基于近似平滑l0范数的压缩感知信号重构方法

基于近似平滑l0范数的压缩感知信号重构方法
【专利摘要】本发明公开了一种基于近似平滑L0范数的压缩感知信号重构方法。本发明利用最小二乘法对用修正牛顿法得到的重构信号向量进行优化，得到重构信号向量的精确值，实现信号的精确重构。本发明克服了现有技术的基于修正牛顿法的重构方法精度低的缺点和现有技术的基于正交匹配追踪的重构方法在处理海量数据时重构方法的复杂度高的缺点，使得本发明在处理海量数据时，重构精度高、复杂度低。
【专利说明】
基于近似平滑LO范数的压缩感知信号重构方法
技术领域
[0001] 本发明属于通信技术领域，更进一步设及无线通信信号处理技术领域中的基于近 似平滑LO范数的压缩感知信号重构方法。本发明在已知观测信号与观测矩阵的条件下，利 用最小二乘法对用修正牛顿法得到的重构信号向量进行优化，得到重构信号向量的精确 值，实现在高斯白噪声环境下对通信信号的精确重构。
【背景技术】
[0002] 压缩感知(Compressed Sensing,CS)能够W远低于奈奎斯特采样速率的速率对通 信信号进行采样，同时能够在不损失信息的条件下，采用复杂度低、收敛速度快、重构精度 高的重构方法完全重构信号，因此，研究压缩感知信号重构方法具有非常重要的意义。目 前，压缩感知信号重构方法主要有近似平滑LO范数类方法、贪婪类方法等方法。
[0003] W基于最速下降法为代表的近似平滑LO范数压缩感知信号重构方法是一种用平 滑的高斯函数逼近LO范数的压缩感知信号重构方法，该方法将压缩感知信号重构的问题转 化为求解平滑高斯函数的最优解问题，利用最速下降法迭代地求解平滑高斯函数的最优 解，实现信号重构。大量的研究发现，虽然该方法能够W很快的速度收敛到平滑高斯函数的 最优解，但是最速下降法相邻两次的迭代方向是正交的，整个迭代过程存在"银齿现象"，影 响重构方法的精度。
[0004] 赵瑞珍等人在其发表的论文"基于光滑LO范数和修正牛顿法的压缩感知重建算 法"（计算机辅助设计与图形学报，2012，￥〇1.24，齡.4.478-484)中提出了一种基于修正牛 顿法的压缩感知信号重构方法。该方法采用双曲正切函数逼近LO范数，将压缩感知的重构 问题转化为一个优化问题，采用修正牛顿法求解该优化问题，实现信号重构。该方法能够在 噪声环境下W很快的速度实现信号重构，但是，该方法存在的不足之处是，采用修正的牛顿 法求解优化问题时，只能得到近似估计解，重构信号方法精度太低。
[0005] 北京邮电大学拥有的专利技术"一种压缩感知信号的重构方法"（申请号 201210090845.5,申请日2012.03.30,授权号CN201210090845B，授权日 2014.10.22)中提出 了一种基于贪婪方法的压缩感知信号重构方法。该方法是根据观测信号与过完备原子集中 原子的匹配度对原子进行选择，然后将观测信号在所选择的原子上进行投影，得到相应的 系数，实现对通信信号的重构，该方法的优点是实现简单，它的过程可行性高，处理小规模 数据时复杂度低。但是，该方法仍然存在的不足之处是，每次迭代只能选择一个过完备原子 集中的原子，因此在处理海量数据时需要多次迭代才能完成信号的重构，重构方法的复杂 度高。

【发明内容】

[0006] 本发明的目的在于克服上述已有技术的不足，提供了一种基于近似平滑LO范数的 压缩感知信号重构方法，W降低压缩感知信号重构方法的复杂度，提高压缩感知信号重构 方法的重构精度，实现复杂度和重构精度两者之间的兼顾。
[0007]实现本发明的具体思路是:在已知观测信号与观测矩阵的条件下，利用最小二乘 法对用修正牛顿法经过^次迭代后得到的重构信号向量进行优化，得到重构信号向量的 精确值，实现压缩感知信号的精确重构，其中，M表示压缩感知处理所需的观测矩阵的行数。 [000引实现本发明的具体步骤如下：
[0009] (1)初始化：
[0010] 将信号重构的迭代次数i初始化为1，将修正牛顿方向的迭代次数j初始化为1;
[0011] (2)按照下式，计算重构信号向量的投影值：
[0012] q=(巫T巫）-1 巫Ty
[OOK]其中，Tl表示重构信号向量的投影值，巫表示MXN维的压缩感知处理所需的观巧魄 阵，T表示转置操作，y表示进行压缩感知处理后得到的MXl维的观测信号向量，M表示压缩 感知处理所需的观测矩阵的行数，N表示压缩感知处理所需的观测矩阵的列数，M、N为大于 等于1的正整数，M<N;
[0014] (3)赋值重构信号向量：
[0015] (3a)选取信号重构的当前迭代所需的近似平滑LO范数的参数；
[0016] (3b)将重构信号向量的投影值赋给NXl维的重构信号向量X;
[0017] (4)更新重构信号向量：
[0018] (4a)按照下式，计算当前迭代后的修正牛顿方向：
[0019]
[0020] 其中，cF表示当前迭代后的修正牛顿方向，j表示修正牛顿方向的当前迭代次数，O 表示当前迭代所需的近似平滑LO范数的参数，Xi表示NXl维的重构信号向量X中的第1个元 素，X康示N X 1维的重构信号向量X中的第2个元素，XN表示N X 1维的重构信号向量X中的第N 个元素，N表示N X 1维的重构信号向量X的行数，T表示转置操作；
[0021] (4b)将x+(P的值赋给NXl维的重构信号向量X，其中，d嗦示当前迭代后的修正牛 顿方向，j表示修正牛顿方向的当前迭代次数；
[0022] (5)按照下式，计算更新的重构信号向量的投影值：
[0023] q = x-巫T(巫巫T)-1(巫X-y)
[0024] 其中，Tl表示更新的重构信号向量的投影值，X表示NXl维的重构信号向量，T表示 转置操作，O表示MXN维的压缩感知处理所需的观测矩阵，M表示压缩感知处理所需的观测 矩阵的行数，N表示压缩感知处理所需的观测矩阵的列数，M、N为大于等于1的正整数，M<N， (? r嗦示矩阵求逆操作，y表示进行压缩感知处理后得到的MXl维的观测信号向量；
[0025] (6)更新修正牛顿方向的迭代次数：
[0026] 将修正牛顿方向的迭代次数j加1，得到修正牛顿方向的当前迭代次数；
[0027] (7)判断修正牛顿方向的当前迭代次数是否小于等于^，若是，则执行步骤(4)， 否则，执行步骤(8)，其中，M表示压缩感知处理所需的观测矩阵的行数，M为大于等于1的正 整数；
[0028] (8)更新信号重构的迭代次数：
[0029] 将信号重构的迭代次数i加 I，得到信号重构的当前迭代次数；
[0030] (9)判断信号重构的当前迭代次数是否小于等于7,若是，执行步骤(3)，否则，执行 步骤(10);
[0031] (10)优化重构信号向量的投影值；
[0032] (IOa)将重构信号向量的投影值乘WO.05,得到口限值；
[0033] (IOb)捜索重构信号向量的投影值中大于等于口限值的元素，将捜索到的所有元 素存入向量q;
[0034] (IOc)捜索向量q中的元素在重构信号向量的投影值中对应的行序号，将捜索到的 所有行序号存入向量1;
[0035] (IOd)捜索压缩感知处理所需的观测矩阵中，列序号等于向量1中的元素的列，将 捜索到的所有列组成一个投影矩阵运；
[0036] (IOe)采用最小二乘法，对重构信号向量的投影值进行优化，得到重构信号向量的 精确值杰；
[0037]
[003引其中，.它表示重构信号向量的精确值，运表示投影矩阵，（? r嗦示矩阵求逆操作， T表示转置操作，y表示进行压缩感知处理后得到的MX 1维的观测信号向量。
[0039] 本发明与现有技术相比具有W下优点：
[0040] 第一，由于本发明采用了最小二乘法对用修正牛顿法得到的重构信号向量进行优 化，得到重构信号向量的精确值，克服了现有技术采用修正的牛顿法求解优化问题时，只能 得到近似估计解，重构信号方法精度太低的缺点，使得本发明能够W较高的精度实现信号 重构。
[0041] 第二，由于本发明将修正牛顿方向的迭代次数由原来的M次减少到了^次，克服 了现有技术在处理海量数据时需要多次迭代才能完成信号的重构，重构方法的复杂度高的 缺点，使得本发明在处理海量数据时，复杂度低。
【附图说明】
[0042] 图1是本发明的流程图；
[0043] 图2是本发明与现有方法的仿真图。
【具体实施方式】
[0044] 下面结合附图对本发明做进一步的描述。
[0045] 参照附图1，本发明的具体步骤如下。
[0046] 步骤1，初始化。
[0047] 将信号重构的迭代次数i初始化为1，将修正牛顿方向的迭代次数j初始化为1;
[004引步骤2,按照下式，计算重构信号向量的投影值。
[0049] q=(巫T巫）-1 巫Ty
[0050] 其中，n表示重构信号向量的投影值，O表示MXN维的压缩感知处理所需的观测矩 阵，T表示转置操作，y表示进行压缩感知处理后得到的MXl维的观测信号向量，M表示压缩 感知处理所需的观测矩阵的行数，N表示压缩感知处理所需的观测矩阵的列数，M、N为大于 等于1的正整数，M<N。
[0化1] 步骤3,赋值重构信号向量。
[0052] 选取信号重构的当前迭代所需的近似平滑LO范数的参数，具体的实施步骤如下：
[0053] 按照信号重构的当前迭代次数i捜索递减序序a= [ 1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02， 0.0 l ]中与信号重构的当前迭代次数i对应的元素 ai。
[0054] 将元素 ai的值赋给信号重构的当前迭代所需的近似平滑LO范数的参数曰。
[0055] 将重构信号的投影值赋给NXl维的重构信号向量X。
[0056] 步骤4,更新重构信号向量。
[0057] 为了保证更新重构信号向量时的方向为下降方向，需要对牛顿方向进行修正，使 修正后的牛顿方向是下降方向，因此，在更新重构信号向量时，先要计算出修正牛顿方向。
[0058] 按照下式，计算当前迭代后的修正牛顿方向：
[0化9]
[0060] 其中，cF表示当前迭代后的修正牛顿方向，j表示修正牛顿方向的当前迭代次数，O 表示当前迭代所需的近似平滑LO范数的参数，Xn表示NXl维的重构信号向量X中的第n个元 素 ，n = l，2…N，N表示NXl维的重构信号向量x的行数，T表示转置操作。
[0061] 将x+(P的值赋给NXl维的重构信号向量X，其中，表示当前迭代后的修正牛顿方 向J表示修正牛顿方向的当前迭代次数。
[0062] 击聰G肤昭了才A管甫祐的重构信号向量的投影值。
[0063]
[0064] 其中，Tl表示更新的重构信号向量的投影值，X表示NXl维的重构信号向量，T表示 转置操作，O表示MXN维的压缩感知处理所需的观测矩阵，M表示压缩感知处理所需的观测 矩阵的行数，N表示压缩感知处理所需的观测矩阵的列数，M、N为大于等于1的正整数，M<N， (? r嗦示矩阵求逆操作，y表示进行压缩感知处理后得到的MXl维的观测信号向量。
[0065] 步骤6，更新修正牛顿方向的迭代次数。
[0066] 将修正牛顿方向的迭代次数j加1，得到修正牛顿方向的当前迭代次数。
[0067] 步骤7,判断修正牛顿方向的当前迭代次数是否小于等于^，若是，执行步骤4,否 贝1J，执行步骤8,其中，M为大于等于1的正整数，M表示压缩感知处理所需的观测矩阵的行数。
[0068] 步骤8,更新信号重构的迭代次数。
[0069] 将信号重构的迭代次数i加1，得到信号重构的当前迭代次数。
[0070] 步骤9,判断信号重构的当前迭代次数是否小于等于7,若是，执行步骤3,否则，执 行步骤10。
[0071] 步骤10,优化重构信号向量的投影值。
[0072] 优化重构信号向量的投影值，得到重构信号向量的精确值采，具体的实施步骤如 下：
[0073] 第1步，将重构信号向量的投影值的最大分量乘WO.05,得到口限值；
[0074] 第2步，捜索重构信号向量的投影值中大于等于口限值的元素，将捜索到的所有元 素存入向量q;
[0075] 第3步，捜索向量q中的元素在重构信号向量的投影值中对应的行序号，将捜索到 的所有行序号存入向量1;
[0076] 第4步，捜索压缩感知处理所需的观测矩阵中，列序号等于向量1中的元素的列，将 捜索到的所有列组成一个投影矩阵多；
[0077] 第5步，采用最小二乘法，对重构信号向量的投影值进行优化，得到重构信号向量 的精确值运个精确值就是要重构的信号。
[007引
[0079] 其中，采表示重构信号向量的精确值，凌表示投影矩阵，（?厂1表示矩阵求逆操作， T表示转置操作，y表示进行压缩感知处理后得到的MX 1维的观测信号向量。
[0080] 下面结合仿真图对本发明做进一步的描述。
[0081] 1.仿真条件：
[0082] 本发明的两个仿真实验均是在运行系统为Intel (R)Core(TM) i5CPU 650@ 3.20細Z，32位Windows操作系统的仿真条件下进行，仿真软件采用MATLAB，分别对现有的基 于修正牛顿法的重构方法、基于正交匹配追踪的重构方法W及本发明进行仿真。
[0083] 仿真参数设置为:重构信号均是MATLAB软件产生的高斯稀疏信号，噪声均是高斯 白噪声，压缩感知所需的观测矩阵均是高斯矩阵。
[0084] 2.仿真内容与结果分析
[0085] 仿真1:在信噪比为20地的情况下，使用现有技术的基于修正牛顿法的重构方法、 基于正交匹配追踪的重构方法和本发明对高斯稀疏信号进行重构，仿真结果如图2(a)和图 2(b)所示。
[0086] 图2(a)是在信噪比为20dB的情况下，采用现有技术的基于修正牛顿法的重构方 法、基于正交匹配追踪的重构方法和和本发明的信干比随压缩比的变化曲线图。图2(a)中 的横坐标表示压缩比，纵坐标表示信干比。图2(a)中W =角形连起的曲线表示本发明的信 干比随压缩比的变化曲线，W正方形连起的曲线表示基于修正牛顿法的重构方法的信干比 随压缩比的变化曲线，W圆圈连起的曲线表示基于正交匹配追踪的重构方法的信干比随压 缩比的变化曲线。
[0087] 图2(b)是在信噪比为20dB的情况下，采用现有技术的基于修正牛顿法的重构方 法、基于正交匹配追踪的重构方法和本发明所需时间随压缩比的变化曲线图。图2(b)中的 横坐标表示压缩比，纵坐标表示时间。图2(b)中W =角形连起的曲线表示本发明所需时间 随压缩比的变化曲线，W正方形连起的曲线表示基于修正牛顿法的重构方法所需时间随压 缩比的变化曲线，W圆圈连起的曲线表示基于正交匹配追踪的重构方法所需时间随压缩比 的变化曲线。
[008引由图2(a)可见：在信噪比给定的情况下，随着压缩比的增加，信干比逐渐增加，信 号的重构精度越来越好。当压缩比低于0.33时，本发明的重构精度和基于修正牛顿法的重 构方法基本相当，但当压缩比高于0.33时，本发明的重构精度明显高于基于修正牛顿法的 重构方法。当压缩比为0.45时，本发明的重构精度比基于修正牛顿法的重构方法提高了 4地，比基于正交匹配追踪的重构方法提高了 5地。
[0089]由图2(b)可见：当压缩比为0.45时，本发明的重构速度比基于修正牛顿法的重构 方法提升了 41 %。
[0090] 仿真2:在压缩比为0.5的情况下，使用现有技术的基于修正牛顿法的重构方法、基 于正交匹配追踪的重构方法和本发明对高斯稀疏信号进行重构，仿真结果如图2(c)和图2 (d)所示。
[0091] 图2(c)是在压缩比为0.5的情况下，采用现有技术的基于修正牛顿法的重构方法、 基于正交匹配追踪的重构方法和本发明的信干比随信噪比的变化曲线图。图2(c)中的横坐 标表示信噪比，纵坐标表示信干比。图2(c)中WS角形连起的曲线表示本发明的信干比随 信噪比的变化曲线，W正方形连起的曲线表示基于修正牛顿法的重构方法的信干比随信噪 比的变化曲线，W圆圈连起的曲线表示现有的基于正交匹配追踪的重构方法的信干比随信 噪比的变化曲线。
[0092] 图2(d)是在压缩比为0.5的情况下，现有技术的基于修正牛顿法的重构方法、基于 正交匹配追踪的重构方法和本发明所需时间随压缩比的变化曲线图。图2(d)中的横坐标表 示信噪比，纵坐标表示时间。图2(d)中WS角形连起的曲线表示本发明所需时间随信噪比 的变化曲线，W正方形连起的曲线表示基于修正牛顿法的重构方法所需时间随信噪比的变 化曲线，W圆圈连起的曲线表示基于正交匹配追踪的重构方法所需时间随信噪比的变化曲 线。
[0093] 由图2(c)可见：在压缩比给定的情况下，随着信噪比的增加，信干比逐渐增加，信 号的重构精度越来越好，在信噪比的变化范围内，本发明的重构精度比现有的基于修正牛 顿法的重构方法、基于正交匹配追踪的重构方法的重构精度都好。当信噪比为20地时，本发 明的重构精度比基于修正牛顿法的重构方法提高了 7地，比基于正交匹配追踪的重构方法 提高了 6地。
[0094] 由图2(d)可见：当信噪比为20地时，本发明的重构速度比基于修正牛顿法的重构 方法提升了 47.1%。
[0095] 综上所述，由两个仿真实验所获得的四个结果表明，采用本发明能够W低复杂度 和高重构精度实现信号重构。
【主权项】
1. 一种基于近似平滑LO范数的压缩感知信号重构方法，包括如下步骤： (1) 初始化： 将信号重构的迭代次数i初始化为1，将修正牛顿方向的迭代次数j初始化为1; (2) 按照下式，计算重构信号向量的投影值： η=(巫T巫）-1巫Ty 其中，η表示重构信号向量的投影值，Φ表示MXN维的压缩感知处理所需的观测矩阵，T 表示转置操作，y表示进行压缩感知处理后得到的MX 1维的观测信号向量，Μ表示压缩感知 处理所需的观测矩阵的行数，Ν表示压缩感知处理所需的观测矩阵的列数，Μ、Ν为大于等于1 的正整数，Μ<Ν; (3) 赋值重构信号向量： (3a)选取信号重构的当前迭代所需的近似平滑L0范数的参数； (3b)将重构信号向量的投影值赋给NX 1维的重构信号向量X; (4) 更新重构信号向量： (4a)按照下式，计算当前迭代后的修正牛顿方向：其中，表示当前迭代后的修正牛顿方向，j表示修正牛顿方向的当前迭代次数，0表示 当前迭代所需的近似平滑L0范数的参数，XI表示NX 1维的重构信号向量X中的第1个元素，X2 表示NX 1维的重构信号向量X中的第2个元素，XN表示NX 1维的重构信号向量X中的第N个元 素，N表示NX 1维的重构信号向量X的行数，T表示转置操作； (4b)将x+(P的值赋给NX 1维的重构信号向量X，其中，d嗦示当前迭代后的修正牛顿方 向J表示修正牛顿方向的当前迭代次数； (5) 按照下式，计算更新的重构信号向量的投影值： η = Χ-φΤ(ΦφΤ)-l(Ox-y) 其中，η表示重构信号向量的投影值，X表示NX 1维的重构信号向量，τ表示转置操作，Φ 表示ΜΧΝ维的压缩感知处理所需的观测矩阵，Μ表示压缩感知处理所需的观测矩阵的行数， Ν表示压缩感知处理所需的观测矩阵的列数，Μ、Ν为大于等于1的正整数，Μ<Ν，（ ·厂1表示矩 阵求逆操作，y表示进行压缩感知处理后得到的MX 1维的观测信号向量； (6) 更新修正牛顿方向的迭代次数： 将修正牛顿方向的迭代次数巧日1，得到修正牛顿方向的当前迭代次数； (7) 判断修正牛顿方向的当前迭代次数是否小于等于若是，则执行步骤(4)，否则， 执行步骤(8)，其中，Μ表示压缩感知处理所需的观测矩阵的行数，Μ为大于等于1的正整数； (8) 更新信号重构的迭代次数： 将信号重构的迭代次数i加1，得到信号重构的当前迭代次数； (9) 判断信号重构的当前迭代次数是否小于等于7,若是，执行步骤(3)，否则，执行步骤 (10); (10) 优化重构信号向量的投影值； (10a)将重构信号向量的投影值的最大分量乘wo.05,得到口限值； (10b)捜索重构信号向量的投影值中大于等于口限值的元素，将捜索到的所有元素存 入向量q; (10c)捜索向量q中的元素在重构信号向量的投影值中对应的行序号，将捜索到的所有 行序号存入向量1; (lOd)捜索压缩感知处理所需的观测矩阵中，列序号等于向量1中的元素的列，将捜索 到的所有列组成一个投影矩阵Φ; (lOe)采用最小二乘法，对重构信号向量的投影值进行优化，得到重构信号向量的精确 值无;其中，.帝表示重构信号向量的精确值，运表示投影矩阵，（·尸表示矩阵求逆操作，T表示 转置操作，y表示进行压缩感知处理后得到的MX 1维的观测信号向量。2.根据权利要求1所述的基于近似平滑L0范数的压缩感知信号重构方法，其特征在于： 步骤(3a)中所述的选取信号重构的当前迭代所需的近似平滑L0范数的参数的具体步骤如 下： 第一步，按照信号重构的当前迭代次数i捜索递减序序a=[ 1,0.5,0.2，0.1,0.05， 0.02，0.01 ]中与信号重构的当前迭代次数i对应的元素 ai; 第二步，将元素 ai的值赋给信号重构的当前迭代所需的近似平滑L0范数的参数曰。
【文档编号】H03M7/30GK105846826SQ201610165116
【公开日】2016年8月10日
【申请日】2016年3月22日
【发明人】付卫红, 田德艳, 李聪, 韦娟, 黑永强, 刘乃安, 李晓辉
【申请人】西安电子科技大学