一种非线性宽频压电能量俘获系统建模及参数辨识的方法
【专利摘要】一种非线性宽频压电能量俘获系统建模及参数辨识的方法，首先辨识得到线性压电振动能量俘获系统模型，计算出质量、刚度和阻尼；然后采用从线性压电能量俘获系统中分离出的速度?电压子系统计算出机电耦合系数；最后，采用多项式拟合非线性宽频压电振动能量俘获系统中的非线性回复力，并且在辨识非线性宽频压电能量俘获系统模型时将其作为系统输入，辨识得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程后，利用其频响函数计算得到非线性回复力，完成了对非线性宽频压电振动能量俘获系统的建模及参数辨识，本发明建立了能够准确预测宽频压电能量俘获系统的输出特性的模型，并利用该模型计算出系统各项参数和非线性回复力。
【专利说明】
一种非线性宽频压电能量俘获系统建模及参数辨识的方法
技术领域
[0001] 本发明属于压电振动能量俘获建模技术领域，具体涉及一种非线性宽频压电能量 俘获系统建模及参数辨识的方法。
【背景技术】
[0002] 通常把获取周围环境中能量并转化为可利用能量的过程叫做能量俘获，能量俘获 技术具有巨大的应用前景。目前，能量俘获技术的种类很多，有太阳能发电、风能发电、温差 发电、RF发电、人体发电、大气压差发电和振动发电等技术。相比于其他能量源，振动能量相 对稳定且广泛的存在，振动能量俘获的方法有电磁、静电、压电等三种。其中，电磁装置产生 的电压很低，幅值一般小于IV;静电俘获方法需要一个独立的电压源;压电振动能量俘获电 压幅值高且无须外接电源，同时具有比电磁和静电两种方法更高的实际能量密度，因此是 振动能量俘获中最为有效方法，非常适合为无线传感器供电。
[0003] 在压电振动能量俘获领域，悬臂梁式压电振动能量俘获系统具有能量密度高、装 置简单、易于实现等优点，是最受关注的压电能量俘获系统之一。然而，传统的线性悬臂梁 式压电振动能量俘获系统的有效频带过窄，与周围环境振动频率匹配差，俘获的能量严重 受限于周围环境的振动频率，因而俘获能量的效率较低，很多情况下并不能满足实际需求。 为了解决上述问题，目前主要有基于机械原理和引入磁场因素两大类方法来提高压电能量 俘获系统的有效频带，但这两种方法都将传统的线性压电振动能量俘获系统转化为非线性 宽频压电振动能量俘获系统。后者的精确建模非常困难，原因之一在于系统的磁场力的测 量比较困难。
【发明内容】
[0004] 为了克服上述现有技术的缺点，本发明的目的在于提供一种非线性宽频压电能量 俘获系统建模及参数辨识的方法，能够准确预测该系统的输出特性并能确定其各项参数及 磁场力。
[0005] 为了达到上述目的，本发明采取的技术方案为：
[0006] -种非线性宽频压电能量俘获系统建模及参数辨识的方法，包括以下步骤：
[0007] 1)根据哈密顿原理、压电理论、Rayleigh-Ritz原理、欧拉-伯努利梁理论、电场常 值分布理论和Rayleigh阻尼定理，推导得到线性压电振动能量俘获系统的动力学模型表达 式：
[0008]
[0009] 式（1)中，M为质量，Cv为阻尼，K为刚度，Θ为机电耦合系数，〇>为电容，R为负载电阻， F为外部激振力，r(t)是悬臂梁端部位移，v(t)是系统输出电压；
[0010] 2)引入磁场力Fm，将磁场力Fm代入式（1)，使得式(1)所表示的线性压电振动能量俘 获系统成为非线性宽频压电振动能量俘获系统：
[0011]
[0012] 式⑵中Kr⑴项所表示的线性回复力和磁场力Fm合并为非线性回复力Fr，式⑵成 为：
[0013]
[0014] 3)推导线性压电振动能量俘获系统理论上的连续时间状态空间方程;通过实验测 得线性压电振动能量俘获系统的输入、输出数据，采用PEM模型法辨识得到线性压电振动能 量俘获系统的离散时间状态空间方程，完成该系统的建模;建立线性压电振动能量俘获系 统辨识得到的离散时间状态空间方程和该系统理论上的连续时间状态空间方程的关系；
[0015] 步骤3)的具体推导过程为：
[0016] 3.1)取状态变量x = [r(/)印）V⑴f，输出变量y = r(t)，将式（1)转化为连续时 间状态空间方稈，下标1衷示线件压电振动能量俘获系统：
[0017]
[0018] 1234567 3.2)然后根据式(4)的输入输出数据格式要求，将实验测得线性压电振动能量俘 获系统的外部激振力F作为输入数据、以悬臂梁端部位移r(t)和电压v(t)为输出数据，采用 PEM模型法，辨识得到线性压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程： 2
[0020]
3 式(5)中人、春、?,为辨识得到的线性压电振动能量俘获系统的离散时间状态 空间方程的状态矩阵； 4 3.3)线性压电振动能量俘获系统的连续时间系统矩阵和离散时间系统矩阵以及 连续时间控制矩阵和离散时间控制矩阵的关系为： 5
[0023]
6 式(6)中，e是自然对数；At是采样时间；I是单位矩阵； 7 4)根据辨识出线性压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程求得该系统 频率响应函数的辨识值并与其理论值对比求得线性压电振动能量俘获系统的刚度K;
[0026]步骤4)的具体推导过程为：
[0027] 4.1)由理论上的连续时间状态空间方程(5)推导得到线性压电振动能量俘获系统 的频率响应函数的理论值为：
[0028] Ηι(ω)=〇ι(?ω I-Ai)_1Bi (7)
[0029] 当《=〇时式(7)成为：
[0030] Hi(O)=CM-Air1Bi (8)
[0031] 将步骤(3)中Αι、Βι和Ci的表达式代入式(8)得：
[0032]
[0033] 4.2)将式(6)代入式(8)得到当ω =〇时的线性压电振动能量俘获系统的频率响应 函数的辨识值：
[0034]
(10)
[0035] 对比式(9)和式(10)，便求得线性压电振动能量俘获系统的刚度Κ;
[0036] 5)对Ai进行特征值、特征向量分解，得到线性压电振动能量俘获系统的固有频率 ω和阻尼比ξ的理论值;运用的关系计算压电振动能量俘获系统的固有频率ω和阻 尼比ξ的辨识值;通过步骤4)步中求出的压电振动能量俘获系统的刚度Κ，能够求出线性压 电振动能量俘获系统的质量M和阻尼C v;
[0037]步骤5)的具体推导过程为：
[0038] 5.1)对Ai进行特征值、特征向量分解：
[0039]
[0040] 式中:λι是Ai的特征值;Φ是Ai的特征向量，特征值和特征向量的格式为：
[0041 ]
(12)
[0042] 式中：A1r为买部;λη为虚部;ihR为屯的实部;φ π为屯的虚部；
[0043] 5.2)根据式(6)推导出A1的特征值心和4的特征值為的关系为：
[0044]
M3)
[0045] 通过式(13)计算出六:的特征值A1;
[0046] 5.3)由特征值求得线性压电振动能量俘获系统的固有频率ω和阻尼比ξ的值：
[0049] 5.4)固有频率ω和阻尼比ξ的定义：
[0047] (14)
[0048]
[0050] (1Θ)
[0051 ] (17)
[0052]固有频率ω和阻尼比ξ在步骤5.3)中已经计算出来，又根据步骤4)计算出来的线 性压电振动能量俘获系统的刚度K就能够计算出线性压电振动能量俘获系统的质量M和阻 尼Cv;
[0053] 6)利用式（1)中第二个方程来构建一个速度-电压子系统，推导该子系统理论上的 连续时间状态空间方程，求得该子系统的频率响应函数的理论值;用PEM模型法辨识得到该 子系统的离散时间状态空间方程，求得该子系统的频率响应函数的辨识值，对比理论值得 到线性压电振动能量俘获系统的机电耦合系数的值；
[0054]步骤6)的具体推导过程为：
[0055] 6.1)将式(1)的第二个方程取出作为一个速度-电压子系统，并同时除以Cp得到：
[0056]
(丄8)
[0057] 6.2)取子系统的速度为输入变量，电压V (t)为输出变量，将式（18)化为速度-电压子系统的理论上的连续时间状态空间方程，下标s表示速度-电压子系统：
[0058]
[0059]
[0060] 6.3)从式（19)推导出速度-电压子系统的当圆频率ω=〇时的频率响应函数的理 论值：
[0061]
[0062] 6.4)然后根据步骤6.2)中的式（19)输入、输出数据格式要求，将实验测得的线性 压电振动能量俘获系统的速度/V)作为输入数据、电压v(t)作为输出数据，采用PEM模型法， 辨识得到速度-电压子系统的离散时间状态空间方程：
[0063]
(21)
[0064] 式（21)中又,、:良和仏为辨识得到的速度-电压子系统的离散时间状态空间方程 的状态矩阵；
[0065] 6.5)由式(21)求得速度-电压子系统的当圆频率ω = 〇时的频率响应函数的辨识 值：
[0066]
(22)
[0067]与式(20)对应，求得线性压电振动能量俘获系统的机电耦合系数；
[0068] 7)用悬臂梁端部位移r(t)的多项式拟合非线性回复力Fr:
[0069] Fr = p〇+pir(t)+p2r(t)2+. . .+pnr(t)n (23)
[0070] 式(3)中：PQ、P1…Pn为多项式系数；
[0071] 8)由非线性宽频压电振动能量俘获系统的动力学模型推导出该系统理论上的连 续时间状态空间方程，由此推导得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的频率响应函数的 理论值;采集非线性宽频压电振动能量俘获系统的输入输出数据，采用PEM法辨识得到非线 性宽频压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程，由此计算得到非线性宽频压电振 动能量俘获系统的频率响应函数的辨识值;对比非线性宽频压电振动能量俘获系统的理论 值和辨识值，计算得到拟合非线性回复力的多项式系数，从而得到非线性回复力的值； [0072]步骤8)的具体推导过程为：
[0073] 8.1)将非线性回复力作为非线性宽频压电振动能量俘获系统的输入，把式(3)中
[0077] 8.3)取输入变量为ue=[F -I -r(t)"-rn(t)]，输出变量为ye=[r(t) v(t)]为输 出，取状态变量为\ = ②吵）冲)f，下标e表示非线性宽频压电振动能量俘获系统，由 此将式(14)转化为状态空间方程： 的Fr移至等式右侧，并将式(23)代入式(3)得到：
[0074]
[0075]
[0076]
[0080] 8.4)由式(26)计算非线性宽频压电振动能量俘获系统的当ω =〇时的频率响应函数的理论值为：
[0078]
[0079]
[0081]
[0082] 8.5)对于非线性宽频压电振动能量俘获系统进行实验，测得该系统输入输出数 据，以式(26)要求的数据格式采用PEM模型法辨识得到非线性宽频压电振动能量俘获系统 的离散时间状态空间方程：
[0083]
[0084] Ae、0(和<是通过辨识得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的离散时间状 态空间方程的状态矩阵；
[0085] 8.6)通过辨识得到的离散状态空间方程计算得到非线性宽频压电振动能量俘获 系统的当ω =0时的频率响应函数的辨识值：
[0086]
(29)
[0087] 与式（27)对应，能够求出拟合非线性回复力的多项式的系数pQ、pr"pn，将其代入 式(4)计算得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的非线性回复力；
[0088] 9)通过步骤3)、4)给出了线性压电振动能量俘获系统的质量、刚度、阻尼和机电耦 合系数，由于磁场力的引入对这些参数影响不大，将这些参数作为对应的非线性宽频压电 振动能量俘获系统相应的参数;结合步骤5)给出了非线性宽频压电振动能量俘获系统的离 散时间状态空间方程和非线性回复力，完成了对非线性宽频压电振动能量俘获系统的建模 及参数辨识。
[0089] 本发明的有益效果为:本发明提出了计算线性压电振动能量俘获系统的质量、刚 度和阻尼的方法;提出将速度-电压取出作为一个子系统，建立该子系统模型，计算出线性 压电振动能量俘获系统的机电耦合系数，解决了以往模型中机电耦合系数难于计算的问 题;用多项式拟合非线性回复力，并将非线性回复力作为系统的输入，将整个非线性系统化 为伪线性系统，采用PEM模型法进行辨识，得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的离散时 间状态空间方程，并由该方程的频率响应函数直接计算出非线性回复力，解决了以往非线 性回复力难于确定的问题。
【附图说明】
[0090] 图1为实施例的宽频压电振动能量俘获系统的示意图。
[0091] 图2为实施例参数下宽频压电振动能量俘获系统的输出电压的测量值和辨识值的 对比。
[0092]图3为实施例参数下实测磁场力和辨识磁场力的对比。
【具体实施方式】
[0093]下面结合附图和实施例对本发明进行详细描述。
[0094]参照图1，实施例的宽频压电振动能量俘获系统包括悬臂梁，悬臂梁上端连接有压 电片，压电片和负载电阻R连接，悬臂梁下端设置有端部磁铁，悬臂梁的下方设有2个外部磁 铁，外部磁铁和端部磁铁配合。
[0095] -种非线性宽频压电能量俘获系统建模及参数辨识的方法，包括以下步骤：
[0096] 1)根据哈密顿原理、压电理论、Rayleigh-RitZ原理、欧拉-伯努利梁理论、电场常 值分布理论和Rayleigh阻尼定理，推导得到线性压电振动能量俘获系统的动力学模型表达 式：
[0097；
[0098]式（1)中，M为质量，Cv为阻尼，K为刚度，Θ为机电耦合系数，〇>为电容，R为负载电阻， F为外部激振力，r(t)是悬臂梁端部位移，v(t)是系统输出电压；
[0099] 2)引入磁场力Fm，将磁场力Fm代入式（1)，使得式(1)所表示的线性压电振动能量俘 获系统成为非线性宽频压电振动能量俘获系统：
[0100]
[0101] 式(2)中Kr(t)项所表示的线性回复力和磁场力?"都是和悬臂梁端部位移r(t)有 关，可以会你味1並雜柿同官士R·.=^
[0102]
[0103] 3)推导线性压电振动能量俘获系统理论上的连续时间状态空间方程;通过实验测 得线性压电振动能量俘获系统的输入、输出数据，采用PEM模型法辨识得到线性压电振动能 量俘获系统的离散时间状态空间方程，完成该系统的建模;建立线性压电振动能量俘获系 统辨识得到的离散时间状态空间方程和该系统理论上的连续时间状态空间方程的关系；
[0104] 步骤3)的具体推导过程为：
[0105] 3.1)取状态变量χ = [/·(0 /·(/) v(/)_f，输出变量y = r(t)，将式（1)转化为连续时 间状态空间方程，下标1表示线性压电振动能量俘获系统：
[0106]
[0107]
[0114] 4)根据辨识出线性压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程求得该系统 频率响应函数的辨识值并与其理论值对比求得线性压电振动能量俘获系统的刚度K;
[0115] 步骤4)的具体推导过程为：
[0116] 4.1)由理论上的连续时间状态空间方程(5)推导得到线性压电振动能量俘获系统 的频率响应函数的理论值为：
[0117] Ηι(ω)=〇ι(?ω I-Ai)_1Bi (7)
[0118] 当《=〇时式(7)成为：
[0119] Hi(O)=CM-Air1Bi (8)
[0120] 将步骤3)中Αι、Βι和Ci的表达式代入式(8)得：
[0121]
[0122] 4.2)将式(6)代入式(8)可得到当ω=〇时的线性压电振动能量俘获系统的频率响 应函数的辨识值：
[0123]
(1,0)
[0124] 对比式(9)和式（10)，便可求得线性压电振动能量俘获系统的刚度Κ，具体值见表 1;
[0125] 进行特征值、特征向量分解，得到线性压电振动能量俘获系统的固有频率 ω和阻尼比ξ的理论值;运用AjPl l的关系计算压电振动能量俘获系统的固有频率ω和阻 尼比ξ的辨识值;通过步骤4)中求出的压电振动能量俘获系统的刚度Κ，可以求出线性压电 振动能量俘获系统的质量M和阻尼C v;
[0126] 步骤5)的具体推导过程为：
[0127] 5.1)对Ai进行特征值、特征向量分解：
[0128] ΑιΦ = λιφ (11)
[0129] 式中:λι是Ai的特征值;Φ是Ai的特征向量，特征值和特征向量的格式为：
[0130]
[0131 ] 式中：A1r为\:的实部;λπ为\:的虚部;i])iR为屯的实部;为屯的虚部；
[0132] 5.2)根据式(6)可以推导出Ai的特征值心和^^的特征值i,的关系为：
[0133]
[0134] 通过式（13)可以计算出A1的特征值A1;
[0135] 5.3)由特征值可以求得线性压电振动能量俘获系统的固有频率ω和阻尼比ξ的 值：
[0136] (14)
[0137]
(15)
[0138] 5.4)固有频率ω和阻尼比ξ的定义：
[0139] (16)
[0140] Q7)
[0141] 固有频率ω和阻尼比ξ在5.3)中已经计算出来，又根据步骤4)计算出来的线性压 电振动能量俘获系统的刚度K就可计算出线性压电振动能量俘获系统的质量M和阻尼C v，具 体数值见表1;
[0142] 6)利用式（1)中第二个方程来构建一个速度-电压子系统，推导该子系统理论上的 连续时间状态空间方程，求得该子系统的频率响应函数的理论值;用PEM模型法辨识得到该 子系统的离散时间状态空间方程，求得该子系统的频率响应函数的辨识值，对比理论值得 到线性压电振动能量俘获系统的机电耦合系数Θ的值；
[0143] 步骤6)的具体推导过程为：
[0144] 6.1)将式(1)的第二个方程取出作为一个速度-电压子系统，并同时除以Cp得到：
[0145]
[0146] 6.2)取子系统的速度/·⑴为输入变量，电压V(t)为输出变量，将式（18)化为速度-电压子系统的理论上的连续时间状态空间方程，下标s表示速度-电压子系统：
[0147]
[0148]
[0149] 6.3)从式（19)可以推导出速度-电压子系统的当圆频率ω = 〇时的频率响应函数 的理论值：
[0150]
[0151] 6.4)然后根据步骤6.2)中的式（19)输入、输出数据格式要求，将实验测得的线性 压电振动能量俘获系统的速度<0作为输入数据、电压v(t)作为输出数据，采用PEM模型法， 辨识得到速度-电压子系统的离散时间状态空间方程：
[0152]
[0153] 式(21)中赢卩、：&^卩^为辨识得到的速度-电压子系统的离散时间状态空间方程 的状态矩阵；
[0154] 6.5)由式(21)可以求得速度-电压子系统的当圆频率ω = 〇时的频率响应函数的
辨识值：
[0155] (22)
[0156] 与式(21)对应，可求得线性压电振动能量俘获系统的机电耦合系数Θ，具体数值见 表1;
[0157] 7)用悬臂梁端部位移r(t)的七阶多项式拟合非线性回复力Fr:
[0158] Fr = p〇+pir(t)+p2r(t)2+. . .+p7r(t)7 (23)
[0159] 式(23)中：ρ〇、ρι···ρ7为多项式系数；
[0160] 8)由非线性宽频压电振动能量俘获系统的动力学模型推导出该系统理论上的连 续时间状态空间方程，由此推导得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的频率响应函数的 理论值;采集非线性宽频压电振动能量俘获系统的输入输出数据，采用PEM法辨识得到非线 性宽频压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程，由此计算得到非线性宽频压电振 动能量俘获系统的频率响应函数的辨识值;对比非线性宽频压电振动能量俘获系统的理论 值和辨识值，计算得到拟合非线性回复力的多项式系数，从而得到非线性回复力的值；
[0161 ]步骤8)的具体推导过程为：
[0162] 8.1)将非线性回复力作为非线性宽频压电振动能量俘获系统的输入，把式(3)中 的Fr移至等式右侧，并将式(23)代入式(3)可以得到：
[0166] 8.3)取输入变量为11(3=|^-1-1'(1:)-_-1'7(1:)]，输出变量为7 (3=[1'(1:)￥(1:)]为输 出，取状态变量为Xb =fKOv(i)f，下标e表示非线性宽频压电振动能量俘获系统，由 此将式(14)转化为状态空间方程：
[0169] 8.4)由式(26)计算非线性宽频压电振动能量俘获系统的当ω=〇时的频率响应函 数的理论值为：
[0167]
[0168]
[0170]
[0171] 8.5)对于非线性宽频压电振动能量俘获系统进行实验，测得该系统输入输出数 据，以式(26)要求的数据格式采用PEM模型法辨识得到非线性宽频压电振动能量俘获系统 的离散时间状态空间方程：
[0172]
[0173] 、氣和<^是通过辨识得到宽频压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间 方程的状态矩阵，辨识得到的宽频压电振动能量俘获系统的输出和该系统的真实输出的对 比，如图2所示，从图中可以看出拟合精度高达85%以上，说明了该辨识方法的准确性；
[0174] 8.6)通过辨识得到的离散状态空间方程计算得到非线性宽频压电振动能量俘获 系统的^ 1^、= =n R计的揣?志α?命涵撒的(61料只值;：
[0175] (29)
[0176] 与式(27)对应，能够求出拟合非线性回复力的多项式的系数?〇、？1"_?7，将其代入 式(23)可计算得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的非线性回复力，如图3所示，从图中 可以看出非线性回复力的辨识值和实测值相似度极高，满足一般仿真和计算需要；
[0177] 9)通过步骤3)、4)给出了线性压电振动能量俘获系统的质量、刚度、阻尼和机电耦 合系数，由于磁场力的引入对这些参数影响不大，可以将这些参数作为对应的非线性宽频 压电振动能量俘获系统相应的参数;结合步骤5)给出了非线性宽频压电振动能量俘获系统 的离散时间状态空间方程和非线性回复力，完成了对非线性宽频压电振动能量俘获系统的 建模及参数辨识。
[0178] 表1各参数辨识值
L0180」上述结果表明，本友明提出的建模和参数辨识万法扣以准确描述非线性宽频带压 电能量俘获系统的动力学特性，并能准确的计算出理论模型中的各项难于计算的参数以及 非线性回复力的值。
【主权项】
1. 一种非线性宽频压电能量俘获系统建模及参数辨识的方法，其特征在于，包括以下 步骤： 1) 根据哈密顿原理、压电理论、Rayleigh-Ritz原理、欧拉-伯努利梁理论、电场常值分 布理论和Rayleigh阻尼定理，推导得到线性压电振动能量俘获系统的动力学模型表达式：式（1)中，M为质量，Cv为阻尼，K为刚度，0为机电耦合系数，〇>为电容，R为负载电阻，F为 外部激振力，r(t)是悬臂梁端部位移，v(t)是系统输出电压； 2) 引入磁场力Fm，将磁场力Fm代入式（1)，使得式（1)所表示的线性压电振动能量俘获系 统成为非线性宽频压电振动能量俘获系统：式⑵中Kr(t)项所表示的线性回复力和磁场力Fm合并为非线性回复力Fr，式(2)成为：3) 推导线性压电振动能量俘获系统理论上的连续时间状态空间方程;通过实验测得线 性压电振动能量俘获系统的输入、输出数据，采用PEM模型法辨识得到线性压电振动能量俘 获系统的离散时间状态空间方程，完成该系统的建模;建立线性压电振动能量俘获系统辨 识得到的离散时间状态空间方程和该系统理论上的连续时间状态空间方程的关系； 步骤3)的具体推导过程为： 3.1) 取状态变量x =卜⑴阶）t(/)y，输出变量y = r(t)，将式（1)转化为连续时间状 态空间方程，下标1表示线性压电振动能量俘获系统：3.2) 然后根据式(4)的输入输出数据格式要求，将实验测得线性压电振动能量俘获系 统的外部激振力F作为输入数据、以悬臂梁端部位移r(t)和电压v(t)为输出数据，采用PEM 模型法，辨识得到线性压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程：式(5)中又,、&为辨识得到的线性压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间 方程的状态矩阵； 3.3)线性压电振动能量俘获系统的连续时间系统矩阵和离散时间系统矩阵以及连续 时间控制矩阵和离散时间控制矩阵的关系为：式(6)中，e是自然对数；A t是采样时间；I是单位矩阵； 4) 根据辨识出线性压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程求得该系统频率 响应函数的辨识值并与其理论值对比求得线性压电振动能量俘获系统的刚度K; 步骤4)的具体推导过程为： 4.1) 由理论上的连续时间状态空间方程(5)推导得到线性压电振动能量俘获系统的频 率响应函数的理论值为： Hi(?)=Ci(i?I-Ai)-% (7) 当《 =0时式(7)成为： Hi(0)=Ci(-Ai)-% (8) 将步骤(3)中M的表达式代入式(8)得：4.2) 将式(6)代入式(8)得到当《=〇时的线性压电振动能量俘获系统的频率响应函数 的辨识值： (10) 对比式(9)和式(10)，便求得线性压电振动能量俘获系统的刚度K; 5) 对&进行特征值、特征向量分解，得到线性压电振动能量俘获系统的固有频率co和阻 尼比I的理论值;运用&和&的关系计算压电振动能量俘获系统的固有频率《和阻尼比|的 辨识值;通过步骤4)步中求出的压电振动能量俘获系统的刚度K，能够求出线性压电振动能 量俘获系统的质量M和阻尼C v; 步骤5)的具体推导过程为： 5.1) 对Ai进行特征值、特征向量分解： Aiit =入戍(11) 式中Ai是Ai的特征值;也是Ai的特征向量，特征值和特征向量的格式为：式中Air为h的实部;hi为h的虚部;i^r为队的实部;屯1为队的虚部； 5.2) 根据式(6)推导出&的特征值心和人的特征值爲的关系为：通过式(13)计算出Ai的特征值Ai; 5.3) 由特征值求得线性压电振动能量俘获系统的固有频率co和阻尼比|的值：5.4) 固有频率co和阻尼比|的定义：固有频率《和阻尼比|在步骤5.3)中已经计算出来，又根据步骤4)计算出来的线性压 电振动能量俘获系统的刚度K就能够计算出线性压电振动能量俘获系统的质量M和阻尼Cv; 6)利用式（1)中第二个方程来构建一个速度-电压子系统，推导该子系统理论上的连续 时间状态空间方程，求得该子系统的频率响应函数的理论值;用PEM模型法辨识得到该子系 统的离散时间状态空间方程，求得该子系统的频率响应函数的辨识值，对比理论值得到线 性压电振动能量俘获系统的机电耦合系数的值； 步骤6)的具体推导过程为： 6.1) 将式(1)的第二个方程取出作为一个速度-电压子系统，并同时除以CP得到：6.2) 取子系统的速度6的为输入变量，电压v(t)为输出变量，将式（18)化为速度-电压 子系统的理论上的连续时间状态空间方程，下标s表示速度-电压子系统：6.3) 从式(19)推导出速度-电压子系统的当圆频率《= 0时的频率响应函数的理论值： Hs(O)=Cs(-As)_1Bs = -R0 (20) 6.4) 然后根据步骤6.2)中的式（19)输入、输出数据格式要求，将实验测得的线性压电 振动能量俘获系统的速度纟(0作为输入数据、电压v(t)作为输出数据，采用PEM模型法，辨识 得到速度-电压子系统的离散时间状态空间方程：式(21)中As、：民和^,为辨识得到的速度-电压子系统的离散时间状态空间方程的状 态矩阵； 6.5)由式(21)求得速度-电压子系统的当圆频率co = 〇时的频率响应函数的辨识值： // (〇) = C -I) (22) 与式(20)对应，求得线性压电振动能量俘获系统的机电耦合系数； 7) 用悬臂梁端部位移r(t)的多项式拟合非线性回复力Fr: Fr = p〇+pir(t)+p2r(t)2+. . .+pnr(t)n (23) 式(3)中：p〇、pr"pn为多项式系数； 8) 由非线性宽频压电振动能量俘获系统的动力学模型推导出该系统理论上的连续时 间状态空间方程，由此推导得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的频率响应函数的理论 值;采集非线性宽频压电振动能量俘获系统的输入输出数据，采用PEM法辨识得到非线性宽 频压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间方程，由此计算得到非线性宽频压电振动能 量俘获系统的频率响应函数的辨识值;对比非线性宽频压电振动能量俘获系统的理论值和 辨识值，计算得到拟合非线性回复力的多项式系数，从而得到非线性回复力的值； 步骤8)的具体推导过程为： 8.1) 将非线性回复力作为非线性宽频压电振动能量俘获系统的输入，把式(3)中的Fr移 至等式右侧，并将式(23)代入式(3)得到：8.2) 在辨识过程中，会产生一个伪线性刚度Kf，使得(24)成为：8.3) 取输入变量为11(5=|^-1-1'(1:)~-；1^(1:)]，输出变量为7(5=[1'(1:)￥(1:)]为输 出，取状态变量为X,,=卜⑴〖_(/) ，下标e表示非线性宽频压电振动能量俘获系统，由 此将式(14)转化为状态空间方程：8.4) 由式(26)计算非线性宽频压电振动能量俘获系统的当co =〇时的频率响应函数的 理论值为：8.5) 对于非线性宽频压电振动能量俘获系统进行实验，测得该系统输入输出数据，以 式(26)要求的数据格式采用PEM模型法辨识得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的离散 时间状态空间方程：&、先和<是通过辨识得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的离散时间状态空间 方程的状态矩阵； 8.6)通过辨识得到的离散状态空间方程计算得到非线性宽频压电振动能量俘获系统 的当0 =〇时的频率响应函数的辨识值：与式(27)对应，能够求出拟合非线性回复力的多项式的系数pQ、pr"pn，将其代入式(4) 计算得到非线性宽频压电振动能量俘获系统的非线性回复力； 9)通过步骤3)、4)给出了线性压电振动能量俘获系统的质量、刚度、阻尼和机电耦合系 数，由于磁场力的引入对这些参数影响不大，将这些参数作为对应的非线性宽频压电振动 能量俘获系统相应的参数;结合步骤5)给出了非线性宽频压电振动能量俘获系统的离散时 间状态空间方程和非线性回复力，完成了对非线性宽频压电振动能量俘获系统的建模及参 数辨识。
【文档编号】H02N2/18GK106055797SQ201610383439
【公开日】2016年10月26日
【申请日】2016年6月1日
【发明人】曹军义, 李丹, 蔡云龙
【申请人】西安交通大学