基于svd和omp的压缩传感信号恢复算法
【技术领域】
[0001] 本发明设及信号与信息系统技术领域，具体设及一种压缩传感信号恢复算法。
【背景技术】
[0002] 压缩传感是近年来极为热口的研究前沿，在若干应用领域中都引起瞩目。从字面 上看，压缩传感好像是一般的数据压缩，实际上并不是运样，我们知道，经典的数据压缩，无 论是数据压缩还是音频、视频压缩都是从数据本身出发，找出数据中隐含的冗余度进行压 缩。而新近引入的可压缩传感理论(Compressive Sensing, CS)提出了一个新的同步采样 与压缩信号的采集框架，可W用一个远低于Nyquist (奈奎斯特）的采样率实现信号的采 样与重建，并同时降低前端信号编码的复杂度。在满足某些条件的情况下，原始信号可W从 少量的线性测量集合中精确重构。在很多应用场合下可W通过低于Nyquist的采样，尤其当 我们数据捕获的数量受到限制时，此时测量是非常昂贵的或捕捉速度非常缓慢的，在运种 情况下，CS可W提供一种非常有前途的解决方案。在本质上，CS结合采样和压缩成一个步 骤，通过测量最少数目的样本包含有关信号的最大信息:运样就无需去获取和存储大量的 采样，且只是去丢弃其中的大多数相对较小的值。压缩传感已经开始应用在诸多不同的领 域，包括从图像处理到的地球物理数据采集等。运是因为大多数真实世界的信号固有的稀 疏性，如声音，图像，视频等。
[0003] 对于一维的信号tei^w=·^大部分情况下是冗余的。传统的思路是运用正交变换的 方法进行压缩，去除平中的相关性，只保留K个较大的分量。通过反变换，可W重建原始信 号。缺点是：1、为了获得更好的分辨率，采用间隔会很小，运样会导致原始信号长度变长，变 换过程耗时比较长。2、κ个需要保留的分量的位置因信号的不同而不同，需要分配多余的空 间存储运些位置。3、Κ个分量，一旦丢失几个，原始信号将会造成较大的损失。
[0004] 随着社会的发展，新方向压缩传感诞生了，成为信号处理领域的"Α big idea"。对 于信号Jte:与"M，我们可W找到它的Μ个线性测量，运里Φ的每一行可W 看作是一个传感器，它与信号相乘，拾取信号的部分信息。通过数学优化可W找出需要保留 的Κ个重要的分量，由运Κ个分量可W完美的重构X。压缩传感相比较于传统正交变换，优点 有：1、非自适应性，一开始就可W传输长度较短的信号;2、抗干扰，测量值S中丢失几项，仍 然可W很好的恢复原始信号。缺点：1、实际中，S的长度一般是重要分量的4倍，在数学理论 上更加严格;2、恢复原始信号的算法是一个ΝΡ问题。针对运个ΝΡ问题，我们一般采取的办法 是采用正交匹配算法，但是其缺点是信号不太稀疏时，信噪比和鲁棒性都比较低。
【发明内容】
[000引本发明要解决的技术问题在于克服现有技术存在的上述缺陷，提供一种基于SVD 和0ΜΡ的压缩传感信号恢复算法，其可W实现信号重建，且信噪比和鲁棒性明显提高。
[0006]本发明的基于SVD和0ΜΡ的压缩传感信号恢复算法，包括W下步骤： 1)获得测量矩阵F，测量值y，和信号稀疏度; 2)对测量矩阵F执行SVD分解； 步骤2)中对测量矩阵F执行SVD分解，指的是奇异值分解：即f ，要求U和V均为 正交矩阵。
[0007] 3)更新测量矩阵和测量值； 在现有技术中，所述的步骤2)的通常算法包括： 设正是一维信号，￥:€| *=^是一个正交稀疏变换矩阵，且：
(1) 如果向量J中只有必《W个非零元素，则通过测量矩阵￥ 并心采样车：
(2) 然而在上述步骤中，乂二FY表示感知矩阵，，因此(2)式中的线性方程组是 高度欠定的，通常情况下存在无穷多个解，因此还原的准确率比较低。
[000引而在本发明中，通过步骤2)，（2)式中的测量系统可W修改如下：
其中，撕是Af xM的对角方阵。
[0009] 通过矩阵操作的处理可W得到新的测量系统如下：
[0010] 因此，在步骤2)进行了 SVD分解后，有利于通过步骤3)更准确的找到采样信号。 [00川 4)初始化残差，索引集合； 步骤4)中，残差的初始化布==，索引集合L:0 =:稱，片=:1:。
[001引5)找到索引； 步骤5)中，找寻索引f t时，需要使得
[0013] 6)计算信号的新近似； 步骤6)计算信号的新近似； 令
，计算巧护";:j 张成空间的正交投影巧P，从而计算信 号的新近似
[0014] 7)更新残差； 步骤7)中，更新残差
[001引8)如果it <jST，那么返回步骤5)，否则输出信号的估计和索引集合Ljt ;完成信 号的重建。
[0016] 本发明是一种基于奇异值分解(Singular化lue Decomposition, SVD)的正交匹 配追臣宗（Singular Value Decomposition-Based Orthogonal Matching Pursuit, SVD- OMP)算法，将SVD和OMP算法相结合，使得在重建过程中对测量值与测量矩阵的要求更加符 合重建算法的要求，提高其重建性能。其基本的思想是先对获得的测量矩阵F执行SVD分解 从而更新测量矩阵，使得其在重建过程中的测量矩阵的行之间是两两正交的，即消除了测 量值之间的相关性。运样在测量数目没有达到信号稀疏度K理论倍数的情况下也能保证信 号的重建。
[0017] 本发明的技术优点体现在： A、使用本发明提供的算法对采集到的原始数据进行分析、计算后，可W完成信号的重 建。
[0018] B、原始信号可W从少量的线性测量集合中精确重构。
[0019] C、相比于传统的正交匹配算法(0MP)，本发明的算法在平均重建信噪比W及鲁棒 性方面都具有明显的优势。
[0020] D、可W有效地消除测量值之间的相关性。
【附图说明】
[0021 ]图1是本发明的基于SVD和0MP的压缩传感信号恢复算法的流程图； 图2是使用本发明算法和经典的0MP算法进行单次重建实验的比较图； 图3