一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及一种横梁振动固有频率分析方法，特别涉及一种组合梁弯曲振动的固 有频率分析方法。
【背景技术】
[0002] 当横梁结构跨度很大时，自重作用下，横梁中部挠度最大，一般通过内焊筋板的方 式来加大横梁刚度，减少变形。由于筋板与梁体结构材料相似，这种内焊筋板横梁可以看作 是一种组合梁。组合梁一般用于重型设备的大跨度承重结构（如起重机桥臂）、大型建筑物 的承载结构（如房屋钢结构）和选矿设备承重结构（如大型振动筛承重梁）等。定量分析 组合梁弯曲振动的固有频率，可以避免实际中横梁承受近共振区载荷而引起破坏，对指导 结构动力学设计、保障设备可靠性和安全生产具有重要意义。
[0003] 在结构动力学领域，目前对横梁结构固有频率的分析方法主要包括三个途径：（1) 基于结构动力学基础理论的理论计算；（2)基于结构试验模型的试验模态分析；（3)基于有 限元原理的商业软件分析。对于组合梁，若采用途径（1)，先建立梁体结构的动力学模型，沿 用传统结构动力学理论分析其弯曲振动特性时，需同时考虑一维梁结构和二维板结构的耦 合作用，微分方程分析过程比较复杂，数值求解困难；若采用途径（2)，需先制作满足相似 原理的梁体结构的结构试验模型，确定合适的梁体结构实际边界条件实现方法，同时对试 验模态分析所需的传感器、采集卡和分析软件的投入成本高，试验过程操作复杂；若采用途 径（3)，需先根据梁体结构几何参数建立其三维模型，导入有限元商业软件中，设定基本的 结构材料特性和边界条件后进行分析，一旦结构变化，则重复上述过程，因而比较繁琐。
[0004] 中国专利CN201410145273. 5公开了一种应用改进微分变换法计算欧拉-伯努利 梁固有频率的方法，应用改进的微分变换法求解均质欧拉-伯努利梁的自由振动问题，通 过迭代以收敛级数的形式得到非线性问题的近似解，得到了四阶固有频率与模态振型等闭 式解；中国专利CN201210378363. X公开了一种适于梁弯曲振动分析的传递矩阵计算方法， 直接从梁的挠曲线函数出发建立传递矩阵，然后将边界条件代入进行计算，无需改变传递 矩阵，也无需考虑梁的变形形式。
【发明内容】
[0005] 本发明的目的是要提供一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，该方法简单， 物理意义明确，计算精度高，无需重复性的模型试验或三维建模下的有限元分析。
[0006] 本发明目的是通过以下技术方案实现的：根据组合梁几何特征，构建一种基于经 典 Euler-Bernoulli 梁（EB)与 Timoshenko 梁（TB)理论的混合梁单元 ETE-B，各 ETE-B 中 EB梁单元和TB梁单元通过边界条件连续进行联接，建立组合梁的动力学模型、弯曲振动方 程，获得经典边界条件下组合梁的参数化频率方程，最后利用一维搜索法确定组合梁的固 有频率；具体步骤如下：
[0007] 步骤1、组合梁的动力学模型建立：根据经典梁结构动力学理论，梁截面尺寸相比 于跨度而言很小，一般都可以认为是Euler-Bernoulli梁（EB);然而，当梁体或梁单元的深 跨比比1/5大很多时，通常被看作Timoshenko梁（TB)，研宄其弯曲振动特征时，需考虑转动 惯量和截面剪切变形的影响；混合梁单元包括一段代号为ΤΒ-i+l的Timoshenko梁和两段 代号分别为ΕΒ-i和EB-i+2的Euler-Bernoulli梁，以Timoshenko梁的代号数值的一半标 示，即ETE-B-+ 两类梁单元在交界面匕和F i+1处通过双边V缝周边对焊联接，材料体密 度均为P，弹性模量均为E。ΤΒ-i+l中，梁段宽b、高h、长li+1，满足h/li+1e [l/5，+ m]， 截面面积Ai+1，相对于x轴的二次惯性矩为Ii+1，截面的剪切修正系数为κ，材料的剪切弹性 模量为G。EB-i和EB-i+2中，梁段宽均为b、高均为h、长分别为^和I i+2(li= I i+2)，壁厚 均为心，满足h/lJP h/1 i+2 e [0, 1/5)，截面面积分别为A廊A i+2 (Ai+1 = A i+2)，相对于X轴 的二次惯性矩分别为IJP I i+2(Ii+1= I i+2);
[0008] 步骤2、混合梁单元ETE-B的动力学分析：在Euler-Bernoulli梁单元ΕΒ-i的固 有圆频率ω满足：
【主权项】
1. 一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，其特征在于：根据组合梁几何特征，构 建一种基于经典Euler-Bernoulli梁（EB)与Timoshenko梁（TB)理论的混合梁单元ETE-B， 各ETE-B中EB梁单元和TB梁单元通过边界条件连续进行联接，建立组合梁的动力学模型、 弯曲振动方程，获得经典边界条件下组合梁的参数化频率方程，最后利用一维搜索法确定 组合梁的固有频率；具体步骤如下： 步骤1、组合梁的动力学模型建立：根据经典梁结构动力学理论，梁截面尺寸相比于跨 度而言很小，一般都可以认为是Euler-Bernoulli梁（EB);然而，当梁体或梁单元的深跨比 比1/5大很多时，通常被看作Timoshenko梁（TB)，研宄其弯曲振动特征时，需考虑转动惯量 和截面剪切变形的影响；混合梁单元包括一段代号为TB-i+1的Timoshenko梁和两段代号 分别为EB_i和EB-i+2的Euler-Bernoulli梁，以Timoshenko梁的序号数值（i+1)的一半 标示，g卩ETE-B-i|i;两类梁单元在交界面匕和Fi+1处通过双边V缝周边对焊联接，材料体 密度均为P，弹性模量均为E;TB-i+l中，梁段宽b、高h、长li+1，满足h/li+1G[1/5，+。]， 截面面积Ai+1，相对于x轴的二次惯性矩为Ii+1，截面的剪切修正系数为k，材料的剪切弹性 模量为G;EB-i和EB-i+2中，梁段宽均为b、高均为h、长分别为^和1i+2(li= 1 i+2)，壁厚均 为心，满足h/lJPh/1i+2G[〇, 1/5)，截面面积分别为A肩Ai+2 (Ai+1=Ai+2)，相对于x轴的 二次惯性矩分别为1和Ii+2(Ii+1=Ii+2); 步骤2、混合梁单元ETE-B的动力学分析：在Euler-Bernoulli梁单元EB-i的固有圆 频率《满足：
式（2)中X为EB频率参数，且有振型函数： Y； (x) =eusin入x+eycos入x+e^sinh入x+eucosh入x. (3) 式（3)中ey,ei>2,e为EB-i梁单元边界条件决定的系数； 对于其他等截面等长Euler-Bernoulli梁单元，只需对应更改梁单元序号i; 由于是同一根组合梁的不同单元，Timoshenko梁单元TB-i+1的固有圆频率与步骤2中EB-i的固有圆频率《相同，在满足
的如提下，有一组虚根：ru=±F.i， (7) 式（7)中F为TB虚频率参数，i为虚数单位，满足
而还有一组实根r3,4 = ±i：， (9) 式（9)中（为TB实频率参数，满足
TB-i+1的弯曲变形振型表达式：
式中，ti+u,ti+1，2,ti+1，3和ti+1，4为TB-i+1梁单元边界条件决定的系数； TB-i+1的截面转角振型表达式：
对于其他等截面等长Timoshenko梁单元，只需对应更改梁单元序号i+1 ; 步骤3、混合梁单元ETE-B联接条件的数学描述：定义EB系数e, 3j和TB 系数
，则在交界面(EB-i)n(TB-i+1)处，存在振型系数界面 联接向量：
和振型界面联接特征矩阵Df:
类似地，在交界面Fi+1= (TB-i+1)n(EB-i+2)处存在振型系数界面联接向量Cf+1:
和振型界面联接特征矩阵Df+1:
因此，任意单段混合梁单元ete-b_￥的振型联接特征矩阵和振型系数联接向量 分别为：
左上标为ETE-B的段数，左下标为首段组合梁中TB梁序号， 对于任意连续两段ETE-B，TB梁单元序号为i+1和i+3,共同拥有EB-i+2,振型联接特 征矩阵;+】D和振型系数联接向量分别为：
其中，Df+2和0「+3分别由Df和Df+1将其各含右下标元素的右下标数值上加2获得，未给 出大小的"0"的维数视矩阵整体而定； 对于n段ETE-B构成的组合梁，TB梁单元序号依次为2, 4, 6,…，2j，…，2n，振型联接 特征矩阵"20和振型系数联接向量〗C分别为：
其中，左上标"n"为组合梁中ETE-B的段数，左下标"2"为首段混合梁单元中TB梁单 元序号； 步骤4、组合梁边界条件的数学描述：对于n段ETE-B构成的组合梁，其经典边界条件 下的数学表达如下：
步骤5、组合梁参数化频率方程的建立：两端经典边界条件（分别是式（41)、（42)描述 的Df和式（43)~（45)描述的D【"+1 )的n段ETE-B构成的组合梁的振型特征矩阵D和振 型系数向量C分别为：
且满足： [D](8n+4) X (8n+4) ?[C](8n+4) XI -〇? (48) 令组合梁的特征方程系数矩阵D的行列式（以特征函数f(X) = |D|表示）为零，求 解参数化频率方程： f?(入）=|D| =0 (49)即获得整根组合梁的固有圆频率《，按式f= 0/2 31计算 组合梁的各阶固有频率f。
2. 根据权利要求1所述的一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，其特征在于：所 述的混合梁单元ETE-B，将任意两个EB及其间的一个TB看作一个混合梁单元ETE-B，则组 合梁结构可认为是多个混合梁单元ETE-B构成的；所有EB等截面、等长、空心，而所有TB等 截面、等长、实心；组合梁的首尾两段梁单元都是EB梁。
3. 根据权利要求1所述的一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，其特征在于：所 述的一维搜索法：以式（2)中EB频率参数X为自变量，给定其取值范围、递增步长△A和 初始值在A数值递增形成的各个子区间中确定f(A)变号的子区间[Ak，入]， 即满足fUk) ?f(入k+A人）<0,其中入k=人Q+k*A入，作为固有圆频率《的可行域， 在各个可行域内使用二分法，就能得到固有圆频率值，按式f= 0/2 31计算对应固有频率。
【专利摘要】一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，属于横梁振动固有频率分析方法。根据组合梁几何特征，构建一种基于经典Euler-Bernoulli梁(EB)与Timoshenko梁(TB)理论的混合梁单元ETE-B，各ETE-B中EB梁单元和TB梁单元通过边界条件连续进行联接，建立组合梁的动力学模型、弯曲振动方程，获得经典边界条件下组合梁的参数化频率方程，最后利用一维搜索法确定组合梁的固有频率；所述的一维搜索法在于先确定固有圆频率的可行域，进而在各个可行域内使用二分法获得固有频率数值。优点：1)对组合梁动力学特性的分析涉及的物理意义明确；2)固有频率的获取只与横梁材料、尺寸有关，建立的参数化频率方程具有普适性，无需模型试验或三模建模下的有限元分析。
【IPC分类】G06F19-00
【公开号】CN104778377
【申请号】CN201510222482
【发明人】赵跃民, 董良, 刘初升, 彭利平
【申请人】中国矿业大学
【公开日】2015年7月15日
【申请日】2015年5月4日