混数进制、进位行笔算数字工程方法

专利名称：：混数进制、进位行笔算数字工程方法
技术领域：
：本发明涉及数字工程方法和笔算工程领域
背景技术：
：数字工程包括数控机床、数字化设备和数字系统工程等等。本发明中“数字工程”是专指“数字计算系统工程”。它不是解决一个个具体的算题、或定理证明、或几何问题、或某种数学思想，而是解决四则运算法则等计算系统本身的数字工程实现技术方案。它与具体的计算工具密切相关。众所周知，“计算”有好多种，除“近似计算”、“模拟计算”及“无工具计算”(心算、指算、口算等，包括相应的口诀、速算、估算)外，则为“采用工具的数字计算”。人类历史上，“采用工具的数字计算”包括三类笔算；筹算及珠算；机械算及电算。现代仅剩下数字电算、珠算、笔算。与此相应的“数字计算系统工程”也就仅有三类数字计算机；算盘；采用笔和纸进行笔算的“数字计算系统工程”，简称为“笔算工程”。“数字工程方法”就是指在上述“数字工程”中，如何处理“数字”的方法。它是一项新的数字工程进行总体设计时，所必须的总体设计方法。它规定相应数字工程中，“数字输入”、“数字输出”、“数字运载”、“数字存储”等，及“数字流程”、“数字转换”、“数字操作”、“数字控制”等。它规定相应的工程元器件、部件、装置等；以及相应的操作、控制、流程等的规则。如，“二进制数字工程方法”，就是指该“数字工程”中的元器件、部件、装置…等，均以二进制、二进制数及其相应法则为准。这样实施时的“孓寧莩丰”与数字计算系统工程紧密结合的方法，称为“数字工程方法”。应用“混数进制、进位行数学方法”在数字工程的总体设计中，就称为“混数进制、进位行数字工程方法”(本申请为其中之一)。简称为《混进方法HJF》。(参见附混数进制、进位行数学方法)当前数字工程方法中的四则运算，以“笔算工程”为例，就是“普通Q进制”(简称为“普Q进制”)的四则运算。当Q=10时，S卩“普通十进制”(简称为“普十进制”)的四则运算。首先是加法，有许多不尽如人意之处。主要表现为运算速度慢；在减法中，未能充分利用负数的作用，而且，不能“连减”。尤其在加减联合运算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺点更加扩大严重；在除法中，上述缺点依旧。总之，在最小的数体——有理数体中，四则运算情况并不满意。在笔算数字工程中，对运算的解剖，表明存在一些隐含的操作程序，以至产生“隐患”。以“二数相加”为例，算式如式一123456+345678=469134。[文中凡未标明数制的数，均指普通十进制数。下同。]其中，十位上的和数3，解剖一下。其微程序操作是个位上来的进位；(^)十位上5、7二数字与低位进位相加，即(5+7+1)。取其和的个位；上列(5+7+1)和的进位送到高位。其余各位，情况类似。又如例二，设三数求和，算式如式二78+297+259=634。上述情况更为加重。显然，存在下列缺点a.进位标示困难。若用小数字表明，则易混淆且字面积受限。特别是表456789时就更烦人；若以“.”符写在数字间，则易与小数点混淆且表示456789也不便；若以手指数数，则速度慢且不方便；若心算，则费脑力且易错。总之，比较讨厌，易出错。b.—般二数相加时，每一位上要有三个数相加求和。于是，需三重运算。三及三以上个数相加求和时，则更不方便。c.验算困难。一般采用重做一遍，费时费力。减法比加法麻烦。而且不能在同一竖式中“连减”，必须断开。特别在加减联合运算时，不能一步到位。乘除法中，这类情况更为严重。而且，加减乘除运算格式不统一，除法时还另起炉灶。另一方面，在电子计算机数字工程中，这些数一般均采用普通二进制数来表示。其负数常以原码、反码、补码、移码之类来表示。在现有计算机中运算均以二个数运算，而无法实现“多重运算”及“多维运算””。所谓“多重运算”，是指多于二个数同时进行加减。所谓“多维运算”，是指多于二维同时进行加减。在采用其他普Q进制的电子计算机中，存在相应的许多复杂性。[Q为自然数。]此外，在算盘数字工程中，这些数一般采用普通二进制与普通五进制的“联合Q进制”数。因此，运算口诀繁杂，而且存在相应的一些复杂性。
发明内容本发明提出一种新的笔算数字工程方法，采用“混数进制”，以“混数进制、进位行方法”运算，称为“混数进制、进位行笔算数字工程方法”。简称为《混进方法HJF》。混数进制的典型为混Q进制、增Q进制、偏Q进制、称Q进制。简写为“混/增/偏/称Q进制”(“/”表“或者”，下同。)。Q为自然数。“混进方法HJF”能够显著提高运算速度；同时加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，还大大降低笔算的出错率。“混数进制、进位行笔算数字工程方法”，总体设计该笔算工程逻辑框图。包括输入寄存器网101；输入数码转换器网102；混数进制运算器103；输出数码转换器104；输出寄存器105。(附图1混数进制、进位行笔算工程逻辑框图。)“混数进制、进位行笔算数字工程方法”的“操作条件、步骤”及“数的流程”方案是①输入K个普Q进制数到输入寄存器网101中；②在输入数码转换器网102中，将普Q进制数编码或另行转换为混数进制数；③在混数进制运算器103中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；④在输出数码转换器104中，将运算结果混数进制数译码或另行转换为普Q进制数；⑤经输出寄存器105输出普Q进制数。或者，①直接输入K或2K个混数进制数，到混数进制运算器103中；②在混数进制运算器103中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；运算结果混数进制数直接输出ο“混数进制、进位行笔算数字工程方法”的方案中，进一步包括以下二种步骤之一；第一种步骤第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为彡2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；第2步，对第1步转换成的K或2K个数中的二个数，进行混数进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用“对冲”、“划Q”、累加，得到这二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或O位处；第3步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步的运算；如此反复，直至二数最高位也已运算为止；当采用并行运算时，二数各位同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；第4步，取上述K或2K个数中的另二个数，进行第2步及第3步运算；如此反复，直至上述K或2K个数或该运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数；或者，采用以下第二种步骤第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为彡2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；第2步，对第1步转换成的K或2K个数，从最低位开始，即在某一位上，分别取二数至K或2K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、累加；即在二数时，得到二个数该位“按位力口”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第3步，在上述某位上，取上述K或2K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至上述K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对η个和为0的数先进行“对冲”；然后，对η个和为mQ的数进行“划Q”;n为>2的整数，m为整数；所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用彡2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K或2K个数最高位也已运算为止；第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数。本发明混数进制、进位行笔算数字工程方法的技术方案采用第二种步骤来展示。关于“进位行方法”。“混数进制、进位行笔算数字工程方法”中，运算采用“进位行方法”在二数加减运算过程中，进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；与一般运算数同等对待；然后，与“按位和”一起进行运算。关于“网络化”结构和“多重运算”。“混数进制、进位行笔算数字工程方法”中，具备“寄存器网”，采用“网络化”结构。由此实现了“多重运算”。即，多个数的加减在一次性运算中完成。这样，就彻底解决了“连减”及“连加减”的困难。同时，乘法本质上就是“连加”，除法本质上就是“连减”。因此，在乘除中，亦可运用“多重运算”来处理。关于“对冲”及“划Q”技术。“对冲”技术是指η个数的同一位上求和时，若和数为零，则这同一位上η个数可以消去。在算式中，该位上的这η个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。“划Q”技术是对Q进制的η个数进行求和运算时，如果在某一位上，其“按位加”和为零，但该位上产生进位m(与η个数的该位上和数符号一致)；η为彡2的整数，m为整数；则进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；同时，将该η个数的该位均置“0”，可以斜线划去，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；在十进制时Q=10，划Q即为“划十”；“划Q”中m=0时，称为“对冲”。在实际运算中，常采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”来获得混数加减的结果。关于编码。初始输入数可不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以|s|个ι从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为ο；同时，将s的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；其全一码编译可定码长或变码长。有益效果混数进制、进位行的笔算工程技术方案，其中的混/增/偏十进制笔算工程技术方案，已经大大超越了现有的笔算工程，登上了笔算工程领域的顶峰。表现在以下五方面①笔算工程的性能显著提高——i.运算速度大大加快。原技术采用普通十进制，以“累加”来“一重运算”及“一维运算”；现技术采用混数进制，运用“混进方法”，以“对冲”、“划Q”及“累加”来运算。实现了“多重运算”。.原笔算工程技术不便于直接表示负数；现笔算工程技术可以直接表示负数。iii.原笔算工程技术不便于减法运算；现笔算工程技术减法消失了，运算十分方便。据一般情况下粗略估计，新一代笔算工程的运算，速度比老式笔算工程提高五倍左右ο②笔算工程的结构特征及运算逻辑结构的显著简化——原笔算工程没有“进位行”及“多重运算”结构；现笔算工程具备“进位行”及“多重运算”结构。③运算画面清晰，操作方便。④笔算工程运算的出错率显著降低。仅仅由此节省的人力、物力，就是十分可观的。(包括全世界每个人每年节省的纸张在内)⑤易教易学。据估计，现有小学六年的计算数学只要六分之一时间即可；即分期教学，累计仅仅一年。而且，在“计算”这个令人头疼的领域，学得轻松愉快，使以往的“苦恼数学”实质上变为“快乐数学”。另一方面，我们进一步的研究还表明，在笔算工程领域，在数制层面的成果，已经被我们一网打尽。笔算工程领域今后也不可能再出现类似的飞跃。混数进制、进位行笔算工程，属于总称为“三Q发明系列”之一。又称为“三Q笔算工程”。“三Q笔算工程”是从“数制”这一根本性能上加以“革命”，从而取得了全面凌驾于现代及未来笔算工程，特别是基础数学教科书之上的态势。理论和实践证明，混数进制、进位行数字工程方法的笔算工程，是一种优异的笔算工程技术方案。这是笔算工程中的一场革命。从根本上来讲，它使十-X+四则运算，也就是有理数运算，全面、系统地改观。它方便易行，即使对于初学者，加减运算也可一下子扩大到任意多个数，并且每个数可扩大到任意多位，根本无需加以特别的限制。它的快速和低出错率，顺利地实现了数学计算及其教育的快乐原则。它的诞生有利于千秋万代的数学及教育基业，让全世界每一个人从小受益、终身受益。这种笔算工程新技术方案在笔算中，特别是在教科书中具有科教上的重大意义。考虑到今天以及未来，基础数学及其教育在人类生活、生产、教学等等领域中的广泛应用及重大意义，那么，笔算工程新技术方案的用途和价值就是不言而喻的了。笔算工程最典型的应用是数学教科书。在这里，揭示了数学教科书在特殊情况下，有着“产品”的内涵。笔算工程由此可以获得专利的保护。笔算工程根本不属于版权的保护；或者说，特殊情况下，数学教科书并非只是单纯的出版物。另一方面，由于笔算工程的衍生产品为算盘和计算机(电脑)。故笔算工程是相应算盘和计算机的基础。它就是初级的算盘和初级的计算机。于是，笔算工程的发展产生了算盘和计算机。因此，新一代混数进制、进位行笔算工程，就产生了相应的新一代算盘和新一代计算机(电脑)。混数进制、进位行数字工程方法(本申请为其中之一)，简称为《混进方法HJF》。在数制层面上，HJF已经登上了数字工程方法领域的顶峰。总称为“三Q发明系列”的数字工程方法，混数进制、进位行数字工程方法，其重大成就主要表现在以下二方面(这里的“数字工程”，专指“数字计算系统工程”。当代有且仅有三种计算机、笔算工程及算盘。这里的“混数进制”，指“混Q进制、增Q进制、偏Q进制及称Q进制”。)①数字工程的性能显著提高——i.运算速度大大加快。原数字工程技术采用普Q进制，以“累加”来“一重运算”及“一维运算”；现数字工程技术采用混数进制，运用《混进方法HJF》，以“对冲”、“划Q”及“累加”来运算。实现了“多重运算”及“多维运算”。ii.原数字工程技术不便于直接表示负数；现数字工程技术可以直接表示负数。iii.原数字工程技术不便于减法运算；现数字工程技术减法消失了，运算十分方便。②数字工程的结构显著特征——i.原数字工程技术，没有“多重运算”及“多维运算”结构；现计算机及笔算工程的数字工程技术，具备“多重运算”及“多维运算”结构。ii.原数字工程技术，没有“网络化运算”结构；现计算机及笔算工程的数字工程技术，具备“寄存器网”、“对冲网”及“划Q网”组成“网络结构”。iii.原算盘数字工程技术，采用“二五联合进制”结构；现数字工程技术，采用单一的混数进制结构。所有这些，实质上都是结构显著简化。另一方面，我们进一步的研究还表明，在数字工程方法领域，在数制层面的成果，已经被我们一网打尽。数字工程方法领域，今后不大可能再出现类似的飞跃。由此，“三Q发明系列”已经全面地、系统地登上了“数字工程”领域的顶峰。这是全人类二、三千年才出现的飞跃。图1混数进制、进位行笔算工程逻辑框图。包括输入寄存器网101；输入数码转换器网102；混数进制运算器103；输出数码转换器104；输出寄存器105。具体实施例方式混数进制、进位行笔算数字工程方法，又称为“三Q笔算工程方法”。它属于总称为“三Q方法”之一。本发明属于“方法类”发明。为此，本部分以相应的“操作条件、步骤”及“数的流程”等技术特征来描述。1.混数进制、进位行笔算数字工程方法，采用“混数进制”，以“混数进制、进位行方法”运算。图1为混数进制、进位行笔算工程逻辑框图。包括输入寄存器网101；输入数码转换器网102；混数进制运算器103；输出数码转换器104；输出寄存器105。(附图1混数进制、进位行笔算工程逻辑框图。)其中，输入K个普Q进制数连接到输入寄存器网101；输入寄存器网101与输入数码转换器网102—一对应相连；输入数码转换器网102与混数进制运算器103—一对应相连；混数进制运算器103与输出数码转换器104连接；输出数码转换器104与输出寄存器105连接；输出寄存器105输出普Q进制数。或者，直接输入K或2K个混数进制数，连接到混数进制运算器103；混数进制运算器103输出混数进制数。设定串行输入K个普Q进制数到输入寄存器网101中；输入寄存器网101共有K或2K个输入寄存器，前后串行连接或并行分配连接。输入寄存器网101中每一个输入寄存器，分别与相应的输入数码转换器网102中每一个输入数码转换器，一一对应相连。在输入数码转换器网102中，将普Q进制数编码或另行转换为混数进制数；然后，一一对应输入到混数进制运算器103；在混数进制运算器103中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；运算结果送至输出数码转换器104。在输出数码转换器104中，将混数进制数译码或另行转换为普Q进制数；然后，经输出寄存器105输出普Q进制数。或者，设定直接串行输入K或2K个混数进制数，并行分配连接到混数进制运算器103；在混数进制运算器103中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；然后，运算结果混数进制数直接由混数进制运算器103输出。需要指出的是，输入寄存器网101和输出寄存器网105，均由纸和笔组成。它们构成简单的、有效的寄存器，用来存放数字；输入数码转换器网102和输出数码转换器网104，均由纸和笔组成。它们构成简单的、有效的数码转换器，用来运载转换数码后的数字；混数进制运算器103分别由“对冲”、“划Q”、“累加”操作组成。“对冲”、“划Q”、“累加”以相应的“操作条件、步骤”来表述如下。2.混数进制、进位行笔算数字工程方法，进一步包括以下步骤第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为彡2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；第2步，对第1步转换成的K或2K个数，从最低位开始，即在某一位上，分别取二数至K或2K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、累加；即在二数时，得到二个数该位“按位力口”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第3步，在上述某位上，取上述K或2K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至上述K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对η个和为0的数先进行“对冲”；然后，对η个和为mQ的数进行“划Q”;n为>2的整数，m为整数；所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用彡2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K或2K个数最高位也已运算为止；第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数。3.关于“数码转换”。上述输入K个普Q进制数参予加减运算，K为>2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数。其中，混数进制包括混/增/偏/称Q进制(/表示或者)。对于混Q进制转换成K个；对于增Q进制转换成2K个；对于偏Q进制转换成2K个；对于称Q进制转换成2K个。普Q进制数转换成混数进制数的方法，以及混数进制数转换成普Q进制数的方法，也就是说，普Q进制数与混/增/偏/称Q进制数之间互相转换的方法。优选其中Q=10时的情况，即普十进制数与混/增/偏十进制数之间互相转换的情况。详见附混数进制、进位行数学方法，第4节。4.关于上述“对冲”及“划Q”技术。“对冲”技术。这是指η个数的同一位上求和时，若和数为零，则这同一位上η个数可以消去。在算式中，该位上的这η个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。“划Q”技术。对Q进制的η个数进行求和运算时，如果在某一位上，其“按位加”和为零，但该位上产生进位m(与η个数的该位上和数符号一致)；η为彡2的整数，m为整数；则进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；同时，将该η个数的该位均置“0”，可以斜线划去，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；在十进制时Q=10，划Q即为“划十”；“划Q”中m=0时，称为“对冲”。在实际运算中，常采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”来获得混数加减的结果。5.关于“进位行方法”。“混数进制、进位行笔算数字工程方法”中，运算采用“进位行方法”:在二数加减运算过程中，进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；与一般运算数同等对待；然后，与“按位和”一起进行运算。6.关于“网络化”结构和“多重运算”。“混数进制、进位行笔算数字工程方法”中，具备“寄存器网”，采用“网络化”结构。由此实现了“多重运算”。即，多个数的加减在一次性运算中完成。这样，就彻底解决了“连减”及“连加减”的困难。同时，乘法本质上就是“连加”，除法本质上就是“连减”。因此，在乘除中，亦可运用“多重运算”来处理。7.关于编码。初始输入K个普Q进制数或者初始输入K或2K个混数进制数时，相应的普Q进制数或者混数进制数可不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以Isl个ι从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；其全一码编译可定码长或变码长。现优选不编码。举例说明例一混十笔算工程典型的混数进制、进位行笔算工程，包括混/±曾/偏/称Q进制笔算工程。其中，混Q进制中Q=10时，符号表示为{十*}，相应混Q进制笔算工程即称为“混十笔算工程”。以下为{十四则运算中的{十加法和乘法例112+56-32-85+67-46=72例<formula>formulaseeoriginaldocumentpage11</formula>例二增十笔算工程典型的混数进制、进位行笔算工程，包括混/增/偏/称Q进制笔算工程。其中，增Q进制中Q=10时，符号表示为{十1，相应增Q进制笔算工程即称为“增十笔算工程”。以下为{十Δ}四则运算中的{十Δ}加法和乘法<formula>formulaseeoriginaldocumentpage11</formula>例三偏十笔算工程典型的混数进制、进位行笔算工程，包括混/±曾/偏/称Q进制笔算工程。其中，偏Q进制中Q=10时，符号表示为{十’}，相应偏Q进制笔算工程即称为“偏十笔算工程”。以下为{十’}四则运算中的{十’}加法和乘法<formula>formulaseeoriginaldocumentpage12</formula>附混数进制、进位行数学方法(1.《进位行方法》；2.混数进制；3.《混进方法HJF》及其四则运算；4.混十进制{十/增十进制{十Δ}/偏十进制{十，}/称三进制{三”}与普通十进制{十}的关系；5.结论。)1.《进位行方法》1.1进位与“进位行”在电子计算机等数字工程的数值运算中，运算速度提高的关键之一，就在于“进位”。进位的获得，进位的存贮以及进位的参予运算都是至关重要的。“进位”就是争“速度”。在笔算工程中，还直接影响到“出错率”。所谓“进位行”就是，在运算过程中，将产生的进位存放在与“按位和”数同等的参予运算位置上，然后与“按位和”一起进行运算。二数相加时，在同一运算层中，通常将各位上的进位排列成一行，称为“进位行”。(运算层的概念，见下节。)举例如下，设二普通十进制数求和，算式如式一123456+345678=469134。个位运算(6+8)=14，其进位1写于下一行的高一位上。依此类推。式中二数相加时，各位上不计进位的求和，称为“按位加Θ”。其和称为“按位和”。按位和的数据行，称为“Θ行”。Θ行与进位行组成“运算层”。1.2《进位行方法》分析1.2.1二数求和的分析采用《进位行方法》的加法运算，由上节可知①二数相加时，每一位上只有二个数相加；在进位行中直接标示进位，不存在任何困难；②验算十分方便。[引理一]二数相加时，任意位上要么有进位记为1，要么无进位记为0；[引理二]二数相加时，任意位上的和可为O9之一。但是，当该位上有向高位进位时，该位上的Θ和只能为08之一，而不能为9。由[引理一]和[引理二]可得[定理一]二数相加时，当且仅当某位上没有向高位进位时，该位上的Θ和才可能出现9。1.2.2层次概念及运算层设二数求和为式二5843029+4746979=10590008。由式二的具体运算可见，运算是分层次进行的。运算层将一个运算解剖成一些子运算。每一运算层中，又将子运算解剖成微运算。微运算仅完成一项简单运算。这就是运算的“层次”概念。“层次”概念是数学中的基本概念，《进位行方法》正是建立在此基础上。以往的加法运算方法，本质上也隐含“层次”概念。因此，《进位行方法》中的“层次”，从总体上看并未增加运算的复杂性。反之，以往的方法由于隐含了“层次”，反而进一步增加了运算的复杂性。这一点，也进一步造成运算速度被降低。1.2.3唯一的运算层二数相加时，特别情况下会出现多层运算层。各层有如下关系成立。[引理三]二数相加时，当前一运算层某位上有进位时，其后各运算层该位上均不可能出现进位。(由引理一、二得)[引理四]二数相加时，当后一运算层某位上有进位时，其前各运算层该位上必无进位。(由引理一、二得)[定理二]二数相加时，各运算层同一位上，要么都无进位，要么只能有一个进位。(由引理三、四得)[推论]二数相加时，可将全部各运算层进位行合并为一个进位行；除第0运算层(初始运算式)外，可以将各运算层合并为一个运算层。因此，以后为使用方便，二数相加时，除初始运算式外，视为仅有唯一运算层。该唯一运算层Θ.和，即为所求该二数相加和数。1.2.4“变形进位行”为了减少运算层数，一个运算层中某位上的进位，可以放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一运算层空位或0位中，同一位上须处理的进位及和数可以任意不重复地占位。这就是说，上述“进位行”这时已经变为相应的“变形进位行”。1.3小结所谓《进位行方法》就是，在二数加减运算过程中，进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；与一般运算数同等对待；然后，与“按位和”一起进行运算。1.4三数及三数以上求和分析设三数求和，算式为231+786+989=2006(式三)。又，设六数求和。算式为786+666+575+321+699+999=4046(式四)。操作要点①多个数相加，常出现二个及二个以上的运算层。为了尽量减少运算层常采用以下方式a、较小的数，直接合并算；b、尽量在“配对”中进位；C、尽量减少在第一运算层上相加数的个数；d.尽量使第二及二以上运算层不出现。②“相同数”、“连续数”等，可直接得“部分和”。③同一位上各数也可进行“累加”。累加采用>2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加。④或者，直接移至下一运算层2.混数进制2.1《数制理论SZLL》2.1.1按同一种规则记录数，用在一个数系统中，进行运算的数的制度，称为“记数系统的制度”。简称为“数制”。《数制理论SZLL》就是研究数制的生成、分类、分析、比较、变换、计算等的科学。它也是研究数制在数论中，及在集合论、群论、博弈论等数学其他分支；及其在多值逻辑、Walsh函数、《狭义及广义模随论MSL》等各邻近学科；特别是在数字工程领域的计算机、笔算工程及算盘中应用的科学。它是数学的基础理论之一。数学科学，即“数”的科学。“数”的基本之一为“数制”。因此，《数制理论SZLL》是“核心数学”的“核心”之一。2.1.2位值制数制设，构造一个数系，其中的数以各不相同位置上的“数符”来表示。“数符”又称“数字”。对于每个数位上的全部数字，均给定一个单位值(又称“位值”)。数字通常从右向左水平排列，其值由低(小)到高(大)。以此规则来表示整个数系中每一个数的数制，称为“位值制数制”。我们以下讨论的数制，都是“位值制数制”。在不致误解时，也直接简称为“数制”。2.1.3数制的三大要素数位I(或i)，数元集Zi和权Li。a、数位1(或i，下同)表示数制中数的各位数字的位置。1(或i)为序数，各位从右至左来表示。BP,i=1,2,3,…表示该数的第1，2，3，…位。b、数元集Zi，表示第I位上的“数元”组成的集合。同一数制系统中，各个数同一位上不同符号的全体，组成一个该位上的数符集。该数符集中的元素，称为“数的元素”。简称为“数元”。因此，该数符集称为“数元集Z”。数元集Zi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的Zi均为相同的Z时，相应的数制称为“单一集数制”；当相应的数制为下述“进制”时，称为“单一集进制”。当各位上的Zi不全相同时，相应的数制称为“联合集数制”；当相应的数制为下述“进制”时，称为“联合集进制”。数元集Zi中的数元可为复数或其他多种多样符号。在《数制理论SZLL》中，以…来表示数元(，，，···)，」为自然数。以ia」表示第i位上数元a」。约定，a」=-A(A为复数)时，可表示为。为便于计算，通常取数元…为整数，以阿拉伯数字来表示。数元集Zi以集合{a1;-,Bj,···}来表示，即Zi=Ia1,-,Bj,···}；或者，Zi以文字表明其特征。数元集Zi的基数Pi(Pi为自然数)，表示了集的元素总数。恩格思指出它“不但决定它自己的质，而且也决定其他一切数的质。”Pi的取值不同，标示了数元集Zi的变化。各位上的Pi为相同的P，则称为“单一基数”；否则，称为“联合基数”。在《数制理论SZLL》的“位值制数制”中，定义数中的“空位”表示“无”，其位值为0，称为“空位0”。“空位0”是0的一种，是0的一种表达形式，是一种隐含的0。通常不加以标明；在数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。“空元”是每一个“位值制数制”数元集均有的数元，其在数元集中的表示即为“空位”。通常不加以标明。“空元”是数元集中，唯一通常不计入数元…，也不计个数，即个数为0的数元；另一方面，在特别情况下，为统一表述，则将其计入数元，其个数计为1。C、权Li，表示第i位上的位值大小。特称此位值为“权Li”。Li为实数。为便于计算，通常取权Li为整数，特别是自然数，以阿拉伯数字来表示。不同的Li，就决定了不同的位值。在“编码理论”中，“编码”的主要特征就在于权Li。实际中常见的权Li采用所谓“幂权”。即，令Li=Qi(H)Ai*实数。为便于计算，通常取Qi为整数，特别是自然数。Qi可以阿拉伯数字来表示，也可以中文小写数字来表示。常见各位Li均为幂权，而且成等比Q的数制。Q称为数制幂权的“底数”或数制的“底数”。底数Q的不同，决定了不同的Li，从而决定了不同的位值。Qi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的数制幂权Qi，其底数均为相同的Q时，相应的数制称为“单一Q进制”。简称为“Q进制”或“进制”。当各位上的数制幂权Qi，其底数不全相同时，相应的数制称为“联合Q进制”。另一种常用的权Li采用“等权”，即各位上的权L相同。为了简明起见，对于一般计算而言，本文以下只讨论数制中的“进制”。“进制”中的底数Q称为“进制的位值”，简称为“进位值”或“位值”。显然，根据上述数制的三大要素，数制可以有无穷无尽的种类。2.2混数及对称2.2.1混数及混数进制。当数元集Zi中含数元0时，该相应进制被称为“含0进制”；当数元集Zi中不含数元0时，该相应进制被称为“不含0进制”。当数元集Zi中，全部数元为连续整数成为“整数段”时，该相应进制被称为“整数段进制”。对于Q进制，则称为“整数段Q进制”。恩格斯指出“零比其他一切数都有更丰富的内容。”鉴于“0”的这种特殊重要性，在《数制理论SZLL》中，含0整数段去掉0时，仍作为一种特殊的整数段。当数元集Zi中可以为正数元、负数元或0时，相应进制被称为“混数进制”。(数元0为中性数元。)混数进制中的数，称为“混数”。“混数”中既有正数元又有负数元的数，称“纯混数”。2.2.2对称在《数制理论SZLL》中，当数元集Zi中的正负数元是相反数时，相应进制称为“对称进制”。对于Q进制，则称为“对称Q进制”。简称为“称Q进制”；当数元集的正负数元不是相反数时，相应进制称为“不对称进制”。对于Q进制，则称为“不对称Q进制”；当数元集的正负数元不全是相反数时，相应进制称为“偏对称进制”。对于Q进制，则称为“偏对称Q进制”。简称为“偏Q进制”。2.3基数P与位值Q的关系在任一个具有整数段数元集的Q进制中，当P=Q时，自然数在该进制中可以连续唯一的形态表达，称为“连续进制”，又称“普通进制”；对于Q进制，则称为“普Q进制”。简称为“普Q进制”；当P>Q时，自然数在该进制中可以连续，但有时以多种形态表达，称为“重复进制”，或“增强进制”。对于Q进制，又称为“增强Q进制”，简称为“增Q进制”；当P<Q时，自然数在该进制中只能断续的形态表达，称为“断续进制”，或“减弱进制”。对于Q进制，又称为“减弱Q进制”，简称为“减Q进制”。2.4进制的符号名称在《数制理论SZLL》中建立了“代数数制系统”。一个进制的符号名称采用“ZiLi”;对联合集进制中联合Q进制时，则为ZiQi。单一集进制中联合Q进制时，则为ZQi。联合集进制中单一Q进制时，则为ZiQ。单一集进制中单一Q进制时，则为ZQ。这里Q的具体数值，以中文小写数来表示。本文以下只讨论单一集进制中，单一Q进制的情况。在上述2.3节“普Q进制”中，本文只讨论如下这种类型对于含0的普Q进制，Z={0,1,…，(Q-I)Io故ZQ={0,1,…，(Q_1)}Q，Q为>1的整数，称为“含0普Q进制”。符号表示为{含0，Q}；对于不含0的ZQ={1，2，…，Q}Q，Q为自然数，称为“不含O普Q进制”。符号表示为{不含0，Q}。含O和不含O的普Q进制，合起来统称为“普Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q}。当不致误解时，“含O普Q进制”亦可称为“普Q进制”，亦以符号{Q}来表示。故可以符号{二}及{十}来表示普通二进制及普通十进制。2.5本文中的几类混数进制2.5.1混Q讲制ZQ={0，士1，…，士(Q-1MQ进制，Q为>1的整数，称为“含0混Q进制”。符号表示为{含0，(Π；对于不含OWZQ={士1，士2，…，士Q}Q进制，Q为自然数，称为“不含0混Q进制”。符号表示为{不含0，Q*}。含0和不含0的混Q进制，合起来统称为“混Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q*}。当不致误解时，“含0混Q进制”亦可称为“混Q进制”，亦以符号{(Π来表示。在《数制理论SZLL》中，{十的名称是“单一基数P=19，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十九，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，士1，士2，…，士9}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十*}，称为“混十进制”。{二的名称是“单一基数P=3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，士1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二1，称为“混二进制”。2.5.2增Q进制在上述2.3节“增Q进制”中，本文只讨论如下这种类型增Q进制中，特别重要的一种是P=Q+l>Q。Q为自然数。对于含OWZQ={0，士1，…，士Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0增Q进制”。符号表示为{含0，0Δ}；对于不含0的ZQ={士1，士2，…，士(Q+1)/2}Q进制，Q为正奇数，称为“不含0增Q进制”。符号表示为{不含0，0Δ}。含0和不含0的增Q进制，合起来统称为“增Q进制”，Q为自然数。符号表示为{9δ}。当不致误解时，“含0增Q进制”亦可称为“增Q进制”，亦以符号{0Δ}来表不。在《数制理论SZLL》中，{十Δ}的名称是“单一基数P=11，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十一，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，士1，士2，…，士5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十1，称为“增十进制”；{二1的名称是“单一基数P=3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，士1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二Δ}，称为“增二进制”。2.5.3偏Q进制在上述2.2.2节“偏Q进制”中，本文只讨论如下这种类型在“普Q进制”的偏Q进制中，特别重要的是在其“数元集”中，仅有一个绝对值最大的正数元没有相应的负数元，其余均为0或对称数元的一种。Q为自然数。本文中，偏Q进制仅指这一种。对于含OWZQ={0，士1，…，士(Q/2-l)，Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0偏Q进制”。符号表示为{含0，Q，}；对于不含0的ZQ={士1，士2，…，士(Q-I)/2，(Q+1)/2}Q，Q为正奇数，称为“不含0偏Q进制”。符号表示为{不含0，Q’}。含0和不含0的偏Q进制，合起来统称为“偏Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q’}。当不致误解时，“含0偏Q进制”亦可称为“偏Q进制”，亦以符号{Q’}来表示。故可以符号{十’}及{二’}来表示“偏十进制”及“偏二进制”。在《数制理论SZLL》中，{十’}的名称是“单一基数P=10，含0，整数段，偏对称的十进制”。可写为{十，含0，整数段，偏对称}十进制，或者写为{0，士1，士2，…，士4，5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十’}，称为《偏十进制》；{二’}的名称是“单一基数P=2，含0，整数段，偏对称的二进制”。可写为{二，含0，整数段，偏对称}二进制，或者写为{0，1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二’}，称为《偏二进制》。2.5.4称Q进制在上述2.2.2节“称Q进制”中，本文只讨论如下这种类型在“普Q进制”的称Q进制中，对于普通对称含OWZQ={0，士1，…，士(Q-I)/2}Q进制，9为>1的奇数，称为“含0普通对称Q进制”。符号表示为{含0，Q”}；对不含0的ZQ={士1，…，士Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“不含0普通对称Q进制”。符号表示为{不含0，Q”}。含0和不含0的普通对称Q进制，合起来统称为“普通对称Q进制”，当不致误解时，简称为“称Q进制”。Q为>1的整数。符号表示为{Q”}。当不致误解时，“含0普通对称Q进制”，亦可称为“称Q进制”，亦以符号{Q”}来表示。在《数制理论SZLL》中，{三”}的名称是“单一基数P=3，含0，整数段，对称的三进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}三进制，或者写为{0，士1}三进制。一般情况下，进一步符号表示为{三”}，称为“称三进制”。2.6混数编码以混数来编码的方法，称为“混数编码”。当A进制数元以B进制数来编码时，A进制数按位排列成相应的B进制数。这称为“以B进制数编码的A进制数”，简称为“B编码的A数”，或“编码B数”，或“编码数”。例，{十}328={二}101001000；其“编码{二}数”为0011，0010，1000。如上述“编码{0，士1}二进制数”，即指以{0，士1}二进制(其特况为普通二进制)数来编码的“编码数”。所谓“编码B数”的运算，即为“编码B进制”运算。这时，A进制数的位与位间为A进制运算，但每位中则为B进制运算。A进制数元以B进制数来编码时，所需B进制数的最多位数，称为“码长”。固定的“码长”，称为“定码长”；如最高位0不加以标明，使之成为“空位0”时，相应“码长”是变化的，称为“变码长”。混数进制、进位行数字工程方法，所述运算数是混数进制数。可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以|s|个ι从最低位顺序至高位排列来对应，总位数则为Q或(Q-I)或Q/2或(Q+l)/2位。其余高位均为0(或空位0)。同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符。当采用全一码来编码混数进制数时，η个数加法仅为η个数中1或T的不重复排列，称为“排1”；其全一码编译可以定码长或变码长。3.《混进方法HJF》及其四则运算。采用混数进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混数进制、进位行方法》，简称为《混进方法HJF》。1)采用混Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混Q进制、进位行方法》;当不致误解时，亦可简称为《混进方法HJF》。设K个普Q进制数参予加减运算，K为彡2的整数，Q为自然数；K称为多重系数。将这些普Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去，即成为混Q进制数。2)采用增Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《增Q进制、进位行方法》；简称为《增进方法ZJF》。设K个普Q进制数参予加减运算，K为>2的整数，Q为自然数；K称为多重系数。将这些数转换成K或2K个增Q进制数。(一)以含0的{Q}—数转换为例{Q}={0,1,…，(Q_1)}Q，Q为>1的整数……①{0Δ}={0，士1，…，士Q/2}Q。Q为正偶数……②由①及②可知，Q为彡2的偶数。...Q彡2，2Q彡2+Q,Q彡Q/2+1,.·.(Q-I)彡Q/2当Q=2时，(Q-I)=Q/2。即以绝对值而言，{二}最大数元所表示的{二}数，等于{二“}最大数元所表示的{二}数；当Q为>2的偶数时，(Q-I)>Q/2。即以绝对值而言，{Q}最大数元所表示的{Q}数，总是大于{9δ}最大数元所表示的{Q}数。这时{Q}数元(Q-1)={QA}1。即，{Q}数元(Q-I)转换成相应的{Q”数，为两位数1。其中，高位实质是“进位”。由此可知，一个{Q}数转换成相应的{9δ}数，当Q=2时，仍为一个{0Δ}数；当Q为>2的偶数时，可统一成为二个{0Δ}数之和。其中一个{0Δ}数，即为“进位行”数。K个{Q}数转换成相应的{0Δ}数，当Q=2时，仍为K个{0Δ}数；当Q为>2的偶数时，可统一成为2K个{0Δ}数之和。(二)对于不含0的情况，Q为正奇数。可以证明，有类似的结论。(三)如已经将一个{Q}数，另行转换为一个数，则K个{Q}数转换为K个{QA}数。本发明中，采用2K个增Q进制数来展示。3)采用偏Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《偏Q进制、进位行方法》，简称为《偏进方法PJF》。设K个普Q进制数参予加减运算，K为>2的整数，Q为自然数。可以证明，与增Q进制一样有类似的结论，将这些数转换成K或2K个偏Q进制数。本发明中，采用2K个偏Q进制数来展示。4)采用称Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《称Q进制、进位行方法》;简称为《称进方法CJF》。当用于计算机，特别是电子计算机中时，可采用{三”}称三进制等的《称进方法CJF》。设K个普Q进制数参予加减运算，K为>2的整数，称Q进制中，9为>1的整数。可以证明，与增Q进制一样有类似的结论，将这些数转换成K或2K个称Q进制数。本发明中，采用2K个称Q进制数来展示。3.1{十的四则运算①{十的加法例123+456=427式中求得和为575。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和571不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。②{十*}的减法例123-455=123+朽6=339；例112+56-32-85+67-46=72③{十“}的乘法例23§X8§=12502④{十*}的除法例5728+23=249......13.2{十Δ}的四则运算①{十Δ}的加法例123+344=435式中求得和为433。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和433不必转化(特别是作为计算过程中间结果时}。确需转化时，方法见4.1转换法则。②{十Δ}的减法例03-344=113+3奴=541；例112+15-32-1如+1羽-53=132③{十1的乘法例242X131=11502④{十Δ}的除法Μ14332+23=251……13.3{十’}的四则运算①{十，}的加法例1泛3+344=435式中求得和为43孓当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和43Β不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。②{十，}的减法例1豆3-34仁03+躬5=341；例112+1码-32-125+1弱-5^132③{十，}的乘法例2i2X131=11502④{十，}的除法例;U332+23=251……13.4{三”}的四则运算①{三”}的加法例101+Π00=1Π1求得和为11。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为43。一般来说，所求和1Π不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。②{三，，}的减法例ιοι-ποο=οιι三，，}的乘法例ιοιχιοο=ποοο④{三”}的除法例{十}25+18=1···701+100=1…113.5四则运算的特点①加减法合并为加法，减法化为加法来运算。这一来实际计算中，就消除了通常连加减的困难。这是由于混数的特性所决定。②“对冲”技术。这是指η个数的同一位上求和时，若和数为零，则这同一位上η个数可以消去。在算式中，该位上的这η个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。“划Q”技术。对Q进制的η个数进行求和运算时，如果在某一位上，其“按位加”和为零，但该位上产生进位m(与η个数的某一位上和数符号一致)；η为彡2的整数，m为整数；则进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；同时，将该η个数的某位均置“0”，可以斜线划去，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；在十进制时Q=10，划Q即为“划十”；“划Q”中m=0时，称为“对冲”；在实际运算中，常采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”来获得混数加减的结果。③乘除方法简单。由于采用混数可使除法中的“减”过程变为“加”过程。为了去掉“减”过程的思路，进一步还可以令被除数变号。然后，整个“减”过程完全变成“加”过程。这可使整个运算的复杂性进一步降低。应该注意，此时若出现余数，则要将该余数变号后，才是最终运算结果的余数。同时，除法中的试商过程，可变为予先设定的迭代过程。④四则运算加减乘除，均可全面地显著提高运算速度。⑤加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低了笔算的出错率。4.混十进制{十与普通十进制{十}的关系。4.1{十与{十}数的转换法这里指整数的情况，例如{十‘}3哀2296={十}221716。{十}数本身即为{十*}数的一种特况，故{十}数不经转换即为{十数。因此，{十}数转换成{十1数只要将这些普Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去。{十数转换成{十}数。方法有几种一种是将{十数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例{十*}3哀25》6={十}302006-80290=221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加T)。另一种方法是在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如3X2XX6。但，当其不在{十数末尾(个位)时，则最低位加T；连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如X1X70X。然后，在其最低位加1。这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。当需转换的{十数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。4.2{十与{十}对照表及其说明(表一)说明①表一中0+0_分别为从正负方向趋近于0所获得的0。②表一中表示形式为“连续非负整数个9”的全体的缩写。即^，可为0个9，可为1个9，可为99，可为999，…等形式。这种形式表示的集合，称为“连集”。显然，“连集”为无限集。设E为整数，则为E的“连集”，简称为“连Ε”。读作“Ε点”。以“连集”形式表示的一组无穷个数，称为“连集数组”或“连集组数”。③由数10的二种表达形式可知5=0=0=&。④在{十*}数系统中，“连集”形式有且仅有(ο，0，9，四种。由于0=0，故“连集”形式有且仅有(，δ，合)三种，亦可写为(，土)三种。4.3{十*}与{十}关系分析{十}数是{十数的一部分，{十}数集是{十数集的真子集；{十*}数二{十}数，g卩{十数对{十}数有真包含关系。{十}数与{十数的关系是“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{十就获得了多样处理的灵活性。这是{十运算中多样性、快速性的原因。从这一点来说，{十具有较强的功能。<table>tableseeoriginaldocumentpage21</column></row><table>表一{十}中ρ=Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。{十*P>Q，因而在该进制中自然数会出现多种形态表达。这正是该进制灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说{十是以多样性来换取了灵活性。有了它，才有了《混进方法HJF》，才有了“笔算工程”的新技术方案。有了它，也才有了处理器及其相应电子计算机新技术方案。{十数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的一组{十“连集组数”。所以，这种{十}数的“一”与{十1“连集组数”的“一”组，二者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{十数与{十}数的互为映射关系。由于变换是集到自身上的对应，所以{十}与{十数是“一一变换”。对于运算系统来说，{十}与{十数系统是“自同构”。相应{十}数的各种运算性质，亦在{十数系统中成立。应当指出，显然，上述对{十}与{十的分析，完全相应于{Q}与{(Π的分析，因为{十}与{Q}是同构的。由此可知①{Q}数是{(Π数的一部份，{Q}数集是{(Π数集的真子集。似}数〕{Q}数，即{(Π数对于{Q}数有真包含关系。②{Q}数与{(Π数的关系是“一多对应”，而不是“一一对应”。③同时，{Q}中的“一”个数与相应的{(Π中的“一”组“连集组数”，二者之间是“一一对应”关系。④{Q}与{(Π数系统是“自同构”。相应{Q}数系统的各种运算性质，亦在{(Π数系统中成立。以下4.至4.3节为增Q进制的情况4.增十进制{十Δ}与普通十进制{十}的关系。4.1{十Δ}与{十}数的转换法这里指整数的情况，例如{十&}222324={十}221716。{十}数需经表一转换成为{十Δ}数。{十Δ}数转换成{十}数。方法有几种一种是将{十Δ}数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十1数中各正数字位及O位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例·(十Δ}222323={十}222020-304=221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加T)。另一种方法是在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如222Χ2Χ。但，当其不在{十Δ}数末尾(个位)时，则最低位加连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如XXΧ6Χ5。然后，在其最低位加1。这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。当需转换的{十Δ}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。4.2{十Δ}与{十}对照表及其说明(表一)<table>tableseeoriginaldocumentpage22</column></row><table>表一{十Δ}与{十}数对照表说明①{十}数相应的{十Δ}数可有重复数，也可没有；其中，凡{十Δ}数中没有数字5(正或负)出现时，则相应{十}数没有重复的{十Δ}数。②凡{十Δ}数中有数字5(正或负)出现时，则相应{十}数有重复的{十Δ}数。此时，该相应{十}数中可有数字5，也可没有。{十Δ}数对{十}数的重复数，以5=1石及E=15为“主重复”，其余重复数均可由此推出。③实质上，由于{十"}的数元集中既含有5，又含有E才产生相应的重复数。换句话说，只要{十"}的数元集中去掉5或E，则不会产生重复数。这时，相应这种无重复数的进制，称为Q=10的偏Q进制{Q’}。4.3{十"}与{十}关系分析{十}数与{十"}数的关系是部分“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{十Δ}部分多样性就获得了部分处理的灵活性。这是{十Δ}运算中部分快速性的原因。从这一点来说，{十Δ}具有较强的功能。{十Δ}数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十Δ}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的一组{十"}数。所以，这种{十}数的“一”与{十"}数的“一”组，二者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{十Δ}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{十Δ}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{十Δ}数系统中成立。{十Δ}中P>Q，因而在该进制中自然数有时会出现多种形态表达。这正是该进制部分灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说{十"}是以部分多样性来换取了部分灵活性。{十}中P=Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。应当指出，显然，上述对{十}与{十Δ}的分析，完全相应于{Q}与的分析，因为{十}与{Q}是同构的。由此可知①{Q}数与{9δ}数的关系是部分“一多对应”，而不是“一一对应”。②同时，{Q}中的“一”个数与相应的{9δ}中的“一”组数，二者之间是“一一对应”关系。③{Q}与{9δ}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{9δ}数系统中成立。以下4.至4.3节为偏Q进制的情况4.偏十进制{十’}与普通十进制{十}的关系。4.1{十’}与{十}数的转换法这里指整数的情况，例如{十，}222324={十}2217160{十}数需经表一转换成为{十’}数。{十’}数转换成{十}数。方法有几种一种是将{十’}数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十’}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例{十’}222325={十}222020-304二221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减ι(即加T)。另一种方法是在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如222X2X。但，当其不在{十’}数末尾(个位)时，则最低位加T;连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如XXX6X5。然后，在其最低位加1。这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。当需转换的{十’}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。4.2{十’}与{十}对照表及其说明(表一)…98T654321012345678910-{十}-1011213Γ415432T0123451413121110-Η表一{十’}与{十}数对照表说明表一中这种无重复数的“普Q进制”进制，属于偏Q进制{Q’}中特别重要的一种。其中，Q=10。4.3{十’}与{十}关系分析{十’}数与{十}数的关系是“一一对应”关系。{十’}数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十’}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的{十’}数。由此，可建立一种{十’}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{十’}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{十’}数系统中成立。{十’}中P=Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有多样性，也缺少了相应的灵活性。应当指出，显然，上述对{十}与{十’}的分析，完全相应于{Q}与{Q’}的分析，因为{十}与{Q}同构。由此可知①{Q}数与{Q’}数的关系是“一一对应”。②{Q}与{Q’}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{Q’}数系统中成立。以下4.至4.2节为称Q进制的情况4.称三进制{三”}与普通十进制{十}的关系。4.1{三”}与{十}数的转换法这里指整数的情况。首先，{十}数转换成{Q}数。当Q=3时，{十}数转换成{三}数。例{十}25={三}221。表一为{十}、{三}及{三”}数对照表。<table>tableseeoriginaldocumentpage24</column></row><table>转换方法是将{十}数连续除以Q，直至商为O时停止。这样，每次均出现一位余数。从最后一位余数起，依式中位置从低到高，列出各位余数。则所获数即为需转换结果{Q}数。然后，将{Q}数转换成{Q”}数。当Q=3时，照表一将{三}数编码转换成{三”}数；再将{三”}数转换成{十}数。例如{三”}1011={十}25。首先，将{Q”}数转换成{Q}数。当Q=3时，{三”}数转换成{三}数。例如·[三”}10了1={三}221。这可以从表一获得。然后，再将{Q}数转换成{十}数。这可以将{Q}数各位乘以该位上的权值，再求和获得。当Q=3时，{三”}数转换成{三}数，再转换成{十}数。例，{三”}1011={三}221={十}25。或者，直接将{Q”}数转换成{十}数，即将{Q”}数各位乘以该位上的权值，再求和获得。当Q=3时，{三”}数直接转换成{十}数。当需转换的{三”}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。4.2{三”}与{十}关系分析。{三”}中P=Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有多样性，也缺少了相应的灵活性。{三”}与{十}数的关系是“一一对应”关系。由此，可建立一种{三”}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{三”}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{三”}数系统中成立。又，由于{十}数系统与{Q}数系统同构，故{三}与{三”}数系统同构。应当指出，显然，上述对{三}与{三”}的分析，完全相应于{Q}与{Q”}的分析。因为{三}与{Q}是同构的。由此可知①{Q}数与{Q”}数的关系是“一一对应”。②{Q}与{Q”}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{Q”}数系统中成立。以上各段4.至4.2/4.3节，分别为混/±曾/偏/称Q进制的情况结论当代中国最伟大的科学家之一钱学森导师，是一位伟大的科学家，思想家和马列主义者。混数进制、进位行数学方法，正是属于钱学森特别强调指出的，数学罕手旱谬“直接应用的工程技术”。总称为“三Q发明系列”的数字工程方法，混数进制、进位行数字工程方法(本申请为其中之一)，其数学理论基础即为混数进制、进位行数学方法。混数进制、进位行数学方法在数字工程的总体设计中，这样实施时的“[舉苹与数字计算系统工程紧密结合的方法，称为“混数进制、进位行数字工程方法”。简称为《混进方法HJF》。《混进方法HJF》在各种数字工程的总体设计中，可明显简化各种数字工程的工程结构，可显著提高各种数字工程的运算速度，并且大大降低笔算工程的出错率.权利要求一种笔算数字工程方法，采用混数进制和进位行逻辑结构，其中运载着混数进制数，以“混数进制、进位行笔算笔算数字工程方法”来进行运算①输入K个普Q进制数到输入寄存器网(101)中；②在输入数码转换器网(102)中，将普Q进制数编码或另行转换为混数进制数；③在混数进制运算器(103)中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；④在输出数码转换器(104)中，将运算结果混数进制数译码或另行转换为普Q进制数；⑤经输出寄存器(105)输出普Q进制数；或者，①直接输入K或2K个混数进制数，到混数进制运算器(103)中；②在混数进制运算器(103)中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；运算结果混数进制数直接输出。2.如权利要求1笔算数字工程方法，进一步包括以下二种步骤之一；第一种步骤第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；第2步，对第1步转换成的K或2K个数中的二个数，进行混数进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用“对冲”、“划Q”、累力口，得到这二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第3步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步的运算；如此反复，直至二数最高位也已运算为止；当采用并行运算时，二数各位同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；第4步，取上述K或2K个数中的另二个数，进行第2步及第3步运算；如此反复，直至上述K或2K个数或该运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数；或者，采用以下第二种步骤第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为>2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；第2步，对第1步转换成的K或2K个数，从最低位开始，即在某一位上，分别取二数至K或2K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、累加；即在二数时，得到二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第3步，在上述某位上，取上述K或2K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至上述K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对η个和为0的数先进行“对冲”；然后，对η个和为mQ的数进行“划Q”；η为>2的整数，m为整数；所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或O位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用>2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K或2K个数最高位也已运算为止；第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数。3.如权利要求1和2的笔算数字工程方法，其特征在于，采用“网络化”结构，具备“寄存器网”；实施“多重运算”即，多个数的加减在同时运算中完成。4.如权利要求1和2的笔算数字工程方法，其特征在于，采用“对冲”和“划Q”技术对Q进制的η个数进行求和运算时，如果在某一位上，其“按位加”和为零，但该位上产生进位m(与η个数的该位上和数符号一致)；η为彡2的整数，m为整数；则进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或O位处；同时，将该η个数的该位均置“0”，可以斜线划去，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；在十进制时Q=10，划Q即为“划十”；“划Q”中m=0时，称为“对冲”。5.如权利要求1的笔算数字工程方法，其特征在于，初始输入K个普Q进制数或者初始输入K或2K个混数进制数时，相应的普Q进制数或者混数进制数可不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；其全一码编译可定码长或变码长。全文摘要本发明涉及数字工程方法和笔算工程领域，提出一种新的数字工程方法。依据该“混数进制、进位行笔算数字工程方法”进行总体设计的笔算工程，能够显著提高笔算工程的运算速度，而且大大降低笔算的出错率。本发明将输入的进行加减的K个普通Q进制数，转换成K或2K个混数进制数。然后，对K或2K个混数进制数进行混数进制求和。从最低位开始或各位同时“按位加”，“按位和”数存入下一运算层；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处。经过如此反复运算，直至运算层中运算后不产生进位为止。则最后输出数，即为所求混数进制加法和数。文档编号G06F7/49GK101819514SQ20091000794公开日2010年9月1日申请日期2009年2月28日优先权日2009年2月28日发明者徐菊园,李志中申请人:李志中