一种rs码频域快速译码方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于纠错码技术领域，尤其涉及一种RS(Reed Solomon)码频域快速译码方 法。
【背景技术】
[0002] 纠错码的编译码历史始于1948年香农发表的一篇著名论文。香农指出，只要一个 通信系统所要求的传信率R小于信道容量C，就有可能用纠错码为此信道设计一通信系统 使其输出差错概率为任意小。RS码是一种代数结构比较完美的一种纠错码，也是一类有很 强纠错能力的多进制BCH码，能纠正突发错误。RS码已广泛应用于⑶、DVD以及蓝光光盘 中，在数据传输中，它被用于DSL和WiMAX，在广播系统中DVB和ATSC中也有其应用。若将 码字看作是时间域或频率域上的信号，纠错码的译码可以分为基于有限域的傅里叶变换的 频域译码以及时域译码。在RS码频域译码中不需要求出错误位置和错误值，较其时域译码 方式译码复杂度低。因此，研究RS码的频域快速译码算法具有重要的意义。
[0003] 在GF (qm)域上的纠 t个错误的RS码，码参数n = qm_l关系如下：n = qm_l， k = n-2t，d = 2t+l，其中q表示素数（通常取2)，η表示码长，k表示信息段，d表示 最小码距，其接收多项式r (X)为r (X) = IV^r1X+." +rn Jn 1 (n = qm-l)，对接收多项式 r(x)进行频域译码。常规RS码频域译码处理包括下列步骤：（1)计算接收多项式r(x) 的傅里叶变换R(x)及系数R j，其中R(x) zR。+!^+···+!^，1，而R(x)的各傅里叶分量
其中α为GF(cf)的本原元；（2)计算错误位置多项式 σ (X)，其常用的为基于Berlekamp迭代算法求错误位置多项式σ (X) :RS码频域译码中 其2t (t为纠错个数）个伴随式分量Sl，S2，…，s2t等于R(X)的2t个谱分量R ^ R2，…，R2t， 由伴随式分量迭代求出错误位置多项式σ (X) = 〇Q+〇lX+…+ 〇vxv，其中V为实际错误 个数；(3)计算频域上错误多项式E(X) :RS码频域译码中的错误多项式e(x)的傅里叶 变换E(X)的2t个谱分量E1, E2，…，E2t等于R(X)的2t个谱分量R u R2，…，R2t，按式Ελ+? =-(σ !+ σ 2Ελ+? 2+..· + σ νΕλ+? v)，t+1 < λ < η-1- λ 计算谱分量 E2t+1至Ij E " 1;按式
计算谱分量Ε。; (4)计算频域译码V(x)的傅里叶逆变换， 输出译码结果。即根据公式V(X) =R(X)-E(X)计算频域译码V(x)，再计算其逆傅里叶变 换，即得译码的码字多项式，逆傅里叶变换算法类似于傅里叶变换算法，根据步骤（1) 采用的某种方法计算傅里叶逆变换，完成译码。
[0004] 在RS码的常规频域译码处理中，步骤（1)中求解接收多项式r(x)的傅里叶变换 RU)的计算量非常大，从而导致其译码的复杂度高，因此有必要对其进行改进，以降低现有 RS码的译码复杂度。
【发明内容】
[0005] 本发明的发明目的在于：对常规RS码频域译码进行改进，进而达到降低译码复杂 度的目的。本发明利用有限域特征通过合并同类项的方式实现有限域的傅里叶变换的快 速计算，并将该方法应用到RS码译码中。为了进一步降低译码的计算复杂度，本发明还将 Cooley-Tukey FFT算法和合并同类项方法相结合应用到RS译码中。
[0006] 本发明的RS码频域快速译码方法，包括下列步骤：
[0007] 步骤1 :计算码长η的接收多项式r(x) = IV^r1X+…+rn Jn \ (n = qm_l)的傅里叶 变换R(x)，R(x) = Ro+R1X+…+Rn Z S计算傅里叶变换R(x)可采用如下两种方法之一来完 成。
[0008] 方法1 :合并同类项法；
[0009] (1)将有限域6?(〇中的元素表示为{0}1^<11|0彡1^^-2}，( 1为本原元，根 据
计算非零元素集合中（Ct1IO彡i彡q m_2}各元素 α1的阶ord(a % 其中gcd〇表示求取最大公约数，将{a 1IO < i < qm_2}中的元素按照元素的阶划分集合， 阶相同的元素划分为一个子集合；
[0010] ⑵计算傅里叶分量Rj:
[0011] 设p = 〇rd( a D，对P辛η的各元素所对应的傅里叶分量（也称谱分量），采用合 并同类项法计算所对应的傅里叶分量民（1 e [0，qm-2]):
[0012] 假设阶为p的子集合的元素个数为K个，则对应该K个元素（1，a \ (a D2,… η ，（α T 4均有^组（1，α1，（α1)2，…（α1) 15 4循环，所以计算对应傅里叶分量民时可先提 取公因子。因为码长为n，f组循环，所以[r]可以合并^项，傅里叶分量R1可以根据公式
计算得到，其中阶系数
[0013] 当元素的阶为η时，相应的傅里叶分量R,则不能用上述算法计算得到，仍需按照 基本傅里叶变换公式
[0014] 方法2 :Cooley_Tukey FFT算法与合并同类项法相结合计算傅里叶变换；
[0015] Cooley-Tukey FFT 算法描述如下：
[0016] 分解码长n = Ii1 · n2，将接收多项式r (X)的系数r。，!T1，…rn i改组为：
?即将原系数巧(0彡i彡cf-2)的下标i改为（i'，i")，其中 i = i ' +riji " , i' = 0, 1，...，n「l，i " = 0, 1，...，n2_l ;
[0017] 对应上述改组，将傅里叶变换R(x)的傅里叶分量R。，R1，…Rn i改组为
，即将傅里叶分量R JO彡j彡qm-2)的下标j改为 (j'，j");其中 j = n2j' +j"，j' = 0, 1，…，n「l，j" = 0, 1，…，n2-l ;
[0018] 根据公式
计算与阶为n的元素 a ] (j e [0, qm-2)所对应的傅里叶变换分量R,，采用合并同类项法计算阶ρ辛η的各元素 所对应的傅里叶分量R1，对民、Rj而言，i辛j。在上述方法2中，即对于谱分量下标为元素 阶为η的真因子的域元素上标时，按照合并同类项法计算相应谱分量；对于谱分量下标为 元素阶为η本身的域元素上标时，按照Cooley-Tukey FFT算法计算相应谱分量。
[0019] 步骤2 :计算错误位置多项式σ (X)，如利用Berlekamp迭代算法求错误位置多项 式 〇 (X):
[0020] RS码频域译码中其2t(t为纠错个数）个伴随式分量S1, S2,…，S2t等于R(X)的 2t个谱分量RpR2,…，R 2t，由伴随式分量迭代求出错误位置多项式〇 (X) = σ。+O1X+… + σνχν，ν为实际错误个数。
[0021] 步骤3 :计算频域上错误多项式E(X);
[0022] RS码频域译码中其错误多项式e (X)的傅里叶变换E (X)的2t个谱分量E1, E2，… ，E2t等于R (X)的2t个谱分量R ^ R2，…，R2t;
[0023] 按式按式 Ελ+?=-( 〇 !+σ 2Ελ+? 2+…+ σ νΕλ+? v)，t+Ι < λ < η-1-λ 计算谱 分量 E2t+1ilj En 1;
[0024] 按式
计算谱分量Ε。。
[0025] 步骤4 :根据公式V (X) = R (X) -E (X)计算频域上译码V (X)，再对其计算其反傅里 叶变换，即得译码的码字多项式4 Y):逆傅里叶变换算法类似于傅里叶变换算法，根据步骤 1采用的方法1或方法2计算V(X)的傅里叶逆变换MO，完成译码。
[0026] 本发明公开了两种将有限域的快速傅里叶变换应用到RS码频域译码的方法， 均能达到降低译码复杂度的目的。以计算总乘法次数表示傅里