有限的空域资源之间 的矛盾日益突出。因此，自由飞行成为了未来空中交通的必然发展模式。在自由飞行环境 下，用户可以自主选择飞行航线、飞行速度和飞行高度，不必被一系列导航台的航路、航线 所束缚；并且可以根据自己的优化目标如节约燃油、缩短航时、避让危险天气或空域阻碍， 来确定飞行路线，从而达到对空域资源的充分利用。自由飞行将带来空域高容量的优势，但 同时在自由飞行条件下，同时刻、同空域内出现的飞行器密度将大幅度增加，再加上自由航 线的不确定性，从而导致飞行冲突的可能性大幅度提升。为保证飞行的绝对安全，当预测到 将要发生冲突时，需要设计出避免飞行冲突的最优操作策略，使飞行器按照设定的最优轨 迹飞行，从而摆脱可能出现的飞行冲突。因此，如何设计最优操作策略实现飞行冲突解脱是 影响自由飞行能否实现的一项关键技术和先决条件。
[0003] 本发明是对规定时间内的多架飞机间冲突解脱问题进行动态优化研宄，对于每一 架飞机都采用动力学点质模型描述，并且多架飞机的初始位置和终止位置已经固定，每两 架飞机之间均需要严格满足空中交通系统间隔标准的约束，命题优化目标为飞机消耗总能 量最小。
[0004] 目前，联立法是求解动态优化问题的主流方法。联立法将控制变量和状态变量在 整个优化时域内同时进行离散化处理，将原先的动态优化问题转变为一个大规模的非线性 规划（NLP)问题，然后利用非线性规划求解器求解离散化后的非线性规划问题。联立法通 过有限元将这个时域划分为多个时间段，基于有限元正交配置的联立法选择满足正交多项 式的插值点作为有限元的配置点。在有限元的每个配置点上，微分代数方程是严格满足。联 立法将微分代数方程组（DAE)系统的解与优化问题结合起来，只需要在最优解处求解一次 DAE方程组即可，这样便避免了中间过程大量的计算。另外，联立法可以很方便的处理路径 约束问题，同时具有很好的稳定性。本发明所采用的非线性规划求解器是由卡耐基梅隆大 学开发的IPOPT。
[0005] 在采用联立法求解动态优化命题时，有限元划分的越密集，所求得的解的精度就 越高，非线性规划问题的规模就越大，非线性规划求解器的求解过程就越耗时越困难，因此 仅靠增加有限元的个数来保证解的精度在某些时候是不可行的，尤其是针对复杂的大规模 动态优化问题。更重要的是，目前采用联立法求解动态优化命题时，只能保证有限元配置点 上满足约束，不保证非配置点上满足约束。这一缺陷反映在自由飞行问题中，即表现为该命 题进行优化求解成功得到的飞行轨迹，看似飞机之间均满足约束，实则在某些有限元的非 配置点上，由于不满足空中交通系统间隔标准的约束因而发生了冲突，这就导致联立法的 求解结果不能够完全让人放心。本发明针对联立法求解动态优化命题的这一缺陷，即联立 法只能够保证在有限元配置点上满足约束，不保证在非配置点上满足约束，提出了一种基 于连续系统仿真验证的剖分有限元方法，连续系统仿真验证方法使得有限元非配置点满足 约束，剖分有限元方法对原有限元序列进行重新配置，能够得到在尽量少增加有限元个数 的前提下保证求解精度的有限元配置方案，求解结果表明采用这种方法对优化命题求解很 好的满足了离散化精度和求解精度。
【发明内容】
[0006] 本发明针对目前全联立离散化动态优化的缺陷，即联立法只能够保证在有限元配 置点上满足约束，不保证在非配置点上满足约束，提出了一种基于连续系统仿真验证的剖 分有限元方法，能够在尽量少增加有限元个数的前提下保证求解精度的有限元配置方案。
[0007] 本发明针对三维空间下的自由飞行冲突解脱问题进行研宄，将飞行冲突解脱问题 表述成最优控制命题，采用联立法对其进行求解，并以连续系统仿真验证的碰撞误差为依 据，采用剖分有限元方法对有限元进行重新配置，以提高求解的精度，在求得控制变量曲线 后，通过积分器进行连续仿真，并与有限元重新配置之前的数值结果进行比较，验证算法的 有效性。
[0008] 本发明的方法包括以下步骤：
[0009] 步骤（1).对待测飞行冲突时域tf等分为Nfe段，Nfe彡5,得到Nfe个有限元，则 经过等分时域后的有限元序列，
【主权项】
1. 一种基于连续系统仿真验证的剖分有限元方法，其特征在于该方法包括以下步骤： 步骤（1).对待测飞行冲突时域tf等分为Nfe段，Nfe<5,得到Nfe个有限元，则经过 等分时域后的有限元序列为H
，每个有限元长度为
步骤（2).采用有限元正交配置方法对步骤（1)中的有限元序列进行配置，每个有限元 中有3个Radau配置点，每两个配置点之间的点均为非配置点，具体是： 将三维空间下的自由飞行冲突解脱问题表述成命题，动态优化命题的一般形式为：min<}>(z(tf))
其中是巾目标函数，z〇:>ei?+~是微分变量，：^幻￡11+~是代数变量，u(t)ei?+?:是控 制变量，pel?%是模型参数，1、1^111)分别是微分变量、代数变量、控制变量、模型参数的 个数，Z(l是微分变量的初始状态。f表示微分方程，gB表示代数方程，微分代数方程组中微 分变量、代数变量和控制变量的边界约束归结到^中； 有限元正交配置方法通过有限元上的正交多项式逼近控制变量和状态变量，定义有限 元个数为Nfe，那么tQ<tiO.CtNfe=tf，比=t厂1:卜1;每个有限元hi上通过Lagrange 插值多项式对微分变量、控制变量和代数变量进行逼近：
其中，K为插值的阶次，L(t)和
1分别表示微分变量和控制变量，代数 变量的Lagrange插值多项式，可以用如下形式表示：
Lagrange多项式插值具有如下性质：
即各个变量在配置点上的值正好等于其系数，那么 =Zi,j,yU^j) = yijJ,uU^j) (5)； 由于微分变量需要保持状态的连续性，所以在有限元端点上需要通过连接方程来保证 微分变量的连续性，而代数变量和控制变量则可以不连续；此外，还必须加上初始和终端条 件：
将公式（2)和（4)代入（1)并结合连接条件方程（6)，可以得到离散化后NLP问题形式 如下：
步骤（3).对步骤2得到的离散化后的NLP问题进行求解，得到最优飞行轨迹方案： 采用如下的动力学模型进行描述每一架飞行器：
i= 1. ? ? ?N 其中，（Xi(t)，yi(t)，Zi⑴）为第i架飞机在t时刻的位置坐标，单位为m;
为第i架飞行器在t时刻的速度，单位为m/s，且％^ %、是操纵飞行器的控制变量； 根据ATC标准的飞行安全边界条件可知，任意两架飞行器在同一高度时两者的水平距 离不小于R(R= 5nmi)或两者的垂直距离Hu不小于H(H= 1000ft)，可以采用如下的 析取表达式进行描述：
其中，氏」为第i架飞行器和第j架飞行器之间的水平距离，单位为m; 氏』为第i架飞机和第j架飞行器之间的垂直距离，单位为m; 假定需在tgljtf这段时间内完成冲突解脱的过程，各架飞行器的初始状态和终止状态 为：
其中，々知力斗而而为第i架飞行器的初始位置坐标，单位为m; XU|>'yi，' 2f,f广为第i架飞行器的终止位置坐标，单位为m; h为开始进行冲突解脱的时刻，单位为s; 、为结束冲突解脱的时刻，单位为s,且t15min; 本方法将飞行冲突解脱过程中的能量消耗作为性能指标，即目标函数J见公式（11):
其中n为惩罚因子，由于在垂直方向上的速度改变会引起机载人员的不适，因此采用n对Z方向上的速度变化进行惩罚；Vi为各架飞机的权重系数； 综上所述，以N架飞机的速度分量vxi，vyi，vzi为控制变量，将N架飞机的飞行冲突解脱 问题表述为如下形式的最优控制命题：
针对式⑵中的析取关系式:(％之:R)V(1%之H>，将通过引入辅助变量入U1和入iJ2 将其转化为如下形式：
同时在最优控制命题的目标函数中引入关于和Am的二次项：
故最优控制命题变为如下形式：
由公式⑶中的目标函数I'对应的飞机速度分量vxi，vyi，vzi构成了最优飞行轨迹方 案，同时也为步骤（3)进行连续系统仿真验证提供了控制变量； 步骤（4).对步骤（2)得到的有限元非配置点进行连续系统仿真验证，得到非配置点的 飞行轨迹方案： 步骤（5).根据步骤（4)中找到的发生冲突的非配置点tn。。，在该非配置点采用剖分有 限元方法，得到一个新的有限元序列，返回执行步骤（2)。
2.如权利要求1所述的一种基于连续系统仿真验证的剖分有限元方法，其特征在于步 骤（4)具体操作如下： 4. 1:根据步骤（3)优化求解得到的控制变量vxi，vyi，vzi，采用Matlab将该控制变量作 用施加于连续系统中进行仿真验证，能够得到状态变量XpypZi在有限元非配置点上的值， 即有限元非配置点的飞行轨迹方案； 4. 2 :针对步骤（4. 1)得到的有限元非配置点的飞行轨迹方案，在每个非配置点上，对 每两架飞机根据飞机之间的安全边界条件判断在整个飞行过程中是否发生冲突，见公式 16;若发生冲突，则找到此冲突对应的非配置点，执行步骤（5);若没有发生冲突，则命题优 化求解成功，即得到了最优飞行轨迹方案； 所述的飞行过程中两架飞机发生冲突，则需要满足公式（9)即水平距离1小于R且垂直距离'小于h:
其中，Xi (tn。。)，yi(tn。。)，Zi (tn。。）表示第i架飞机在tn。。时刻的位置坐标，tn。。即为有限 元的非配置点。
3. 如权利要求2所述的一种基于连续系统仿真验证的剖分有限元方法，其特征在于步 骤（4. 1)采用matlab中的ode45()函数对连续系统进行仿真验证。
4. 如权利要求2所述的一种基于连续系统仿真验证的剖分有限元方法，其特征在于步 骤（5)所述的剖分有限元是对该非配置点对应的有限元进行剖分，然后得到新的有限元序 列，具体操作是假设目前有Nfe个有限元，有限元序列为
，根据连续系统 仿真验证得到的发生冲突的非配置点是tn。。，该点对应第M个有限元。因此，经过剖分有限 元方法得到的新的有限元序列为：
【专利摘要】本发明公开一种基于连续系统仿真验证的剖分有限元方法。该方法针对目前联立法求解动态优化命题的缺陷，即只保证在有限元配置点上满足约束，不保证在非配置点上满足约束，提出了一种基于连续系统仿真验证的剖分有限元方法。该方法采用连续系统仿真验证方法使得有限元非配置点满足约束，采用剖分有限元方法对原有限元序列进行重新配置，能够得到在尽量少增加有限元个数的前提下保证求解精度的有限元配置方案。本发明针对三维空间下的自由飞行冲突解脱问题采用该方法进行求解，求解结果表明，与原联立法相比，采用这种方法更好的满足了离散化精度和求解精度。
【IPC分类】G06F17-50
【公开号】CN104573236
【申请号】CN201510008843
【发明人】颜丰琳, 陈伟锋, 邵之江
【申请人】浙江大学
【公开日】2015年4月29日
【申请日】2015年1月8日