一种基于广义Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的计算及检测方法
【技术领域】
[0001 ]本发明属于金属板材成形，材料加工技术领域，涉及一种金属板材屈服强度，各向 异性指数的计算方法，具体来说是一种建立新广义Hosford正交金属材料屈服函数，提出关 于织构系数的金属板材屈服强度和各向异性指数计算方法，尤其涉及一种基于广义 Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的检测方法。
【背景技术】
[0002] 金属板材具有强度高，良好的弹性、塑性及塑性加工性能，抗腐蚀能力强，耐热性、 耐久性好等优点，在航空航天、汽车制造业、机械设计等很多领域中得到广泛的应用。金属 板材为大量微小晶粒的集合体（即多晶体），单晶是原子按照一定周期规律在空间排列而 成，由于晶粒沿不同方向的原子密度不同，表现为各向异性材料。然而在细观尺度下，多晶 体的微结构包括晶粒取向分布、晶粒形状、晶粒尺寸和晶粒间的取向差，一般用织构系数来 表示，可通过X-射线衍射仪、扫描电镜或超声设备进行测量。而金属板材在冲压成形过程 中，材料的各向异性程度与材料微结构有关，对金属板材成形过程会造成显著的影响，如板 材易出现凸缘制耳和拉深直臂断裂等现象，从而降低板材的成形性能、尺寸精度及材料的 利用率。
[0003] 目前标准GB/T 15825.1-2008(金属薄板成形性能与试验方法第一部分:成形性能 和指标)指出作为评价金属板材力学指标的屈服强度、各项异性指数q值的定义以及标准试 验方法。但由于金属板材比较薄，厚度方向上的应变不易准确测量，很难精确得到板材的各 向异性指数q值。
[0004] 虽然，南昌大学工程力学实验中心的黄模佳在《ARCHIVE 0FAP PLIEDNECHANICS》 杂志中发表了 一篇名为《Gerneral Hosford yield functions oforthorhombic materials》的论文，论文中提出提出包含3个主应力及主应力方向的广义Hosford屈服函 数，但从文献中可知其对正交板材塑性变形时q值拟合得较好，而对于屈服应力则误差较 大，难以满足精度要求。因此现有技术中并没有给出关于材料织构系数的更好的计算公式。 由于汽车、飞机等钣金件的塑性成形过程中对屈服强度和塑性变形的精度的高要求，有必 要设计出一种金属板材屈服强度和各向异性指数q值的计算方法。
【发明内容】
[0005] 本发明的目的在于克服原Hosford函数要求三个主应力方向与板材的乳制方向 (RD)、横向（TD)和法向（ND) -致的局限性，建立新广义Hosf ord正交金属材料屈服函数，提 出一种基于广义Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的检测方法。
[0006] 本发明计算方法采用的技术方案主体思路为：
[0007] 本发明首先引入方向函数，将其泰勒展开到六阶张量形式对Hosford屈服函数进 行改进，然后基于群论及材料的客观性，研究其塑性参数，建立包含常数项、二次项、四次 项、六次项的织构系数的任意应力状态下Hosford立方晶粒正交板材屈服函数。最后依据测 得金属板材的织构系数，得到正交金属板材的屈服强度及各项异性指数。
[0008] (1)广义Hosford屈服函数一般形式的建立
[0009] 假设屈服函数依赖应力分量的二次项、与静水压无关、具有正交性，利用材料塑性 本构的客观性原理，Hill(1948)推导出目前仍在广泛应用的Hill-48屈服函数，但Hill-48 无法同时描述好金属板材的屈服应力和塑性变形。为改善Hill-48屈服函数对q值和屈服应 力的描述能力，Hosford给出了形式简单且整齐的Hosford屈服函数：
[0010] f=ρ( σ2-σ3 )n+G( σ3-σι )n+H( 〇i-〇2 )n-l = 0 ①
[0011] 其中σα为主应力；适当选取的i!U2)，Hosford屈服函数比Hill-48屈服函数可以 更准确地反映金属板材的屈服应力和塑性变形，但Hosford屈服函数仅适用于三个主应力 σα方向与板材三根正交对称轴一致的情况，导致其使用不便。
[0012] 为了克服Hosford屈服函数以上局限性，本发明假设Hosford屈服函数中的F、G、H 是主应力σα方向η(α)的函数，推导出包含主应力η(α)方向效应的广义Hosford屈服函数。其一 般形式为：
[0013]
[0014]
[0015]其中，〇h为主应力;η-为应力方向；为方向函数，与有关， 且η(2)=η(3) Χη(1)，则仇是η(1)，η⑶的函数，即&! = β(η(1)，η⑶）。
[0016] (2)材料微结构与方向函数的关系
[0017] 金属板材为大量微小晶粒的集合体(即多晶体）。单个晶粒是原子按照一定周期规 律在空间排列而成，由于晶粒不同方向的原子密度不同，金属板材则表现出明显的各向异 性特征。而其各向异性程度主要取决于晶粒的微结构和晶粒本身的性质，Roe和Bunge引进 取向分布函数(0DF)，来描述多晶体材料的物理和力学性质，晶粒取向为R的可能性密度在 Wigner-D函数下展开为式③。
[0018]
[0019]
[0020]
[0021]
[0022]
[0023] 杜克大学物理系的Biedenharn and Louck早在1984年就对系数进行了研究， 后来在剑桥大学出版社出版的《Angular Momentum inQuantumPhysics》一书中详细介绍了 Wigner-D函数的性质；肯塔基大学的数学系的Ci_S Man于1998年在《On the constitutive equations of some weakly-textured materials))一文中也提出Wigner-D函数下的基需 满足以下性质：
[0024]
[0025]
[0026] 由于立方晶粒正交板材具有D2对称性，即材料绕e2, e 轴转动D2,其性质不 变，即织构系数只与m有关。
[0027]
[0028]类似地，当参考晶粒在空间群内旋转Qcr = Gcr，立方晶粒也具有02对称性，则：
[0029] 当1 = 1，2,3,5,7时，
[0030] 将函数方向关于织构系数展开到线性项，结合织构系数性质及材料的客观性原 理，编制程序，推导出方向函数中的四阶张量与材料织构系数的其表达式为式⑦，其它为0。
[0031]
[003厶」
\jj
[0033] 如果将方向函数Taylor展开到应力六次项，同理可推出方向函数中的六阶张量与 材料织构系数的表达式为式⑧，其它为0。
[0034]
[0035] ⑧
[0036] (3)包含织构系数的任意应力状态下广义Hosford屈服函数的建立
[0037] 基于金属板材在单轴拉伸状态下确定屈服函数中的未知数，将未知参数，式⑦和 ⑧代入(1)式，则包含主应力η(α)方向效应的广义Hosf ord
[0038] 屈服函数的形式为式⑨。
[0039]
[0040] ⑨
[0041] 其中，Yis。为不考虑材料微结构时各向同性金属材料的单轴屈服应力，β，γ为待定 参数。cl，C^，C&，<=，C^，C|。为7个织构系数，通过X-射线衍射仪、扫描 电镜或超声设备进行测量。此屈服函数形式较简便，更具一般性，为研究金属材料的力学性 能奠定了理论基础。
[0042] (4)正交金属板材沿η(α)方向上的q值和屈服应力表达式
[0043]如果主应力σ3方向11(3) = [0,0，1]7与板面的垂直方向一致，包含六次项广义 Hosford屈服函数可简化为：
[0044] f(〇h，Φ ) = [ai+a2C0s(2 Φ )+a3C0s(4 Φ )+a4C0s(6 Φ ) ] | 〇2_〇31 n+[a5+a6C0s(2 Φ ) + a7C0s(4 Φ )
[0045] +a8C〇s(6 Φ ) ] I σ!-〇31 n+[a9+aiocos(2 Φ )+aiicos(4 Φ )+ai2C0s(6 Φ ) ] I σ!-〇21 η_1 = 0
[0046] ⑩
[0047 ] 其中，ai，a2，a3，a4，a5，a6，a7，as，ag，aio为与方向函数相关的待定材料参数。其系数 与织构系数相关，可以确定为：
[0060]基于塑性流动准则，可以求得计算出试样S4沿n(h)方向的塑性应变率，进而得出q 值和屈服应力分别为式?，?:,最后得到包含织构系数的屈服应力及各向异性指数q值， 如式?，?所示。
[0065]本发明基于以上主体思路的基础上，检测方法采用的技术方案为：（1)广义 Hosford屈服函数一般形式的建立
[0066] 假设Hosford屈服函数中的F、G、H是主应力〇〇1方向η (α)的函数，推导出包含主应力n (α)方向效应的广义Hosford屈服函数;其一般形式为：
[0067]
[0068]其中，Yis。为不考虑材料微结构时各向同性金属材料的单轴屈服应力；〇h为主应 力;&1(01，02，03)为方向函数，与11(1)，11(2)，11(3)有关，且11 (2)=11(3)\11(1)，贝恤是11(1)，11 (3)的函 数，BP0h=0(n(1)，n(3));
[0069] (2)织构系数的测量
[0070] 利用X-射线衍射仪、扫描电镜或超声波设备测出待检测金属材料的织构系数 C:0:'，.(m = 0,2,4)，C:o，(m = 0,2,4,6);
[0071] (3)织构系数与方向函数的关系
[0072] 在测得的待检测金属材料的织构系数，（m = 0,2,4)，CL，（m = 0,2,4,6)的基 础上;利用式⑦和⑧
[0073]
[0074」
(7)
[0075]
[0077] ⑧得到方向函数中的四阶、 六阶张量与材料织构系数的关系；
[0078] (4)未知参数的确定材料微结构与方向函数的关系
[0079] 在待检测金属材料正交金属板材中取一试样进行单向拉伸实验;应力状态为： 〇i，〇2 = 0,〇3 = 0，ii:n(1)=[cos<})，sin<})，0]T，n(2) = n(3)Xn(1)=[-sin<})，cos<})，0]T，n (3) = [0,0，1]T;根据单轴拉伸试验，确定屈服函数中的未知参数β，γ，Y1S。；
[0080] (5)屈服强度和各向异性指数的确定
[0081] 在得到屈服函数中的未知参数β，γ，Y1S。以及方向函数中的四阶、六阶张量与材料 织构系数的关系的基础上，利用式?和?：
[0082]
[0083]
[0084] 计算出不同角度下，关于织构系数的屈服强度和各向异性指数。
[0085] 本发明基于南昌大学工程力学实验中心的黄模佳提出的广义正交板材