一种叶轮结构的三维实体叶片与二维轴对称轮盘变维度模型有限元预应力模态分析方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于结构动力学和有限元计算等技术领域，具体为一种叶轮结构的三维实 体叶片与二维轴对称轮盘变维度模型有限元预应力模态分析方法。
【背景技术】
[0002] 叶轮结构广泛存在于旋转机械中，如发电器、汽轮器和航空发动机等等。对叶轮结 构进行模态分析是叶轮设计的重要环节，对保证高速旋转下叶轮系统的稳定有重要意义。 对于具有回转周期特性的单组叶片叶轮结构，目前较多采用扇区模型进行模态分析，但扇 区模型往往规模较大，计算时间长，且无法计算不满足回转周期特性的叶轮结构。当对叶轮 结构进行优化设计时，需对模型进行反复的模态分析计算，扇区模型较长的分析时间成为 优化设计的瓶颈。
[0003] 本发明方法提出了叶轮结构的三维实体叶片与二维轴对称轮盘变维度模型的预 应力模态分析方法，其意义在于极大提高了叶轮类回转周期模型的预应力模态分析效率， 同时不降低其模态分析精度。本发明方法用三维位移模式细致地表征复杂构型叶片的变 形，在此基础上用动态子结构方法对三维实体叶片模型进行自由度缩聚；回转体轮盘的变 形简化为包括周向位移分量的二维轴对称模式，缩减了轮盘模型的自由度，并保持叶片与 轮盘之间的位移协调。通过以上两个操作，可以将叶片与轮盘耦合动力学模型的自由度缩 减若干量级，提高叶轮结构固有模态（包括预应力模态）分析的效率，并且模态分析结果与 完整的三维叶轮有限元模型计算结果相近。本方法中叶轮结构的形状不受回转周期的限 制，对于在轮盘上安装有多组、周向个数各不相同叶片的叶轮，亦可使用本方法进行分析， 从而能解决复杂叶轮结构无法用扇区模型进行模态分析的难题。
【发明内容】
[0004] 本发明的目的是提供一种叶轮结构的三维实体叶片与二维轴对称轮盘变维度模 型有限元预应力模态分析方法。该方法对于叶轮类回转周期结构具有普适性，其通过建立 与完整三维叶轮模型等价的三维实体叶片和二维轴对称轮盘变维度有限元模型，降低了模 型的自由度数目，从而提高了该类模型的模态分析效率。
[0005] 本发明提供的一种叶轮结构的三维实体叶片与二维轴对称轮盘变维度模型有限 元预应力模态分析方法，具体步骤包括：
[0006] (1)建立由叶片与轮盘构成的叶轮结构变维度有限元模型；其首先将叶片用三维 实体单元表示，建立三维实体叶片模型；将轮盘用二维轴对称单元表示，建立二维轴对称轮 盘模型；再通过在三维实体叶片模型和二维轴对称轮盘模型中分别设置一组连接节点，实 现叶轮变维度模型的组合，并分别在三维实体叶片模型和二维轴对称轮盘模型的部分内部 节点与连接节点之间建立一组位移分量的线性约束关系，使得每个连接节点均作为静定约 束节点；
[0007] (2)利用动态子结构方法得到三维实体叶片模型缩聚后的刚度矩阵和质量矩阵， 通过本方法提出的耦合方法，与二维轴对称轮盘模型的刚度矩阵和质量矩阵进行耦合；利 用耦合后的动力学模型进行变维度模型模态分析。
[0008] 本发明中，利用三维实体叶片模型和二维轴对称轮盘模型的耦合变形计算方法， 求出叶轮在离心力预载荷作用下的静变形，同时以刚度矩阵应为几何非线性问题的切线刚 度矩阵，分析叶轮变维度模型离心力场下的预应力模态。
[0009] 本发明的技术方案具体描述如下。
[0010] -、变维度模型中二维轴对称轮盘模型的建立
[0011] 二维轴对称轮盘模型在柱坐标系Oxr Θ中定义，该坐标系的三个轴分别称为X轴 (轴向），r轴（径向）和Θ轴（周向），其坐标与标准直角坐标系的转化方式为
[0013] 二维轴对称轮盘有限元模型在Θ = 0的片面Oxr内定义，由二维轴对称单元构 成，绕X轴旋转一周可以得到与三维模型完全一致的回转体轮盘模型。
[0014] 在柱坐标中，对于周向波数为η回转体轮盘的变形，称为η节径位移模式。其任意 位置（x，r, Θ)上轴向位移ux、径向位移w和周向位移u e可以用一组定义在Θ =〇子午 面（以下简称〇-子午面）的余弦位移函数和正弦位移函数OK表示成
[0016] 对于零节径位移模式，由于sinn Θ恒为零，则只包含余弦位移函数。
[0017] 柱坐标系下，回转体轮盘η节径位移的应变分量为
[0019] 回转体轮盘的η节径位移的势能和动能为
[0021] 其中D。为弹性矩阵，P为密度。
[0022] 0-子午面上的轮盘剖面区域划分成二维轴对称有限元网格，共有nD个节点。在此 有限元模型中设置一组与叶片连接的节点，连接节点数为η』。所谓轮盘连接点，指这组节点 绕X轴回转后的圆弧（简称回转弧）均将与叶片有限元模型中的一个对应节点连接。
[0023] 不妨假设二维轴对称轮盘模型的前n;个节点即为连接节点，其节点余弦位移向量 (β'°和节点正弦位移向量9丨~1(/ = 1,···，"』>各有六个分量，包括三个平动位移分量和三个 转动角位移分量。通过在轮盘连接节点与其邻近的部分内部节点位移分量之间定义线性约 束关系，使得每个连接节点均可作为静定约束节点，为叶盘耦合提供条件。其他节点的余弦 位移向量WivWp正弦位移向量= 无特殊限制，参照常规的有限元建模 方法。
[0024] 利用有限元插值，可将轮盘的余弦位移函数和正弦位移函数离散成
[0027] 其中，N(D)(x，r)为形函数
[0029] 这样，整个轮盘的位移函数均可由q(D)= {q (D'~，q(D's)T}T表示为
[0031] 对于零节径位移模式，则位移向量q?只包括q ([U)。对于不同类型的二维轴对称 单元，将式（8)代入势能和动能表达式（4)，可得到二维轴对称单元η节径位移模式的单元 刚度矩阵和单元质量矩阵。
[0032] 单元刚度矩阵为
[0037] 其中D。为弹性矩阵，η P为单元节点个数。
[0038] 单元质量矩阵为
[0040] 单元切线刚度矩阵推导如下：
[0041] 柱坐标内位移梯度公式如式（14)所示
[0043] 将式⑶代入式（14)可得
[0049] 利用式（15)、式（16)和式（17)可以得到
[0051] 其中G矩阵可以写成余弦分量6^和正弦分量G (s)的形式。
[0052] 定义矩阵M。为
[0057] 将式（8)代入式（22)可得各应变分量，再代入式（21)可得各应力分量。则单元 的预应力切线刚度矩阵为
[0058] KTe= π / / (G (c)TM0G(c)+G(s)TM0G (s))rdrdx (23)
[0059] 通过组装可以得到二维轴对称模型的刚度矩阵和质量矩阵。由于描述回转体轮盘 变形的节点位移向量q (D'd和q (D'S)均定义在子午面Oxr上，向量维数远小于完整的三维轮 盘模型。
[0060] 二、变维度模型中三维叶片模型的建立
[0061] 假设完整叶轮模型中只有一组叶片，叶片周向个数为N，将其绕转轴逆时针依次从 0到N-I编号，其中起点的0号叶片任意指定。
[0062] 将0号三维实体叶片在直角坐标系Oxyz中建模，其坐标原点和X轴与要求2中二 维轴对称轮盘模型相同，且y轴与要求2中Θ = 〇平面内的r轴相同。〇号叶片的位置应 与二维轴对称轮盘模型旋转得到的回转体轮盘相协调。
[0063] 在0号叶片上定义余弦位移函数<