一种求解结构工程的非概率可靠性指标的仿射算法
【专利摘要】一种求解结构工程的非概率可靠性指标的仿射算法，涉及结构工程的可靠性分析及算法改进领域。主要包括如下步骤：建立结构功能函数；按常规仿射算法，将响应函数的区间输入变量转化成有单一噪声符号的仿射型；将表达式中含同一噪声元的相关表达项进行总体的仿射型变换并运算；计算出其最终返回值；代入功能函数，得非概率可靠性指标。相比于目前结构工程可靠性分析中常用的传统区间算法与仿射运算，本发明的算法能有效处理同一噪声元表达的多个相关项，有利于减少误差，在强非线性功能函数的可靠性指标运算中，能获得更紧凑，也更接近真实值的区间结果。用本发明计算多功能播种及浇水施肥机操作机构拉杆的非概率可靠性指标，计算精度得到大幅提升。
【专利说明】
一种求解结构工程的非概率可靠性指标的仿射算法
技术领域
[0001] 本发明涉及结构工程的分析计算领域，主要涉及一种更精确的求取非概率可靠性 指标计算方法。
【背景技术】
[0002] 在结构工程可靠性分析计算中，经常会用到区间模型非概率可靠性的度量指标， 传统方法中常用区间运算法和常规仿射算法求解区间模型非概率可靠性指标。
[0003] 当前，区间模型非概率可靠性指标的通用求法是基于以区间变量代替点变量进行 运算的区间数学，它可方便地处理数据的不确定性，自动记录计算机浮点数算术运算中产 生的截尾和舍入误差，确定函数的取值范围等，广泛应用于计算科学、工程、金融、企业管 理、交通等领域。然而其运算规则的不合理性以及完全忽略变量之间的相关性，致使运算结 果极易扩张和溢出。当功能函数非线性程度较高或嵌套较深时，还会引发误差爆炸，导致计 算结果丧失实用价值。为克服这些缺陷，已出现了区间截断法、区间有限元法以及子区间摄 动法等多种解决方法，但这些方法的处理过程相对繁琐、计算量大，且计算过程不够稳定， 使适用范围大受其限(计算流程图见图1)。
[0004] 仿射运算作为区间运算的一种改进，能考虑计算和输入数据的相关性，并将这种 相关性自动记录且应用于独立计算中，加之运算规则具有优化性质，也更加稳定，因而能获 得更窄更精确的区间结果，这在长计算链中优势更加明显，已广泛应用于人工智能系统分 析、系统稳定性分析、电路响应界分析及计算机图形学。然而它乘除运算采用近似逼近;不 能考虑同一噪声元表达的一次、二次、乃至多次项间的相关性，存在计算误差(计算流程图 见图2)。
[0005] (1)区间运算法或常规仿射算法求取区间模型非概率可靠性指标的方式
[0006] 设1 = …,.v,,) (t,. e.v/ 为与结构响应有关的区间输入向量。考虑 到结构对输入参数的响应，设结构响应的许用区间为：
[0007] yGyiG[yi)yU] (1)
[0008] 再设结构的响应函数为：
[0009] f(x)=f(xi,X2,-",Xn) (2)
[0010] 则结构的功能函数为：
[0011] M = g(x,y)=y-f(x)=y-f(xi,X2,---,Xn) (3)
[0012] 当f (xi,X2,…，xn)为Xi(i = 1,2 ,…，n)的连续函数时，M、f (x)必然也为一区间变 量，区间运算法是直接将区间变量带入上式，根据标准区间运算法则计算出M、f(x)，设M'M1 和f'f1分别是M与f(x)的上下界，则区间模型非概率可靠性指标可定义为：
(4)
[0014]式中：yc = (yu+y1) /2，yr = (yu-y1) /2，fc = (P+f1) /2，fr = (M1) /2，Mc = (IT+M1) /2 =ye-r，if = (MU-M1) /2 =严+f ^，分别称为对应区间的中心和半径。
[0015] 而常规仿射算法则是先计算出响应函数的区间输入变量xl~Xn的中点 (^ + 〇 / 2 (;' = 1,2,…,rt >,将其作为相应仿射型的中心值，即令：
[0016] xk={x\+xll)l2 (/' = 1,2,???,?) (5)
[0017]将幻~知的区间半径值作为单一噪声符号ei(eie[-l，l])的系数，即：
[0018] ^.-(xf-x；)/2 (r-1,2,?,?) (6)
[0019 ]至此，就将X1~Xn转化成n个拥有单一噪声符号的仿射型：
(r= (7)
[0021] 用上式替代式(2)中对应的区间变量Xi(i = l，2,…，n)，就可将响应函数(也是区 间函数)f (X ) = f ( XI，X2，…，Xn)转化成仿射形式。利用仿射运算规则可计算出其最终返回值 /_(0,设最终返回值为：
[0022] /(i)二/〇 十/力+/2ff2+?? + /,(B)
[0023] 式中e2~et+1是根据需要在计算过程中引入的t个新的噪声符号。
[0024] 计算出/(幻的上下限，即：
[0025] fu = f〇+ | fi | + | f2 h 1-1 ft+i (9)
[0026] ^ = --|ft+i| (10)
[0027] 同理，可计算出结构响应的许用区间的上下界y'y1。将它们代入式(4)，便可得非 概率可靠性指标：
(11)
【发明内容】
[0030] 本发明的目的是提供了一种求解结构工程的非概率可靠性指标的改进型仿射算 法，是一种求取非概率可靠性指标的新方法，能提高机械机构分析计算中的计算精度。
[0031] 本发明是通过以下技术方案实现的。
[0032] 当仿射运算中出现多个含同一噪声元的表达项时，借助区间算法或张量运算确定 仿射运算中同一噪声元表达的一次、二次、乃至多次项总体取值的上下界对仿射运算进行 改进，然后基于上下界信息，引入新的噪声符号，将这些相关项进行总体的仿射型变换并运 算。本发明能较好地考虑了同一噪声元表达的一次、二次、乃至多次项间的相关性，提高了 计算精度。
[0033]本发明的步骤如下：
[0034] 步骤1:建立结构功能函数:1 = 8(叉，7)=7-;^叉）=7-;^叉142，"，叉11);
[0035] 步骤2:按常规仿射算法，将响应函数的区间输入变量^~知转化成n个拥有单一噪 声符号的仿射型：
，从而将响应函数f (x)=f (X1， X2，…，Xn)转化成仿射形式；
[0037] 步骤3:当代入运算过程中响应函数表达式中出现多个含同一噪声元的表达项时， 先利用区间算法或张量运算确定相关项总体取值的上下界，然后基于上下界信息，引入新 的噪声符号，将这些相关项进行总体的仿射型变换并运算；
[0038] 步骤4:利用仿射运算规则可计算出其最终返回值/(幻=/〇 + M + /A +…+ ， 式中e2~es+1是根据需要在计算过程中引入的s个新的噪声符号；
[0039] 步骤5:与常规仿射算法一致，计算出/(.{-)的上下界f'f1及其中心与半径r，f%同 理计算出结构响应的许用区间的上下界y'y 1及其中心与半径再代入功能函数，得非 概率可靠性指标：
(12)
[0041] 本发明所述的步骤3中，与常规仿射算法不同。常规仿射算法没有考虑以同一噪声 元表达的多个项目之间的相关性，使得传统的仿射算法不可避免地存在误差。本发明是借 助区间算法或张量运算确定上下界对仿射运算进行改进，当运算中出现多个含同一噪声元 的表达项时，先利用区间算法或张量运算确定相关项总体取值的上下界，因噪声符号取值 均在[_1，1]，故上下界的确定，简单可行。
[0042] 本发明所述的步骤3和步骤4中，是基于区间上下界信息，引入新的噪声符号，将这 些相关项进行总体的仿射型变换并运算。显然改进后的算法能有效处理同一噪声元表达的 多个相关项，有利于减少误差，应用于具有复杂非线性的显式功能函数的区间模型的非概 率可靠性指标的计算，能获得更紧凑，也更接近真实值的区间结果。
[0043] 以多元二次项的张量计算为例：
[0047] 式中，hc^hu+hS/^hr^hU-h1)/^，^ 为新引入的噪声。
[0048] 这种对二次相关项的处理方式，也适宜推广至多次项及非线性项的处理。
[0049] 张量形式的同一噪声元表达的多个相关项上下界确定方法如下：
[0050] ①确定三元区间多项式上下界 [0051 ] 设三元区间多项式：
(13)
[0053]令X=(l，x，"_，xn)，Y= (1，y,…，ym)，Z= (1，z,…j1)，Aijk为张量系数。贝1J式（13) 改写为张量积形式：
[0054] /(x, y,z) =X?x (Z?z A) <S)Y Y (14)
[0055] 将区间41，，]、[71，711]及[ 21，']转化成单一噪声符号的仿射型：
[0056] x = x0 + x^v, y = y0 + yxsy, z = z0+ z^r 115)
[0057] 式中。，4，￡2￡[-1，1]是三个相互独立的噪声，其中：
[0059]定义噪声幂矢量￡\=(1，￡\^"，￡/)，￡7=(1，￡7^"，￡7111)1'，￡ 2=(1，￡2，."，￡21)及矩 阵：
[0063]再定义新张量G，且令(7 =队]=5?,.. (D%⑷馬:C ,又因为X=exB，Y = Cey及Z = e ZD，则f(x，y，z)的仿射形式(或称仿射函数)可记作： (16) (17) (18)
(19)
[0065]则f(x，y，z)的上下界分别如下：
[0068]②确定二元区间多项式上下界
'可记为： (22) (24)
[0071 ]设xG [x^x11]，y G [y1，；/1]，ex和ey是噪声元，e x, eyG [-1，1]。令xo= (xU+xh/^xi: (xU-x1) /2; yo = (yu+y1) /2，y l = (yu_y1) /2。将x和y转换为仿射型：[0072] ^=x0+^￡；y , y = y〇+}\￡y (23:)[0073]定义噪声元幂向量文=cu.,d.y)和令m,及矩阵b和c为：
(25)
[0076]令矩阵D = BAC，则f (x, y)的等价仿射函数为： n m
[0077] /(.i；0 = XDY = 2Z^/ 26、 1-0 ^/--O
[0078] 如果i和j都是偶数，则?￡[0，1],否则6?[-1,1]。则/(无分的上界严和下界卢可 由下式求得：
[0081] ③确定一元区间多项式上下界
[0082] 令式(22)中的X=(l，l，l2,…，ln)，则式(22)就成为一元区间多项式： n m.
[0083] (29) JH)
[0084] 相应地，x的仿射型就变成i = +XA =l + 〇4，即x〇= 1，Xl = 〇; 保持不变。
[0085] 此时，式(16)、（17)和(18)中的B变形为： r .j f- 〇
[0086] B=忍"=! (/ = 1,2,?*?,/?; / = 1,2,?*?,/;?) (30)
[0 otherwise
[0087] C 保持不变 D4D=[Dij]=BACjIJ
[0088] D = BAe= Df ljO0 7l' 而―〇 (Z-九2'…'' (31)
[Q, olhorwisc
[0089] 则f(y)的上界fu和下界f1可由下式求得 ^ |max(0,D( ). if/ is even] _ n+Z n . . 02) 7T [ D{>/ , otherwise | , | min((),D ), if / is even I
[0091] /=A?+S n H - 〇3* - D6j , otherwise
[0092] 本发明结合了区间运算、张量运算与仿射运算的优点，针对常规的仿射运算没能 考虑同一噪声元表达的一次项、二次项、乃至多次项、非线性项之间相关性的改进算法，这 些特点决定了本发明的计算精度优势。计算流程见图3。
[0093]因此应用于复杂非线性显式功能函数区间模型的非概率可靠性指标计算时，本发 明计算结果的精确度不但优于区间运算法，也同样优于常规的仿射运算（见具体实施方 式)。
【附图说明】
[0094]图1为区间运算法求取区间模型非概率可靠性指标计算流程图。
[0095]图2为常规仿射算法求取区间模型非概率可靠性指标计算流程图。
[0096]图3为本发明求取区间模型非概率可靠性指标计算流程图。
[0097]图4为本发明拉杆结构。
【具体实施方式】
[0098] 本发明将通过以下实施例作进一步说明。本发明涉及了一种更精确的求取结构工 程中非概率可靠性指标的新方法，与传统的区间运算法和常规的仿射运算方法相比可大大 提高计算精度。
[0099] 某多功能播种及浇水施肥机操作机构的拉杆为受拉压载荷作用的管形截面构件， 如图 3所示。载荷!?￡[167.4，172.6]1^，管形截面的外径(11￡[34.825,35.175]111111，内径(1 0 = 0.7di+0.5mm，材料的拉伸强度值y G [389,411 ]MPa。试计算此拉杆的非概率可靠性指标。
[0100] 功能函数为：
[0101] M = y-f (34)
[0102]该拉杆的拉应力与以上所有参数的函数关系为：
(35)
[0104] (1)标准区间算法：
[0105]将区间变量F、cU和do的取值区间直接代入式（35)，得拉杆的拉应力f的区间表达 式：
[0107]故fc = 360.84105640551854，fr = 9. 11。再将它们 代入式(4)，得非概率可靠性指标的标准区间算法值：
(37)
[0109] (2)本发明的改进仿射算法：
[0110] ①区间运算定界的改进仿射法
[0111]因载荷与拉杆截面外径相互独立，故可据将F和cU分别转化成为拥有独立噪声符 号的仿射型，即声=170 + 2.6今和4 = 35 + 0.175ff2。将二者代入式(35)，得：
[0113] 因e2 g [-1，1 ]自身完全相关，故上式中的分母部分0.049067750258256# + 19.242255003237482^ + 1884.955592153876 ： 0.049067750258256 -19.242255003237482 i-1884.9555921 53876 <
[0114] 0.049067750258256/;; +19.242255003237482^ + 1884.955592153876 < 0.049067750258256 +19.242255003237482 +1884.955592153876
[0115] 艮p: r n 1865,762404900897 <； ().()4()〇6775025825(v;；: +19,242255003237482￡-, +
[0116] - 2 (39) 1884.955592153876 < 1904.246914907372
[0117] 故可引入新噪声符号e3 G [-1,1 ]的仿射型 1885.004659904134+19.242255003237460 e3替代之，得：
(40)
[0119]设分母部分的上下界为[a, b]，则a= 1865.762404900897，b = 1904.246914907372。 设
[0120] a = -l/b2 = _2.7577410174875X10-7，
[0121] | = (a+b-a2ba-ab2a)/(2ab) =0 ? 001050393420806，
[0122] S = (a-b+a2ba-ab2a)/(2ab) =_1 ? 094558727055978 X 10-7，
[0123] 根据倒数运算的仿射逼近，则
[0126] 因 ei，e3，￡4G [-1，1]，且相互独立，但￡03与￡^￡3相关，￡04与￡1、￡4相关，￡1￡3、￡1￡4 均与￡1相关，则有：
[0127] 0.360779408671212 - 0.005517802720854 - 0.003608430600614 -7.442999343980651x 10 5 + 5.5187762 i 2703728 x i 0 5 +!.138341076138217 x 10 6 (43) < / < 0.360779408671212 + 0.005517S02720854 -f 0.003608430600614 -f 7.442999343980651 x 10 5.518776212703728 x 10 ' +1.138341076138217 x i 0 6
[0128] 艮p:
[0129] 0.351635071459507^f ^0.370036398089323 (44)
[0130] 可得 fG [^，严]=[0? 351635071459507,0.370036398089323]，单位 GPa，fc = 0.360835734774415，= 0.009200663314908，再将它们代入式（11 )，得拉杆非概率可靠性 指标的本文的改进仿射算法值n:
(45)
[0132] ②张量运算定界的改进仿射法
[0133] 将功能函数转化为仿射型的运算过程与本文提出的区间运算定界改进仿射法相 同。故通过将区间变量转化为仿射型后代入式(35)，得到与式(38)的结果，即：
[0135] 式(46)的分母0.04906775025S256K + 卜).242255003237482a中，均含同一噪声符号e2。因 ￡2 G [-1，1 ]，为尽可能避免运算产生区间扩张，考虑到￡2与4相关，故将 与19.242255003237482￡2的项一起进行新的仿射型替换，借助张量运算对它们确定上下 界，张量运算可以多项式进行运算，故一起将常数项1884.955592153876放在一个多项式中 考虑，即张量计算：
[0136] ().049()6775()258256i\: + 19.242255003237482^ + ] 884.955592153876 (47 )
[0137] 将e2转换成为仿射型=气。因为式(47)为一元区间多项式，其张量运算 方法得矩阵D。
[0138] A的对角线元素 Aqq= 1884.955592153876、An = 19.242255003237482、A22 = 0.049067750258256，其余元素均等于0，则D的第一行元素如下：
[0139] Doo=Aoo ? 1 ? 1 ? 1+An ? 1 ? yo ? I+A22 ? 1 ? yo2 ? 1
[0140] Doi=An ? 1 ? 1 ? yi+A22 ? 2 ? yo ? yi
[0141] D〇2=A22 ? 1 ? 1 ? yi 2
[0142] 而D的其他元素均为0。
[0143]当e2g[-i，i]时，\ =〇、 i-, = l ^则得 19 ? 242255003237482以及D〇2 = 0 ? 049067750258256。据张量运算定界方法可得 0.0490677502582564 + 19.242255003237482& + 】884,955592153876 的上下界 U及 L分别为：
[0144] U = Doo+1D011 +max(0 ,D〇2)
[0145] =1884.955592153876+19.242255003237482+max(0,0.049067750258256) (48)
[0146] =1904.2472442922600
[0147] L = Doo_ | D011+min(0，D〇2)
[0148] =1884?955592153876-19?242255003237482+min(0，0?049067750258256) (49)
[0149] =1865.7136665355200
[0150] 故可引入新噪声符号e3的仿射型1884.9804554138900+19.2667888783667e 3代替 0.049067750258256g +19.242255003237482& +1884.955592 丨 53S76 0故，
(50)
[0152] 设分母部分的上下界为[a, b]，则a = 1865.7136665355200，b= 1904.2472442922600。 设
[0153] a = -l/b2 = _2.757740X10-7，
[0154] | = (a+b-a2ba-ab2a)/(2ab) =0.0010503935213，
[0155] S = (a-b+a2ba-ab2a)/(2ab) =-1 ? 097380 X 10-7，
[0156] 根据倒数运算的仿射逼近，则 (51)
[0158] 贝 lj，
[0159] f = (680+10.4ei) X (5.305649092 X 10-4-5.3132796 X 10-6e3-l. 09738 X 10-7e4)
[0160] =680 X 5 ? 305649092 X 10-4+10 ? 4 X 5 ? 305649092 X 10-4￡广
[0161 ] 680 X 5 ? 3132796 X 10-6e3-680 X 1 ? 09738 X 10-7e4-
[0162] 10.4X5.3132796X10_6eie3-10.4X1.09738X10 _7eie4 (52)
[0163] =0 ? 3607841382429+0 ? 0055178750555ei-
[0164] 0?0036130300997e3-7?46218344 X10-5e4-
[0165] 5.52581074X 10-heg-l ? 1412751 X 10-6￡邙4
[0166] 因￡1，￡3，￡4￡[-1，1]，且相互独立，但￡1￡3与￡1、￡ 3相关，￡1￡4与￡1、￡4相关，￡1￡3、￡ 1￡4 均与￡l相关，则有： 0.3607841382429 -0.0055178750555^, - 0.0036130300997 - r n 7.46218344 x 10 s +5.52581074x 10 s - 1,14 i 2751 x 10 ,、
[0167] (53) < / < 0.3607841382429 + 0.00551787505556, + 0.0036130300997 + 7.46218344x 10 5 + 5.52581074x 10 5 + 1.141275 1 x 10 6
[0168] 艮p:
[0169] 0.3516327280856^f ^0.3700460646151 (54)
[0170] 可得 fG = [0.3516327280856,0.3700460646151]，单位为 GPa，fc = 0.3608393963503，^ = 0.0092066682647再将它们代入式（11 )，得拉杆非概率可靠性指标 的本文的改进仿射算法值n:
(55)
[0172] (3)常规的仿射算法
[0173] 常规仿射算法的过程前半段与本文算法相同。故通过将区间变量转化为仿射型后 代入式(35)，得到与式(38)的结果。
[0174] 因 e2 G [-1，1 ]，故上式分母部分中的 0 S 0.0490677502582564 S 0.049067750258256， 故可引入新噪声符号￡3G [-1,1]的仿射型0.024533875129128+0.024533875129128e3替代 之。故分母部分可写为：
[0175] 19.242255003237482e2+0.024533875129128e 3+1884.980126029005
[0176] 故， ^56)
[0178] 若设分母部分的上下界为[a，b ]，则a = 1 8 6 5 . 7 1 3 3 3 7 1 5 0 6 3 8，b = 1904.246914907372。设：a = -l/b2 = _2.757812079050777 X 10-7，| = (a+b-a2ba-ab2c〇/ (2ab)=0.001050407239042，S = (a-b+a2ba-ab2a)/(2ab) = -l .097423199501504X 10-7。根 据倒数运算的仿射逼近，则：
[0180] 故，
[0181] f= (680+10 ? 4e〇 X (-5.306515589138206 X10-6e2-6.765807376151271 X 10-9e3-
[0182] 1.097380491199417 X10-7e4+5.305650019120432X10-4)
[0183] =〇?360784201300189+0.005517876019885ei-0.003608430600614e2- (58)
[0184] 4.600749015782865X10-6e3-7.462187340156033 X 10-5e4-5.518776212703734 X 10-5eie2-
[0185] 7.036439671197323 X 10-? 141275710847393 X 10-*^￡4
[0186] 因ei，e2，e3, e4G [-1，1]，式中含有二次项5.518776212703734 \10-5￡1￡2，-5.518776212703734X10- 5 彡-5.518776212703734 X 10-hies 彡 5.518776212703734 X 10-5， 故可引入新噪声符号￡5￡[-1，1]的仿射型5.518776212703734\10 4￡5替代之。同理二次项 7.036439671197323X10-kies引入新噪声符号e 6G [-1,1]的仿射型7.036439671197323 X 10 -8￡6 替代，1 ? 141275710847393 X 10-6eie4引入新噪声符号 e7G [-1，1]的仿射型 1 ? 141275710847393X 10-6e7 替代，得：
[0187] f = 〇. 360784201300189+0 ? 005517876019885ei-0.003608430600614e2-
[0188] 4.600749015782865X10-6e3-7.462187340156033 X 10-5e4-5.518776212703734 X 10-5e5- (59)
[0189] 7?036439671197323 X10-8e6-l?141275710847393 X10-6e7
[0190] 可得 fG [^，严]=[0.351522272655038,0.370046129945341 ]，单位 GPa，fc = 0.360784201300189，fr = 0.009261928645151再将它们代入式（12)，得非概率可靠性指标 的标准反间笪法倌
(60)
[0192] 经测算拉杆的拉应力f真实的响应区间是[0.351635071459507,0.370036398089322] MPa。即：fc = 360.835734774415，fr = 9.200663314908。代入式(4)，计算拉杆的非概率可靠性 指标的真实值为:％隱=3.060155397972450。
[0193]表1本发明方法和其他方法的求解结果
[0195] 从表1可以看出，区间运算的结果误差存在较大误差，且其计算的可靠性指标小于真实 值n?E，即区间运算的可靠性指标值结果偏于保守，其原因在于在计算;r(0.5 - 0.74 - 0.25) 时，标准区间运算体现不出名与山的相关性。
[0196] 而常规的仿射运算，相对区间运算而言误差更小，其计算的可靠性指标值略大于 %RUE，结果偏乐观。本发明的方法对常规的仿射运算进行了改进，可有效处理同一噪声元表 达的一次项、二次项、乃至多次项间的相关性，张量运算定界改进仿射法可靠性指标值计算 误差仅0.039046%，而区间运算定界的改进仿射法可靠性指标值计算误差趋近于0。上表足 以证明本发明的优势所在。
【主权项】
1. 一种求解结构工程的非概率可靠性指标的仿射算法，其特征是按以下步骤： 步骤1:建立结构功能函数:1=8(叉，7)=7_;^叉）=7-;^叉142，"，叉 11); 步骤2:将响应函数的区间输入变量X1~Xn转化成η个拥有单一噪声符号的仿射型：从而将口向应函数f(X)=f(Xl，X2，···，xn) 转化成仿射形式； 步骤3:当代入运算过程中响应函数表达式中出现多个含同一噪声元的表达项时，先利 用区间算法或张量运算确定相关项总体取值的上下界，然后基于上下界信息，引入新的噪 声符号，将这些相关项进行总体的仿射型变换并运算； 步骤4:利用仿射运算规则可计算出其最终返回值/G) =/。+ /内+/2〃2 +…+ Λ+1&+1， 式中e2~es+1是根据需要在计算过程中引入的s个新的噪声符号； 步骤5:与常规仿射算法一致，计算出/(i)的上下界f'f1及其中心与半径Γ，产，同理计 算出结构响应的许用区间的上下界y'y1及其中心与半径y%/;再代入功能函数，得非概率 可靠性指标：
【文档编号】G06F17/50GK105893698SQ201610260009
【公开日】2016年8月24日
【申请日】2016年4月25日
【发明人】汤兆平, 汤子悦, 孙剑萍, 胡瑜涛, 耿彪, 王俊鹏
【申请人】华东交通大学