一种二维平面随机点扩散运动的模拟方法及分析方法
【专利摘要】本发明公开了一种二维平面随机点扩散运动的模拟方法，具体按照以下步骤实施：步骤1：初始化；步骤2：在每个随机点处均随机生成一个随机点；步骤3：判断每个随机点的随机点运动步数step<随机点随机运动步数N是否成立；步骤4：判断模式是否为绘制模式，绘制随机点，或清除随机点之间的连接轨迹；步骤5：由随机数r和随机角度θ确定随机点下一步的其运动方向；步骤6：如果随机点触碰区域边界，则随机点发生触碰区域边界反弹，step++，转到步骤2；如果随机点超出区域边界，则重新确定边界位置，step++，转到步骤2。本发明还公开了一种二维平面随机点扩散运动的分析方法。本发明模拟方法可以在很大程度上保证随机点运动方向的随机性。
【专利说明】
-种二维平面随机点扩散运动的模拟方法及分析方法
技术领域
[0001] 本发明属于随机点扩散运动技术领域，具体设及一种二维平面随机点扩散运动的 模拟方法，还设及二维平面随机点扩散运动的分析方法。
【背景技术】
[0002] 布朗运动形态类似连成一片的液体，在高倍显微镜下看其实是由许多分子组成 的，液体分子不停地做无规则运动，不断地随机撞击悬浮颗粒。当悬浮的微粒足够小的时 候，由于受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一 方向受到的撞击作用超强的时候，致使微粒又向其它方向运动，运样，就引起了微粒的无规 则的运动就是布朗运动。无规则行走只是布朗运动的理想状态，因此研究随机点的扩散运 动及点的无规则行走，就有助于更清晰了解布朗运动运一著名发现。
[0003] 随机点的扩散运动即随机游走，其概念接近于布朗运动，是布朗运动的理想数学 状态。在很多系统都存在不同类型的无规则行走，他们都具有相似结构。单个的随机事件不 可预测，但随机大量的群体行为，却是精确可知的。运就是概率世界的魅力，在偶然中隐含 着必然。随机性造成了低尺度下的差异性，但在高尺度下又表现为共同的特征的相似性。按 照概率的观点"宇宙即是所有随机事件概率的总和"。它的核屯、概念是任何无规则行走者所 带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，对于无规则行走的数学处理使用了过于简化 的假设，扩散定律是普适的，只要给定独立随机行走的某种分布，它就不依赖于具体的模 型。涨落是随机的、混浊的，无规则行走的结果就是扩散的，运包括物质扩散、动量扩散、热 量扩散等。运也意味着结晶学、天文学、生物学、气象学、流体力学、经济学都将会用到扩散 定律。
[0004] 目前国内外学者针对不同的随机运动场景提出了不同的分析方法模型，根据建立 分析模型所采用的方法不同，分析方法模型大概可W分为四大类:一类是统计分析类，是W 基础的统计分析为主;一类是主成分分析方法，W降维的思想为主;一类是数据挖掘类，是 W机器学习，数据仓库等复合技术为主。还有一类就是股票市场经常采用的ΚΛ分析法。
[0005] 针对随机扩散运动的课题，研究包括在金融领域关于对股票市场的研究，在数学 领域对维纳过程的研究等，目前的相关研究主要集中在W下几个方面：
[0006] ①楠球体布朗运动相关研究；
[0007] ②P2P与无规则行走；
[000引③高分子与无规则行走；
[0009] ④金融市场的无规则行走。
[0010] 随机游走模型是应用非常广泛的一种数学模型，在现实生活中也带来了很多方便 之处，如在金融市场上的应用，随机游走假说是数理金融中最为重要的假设，它把有效市场 的思想与物理学中的布朗运动联系起来，由此而来的一整套的随机数学方法称为构建数理 金融的基石，其研究的机理已经在股票研究中应用很广泛。
【发明内容】
[0011] 本发明的目的是提供一种二维平面随机点扩散运动的模拟方法，解决了现有技术 不能保证产生的随机点的随机性的问题。
[0012] 本发明的目的还在于提供一种二维平面随机点扩散运动的分析方法。
[0013] 本发明所采用的第一种技术方案是:一种二维平面随机点扩散运动的模拟方法， 具体按照W下步骤实施：
[0014]步骤1:初始化随机点个数、模式为绘制模式、初始随机点运动步数step = 0、随机 点随机运动步数N、总步数Μ，其中，初始随机点在同一点处，随机点随机运动步数N<总步数 Μ；
[0015]步骤2:在每个随机点处均随机生成一个随机点；
[0016]步骤3:判断每个随机点的随机点运动步数step<随机点随机运动步数Ν是否成立， 如果成立，则转到步骤4，如果不成立，则停止生成随机点，模拟结束；
[0017] 步骤4:判断模式是否为绘制模式，如果是，则开始绘制随机点，转到步骤5，如果不 是，则清除随机点之间的连接轨迹，转到步骤5;
[0018] 步骤5:通过随机生成数函数得到随机数r，由随机数r和随机角度Θ确定随机点下 一步的位置坐标(r · cos0，;r · sin0)及其运动方向；
[0019] 步骤6:根据步骤5中得到的随机点的位置坐标与区域边界比较，如果随机点触碰 区域边界，则随机点发生触碰区域边界反弹，step++，转到步骤2;如果随机点超出区域边 界，则重新确定边界位置，step++，转到步骤2。
[0020] 本发明所采用的第一种技术方案的特点还在于，
[0021] 步骤5具体为：
[0022] 由随机生成数函数生成随机数r，确定随机点在W上一个原子点为圆屯、，W随机数 r为半径的圆上:再随机生成一个随机角度θΕ(0,2π]，根据随机角度Θ及随机数r确定唯一 一个随机点，其坐标为(r · cos0,；r · sin0)，从而确定随机点的下一步运动方向。
[0023] 本发明采用的第二种技术方案是：
[0024] -种二维平面随机点扩散运动的分析方法，具体从W下四个角度进行分析：
[0025] ①基于随机点运动的四个象限分布概率数理统计；
[0026] ②基于随机点运动的均方距离圆内出现随机点个数及出现概率进行统计；
[0027] ③基于随机扩散运动的随机点到原点的期望及方差数理统计；
[00%]④同一横坐标下的曲线拟合概括。
[0029] 本发明所采用的第二种技术方案的特点还在于：
[0030] 基于随机点运动的四个象限分布概率数理统计，具体为：
[0031] 对所有已访问的随机点进行象限分布的研究，即根据随机点X分布概率公式（1)分 布计算出四个象限的分布概率：
[0032] P\x 二i]二玲挪己 (1)
[0033] 其中，P为随机点X随机运动的概率，0<p<l，p+q = l，i = 0，l，2r''n;
[0034] 四个象限中某个象限内随机点的分布概率大的，则该象限内随机点分布多，随着 随机点个数越来越大，四个象限的随机点分布概率越接近相等。
[0035] 基于随机点运动的均方距离圆内出现随机点个数及出现概率进行统计，具体为：
[0036] 统计均方距离圆内随机点的个数，随着随机点随机运动步数N的增大，新生成的均 方距离圆的半径会变大，并且随机点在圆内的概率也会增大;如果随机点随机运动步数N相 同，随着随机点数的增大，圆内随机点个数和均方距离圆的半径的值都是趋于稳定状态。
[0037] 均方距离圆是W随机点随机运动步数N开方然后乘W4为半径，W初始随机点为圆 屯、的圆。
[0038] 基于随机扩散运动的随机点到原点的期望及方差数理统计，具体为：
[0039] 随机点X服从参数为n，p的二项分布，随机点到原点的期望E(X)=np，方差D(X) = npq，其中，P为随机点X随机运动的概率，q = 1 -p;
[0040] 方差越大，随机运动的随机点的离散程度越大，反之，方差越小，随机运动的随机 点的离散程度越小。
[0041] 同一横坐标下的曲线拟合概括，具体为：
[0042] 用指数函数曲线y = ax，来表示随机点X的拟合曲线变化情况，随着随机点数的增 大，所表现的拟合曲线的值越大，误差越小，越精确，其中，a是常数，曰>〇,且a辛l，y是拟合 曲线的程度。
[0043] 本发明的有益效果是:本发明一种二维平面随机点扩散运动的模拟方法，由随机 生成函数产生的随机数及随机角度确定随机点的下一步的运动方向，可W在很大程度上保 证随机点运动方向的随机性。本发明一种二维平面随机点扩散运动的分析方法，通过模拟 二维平面随机点扩散运动得出的数据，采用象限概率、均方距离圆内数理统计、点到原点期 望及方差数理统计、拟合曲线四个方面的数据分析，对随机运动的数据、算法和试验结果进 行了详细的分析。
【具体实施方式】
[0044] 下面结合【具体实施方式】对本发明进行详细说明。
[0045] 随机点即种子点：随机产生、进行无规则运动的点，已经访问过的随机点称为原子 点。
[0046] 随机点的扩散运动:其概念接近于布朗运动，是布朗运动的理想数学状态。其核屯、 概念是任何无规则行走者所带的守衡量都各自对应着一个扩散运输定律。
[0047] 本发明一种二维平面随机点扩散运动的模拟方法，具体按照W下步骤实施：
[0048] 步骤1:初始化随机点个数、模式为绘制模式、初始随机点运动步数step = 0、随机 点随机运动步数N、总步数Μ，其中，初始随机点在同一点处，随机点随机运动步数N<总步数 Μ；
[0049] 步骤2:在每个随机点处均随机生成一个随机点；
[0050] 步骤3:判断每个随机点的随机点运动步数step<随机点随机运动步数Ν是否成立， 如果成立，则转到步骤4，如果不成立，则停止生成随机点，模拟结束；
[0051 ]步骤4:判断模式是否为绘制模式，如果是，则开始绘制随机点，转到步骤5，如果不 是，则清除随机点之间的连接轨迹，转到步骤5;
[0052]步骤5:通过随机生成数函数得到随机数r，由随机数r和随机角度Θ确定随机点下 一步的位置坐标(r · cos0,；r · sin0)及其运动方向，具体为；
[0053] 由随机生成数函数生成随机数r，确定随机点在W上一个原子点为圆屯、，W随机数 r为半径的圆上:再随机生成一个随机角度θΕ(0,2π]，根据随机角度Θ及随机数r确定唯一 一个随机点，其坐标为(r · cos0,；r · sin0)，从而确定随机点的下一步运动方向。
[0054] 步骤6:根据步骤5中得到的随机点的位置坐标与区域边界比较，如果随机点触碰 区域边界，则随机点发生触碰区域边界反弹，step++，转到步骤2;如果随机点超出区域边 界，则重新确定边界位置，step++，转到步骤2。
[0055] 本发明一种二维平面随机点扩散运动的分析方法，具体从W下四个角度进行分 析：
[0056] ①基于随机点运动的四个象限分布概率数理统计，具体为：
[0057] 对所有已访问的随机点进行象限分布的研究，即根据随机点X分布概率公式（1)分 布计算出四个象限的分布概率：
[0化引
（1)
[0059] 其中，P为随机点X随机运动的概率，0<p<l，p+q = l，i = 0，l，2r..n;
[0060] 四个象限中某个象限内随机点的分布概率大的，则该象限内随机点分布多，随着 随机点个数越来越大，四个象限的随机点分布概率越接近相等。
[0061] ②基于随机点运动的均方距离圆（均方距离圆是W随机点随机运动步数N开方然 后乘W4为半径，W初始随机点为圆屯、的圆）内出现随机点个数及出现概率进行统计，具体 为：
[0062] 统计均方距离圆内随机点的个数，随着随机点随机运动步数N的增大，新生成的均 方距离圆的半径会变大，并且随机点在圆内的概率也会增大;如果随机点随机运动步数N相 同，随着随机点数的增大，圆内随机点个数和均方距离圆的半径的值都是趋于稳定状态。
[0063] ③基于随机扩散运动的随机点到原点的期望及方差数理统计，具体为：
[0064] 随机点X服从参数为n，p的二项分布，随机点到原点的期望E(X)=np，方差D(X) = npq，其中，P为随机点X随机运动的概率，q = 1-P;
[0065] 方差越大，随机运动的随机点的离散程度越大，反之，方差越小，随机运动的随机 点的罔散程度越小。
[0066] ④同一横坐标下的曲线拟合概括，具体为：
[0067] 用指数函数曲线y = ax，来表示随机点X的拟合曲线变化情况，随着随机点数的增 大，所表现的拟合曲线的值越大，误差越小，越精确，其中，a是常数，曰>〇,且a辛l，y是拟合 曲线的程度。
[0068] 本发明是对二维平面随机点扩散运动的模拟，并对模拟得到的数据进行分析，主 体随机点运动主要分为无轨迹模式、轨迹模式、混合模式Ξ种类型，分别从研究随机点在四 个象限分布概率，均方距离圆内已访问原子个数及出现概率统计，计算原子到原点期望及 方差，W及对同一横坐标下曲线进行拟合，四个角度进行数据分析并进行试验。
[0069] 无轨迹模式:输入的随机点（即原子)扩散仅显示位置，忽略其过程，屏幕上会显示 出种子数经过随机点生成算法而得到的随机运动的结果。
[0070] 无轨迹模式扩散:即在无轨迹模式的基础上，得到下一个随机运动的位置。
[0071] 轨迹模式:输入的随机点（即原子)扩散不仅显示位置，而且显示扩散的过程。
[0072] 轨迹模式扩散：即将点到下一个运动点之间的轨迹用连线标出，生成下个运动点 的过程是一个随机过程，是通过产生随机数和随机角度来确定随机点的下一步运动方向， 运期间会有点重复走过，但他们之间的轨迹依然可W用连线标出。
[0073] 混合模式:是上述两种模式的混合。
[0074] 混合模式扩散:是上述两种模式扩散的混合。
[0075] 实施例一无轨迹模式扩散为例）
[0076] 无轨迹模式扩散，即每次标出点运动的下一位置。点是按照随机角度算法随机生 成运动方向，因此很多点可能会重新访问。对于单个原子的无轨迹模式运动，W单个原子随 机运动十二步为例，简述其随机扩散过程，具体过程如下：
[0077] 执行第一步，确定一个随机点，根据随机点生成算法，根据算子化talnitO确定原 子个数。利用随机角度确定原子的下一步运动方向。根据算子StepO统计单步随机游走的 步数，此时，该随机点已执行步数为1，种子数为1，已访问过的原子数为0,已访问到的原子 数由算子AcMBeforeAtomsO确定。均方距离圆半径为0。当该原子执行第2步时，根据随机角 度确定种子点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为2,种子数为1，已访问 原子个数为1，均方距离圆半径为1。当该原子执行第3步时，根据随机角度确定种子点的下 一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为3,种子数为1，已访问原子个数为2,均方 距离圆半径为1。当该原子执行第4步时，根根据随机角度确定种子点的下一步运动方向。移 动之后，该种子点已执行步数为4,种子数为1，已访问原子个数为3,均方距离圆半径为1。
[0078] 当该原子执行第5步时，根据随机角度确定种子点的下一步运动方向。移动之后， 该种子点已执行步数为5,种子数为1，已访问原子个数为4,均方距离圆半径为2。当该原子 执行第6步时，根据随机角度确定种子点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步 数为6,种子数为1，已访问原子个数为4,均方距离圆半径为2。当该原子执行第7步时，根据 随机角度确定种子点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为7,种子数为1， 已访问原子个数为5,均方距离圆半径为2。当该原子执行第8步时，根据随机角度确定种子 点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为8,种子数为1，已访问原子个数为 6,均方距离圆半径为2。
[0079] 当该原子执行第9步时，根据随机角度确定种子点的下一步运动方向。移动之后， 该种子点已执行步数为9,种子数为1，已访问原子个数为7,均方距离圆半径为2。当该原子 执行第10步时，根据随机角度确定种子点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步 数为10,种子数为1，已访问原子个数为7,均方距离圆半径为3。当该原子执行第11步时，根 据随机角度确定种子点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为11，种子数为 1，已访问原子个数为8,均方距离圆半径为3。当该原子执行第12步时，根据随机角度确定种 子点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为12,种子数为1，已访问原子个数 为9,均方距离圆半径为3。
[0080] 实施例二（W混合模式扩散为例）
[0081] 对于混合模式，其单个随机点的运动方式和无轨迹模式是相似的，唯一的区别就 是，随机点运动的位置标记为点，而点与点之间为有连线(轨迹模式时)和无连线(无轨迹模 式时）的混合。
[0082] 对于混合模式，由于原子点都是随机、无规则运动的，大量原子运动，也是随机地 进行无规则运动和规则运动，在运动之后，演示界面上显示可W看出，一部分原子是进行无 规则运动，另一部分原子是进行规则运动，在运里，w单个原子的运动为例，简述混合模式， 具体过程如下：
[0083] 对于混合模式，执行第一步，随机确定一个原子点，根据基于随机角度的方法，随 机生成随机点的下一步运动方向。该种子点已执行步数为1，种子数为1，已访问原子个数为 0，均方距离圆半径为0。执行第二步时，随机点经过一步移动，该种子点执行步数为2，种子 数为1，已访问原子个数为1，均方距离圆半径为1。当该原子执行第Ξ步时，该随机点是轨迹 模式，根据随机角度确定种子点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为3,种 子数为1，已访问原子个数为2,均方距离圆半径为1。当该原子执行第四步时，随机点是无轨 迹模式，根据随机角度确定种子点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为4， 种子数为1，已访问原子个数为3,均方距离圆半径为1。
[0084] 当该原子执行第五步时，随机点是无轨迹模式，根据随机角度确定种子点的下一 步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为5,种子数为1，已访问原子个数为4,均方距 离圆半径为2。当该原子执行第六步时，该随机点是轨迹模式，根据随机角度确定种子点的 下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为6,种子数为1，已访问原子个数为4,均 方距离圆半径为2。当该原子执行第屯步时，该随机点是轨迹模式，根据随机角度确定种子 点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为7,种子数为1，已访问原子个数为 5,均方距离圆半径为2。当该原子执行第八步时，该随机点是轨迹模式，根据随机角度确定 种子点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为8,种子数为1，已访问原子个 数为6,均方距离圆半径为2。
[0085] 当该原子执行第九步时，该随机点是无轨迹模式，根据随机角度确定种子点的下 一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为9,种子数为1，已访问原子个数为7,均方 距离圆半径为2。当该原子执行第十步时，该随机点是轨迹模式，根据随机角度确定种子点 的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为10,种子数为1，已访问原子个数为8， 均方距离圆半径为3。当该原子执行第十一步时，该随机点是轨迹模式，根据随机角度确定 种子点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为11，种子数为1，已访问原子个 数为9,均方距离圆半径为3。当该原子执行第十二步时，该随机点是轨迹模式，根据随机角 度确定种子点的下一步运动方向。移动之后，该种子点已执行步数为12,种子数为1，已访问 原子个数为10,均方距离圆半径为3。
【主权项】
1. 一种二维平面随机点扩散运动的模拟方法，其特征在于，具体按照以下步骤实施： 步骤1:初始化随机点个数、模式为绘制模式、初始随机点运动步数step = 0、随机点随 机运动步数N、总步数M，其中，初始随机点在同一点处，随机点随机运动步数N〈总步数M; 步骤2:在每个随机点处均随机生成一个随机点； 步骤3:判断每个随机点的随机点运动步数step〈随机点随机运动步数N是否成立，如果 成立，则转到步骤4，如果不成立，则停止生成随机点，模拟结束； 步骤4:判断模式是否为绘制模式，如果是，则开始绘制随机点，转到步骤5,如果不是， 则清除随机点之间的连接轨迹，转到步骤5; 步骤5:通过随机生成数函数得到随机数r，由随机数r和随机角度Θ确定随机点下一步 的位置坐标(r · cos0，r · sin0)及其运动方向； 步骤6:根据步骤5中得到的随机点的位置坐标与区域边界比较，如果随机点触碰区域 边界，则随机点发生触碰区域边界反弹，step++，转到步骤2;如果随机点超出区域边界，则 重新确定边界位置，step++，转到步骤2。2. 根据权利要求1所述的一种二维平面随机点扩散运动的模拟方法，其特征在于，所述 步骤5具体为： 由随机生成数函数生成随机数r，确定随机点在以上一个原子点为圆心，以随机数r为 半径的圆上:再随机生成一个随机角度θΕ(〇,2π]，根据随机角度Θ及随机数r确定唯一一个 随机点，其坐标为(r · cos0，r · sin0)，从而确定随机点的下一步运动方向。3. -种二维平面随机点扩散运动的分析方法，其特征在于，具体从以下四个角度进行 分析： ① 基于随机点运动的四个象限分布概率数理统计； ② 基于随机点运动的均方距离圆内出现随机点个数及出现概率进行统计； ③ 基于随机扩散运动的随机点到原点的期望及方差数理统计； ④ 同一横坐标下的曲线拟合概括。4. 根据权利要求3所述的一种二维平面随机点扩散运动的分析方法，其特征在于，所述 基于随机点运动的四个象限分布概率数理统计，具体为： 对所有已访问的随机点进行象限分布的研究，即根据随机点X分布概率公式（1)分布计 算出四个象限的分布概率：其中，？为随机点1随机运动的概率，〇<口<1，？+9=1，1 = 〇，1，2，···]!; 四个象限中某个象限内随机点的分布概率大的，则该象限内随机点分布多，随着随机 点个数越来越大，四个象限的随机点分布概率越接近相等。5. 根据权利要求3所述的一种二维平面随机点扩散运动的分析方法，其特征在于，所述 基于随机点运动的均方距离圆内出现随机点个数及出现概率进行统计，具体为： 统计均方距离圆内随机点的个数，随着随机点随机运动步数N的增大，新生成的均方距 离圆的半径会变大，并且随机点在圆内的概率也会增大；如果随机点随机运动步数N相同， 随着随机点数的增大，圆内随机点个数和均方距离圆的半径的值都是趋于稳定状态。6. 根据权利要求5所述的一种二维平面随机点扩散运动的分析方法，其特征在于，所述 均方距离圆是以随机点随机运动步数N开方然后乘以4为半径，以初始随机点为圆心的圆。7. 根据权利要求3所述的一种二维平面随机点扩散运动的分析方法，其特征在于，所述 基于随机扩散运动的随机点到原点的期望及方差数理统计，具体为： 随机点X服从参数为η，p的二项分布，随机点到原点的期望E (X) = np，方差D (X) = npq， 其中，P为随机点X随机运动的概率，q = l_P; 方差越大，随机运动的随机点的离散程度越大，反之，方差越小，随机运动的随机点的 离散程度越小。8. 根据权利要求3所述的一种二维平面随机点扩散运动的分析方法，其特征在于，所述 同一横坐标下的曲线拟合概括，具体为： 用指数函数曲线y = ax，来表示随机点X的拟合曲线变化情况，随着随机点数的增大，所 表现的拟合曲线的值越大，误差越小，越精确，其中，a是常数，a>0,且a矣l，y是拟合曲线的 程度。
【文档编号】G06F17/50GK105824986SQ201610130984
【公开日】2016年8月3日
【申请日】2016年3月8日
【发明人】费蓉, 郭玉玲, 李军怀, 安洋, 田巨博
【申请人】西安理工大学