基于分段线性循环卷积的一维左手材料Crank-Nicolson完全匹配层实现算法
【技术领域】
[0001] 本发明设及数值仿真技术领域，特别设及一种基于分段线性循环卷积的一维左手 材料化ank-化colson完全匹配层实现算法。
【背景技术】
[0002] 时域有限差分方法(FDTD)作为一种计算电磁方法被广泛地应用于各种时域的电 磁仿真计算中，如天线、射频电路、光学器件和半导体等。FDTD具有广泛的适用性、适合并行 计算、计算程序通用性等特点。
[0003] 然而，随着科学研究的深入和各种越来越广泛应用的需求，其算法本身受Courant F;ried;richsLewy(CFL)数值稳定性条件的限制的缺陷越来越明显。算法本身所受数字稳定 性条件限制:在计算过程中时间步长和空间步长必须满足WL约束条件，即
[0004]
[0005] 式中，A t为计算时间步长，C0为自由空间光速，Δ X、Δ y和Δ Z为Ξ维空间步长。在 实际计算中，空间离散步长和时间步长相对波长和周期都非常小，所W必然会在计算电大 尺寸目标时出现资源不足的情况，导致FDTD的计算效率很低。因此为了消除C化条件的限 审ij，无条件稳定的交替方向隐式(Alternating-Direct ion Impolicit，ADI)抑TD方法、局部 一维化ocal One Dimension,L0D)抑TD方法和克兰克?尼克尔森（Crank-Nicolson，CN) 抑TD方法相继被提出。
[0006] 对于ADI-抑TD算法和L0D-抑TD算法虽然在一定程度上克服了稳定性条件限制，但 算法的计算精度过低，性能并不理想，其原因是由于当时间步长增大后，导致的数值色散增 大，进而导致算法的误差较大。2004年，G. Sun等人采用Crank-Nicolson差分格式对麦克斯 韦方程进行离散化处理，即CN-抑TD，算法在时间步长取值远大于稳定性条件(如20倍)仍能 保持良好的稳定精度，展现出更好的适用性，并且CN-抑TD算法是一种更加简便的无条件稳 定的方法，将前面两种算法中所需的2个运算过程简化到1个运算过程，从而大大降低了运 算资源，因此学者们一致认为CN-FDTD具有更广阔的发展前景。
[0007] 由于计算机内存空间的限制，数值计算只能在有限的区域内进行，为了能模拟开 放或者半开放区域的电磁福射和散射等问题，在计算区域的截断边界处必须设置吸收边界 条件，W便用有限的网格空间模拟开放的无限空间，来解决任意介质内的电磁波传播W及 各种电磁问题。由Berenger提出的完全匹配层（Perfectly Matched Layer，PML)是目前应 用较广的吸收边界条件，PML可W理解为：通过在FDTD区域截断边界处设置一种特殊介质 层，该层介质的波阻抗与相邻介质波阻抗完全匹配，从而使入射波无反射地穿过分界面而 进入PML层，PML层是有耗介质，最后将电磁波吸收。目前常用的PML吸收边界主要有拉伸坐 标变换完全匹配层(SC-PML)和单轴各项异性完全匹配层(UPML)。
[000引左手材料是指介电常数ε和磁导率μ同时为负的介质材料，也常被称为双负介质。 由于左手材料具有负的折射率，必然存在色散与吸收，因此，在利用FDTD仿真分析左手材料 时，为避免上述提到的数值发散现象，一种基于等离子体概念，能对左手材料的介电常数ε 及磁导率μ进行间接设置。
【发明内容】
[0009] 本发明的目的是针对FDTD算法受到C化稳定性条件限制的缺陷，提高截断一维左 手材料的PML算法的计算效率和吸收效率而提出的基于分段线性循环卷积变换方法和CN- FDTD的SC-PML算法。该算法可W消除变换过程中出现的二阶微分方程，减少计算量。
[0010] 基于分段线性循环卷积的一维左手材料化ank-Nicolson完全匹配层实现算法，包 括下列步骤：
[0011] 步骤1:将频域中麦克斯韦方程修正为带有拉伸坐标算子的麦克斯韦方程，并在直 角坐标系中表示；
[0012] 步骤2:根据频域和时域的映射变换关系，将直角坐标系中的一维麦克斯韦方程变 换到时域表示，在将复数拉伸坐标变量由频域变换到时域的过程中，利用分段线性循环卷 积的方法，消除拉伸变量中的二阶微分，将拉伸坐标变量由频域变换到时域，并代入到一维 麦克斯韦方程表达式；
[0013] 步骤3:基于化ank-Nicolson时域有限差分算法的时域展开形式，将时域形式的直 角坐标系中一维麦克斯韦方程展开成时域有限差分的形式，同时也将辅助变量变换为时域 有限差分的形式；
[0014] 步骤4:将时域有限差分形式的方程整理成求解的形式，结果产生一组电场和磁场 禪合方程，是一组隐式方程，将运组隐式方程去禪，整理后获得左边为Ξ对角矩阵形式的系 数电场显式迭代方程；
[0015] 步骤5:将求解出的电场值代入到磁场的迭代方程中，求解出磁场分量，循环步骤 4,从而在时间上迭代求解；
[0016] 采用分段线性循环卷积的方法可W消除计算过程中出现的二阶微分方程，减小计 算的复杂度，提高计算效率，对抑TD算法有指导意义。
【附图说明】：
[0017]图1是本发明流程框图；
[0018] 图2是本发明算法与传统算法比较的相对反射误差图。
【具体实施方式】：
[0019] 本发明的主旨是提出一种基于分段线性循环卷积的一维左手材料Crank- Nicol son完全匹配层实现算法，利用卷积运算减小计算量，优化计算过程，从而提高电磁场 计算速度。
[0020] 下面结合附图对本发明实施方式作进一步地详细描述。
[0021] 图1为本发明流程图，具体实现步骤如下：
[0022] 步骤1:将频域中麦克斯韦方程修正为带有拉伸坐标算子的麦克斯韦方程，并将频 域中修正后的麦克斯韦方程在直角坐标系中表示，TEM(横电磁)波在左手材料沿着Z方向传 播可w描述为
[0025]式中，Er( ω )是左手材料的相对介电常数，μτ( ω )是左手材料的相对磁导率，Sz是 拉伸坐标变量，可W表示为
[0029]步骤2:根据频域和时域的映射变换关系，将直角坐标系中的一维麦克斯韦方程变 换到时域表示，使用卷积运算，将拉伸坐标变量由频域变换到时域，并代入到一维麦克斯韦 方程表达式，即将式(3)代入到式(1)和式(2)中，得
[0032]为了避免在时域中方程两端出现二阶微分式，使用分段线性循环卷积的方法，可 W得到
[0035]将式(7)由频域变换到时域，可W得到时域方程
[0037] 式中，@表示卷积运算。
[003引离散卷积，可W得到
[0039]
(10)
[0040] 式中，k为计算单元的空间位置指数，从式(10)可W得到
[004引步骤3:基于Crank-Nicolson时域有限差分算法的时域展开形式，利用CN项将式 (9)离散化，可得离散方程为
[0052]步骤4:将时域有限差分的形式整理成求解的形式，结果产生一组电场和磁场的禪 合方程，运是一组隐式方程
[0055]将运组方程去禪，整理后得到等式左边为Ξ对角矩阵形式的系数电场显式迭代方 程为
[0化6]
[0057] 步骤5:将求解出的电场值代入到磁场的迭代方程中，求解出磁场分量，循环步骤 4,从而在时间上迭代求解；
[0058] 图2是本发明算法与传统算法比较的相对反射误差图，为了验证所提方法，对本发 明算法进行编程，中屯、载波频率取30GHz，计算域两端PML最大厚度为10元胞，电导率采用
由图中可W看出，CN-PML的吸收性能并不随CNFN的增 大而变化，说明该算法具有无条件稳定性，仿真过程所需时间较传统算法仿真时间较短。
[0059] W上所述仅为本发明的较佳实施例，并不限制本发明，凡在本发明的精神和原则 之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
【主权项】
1. 基于分段线性循环卷积的一维左手材料Crank-Nicolson完全匹配层实现算法，包括 下列步骤： 步骤1:将频域中麦克斯韦方程修正为带有拉伸坐标算子的麦克斯韦方程，并在直角坐 标系中表示； 步骤2:根据频域和时域的映射变换关系，将直角坐标系中的一维麦克斯韦方程变换到 时域表示，在将复数拉伸坐标变量由频域变换到时域的过程中，利用分段线性循环卷积的 方法，消除拉伸变量中的二阶微分，将拉伸坐标变量由频域变换到时域，并代入到一维麦克 斯韦方程表达式； 步骤3:基于Crank-Nicolson时域有限差分算法的时域展开形式，将时域形式的直角坐 标系中一维麦克斯韦方程展开成时域有限差分的形式，同时也将辅助变量变换为时域有限 差分的形式； 步骤4:将时域有限差分形式的方程整理成求解的形式，结果产生一组电场和磁场耦合 方程，是一组隐式方程，将这组隐式方程去耦，整理后获得左边为三对角矩阵形式的系数电 场显式迭代方程； 步骤5:将求解出的电场值代入到磁场的迭代方程中，求解出磁场分量，循环步骤4,从 而在时间上迭代求解。2. 根据权利1所述的基于分段线性循环卷积的一维左手材料Crank-Nicolson完全匹配 层实现算法，其特征在于:步骤2，将左手材料修正的拉伸变量设置为(1) 式中，er( ω )是左手材料的相对介电常数； 引入卷积运算，可得(2) 将义(0 ? &离散，整理可以得到 m=u3. 根据权利1所述的基于分段线性循环卷积的一维左手材料Crank-Nicolson完全匹配 层实现算法，其特征在于:步骤3，基于Crank-Nicolson时域有限差分算法的时域展开形式式中，Δ z是空间单元尺寸。4.根据权利1所述的基于分段线性循环卷积的一维左手材料Crank-Nicolson完全匹配 层实现算法，其特征在于:步骤4，将代入磁场和卷积运算后的电场分量的迭代方程进行整 理，整理后获得左边为三对角矩阵形式的系数电场显式迭代方程
【专利摘要】本发明涉及了一种基于分段线性循环卷积的一维左手材料Crank-Nicolson完全匹配层实现算法，属于数值仿真技术领域，该方法的目的是缩短左手材料FDTD计算域，将计算机有限的内存空间仿真成无限空间。本发明的技术特征在于：在将复数拉伸坐标变量由频域变换到时域的过程中，利用分段线性循环卷积的方法，消除拉伸变量中的二阶微分，从而明显减少引入的辅助变量个数，优化内存；然后利用Crank-Nicolson时域有限差分方法将时域麦克斯韦方程进行离散，推导出电场的显式迭代方程；最后求解出电磁场分量的值。本发明具有无条件稳定性，提高电磁场计算速度和节约内存的优点。
【IPC分类】G06F17/50
【公开号】CN105631094
【申请号】CN201510960827
【发明人】李建雄, 陈明省, 闫必行, 蒋昊林, 宋战伟
【申请人】天津工业大学
【公开日】2016年6月1日
【申请日】2015年12月18日