基于辅助微分方程的一维左手材料Crank-Nicolson完全匹配层实现算法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及数值仿真技术领域，特别涉及一种基于辅助微分方程的一维左手材料 Crank-Nicolson完全匹配层实现算法。
【背景技术】
[0002] 时域有限差分方法(FDTD)作为一种计算电磁方法被广泛地应用于各种时域的电 磁仿真计算中，如天线、射频电路、光学器件和半导体等。FDTD具有广泛的适用性、适合并行 计算、计算程序通用性等特点。
[0003] 然而，随着科学研究的深入和各种越来越广泛应用的需求，其算法本身受Courant FriedrichsLewy (CFL)数值稳定性条件的限制的缺陷越来越明显。算法本身所受数字稳定 性条件限制:在计算过程中时间步长和空间步长必须满足CFL约束条件，即
[0005] 式中，At为计算时间步长，c为自由空间光速，Δχ、Ay和Δ z为三维空间步长。在 实际计算中，空间离散步长和时间步长相对波长和周期都非常小，所以必然会在计算电大 尺寸目标时出现资源不足的情况，导致FDTD的计算效率很低。因此为了消除CFL条件的限 制，无条件稳定的交替方向隐式(Alternating-Direct ion Impolicit，ADI )FDTD方法、局部 一维（Local One Dimension，LOD)FDTD方法和克兰克?尼克尔森（Crank_Nicolson，CN) FDTD方法相继被提出。
[0006] 对于ADI-FDTD算法和LOD-FDTD算法虽然在一定程度上克服了稳定性条件限制，但 算法的计算精度过低，性能并不理想，其原因是由于当时间步长增大后，导致的数值色散增 大，进而导致算法的误差较大。2004年，G. Sun等人采用Crank-Nicolson差分格式对麦克斯 韦方程进行离散化处理，即CN-FDTD，算法在时间步长取值远大于稳定性条件(如20倍)仍能 保持良好的稳定精度，展现出更好的适用性，并且CN-FDTD算法是一种更加简便的无条件稳 定的方法，将前面两种算法中所需的2个运算过程简化到1个运算过程，从而大大降低了运 算资源，因此学者们一致认为CN-FDTD具有更广阔的发展前景。
[0007] 由于计算机内存空间的限制，数值计算只能在有限的区域内进行，为了能模拟开 放或者半开放区域的电磁辐射和散射等问题，在计算区域的截断边界处必须设置吸收边界 条件，以便用有限的网格空间模拟开放的无限空间，来解决任意介质内的电磁波传播以及 各种电磁问题。由Berenger提出的完全匹配层（PerfectIy Matched Layer，PML)是目前应 用较广的吸收边界条件，PML可以理解为：通过在FDTD区域截断边界处设置一种特殊介质 层，该层介质的波阻抗与相邻介质波阻抗完全匹配，从而使入射波无反射地穿过分界面而 进入PML层，PML层是有耗介质，最后将电磁波吸收。目前常用的PML吸收边界主要有拉伸坐 标变换完全匹配层(SC-PML)和单轴各项异性完全匹配层(UPML)。
[0008] 左手材料是指介电常数ε和磁导率μ同时为负的介质材料，也常被称为双负介质。 由于左手材料具有负的折射率，必然存在色散与吸收，因此，在利用roTD仿真分析左手材料 时，为避免上述提到的数值发散现象，一种基于等离子体概念，能对左手材料的介电常数ε 及磁导率μ进行间接设置。
【发明内容】
[0009]本发明的目的是针对FDTD算法受到CFL稳定性条件限制的缺陷，提高截断一维左 手材料的PML算法的计算效率和吸收效率而提出的基于辅助微分方程变换方法和CN-FDTD 的SC-PML算法。该算法可以消除变换过程中出现的二阶微分方程，减少计算量。
[0010]基于辅助微分方程的一维左手材料Crank-Nicolson完全匹配层实现算法，包括下 列步骤：
[0011]步骤1:将频域中麦克斯韦方程修正为带有拉伸坐标算子的麦克斯韦方程，并在直 角坐标系中表示；
[0012]步骤2:根据频域和时域的映射变换关系，将直角坐标系中的一维麦克斯韦方程变 换到时域表示，利用改进的辅助微分方程方法，消除拉伸变量中的二阶微分，将拉伸坐标变 量由频域变换到时域，同时设置辅助变量；
[0013]步骤3:基于Crank-Nicolson时域有限差分算法的时域展开形式，将时域形式的直 角坐标系中一维麦克斯韦方程展开成时域有限差分的形式，同时也将辅助变量变换为时域 有限差分的形式；
[0014] 步骤4:将时域有限差分形式的方程整理成求解的形式，结果产生一组电场和磁场 耦合隐式方程，将这组隐式方程去耦，整理得到左边为三对角矩阵形式的系数电场显式迭 代方程；
[0015] 步骤5:利用迭代法求解系数为三对角矩阵的电场迭代方程，得到电场分量的值， 将求解出的电场值代入到磁场的迭代方程中，求解出磁场分量的值，将求解出的电场值和 磁场值代入到辅助变量的迭代方程中，求解出辅助变量的值；
[0016] 步骤6:循环步骤4、步骤5，在时间上迭代求解。
[0017] 采用辅助微分方程的方法可以消除计算过程中出现的二阶微分方程，减小计算的 复杂度，提高计算效率，对FDTD算法有指导意义。
【附图说明】：
[0018] 图1是本发明流程框图；
[0019] 图2是本发明算法与传统算法反射系数比较和激励脉冲频谱图。
【具体实施方式】：
[0020] 本发明的主旨是提出一种基于辅助微分方程的一维左手材料Crank-Nicolson完 全匹配层实现算法，利用辅助方程减小计算量，优化计算过程，从而提高电磁场计算速度。
[0021] 下面结合附图对本发明实施方式作进一步地详细描述。
[0022] 图1为本发明流程图，具体实现步骤如下：
[0023] 步骤1:将频域中麦克斯韦方程修正为带有拉伸坐标算子的麦克斯韦方程，并将频 域中修正后的麦克斯韦方程在直角坐标系中表不，TEM(横电磁)波在左手材料沿着z方向传 播可以描述为
[0026]式中，er( ω )是左手材料的相对介电常数，μτ( ω )是左手材料的相对磁导率，Sz是 拉伸坐标变量，可以表示为
[0028]本发明中定义等离子体材料er( ω )与以^ ω )为相同值
[0030]步骤2:根据频域和时域的映射变换关系，将直角坐标系中的一维麦克斯韦方程变 换到时域表示，使用辅助微分方程，将拉伸坐标变量由频域变换到时域，同时设置辅助变 量，即将式⑶代入到式(1)和式⑵中，得
[0033]使用辅助微分方程方法，消除出现方程两端出现的二阶微分式，可以得到
[0036]式中，fx和g x为辅助变量。
[0037]步骤3:基于Crank-Ni CO Ison时域有限差分算法的时域展开形式，将时域形式的直 角坐标系中一维麦克斯韦方程展开成时域有限差分形式，同时也将时域辅助变量变换为时 域有限差分的形式，即
[0042]利用CN项将式(9)-(12)离散化，可得离散方程为
[0047]
，为了清楚，Wk[*]为CN方法中的简写形式，如
[0049]步骤4:将时域有限差分的形式整理成求解的形式，结果产生一组电场和磁场的耦 合隐式方程
[0052]
这组方程去耦，整理后获得左边为三对角矩阵形式的系数电场显式迭代方程
[0058] 步骤5:将求解出的电场值代入到磁场的迭代方程中，求解出磁场分量，将求解出 的电场和磁场值代入到辅助变量的迭代方程中，求解出辅助变量的值；
[0059 ] 步骤6:循环步骤4、步骤5，在时间上迭代求解；
[0060] 图2是本发明算法与传统算法反射系数比较和激励脉冲频谱图，为了验证所提方 法，对本发明算法进行编程，中心载波频率取30GHz，计算域两端PML最大厚度为10元胞，电
，由图中可以看出，CN-PML的吸收性能并不随 CNFN的增大而变化，说明该算法具有无条件稳定性，仿真过程所需时间较传统算法仿真时 间较短。
[0061] 以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不限制本发明，凡在本发明的精神和原则 之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
【主权项】
1. 基于辅助微分方程的一维左手材料Crank-Nicolson完全匹配层实现算法，包括下列 步骤： 步骤1:将频域中麦克斯韦方程修正为带有拉伸坐标算子的麦克斯韦方程，并在直角坐 标系中表示； 步骤2:根据频域和时域的映射变换关系，将直角坐标系中的一维麦克斯韦方程变换到 时域表示，利用改进的辅助微分方程方法，消除拉伸变量中的二阶微分，将拉伸坐标变量由 频域变换到时域，同时设置辅助变量； 步骤3:基于化ank-Nicolson时域有限差分算法的时域展开形式，将时域形式的直角坐 标系中一维麦克斯韦方程展开成时域有限差分的形式，同时也将辅助变量变换为时域有限 差分的形式； 步骤4:将时域有限差分形式的方程整理成求解的形式，结果产生一组电场和磁场禪合 隐式方程，将运组隐式方程去禪，整理得到左边为Ξ对角矩阵形式的系数电场显式迭代方 程； 步骤5:利用迭代法求解系数为Ξ对角矩阵的电场迭代方程，得到电场分量的值，将求 解出的电场值代入到磁场的迭代方程中，求解出磁场分量的值，将求解出的电场值和磁场 值代入到辅助变量的迭代方程中，求解出辅助变量的值； 步骤6:循环步骤4、步骤5，在时间上迭代求解。2. 根据权利1所述的基于辅助微分方程的一维左手材料Crank-Nicolson完全匹配层 实现算法，其特征在于:步骤2，将左手材料修正的拉伸变量设置为(1) 式中，Er( ω )是左手材料的相对介电常数(2) 将拉伸变量变换到时域，同时设置辅助变量fx和gy。3. 根据权利1所述的基于辅助微分方程的一维左手材料化ank-Nicolson完全匹配层实 现算法，其特征在于:步骤3，基于化ank-Nicolson时域有限差分算法的时域展开形式式中是Crank-化col son算法中的简写形式4.根据权利1所述的基于辅助微分方程的一维左手材料化ank-Nicolson完全匹配层实 现算法，其特征在于:步骤4，将代入磁场和辅助变量后的电场分量的迭代方程进行整理，整 理后获得左边为Ξ对角矩阵形式的系数电场显式迭代方程
【专利摘要】本发明涉及了一种基于辅助微分方程的一维左手材料Crank-Nicolson完全匹配层实现算法，属于数值仿真技术领域，该方法的目的是缩短左手材料FDTD计算域，将计算机有限的内存空间仿真成无限空间。本发明的技术特征在于：在将复数拉伸坐标变量由频域变换到时域的过程中，利用改进的辅助微分方程方法，消除拉伸变量中的二阶微分，从而明显减少引入的辅助变量个数，优化内存；然后利用Crank-Nicolson时域有限差分方法将时域麦克斯韦方程进行离散，推导出电场的显式迭代方程；最后求解出电磁场分量的值。本发明具有无条件稳定性，提高电磁场计算速度和节约内存的优点。
【IPC分类】G06F17/50
【公开号】CN105550451
【申请号】CN201510960735
【发明人】李建雄, 陈明省, 刘鹏雪, 蒋昊林, 韩晓迪
【申请人】天津工业大学
【公开日】2016年5月4日
【申请日】2015年12月18日