一种用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于声波传感器技术领域，尤其涉及一种实波数域及复波数域内弥散方程 的数值求解方法，可应用于表声波或体声波谐振器、滤波器和传感器等结构中波传播问题 的色散方程和频率特性的准确求解，为表声波或体声波器件在设计过程中的频率和工作模 态选择提供重要参考依据。
【背景技术】
[0002] 传感器技术的发展给人们的生活带来了巨大变化。声波传感器就是一种广泛使用 的传感器。声波传感器的基本原理是:波在某一特定结构中传播时，其弥散特性（即波数与 频率之间的关系)是一定的。当外界物理量变化时，如温度、电场、磁场以及结构质量等等发 生变化，这种变化会改变波的传播特性如波速或频率的变化，因此，通过波的波数与频率之 间关系的变化可以反推外界物理量的改变。所以，理论上计算波在特定结构中传播的弥散 关系（即波数与频率间的关系)可以指导声波传感器的实际设计。
[0003] 波的弥散方程一般为一个关于波数与频率的二元超越方程，当求解复波数域中弥 散关系的解时，方程变为更复杂的三元超越方程，而且弥散方程的系数是可能含有复数的， 因此这类问题的求解很困难，一般只能对极特殊的十分简单的情况求解出弥散关系，这对 于各种不同结构的声波传感器的分析是远远不够的。而利用本发明提供的方法，可以高效、 广泛地求解各种表声波或体声波谐振器、滤波器和传感器等结构中波传播问题的色散方程 和频率特性。求解得到弥散关系后，可以很容易求解出相应的位移场、应力场等传感器内的 物理场。这对传感器的工作模态选择，传感器的结构设计提供了有力的指导。
【发明内容】
[0004] 本发明的目的在于提供一种用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法，旨在 解决波在某一特定结构中传播时，其弥散特性(即波数与频率之间的关系）的计算问题。
[0005] 本发明是这样实现的，一种用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法，所述 可有效求解波在某一特定结构中的弥散特性（即波数与频率之间的关系），进而可以求解该 结构中相应的物理场(如位移场和应力场等），适用于波在多种传感器模型中的传播分析， 包括：
[0006] 根据波数的求解空间确定扫描单元的形式；
[0007] 利用扫描单元比较找出在相应空间中弥散方程模值的极小值点；
[0008] 利用弥散方程的模值在零点附近的收敛性判断极小值点是否为零点
[0009] 进一步，所述根据波数的求解空间确定扫描单元的形式包括：
[0010] 声波在不同结构中传播的弥散方程一般为二元超越方程f( ω，ξ)=〇,当在实波数 域和纯需波数的情况下求解此方程时，只考虑波数ξ为实数和纯虚数的情况。此时，频率ω 和波数ξ组成了一个二维平面，而方程f( ω，ξ)=〇的解则是一条条平面内的曲线。因此，选 择固定频率或者波数中的任意一个会得到ω-ξ二维平面内的一条直线，再用线元对这条直 线进行扫描。因为线元在ω-ξ二维平面内与弥散曲线的交点是唯一的。
[0011] 当在复波数域内求解此方程时，考虑波数ξ为复数，令ξ = a+bi，a，b均为实数，则方 程g(a，b，C)=f( ω，ξ)=〇。方程变为a，b，C的三元超越方程。此时，波数的实部a，虚部b以及 频率ω组成了一个三维空间，而方程g( a，b，|)=0的解是一条条空间内的曲线。因此，选择 固定波数的实部a，虚部b以及频率ω中任意一个会得到a-b-ξ空间中的一个平面，再用面元 对这个平面进行扫描。因为面元在a-b-ξ的三维空间中与弥散曲线的交点是唯一的。
[0012] 在空间中，对于固定的一条曲线，任取一段线元，与固定曲线相交的可能几乎为 零，因此，若在复波数域采取线元扫描，几乎得不到任何解。
[0013] 在平面内，对于固定的一条曲线，任取一个面元，当与固定曲线有交点时，交点为 一小段曲线，而这段曲线中只有一个点最终作为方程的解，因此，得到方程的弥散曲线会遗 漏很多。
[0014] 进一步，所述利用扫描单元比较找出在相应空间中弥散方程模值的极小值点包 括：
[0015] 在选择好相应的扫面微元后，取合适的步长划分微元，比较划分节点上方程的模 值|f( ω，ξ) I的大小，找出弥散方程模值取最小值的节点。若节点不取在扫描微元的边界节 点上，则此节点即为模值极小值点，然后依次进入下一个扫描微元。为防止极小值点恰巧处 在扫面微元的边界节点上，新的扫描微元需将上一扫描微元中的部分边界节点包含在内 部。最后，以某一步长改变初始固定的频率或波数的值，找出空间中的所有弥散方程的模值 极小值点。
[0016] 进一步，所述利用弥散方程的模值在零点附近的收敛性判断极小值点是否为零点 为：
[0017] 在扫描微元中得到方程模值取极小值的某个节点后，以此节点为中心，相邻节点 为边界节点，形成新的微元，取合适的步长划分此微元，计算新微元节点上的方程模值，比 较得出取最小值的节点。重复上述过程，可以得到一系列模值递减的极小值节点，若初始极 小值节点的模值比上最新极小值节点的模值趋向于无穷，则此极小值节点为零点，这表明， 在此声波传感器结构中，波可以按照该点的波数与频率进行传播。若趋向于一个有限大的 常数，则此极小值节点不为零点，这表明，在此声波传感器结构中，波不可能按照该点的波 数与频率进行传播。可以利用收敛的步数控制此声波传感器中波传播时可能的波数与频率 的求解精度。波的弥散方程一般为一个关于波数与频率的二元超越方程，当求解复波数域 中弥散关系的解时，方程变为更复杂的三元超越方程，而且弥散方程的系数是可能含有复 数的，因此这类问题的求解很困难，一般只能对极特殊的十分简单的情况求解出弥散关系， 这对于各种不同结构的声波传感器的分析是远远不够的；而利用本发明提供的方法，可以 高效、广泛地求解各种表声波或体声波谐振器、滤波器和传感器等结构中波传播问题的色 散方程和频率特性。求解得到弥散关系后，可以很容易求解出相应的位移场、应力场等传感 器内的物理场;这对传感器的工作模态选择，传感器的结构设计提供了有力的指导。
【附图说明】
[0018] 图1是本发明实施例提供的用于求解声波传感器中的弥散曲线数值的方法流程 图。
[0019] 图2是本发明实施例提供的方程模值的变化图象示意图。
[0020] 图3是本发明实施例提供的对波数频率平面扫描示意图。
[0021] 图4是本发明实施例提供的用面元对平面ω = ω〇扫描的示意图。
[0022]图5是本发明实施例提供的对称模态复波数域弥散曲线示意图(k = 0.48)。
[0023] 图6是本发明实施例提供的反对称模态复波数域弥散曲线示意图(k = 0.48)。
[0024] 图7是本发明实施例提供的纵向模态复波数域弥散曲线示意图
[0025] 图8是本发明实施例提供的弯曲模态复波数域弥散曲线示意图
【具体实施方式】
[0026] 为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明 进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于 限定本发明。
[0027] 本发明提出了一种利用方程模值在零点附近的收敛性求解弥散方程实波数域及 复波数域解的数值算法，求解一般弥散方程复波数域内的解;论述理论依据，然后介绍该方 法的求解步骤，最后列举了采用该方法求解几种典型模型中波传播的复波数域弥散曲线的 实施结果。
[0028] 下面结合附图对本发明的应用原理作详细的描述。
[0029] 如图1所示，本发明实施例的用于复波数域空间弥散曲线求解的数值方法包括以 下步骤：
[0030] S101:根据波数的求解空间确定扫描单元的形式；
[0031 ] S102:利用扫描单元比较找出在相应空间中弥散方程模值的极小值点；
[0032] S103:利用弥散方程的模值在零点附近的收敛性判断极小值点是否为零点。
[0033] 下面结合附图对本发明的应用原理作进一步的描述。
[0034] 1、用模值收敛求解超越方程的理论描述
[0035] 对于一个一般的一元超越方程f(x)=0,考虑f(x)的模|f(x) |，方程f(x)=0与方 程| f (X) | =0等价。考虑| f (X) |随X的变化关系如图2:
[0036] 由于取模，|f(x) |恒大于等于零，在区间[a，b]内，|f(x) |有非零极小值点c，在区 间[d，e]内有零点s。
[0037] 在用模值收敛求解该方程时，先找出| f(x) |的极小值点。考察X轴上的任一段小区 间[m，η ]，将区间[m，η ]等分1 0份，有1 1个等分点，分别为
，比较这11个节点上|f (x)|的值，找出 最小值所处的等分点xq。若[m，n]内没有| f (X) |的极小值点，那么x〇=m或x〇 = n。若[m，n]内 有If X(的极小值点，那么XQ取
其中的某个值。 因此，当xq关m且xq关n，可以断定[m，n]内有| f (X) |的极小值点。此时，以与xq相邻的等分点
，将其等分10份，同样找出最小值所处的等分点 XI，且| f (XI) | < | f (XQ) |。不断重复以上过程，可以得到一系列的点XQ，X1，X2, . ·.。这些点就 是[m，n]区间内极小值点在不同精度下的数值解。
[0038] 找出极小值点后，接着从这些极小值点中区分出零点和非零点。
[0039] 当极小值点为非零点时，如图2所示，将区间[a，b]按前述过程等分可得到一系列 的点 X 0，X1，X 2，...，且
。由于I f(c) |为大于零的常数：
为一个有限大的常数
，在图2所示的情况中，
[0040] 当极小值点为零点时，如图2所示，将区间[d，e]按前述过程等分可得到一系列的
[0041] 对比上述零点与非零点的分析，在得到极小值点XQ，X1，X2,...后，可以根据
的值来判断该极小值是否为零点，选取一个特定