一种基于划分区域的组合近似模型构建方法
【专利摘要】本发明涉及一种基于划分区域的对线性与非线性未知问题具有高适应性的组合近似模型构建方法。该方法在给定一定数量组输入与输出值的情况下建立组合近似模型来近似系统的输入与输出解析关系式，在给定系统输入的情况下对系统的输出进行预测。主要应用在优化设计时对优化目标和变量之间函数关系的近似。鉴于传统的近似模型均采用对整个试验区域建模，不能很好地捕捉局部区域较强的线性或者非线性特征，本发明采用分割整个试验区域建模的思想。一方面借鉴组合近似模型对单个近似模型的预测精度优势，另一方面旨在提高对局部区域的预测精度，进而提高模型的全局预测精度。因此，可以大大降低优化过程中迭代求解最优解所消耗的计算时间及资源。
【专利说明】
-种基于划分区域的组合近似模型构建方法
技术领域
[0001] 本发明设及一种对线性与非线性未知问题具有高适应性的组合近似模型的建立 方法，该方法是在给定一定数量组输入与输出值的情况下通过建立组合近似模型来近似系 统的输入与输出解析关系式，在已知系统输入的情况下对系统的输出给出预测值。主要应 用在优化设计时对优化目标和变量之间函数关系的近似。
【背景技术】
[0002] 优化设计已经被广泛地应用在工业的各个领域中。在优化问题中，优化目标与优 化变量之间的解析关系往往是工程人员在优化过程中所无法直接获得的，因此，通过在给 定的试验区域内布置一定数量的样本点，采集一定数量组的变量(输入)与目标(输出）值， 进而采用差值或者拟合的方法建立近似模型来给出优化目标与优化变量之间的近似关系 式。运样，通过对近似关系式求解最优值，来给出优化设计方案。可见，运种近似模型的预测 精度(预测值与真实值之间的差异)会对优化结果产生重大的影响。简单来说，近似模型预 测精度越高，寻找最优解的迭代步数就会越少，运样就可W节省大量的计算时间W及计算 费用。
[0003] 许多学者在进行优化设计时在整个试验区域内只采用单一的近似模型对优化目 标与优化变量之间的关系进行近似。然而，单一的近似模型在处理具有线性W及非线性特 征、高维W及低维问题时不是总能够获得较高的预测精度。运就需要我们把针对不同类型 的问题拥有相应优势的几个近似模型组合在一起，采用加权平均的方式来获得预测精度更 高、稳定性(对于不同类型的问题都能够获得较高预测精度的能力)更好的组合近似模型。
[0004] 然而，运种针对整个试验区域建立起来的组合近似模型仍然存在一定缺陷。例如， 在整个试验区域内优化目标与优化变量之间的关系W线性特征为主，但是在某些局部区域 呈现很强的非线性或者在整个试验区域内优化目标与优化变量之间的关系W较强的非线 性特征为主，但是在边界区域或者某些局部区域呈现线性特征。那么，如果仍然针对整个试 验区域建立组合近似模型，将会使建立起来的模型在运些局部区域的预测精度大大降低。 针对运样的情况，本发明提出了一种划分区域的组合近似模型构建方法，一方面借鉴了组 合近似模型对单个近似模型的预测精度优势，另一方面旨在提高组合近似模型对于局部区 域的预测精度，进而提高模型的全局预测精度。
【发明内容】
[0005] 组合近似模型的构建方法：
[0006] (1)建立基本子模型
[0007] 首先，本发明选取了两个子模型，分别是多项式模型和径向基函数模型。旨在利用 多项式模型对于低阶线性W及非线性问题具有较高预测精度和径向基函数模型对于高阶 非线性问题具有较高预测精度的优势。
[000引 A.多项式模型
[0009] 在保证近似精度的同时为了简便，本发明选用二次多项式模型。令y(x)表示真实 的响应函数J衫)是其近似函数，二次多项式可W表示为：
[0010]
[ΟΟ?]其中xi和X康示m个变量，β表示未知系数。在试验区域内布置η个样本点，与之对应 就会产生η个系统响应值。
[0012] Β.径向基函数模型
[0013] 径向基函数模型最初是用来对分散多元数据进行插值的。运种方法采用一系列的 基本对称径向方程来近似目标响应函数。令y(x)表示真实的响应函数，聚移东是其近似函数， 径向基函数模型表示如下：
[0014]
[001引其中η表示样本点总数，X表示自变量向量，X康示自变量向量中的第i个样本点， X-Xi II表示两个向量之间的欧氏距离。Φ表示基函数，ill表示未知系数。本发明中基函数方 程选用高斯基函数：
[0016]
[0017] (2)N区域交叉检验技术
[0018] 把整个试验区域分割成N个子区域，同时所有的样本点也被相应地分配到每个子 区域中。每一个子区域中的样本点不参与该区域的近似模型建立而只用于衡量本区域所建 立的近似模型的预测精度。预测精度采用残余误差度量并定义为预测值与真实值之间的偏 差：
[0019] R：=y； -y,
[0020] 残余误差表征预测值与系统真实响应值之间的偏差。残余误差越小，模型预测精 度越高。
[0021] 例如，如图1，整个试验区域被分成4个子区域。建立近似模型1时只采用区域2、3和 4中的样本点，而区域1中的样本点只用于检验近似模型1的预测精度。
[0022] (3)建立L参数
[0023] 在每个子区域内，我们无法得知变量与目标之间的函数关系是呈现线性还是非线 性特征。为了充分利用步骤1中子模型的优势，在每个子区域内，分别用多项式模型和径向 基函数模型进行建模。然后选取预测精度较高的子模型来建立该子区域的近似模型。为此， 发展了 L参数并用它来判定近似模型的预测精度。L参数的定义如下：
[0027] 其中q表示检验点的总数。L参数的值越小，近似模型的全局预测精度越高。
[0028] (4)建立组合近似模型
[0029] 对每一个子区域分别建立近似模型之后，需要把每个子区域建立起来的近似模型 通过加权平均的方式构成一个组合近似模型。权重系数会根据每一个子区域中近似模型的 预测精度高低来确定。在运种情况下，预测精度高的模型会拥有较大的权重系数，反之，预 测精度低的模型的权重系数会较小。最终的组合近似模型可W表示为：
[0030]
[0031] 其中N表示整个试验区域中划分的子区域的总数;wi表示权重系数；穀表示组合 近似模型，黎表示第i个子区域建立起来的近似模型。权重系数满足如下关系：
[0032]
[0033] 权重系数是根据每一个子区域建立的近似模型的L参数值确定的：
[0034]
[0035] 其中k表示第i个子区域建立的近似模型的L参数值。
【附图说明】
[0036] 图1为本发明中对整个试验区域的划分W及如何建立子区域1中的近似模型的示 意图；
[0037] 图2Ξ种典型测试函数的图像；
【具体实施方式】
[003引表1列举了 Ξ种典型的测试函数解析关系式。它们主要表现出线性、低阶非线性W 及高阶非线性特征(如图2)。立种测试函数用于检验本发明所提出的方法。
[0039] 表种典型的测试函数
[0040]
[0041] 对于每个测试函数，在试验区域内，采用均匀试验设计方法布置24个样本点。同 时，把整个试验区域分割成4部分，每一部分包含6个样本点。为了检验组合近似模型的预测 精度，在试验区域内布置100个检验点。样本点数量W及试验区域如表2所示。
[0042] 表2样本点数量W及试验区域
[0043]
[0044] 根据
【发明内容】
中组合近似模型的构建方法，把整个试验区域分割成4个子区域，W 多项式模型和径向基函数模型为子模型建立组合近似模型。同时，为了对比分析，又建立起 两个近似模型，其中一个近似模型只采用多项式模型进行分区域建模，另一个近似模型只 采用径向基函数模型进行分区域建模。同时，有研究显示，采用单一子模型进行分区建模所 得到的近似模型的预测精度要高于采用单一子模型在整个试验区域建模所得到的近似模 型的预测精度。
[0045] (1)线性函数
[0046] 对于线性函数问题，Ξ种近似模型的预测精度对比结果如表3所示。结果显示：对 于线性函数问题，本发明所构建的组合近似模型的预测精度要高于只采用单一子模型进行 分区建模所得到的近似模型的预测精度。因此可W进一步得知，本发明所构建的组合近似 模型可W进一步提高对于线性函数问题的预测精度。
[0047] 表3近似模型的预测效果对比（线性函数）
[004引
[0049] 其中NMAE的定义：
[0052] 其中NMAE值越小，近似模型的局部预测精度越高。
[0053] (2)低阶非线性函数
[0054] 对于低阶非线性函数问题，Ξ种近似模型的预测精度对比结果如表4所示。结果显 示:对于低阶非线性函数问题，本发明所构建的组合近似模型的预测精度要高于只采用单 一子模型进行分区建模所得到的近似模型的预测精度。
[0055] 表4近似模型的预测效果对比(低阶非线性函数）
[0化6]
[0057] (3)高阶非线性函数
[005引对于高阶非线性函数问题，Ξ种近似模型的预测精度对比结果如表5所示。结果显 示:对于高阶非线性函数问题，本发明所构建的组合近似模型的预测精度要高于(至少不低 于）只采用单一子模型进行分区建模所得到的近似模型的预测精度。
[0059] 表5近似模型的预测效果对比（高阶非线性函数）
[0060]
[0061]
[0062] 总结：
[0063] 对于线性问题、低阶非线性问题W及高阶非线性问题，本发明所构建的组合近似 模型的预测精度要高于只采用单一子模型进行分区建模所得到的近似模型的预测精度。进 一步，本发明所构建的组合近似模型的预测精度要高于传统的只采用单一子模型在整个试 验区域建模所得到的近似模型的预测精度。同时，本发明所构建的组合近似模型对于线性 问题、低阶非线性问题W及高阶非线性问题都具有较高的预测精度说明了该组合近似模型 较传统近似模型具有更好的稳定性。
【主权项】
1. 一种基于划分区域的对线性与非线性未知问题具有高适应性的组合近似模型构建 方法，其特征在于： (1) 提出了一种对线性特征以及非线性特征都具有较好适应性的组合近似模型建立方 法； (2) 这种方法克服了插值模型必须引入额外的样本点（无法采用建立模型时已经采用 的样本点)来检验模型预测精度的缺点； (3) 在整个试验区内，系统的输入与输出（响应)可能只在局部区域呈现线性或者非线 性特征，因而把整个试验区域被分割成N个子区域，这种方法可以充分利用构成组合近似模 型的基本近似模型对于子区域内线性特征或者非线性特征的较高预测精度的优势； (4) 这种组合近似模型对于未知函数解析式的系统，尤其是不确定解析式是线性还是 非线性特征占主导或者是在整个试验区域内局部区域非线性特征占主导等情况，具有很好 的适应性以及较高的预测精度； (5) 构成组合近似模型的基本近似模型可以并不局限于本专利采用的多项式模型和径 向基函数模，可以根据具体的工程需要拓展到任何其他的基本近似模型（人工神经网络模 型以及Kriging模型等等）。而且，构成组合近似模型的基本近似模型的数量也可以根据具 体的工程问题由工程人员自由选定。
【文档编号】G06F17/50GK105824994SQ201610137259
【公开日】2016年8月3日
【申请日】2016年3月11日
【发明人】李秋实, 潘天宇, 鹿哈男, 宫建
【申请人】北京航空航天大学