混数进制算盘的制作方法

专利名称：：混数进制算盘的制作方法
技术领域：
：本发明涉及数字工程方法和算盘领域。技术背景数字工程包括数控机床、数字化设备和数字系统工程等等。本发明中“数字工程”是专指“数字计算系统工程”。它不是解决一个个具体的算题、或定理证明、或几何问题、或某种数学思想，而是解决四则运算法则等计算系统本身的数字工程实现技术方案。它与具体的计算工具密切相关。众所周知，“计算”有好多种，除“近似计算”、“模拟计算”及“无工具计算”(心算、指算、口算等，包括相应的口诀、速算、估算)外，则为“采用工具的数字计算”。人类历史上，“采用工具的数字计算”包括三类笔算；筹算及珠算；机械算及电算。现代仅剩下数字笔算、珠算、电算。与此相应的“数字计算系统工程”也就仅有三类数字计算机；算盘；采用笔和纸进行笔算的“数字计算系统工程”，简称为“笔算工程”。“数字工程方法”就是指在上述“数字工程”中，如何处理“数字”的方法。它是一项新的数字工程进行总体设计时，所必须的总体设计方法。它规定相应数字工程中，“数字输入”、“数字输出”、“数字运载”、“数字存储”等，及“数字流程”、“数字转换”、“数字操作”、“数字控制”等。它规定相应的工程元器件、部件、装置等；以及相应的操作、控制、流程等的规则。如，“二进制数字工程方法”，就是指该“数字工程”中的元器件、部件、装置…等，均以二进制、二进制数及其相应法则为准。这样实施时的“工程技术”与数字计算系统工程紧密结合的方法，称为“数字工程方法，，。在算盘数字工程中，一般采用“普通二五联合进制”的数字工程方法。因此，原算盘结构复杂，运算口诀繁杂。同时，不可能运用“对冲”及“划Q”技术(见下述)。因此，运算速度较低。
发明内容在数字工程的总体设计中，应用“混数进制”数学方法，就称为“混数进制数字工程方法”。当不致误解时，“混数进制数字工程方法”亦简称为“混数进制”。(参见附混数进制)本发明提出一种新的算盘数字工程方法，采用“混数进制”，以“混数进制数字工程方法”运算，称为“混数进制算盘数字工程方法”。混数进制的典型为混Q进制、增Q进制、偏Q进制及称Q进制。简写为“混/增/偏/称Q进制”(“/”表“或者”，下同。)。Q为自然数。“混数进制算盘数字工程方法”的“操作条件、步骤”及“数的流程”方案是①输入K个普通Q进制数，编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码为“全一码”；②“全一码”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③运算结果“全一码”，译码为混数进制数；然后，混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数输出；或者，①直接输入K或2K个混数进制数，混数进制数编码为“全一码”;②“全一码”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③运算结果“全一码”，译码为混数进制数直接输出。“混数进制算盘数字工程方法”的方案中，进一步包括以下步骤第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为彡2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；第2步，对第1步转换成的K或2K个数中的二个数，进行混数进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用“对冲”、“划Q”、累加，得到这二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第3步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步的运算；如此反复，直至二数最高位也已运算为止；当采用并行运算时，二数各位同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；第4步，取上述K或2K个数中的另二个数，进行第2步及第3步运算；如此反复，直至上述K或2K个数或该运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数；关于“对冲”及“划Q”技术。“对冲”技术是指η个数的同一位上求和时，若和数为零，则这同一位上η个数可以消去。在算式中，该位上的这η个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。“划Q”技术是对Q进制的η个数进行求和运算时，如果在某一位上，其“按位加”和为零，但该位上产生进位m(与η个数的该位上和数符号一致)；η为彡2的整数，m为整数；则进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；同时，将该η个数的该位均置“0”。在算式中，该位上的这η个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；在十进制时Q=10，划Q即为“划十”；“划Q”中m=0时，称为“对冲”。在实际运算中，常采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”来获得混数加减的结果。关于编码。初始输入数可不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以|s|个ι从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为ο；同时，将s的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；其全一码编译可定码长或变码长。这里选用全一码来编码。根据本发明的另一个方面，提供一种“混数进制算盘”，简称为“混数算盘”。混数进制包括“混/增/偏/称Q进制”。也就是说，提供混Q进制算盘、或增Q进制算盘、或偏Q进制算盘、或称Q进制算盘。其中，典型的是，当Q=10时的混十进制算盘、增十进制算盘、偏十进制算盘。本发明中，除特别注明外，均指此类算盘。混数进制运算可为上述方案，采用上述步骤。具体产品表述如下。在盘状长方形机械框架结构中，没有横梁。采用15档竖档，或多于15档，或少于15档。竖档呈直线型，或者呈竖立“八，，型。分为长度相等的上中下三段，每段长度为该竖档上全部算珠的总厚度。其起伏均有圆滑过渡，以便于算珠推动。每根竖档上贯穿有Q、或(Q-1)、或Q/2、或(Q+l)/2只算珠；当Q=10时，有10只或9只或5只算珠。以人工手动方式使算珠沿竖档上下移动，采用“对冲”、“划Q”、累加来进行计算。通常情况下，增/偏Q进制运算结果或中间结果，可以相应的混数进制数来表示即可。当最终结果确实需要以普通十进制数来表示时，例如增/偏Q进制算盘中，则配以表示二值0、Q/2或三值0、士Q/2的标记。为此，可在纪录纸上另行标记；或者，以颜色笔在相应每根竖档上下方的上下框，加上可擦去的颜色标记；或者，在上框的上方具有一根横轴，横轴上相应每根竖档，均有可转动的标记。上框的水平中线位置上有上框小槽。小槽中有游标一只，或者一只以上，或者没有。游标可以在槽中左右滑动，作为参与运算数和结果数的小数点，或其他特定的定位标记。有益效果本发明“混数进制算盘”，简称为“混数算盘”；又称“三Q算盘”。其中，“混数进制”包括混Q进制/增Q进制/偏Q进制及称Q进制。本发明为总称“三Q发明系列”(简称“三Q”)之一。“三Q算盘”从“数制”这一根本性能上加以“革命”，从而取得了全面凌驾于现代及未来各种算盘之上的态势。混数进制算盘中的增/偏十进制算盘，已经大大超越了现有的算盘，登上了算盘领域的顶峰。表现在以下四个方面I.算盘性能显著提高——①运算速度大大加快。原算盘技术采用“普通二五联合进制”，以“累加”来运算；现技术采用单一的混数进制，以“对冲”、“划Q”及“累加”来运算。②原算盘技术与普通十进制数转换不便；现算盘技术当采用混数进制中的混/增/偏十进制时，其与普通十进制同属十进制类型。因此，与普通十进制转换十分方便。③原技术不便于直接表示负数；现技术可以直接表示负数。而且，原技术不便于减法运算；现技术减法消失了。④原技术运算口诀繁杂；现技术运算口诀简明。⑤原技术操作不便；现技术操作十分方便。据一般情况下粗略估计，新一代算盘的运算速度比老式算盘提高80%左右。II.算盘结构显著简化，成本显著降低。——①原算盘数字工程技术，采用“普通二五联合进制”结构；现算盘数字工程技术，采用单一的“混数进制”结构。②原算盘数字工程技术，没有“对冲”及“划Q”逻辑结构；现算盘数字工程技术，具备“对冲”及“划Q”逻辑结构。③原算盘采用横梁来分隔算珠，算珠分为“上珠”及“下珠”二种类型；现算盘技术取消了横梁，取消了“上珠”，算珠仅为一种类型。对于算盘这种结构十分简单的产品，主要构件就是“横梁”和“算珠”，其余部分仅仅是支撑。现取消了横梁，取消了“上珠”。同时，每一位上算珠的总数只有5只，成为当代算盘中最少的。算盘结构得到了显著简化。因此，新型算盘节省了材料，方便了生产，方便了装配，缩小了体积，显著降低了成本。III.使用方便。一原技术口诀复杂，不通俗；现技术口诀简明、通俗。使用方便。IV.易教易学——原技术不易教不易学；现技术原理简明，运算简单，特别易教易学。另一方面，我们进一步的研究还表明，在算盘领域，在数制层面的成果，已经被我们一网打尽。算盘领域今后也不大可能再出现类似的飞跃。综上所述，本发明混数进制算盘已经成为世界上结构最简单，运算速度最快的算盘。“三Q算盘”是“算盘”史上一项重大的革命。图1为混Q算盘的机械结构示意图(Q=10)。图中标有1.算珠，2.左框，3.游标1，4.游标2，5.上框，6.上框小槽，7.竖档，8.右框，9.下框。图2为增/偏Q算盘的机械结构示意图(Q=10)。图中标有1.算珠，2.左框，3.游标1，4.游标2，5.上框，6.上框小槽，7.竖档，8.右框，9.下框，10.颜色标记。具体实施例方式第一部分混数进制算盘数字工程方法本发明前一部分混数进制算盘数字工程方法，又称为“三Q算盘工程方法”。它属于总称为“三Q方法”之一。该部分属于“方法类”发明。为此，该部分以相应的“操作条件、步骤”及“数的流程”等技术特征来描述。1.混数进制算盘数字工程方法，采用“混数进制”，以“混数进制方法”运算。“混数进制算盘数字工程方法”的方案是设定串行输入K个普通Q进制数到混数进制算盘中；在混数进制算盘中，编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码为“全一码”；以“对冲”、“划Q”、“累加”技术来进行混数进制“全一码”运算；运算结果“全一码”译码为混数进制数；然后，混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数输出；或者，设定直接串行输入K或2K个混数进制数，到混数进制算盘中；在混数进制算盘中，混数进制数编码为“全一码”；以“对冲”、“划Q”、“累加，，技术来进行混数进制“全一码”运算；运算结果“全一码”译码为混数进制数直接输出。在混数进制算盘中，运算由“对冲”、“划Q”、“累加”操作组成。“对冲”、“划Q”、“累力口”以相应的“操作条件、步骤”来表述如下。2.“混数进制算盘数字工程方法”的方案中，进一步包括以下步骤第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；第2步，对第1步转换成的K或2K个数，从最低位开始，即在某一位上，分别取二数至K或2K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、累加；即在二数时，得到二个数该位“按位力口”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；第3步，在上述某位上，取上述K或2K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至上述K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对η个和为0的数先进行“对冲”；然后，对η个和为mQ的数进行“划Q”;n为>2的整数，m为整数；所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用彡2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K或2K个数最高位也已运算为止；第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数。3.关于“对冲”及“划Q”技术。“对冲”技术。这是指η个数的同一位上求和时，若和数为零，则这同一位上η个数可以消去，不再参加以后的运算。“划Q”技术。对Q进制的η个数进行求和运算时，如果在某一位上，其“按位加”和为零，但该位上产生进位m(与η个数的该位上和数符号一致)；η为彡2的整数，m为整数；则进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；同时，将该η个数的该位均置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”;在十进制时Q=10，划Q即为“划十”；“划Q”中m=0时，称为“对冲”。在实际运算中，常采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”来获得混数加减的结果。4.关于“数码转换”。上述输入K个普Q进制数参予加减运算，K为>2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数。其中，混数进制包括混/增/偏/称Q进制(/表示或者)。对于混Q进制转换成K个；对于增Q进制转换成2K个；对于偏Q进制转换成2K个；对于称Q进制转换成2K个。普Q进制数转换成混数进制数的方法，以及混数进制数转换成普Q进制数的方法，也就是说，普Q进制数与混/增/偏/称Q进制数之间互相转换的方法。优选其中Q=10时的情况，即普十进制数与混/增/偏十进制数之间互相转换的情况。详见下述第二部分混数进制算盘，以及附混数进制第3节。5.关于编码。初始输入K个普Q进制数或者初始输入K或2K个混数进制数时，相应的普Q进制数或者混数进制数可不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以Isl个ι从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；其全一码编译可定码长或变码长。现优选以全一码来编码。第二部分混数进制算盘混数进制算盘有混Q进制算盘和增/偏Q进制算盘两类。图1为混Q算盘机械结构示意图(Q=10)。在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠1沿竖档7上下移动。没有横梁。采用“对冲”、“划Q”、累加来进行计算。竖档7为15档，呈直线型，分为长度相等的上中下三段。每段长度为该竖档上全部算珠的总厚度。竖档7上有Q或(Q-I)只算珠1；当Q=10时，为9只或10只算珠1。算珠1的初始位置，均在竖档7的中央部分，而竖档7的上下二端均为空位。(称为“中珠”或“零珠”。)游标13在上框小槽6中滑动到指定的被加数小数点位置。本发明混Q算盘中，混数进制运算可为前述方案；设定串行输入K个普通Q进制数参予加减运算，K为>2的整数，Q为自然数；在运算过程中，首先将普通Q进制数化为混Q进制数一般形式。将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去；然后，进行混Q进制的求和运算。运算结果为“混Q进制”的“混Q数”。当最终需要时，再将“混Q数”转换为普通Q进制数；或者普通十进制数。参加运算的数为混Q进制数，简称“混Q数”。当Q=10时，则为混十进制数，也简称为“混十数”。该数采用全一码编码，采用定码长来展示。图2为增/偏Q算盘机械结构示意图(Q=10)。在盘状长方形机械框架结构中，以人工手动方式使算珠1沿竖档7上下移动。没有横梁。采用“对冲”、“划Q”、累加来进行计算。竖档7为15档，呈直线型，分为长度相等的上中下三段。每段长度为该竖档上全部算珠的总厚度。每根竖档7上贯穿有Q/2或(Q+l)/2只算珠1;当Q=10时，有5只算珠1。算珠1的初始位置，均在竖档的中央部分，而竖档的上下二端均为空位。(称为“中珠”或“零珠”。)上框5的水平中线位置上有上框小槽6。小槽中有游标J、游标24。游标可以在槽中左右滑动，作为参与运算及结果数的小数点或其他特定的定位标记。增/偏Q进制运算可为前述方案。设定串行输入K个普通Q进制数参予加减运算，K为>2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个增/偏Q进制数；(本发明中，均采用2K个增/偏Q进制数来展示)；然后，进行增/偏Q进制的求和运算。运算结果为“增/偏Q进制”的“增/偏Q数”。当最终需要时，再将“增/偏Q数”转换为普通Q进制数；或者普通十进制数。参加运算的数为增/偏Q进制数，简称“增/偏Q数”。当Q=10时，简称为“增/偏十数”。该数采用全一码编码，采用定码长来展示。需要指出的是，对于偏Q进制算盘，上述全部运算中不使用“-Q/2”。对于偏Q进制算盘中的“偏十进制算盘”，则上述全部运算中不使用“"B”。通常情况下，增/偏Q进制运算结果或中间结果，可以相应的混数进制数来表示即可。当最终结果确实需要以普通十进制数来表示时，例如增/偏Q进制算盘中，则配以表示二值0、Q/2或三值0、士Q/2的标记。当Q=10需要表示士6、士7、士8、士9时，则配以表示二值0、5或三值0、士5的标记。为此，可在纪录纸上另行标记；或者，以颜色笔在相应每根竖档7上下方的上下框，加上可擦去的颜色标记10；或者，在上框的上方具有一根横轴，横轴上相应每根竖档7，均有可转动的标记；标记为正三角柱体或圆柱体的元器件；或者，不加任何标记。这里，优选颜色标记10。混Q算盘和增/偏Q算盘中的数字工程方法，采用前述步骤。特点为<1>布珠。设该首数的某位为正数，则将位于竖档7中央的算珠1，依次上拨紧靠上框6(称为“上珠”或“正珠”)；某位为负数时，则将位于竖档7中央的算珠1，依次下拨紧靠下框9(称为“下珠”或“负珠”)。在加法运算时，依加法口诀执行。和数以混数数呈现于竖档7上。在运算过程中，当算珠从下位移到中位，或从中位移到上位，则为“加”；反之，当算珠从上位移到中位，或从中位移到下位，则为“减”或“加”负值。运算中可充分运用“对冲”及“划Q”，用来提高运算速度。<2>珠算四则运算以及乘方<table>tableseeoriginaldocumentpage9</column></row><table>四则运算以及乘方的运算格式如下①珠算加法口诀如下一下九上一，二下八上一，三下七上一，四下六上一，五下五上一，六下四上一，七下三上一，八下二上一，九下一上一；五下下上一(转换用)。(其中9=8禾口1，7禾口2，6禾口3，5禾口4;8=7禾口1，6禾口2，5禾口3，4禾口4;7=6禾口1，5禾口2，4禾口3，；6=5禾口1，4禾口2，3禾口3;5=4禾口1，3禾口2;4=3禾口1，2禾口2;3=2禾口1;2=1禾口1；)例如，“三下七上一”指加数3时，被加数下移7，则相邻高位加上一。②加“负数”时将上述口诀变为对称的相反口诀，即负数时，“上”与“下”互相替换。例如，巧上四下一。这里，由于口诀与上述“对称”，故未增加复杂性。③上列口诀中，最后一句“五下下上一”表示5连续下移两次，则相邻高位加上一。它专用于正数的转换，以利于操作方便。对于"B，则有“上上下一”<3>运算中及运算结束时，常采用“对冲”及“划Q”。<4>当最终结果需要转换为普通十进制数时，则照前述转换法则即可①该数为正数时，固定该正数的正数元不变；该正数的负数元采用前述加负数的口诀。其中，“上”变为“转”即可。也就是使负数元归0，然后替换为对Q取补的相应正数元。②该数为负数时，则将该数变号，即各位变为相反数，然后再转换。或者，采用与上述口诀对称的相反口诀，转换成各位均为“下珠”。±曾/偏Q算盘中，当Q=10时，可为另一种转换方式正数时口诀为“双推转下一”；负数时口诀为“双推转上一”。这里所谓“双推”，对负数元是，以手指一次性同时将全部下珠(负珠)及中珠(零珠)上推一档。即，将全部下珠推为中珠，同时将全部中珠推为上珠(正珠)；对正数元是，以手指一次性同时将全部上珠(正珠)及中珠(零珠)下推一档。即，将全部上珠推为中珠，同时将全部中珠推为下珠(负珠)。这里所谓“转”，是指转动“标记”。对负数元是将{0，士5}三态的“标记”设为5；对正数元是将{0，士5}三态的“标记”设为"B。这里所谓“上下一”，与前述口诀中一样，为将相邻高位上的一只算珠上推一档或下推一档。如果上述转化后的形式还出现负数元，则将其所在竖档7上的算珠向上“双推”，然后转“标记”设为0。这称为“双推转0”。具体说，这另一种转换方式也就是①当需转换的混数进制数，首位为正时，表示该数为正数。这时该数中的正数元不变；将该数中的负数元归0；然后，替换为此负数元的绝对值对Q取补的相应正数元；再在相邻高位“下一”。当Q=10时，即对此负数元“双推转下一”，然后“双推转0”。②当需转换的混数进制数，首位为负时，表示该数为负数。这时该数中的负数元不变；将该数中的正数元归O；然后，替换为此正数元对Q取补的相应负数元；再在相邻高位“上一”。当Q=10时，即对此正数元“双推转上一”，然后“双推转0”。③这样转换结果即为所求{十}数。相应该数是正数时，全部算珠为上珠和中珠，同时配以{0，5}标记；相应该数是负数时，全部算珠为下珠和中珠，同时配以{0，石}标记；相应该数是0时，全部算珠为中珠，同时配以“0”标记。显然，对于负数也可以首先化为相反数，即化为相应的正数来转换。举例说明例增/偏十进制算盘典型的混数进制算盘，包括混/增/偏/称Q进制算盘。其中，增Q进制中Q=10符号表示为{十1，相应增Q进制算盘即称为“增十进制算盘”。以下为{十1四则运算中的{十1加法和乘法例112+155-32-125+133-54=132例X131=11502<formula>formulaseeoriginaldocumentpage10</formula>其中，偏Q进制中Q=10符号表示为{十’}，相应偏Q进制算盘即称为“偏十进制算盘”。以下为{十’}四则运算中的{十’}加法和乘法例112+155-32-125+133-5^132例沔2X131=11502<formula>formulaseeoriginaldocumentpage10</formula>附混数进制(1.混数进制；2.混数进制四则运算；3.混十进制{十*}/增十进制{十1/偏十进制{十’}/称三进制{三”}与普通十进制{十}的关系；4.结论。)1.混数进制1.1《数制理论SZLL》1.1.1按同一种规则记录数，用在一个数系统中，进行运算的数的制度，称为“记数系统的制度”。简称为“数制”。《数制理论SZLL》就是研究数制的生成、分类、分析、比较、变换、计算等的科学。它也是研究数制在数论中，及在集合论、群论、博弈论等数学其他分支；及其在多值逻辑、Walsh函数、《狭义及广义模随论MSL》等各邻近学科；特别是在数字工程领域的计算机、笔算工程及算盘中应用的科学。它是数学的基础理论之一。数学科学，即“数”的科学。“数”的基本之一为“数制”。因此，《数制理论SZLL》是“核心数学”的“核心”之一。1.1.2位值制数制设，构造一个数系，其中的数以各不相同位置上的“数符”来表示。“数符”又称“数字”。对于每个数位上的全部数字，均给定一个单位值(又称“位值”)。数字通常从右向左水平排列，其值由低(小)到高(大)。以此规则来表示整个数系中每一个数的数制，称为“位值制数制”。我们以下讨论的数制，都是“位值制数制”。在不致误解时，也直接简称为“数制”。1.1.3数制的三大要素数位I(或i)，数元集Zi和权Li。a、数位1(或i，下同)表示数制中数的各位数字的位置。1(或i)为序数，各位从右至左来表示。BP,i=1,2,3,…表示该数的第1，2，3，…位。b、数元集Zi，表示第I位上的“数元”组成的集合。同一数制系统中，各个数同一位上不同符号的全体，组成一个该位上的数符集。该数符集中的元素，称为“数的元素”。简称为“数元”。因此，该数符集称为“数元集Z”。数元集Zi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的Zi均为相同的Z时，相应的数制称为“单一集数制”；当相应的数制为下述“进制”时，称为“单一集进制”。当各位上的Zi不全相同时，相应的数制称为“联合集数制”；当相应的数制为下述“进制”时，称为“联合集进制”。数元集Zi中的数元可为复数或其他多种多样符号。在《数制理论SZLL》中，以…来表示数元(，，，···)，」为自然数。以ia」表示第i位上数元a」。约定，a」=-A(A为复数)时，可表示为a尸S。为便于计算，通常取数元…为整数，以阿拉伯数字来表示。数元集Zi以集合{a1;-,Bj,···}来表示，即Zi=Ia1,···，&」，···}；或者，Zi以文字表明其特征。数元集Zi的基数Pi(Pi为自然数)，表示了集的元素总数。恩格思指出它“不但决定它自己的质，而且也决定其他一切数的质。”Pi的取值不同，标记了数元集Zi的变化。各位上的Pi为相同的P，则称为“单一基数”；否则，称为“联合基数”。在《数制理论SZLL》的“位值制数制”中，定义数中的“空位”表示“无”，其位值为0，称为“空位0”。“空位0”是0的一种，是0的一种表达形式，是一种隐含的0。通常不加以标明；在数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。“空元”是每一个“位值制数制”数元集均有的数元，其在数元集中的表示即为“空位”。通常不加以标明。“空元”是数元集中，唯一通常不计入数元…，也不计个数，即个数为0的数元；另一方面，在特别情况下，为统一表述，则将其计入数元，其个数计为1。C、权Li，表示第i位上的位值大小。特称此位值为“权Li”。Li为实数。为便于计算，通常取权Li为整数，特别是自然数，以阿拉伯数字来表示。不同的Li，就决定了不同的位值。在“编码理论”中，“编码”的主要特征就在于权Li。实际中常见的权Li采用所谓“幂权”。即，令Li=Qi(H)Ai*实数。为便于计算，通常取Qi为整数，特别是自然数。Qi可以阿拉伯数字来表示，也可以中文小写数字来表示。常见各位Li均为幂权，而且成等比Q的数制。Q称为数制幂权的“底数”或数制的“底数”。底数Q的不同，决定了不同的Li，从而决定了不同的位值。Qi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的数制幂权Qi，其底数均为相同的Q时，相应的数制称为“单一Q进制”。简称为“Q进制”或“进制”。当各位上的数制幂权Qi，其底数不全相同时，相应的数制称为“联合Q进制”。另一种常用的权Li采用“等权”，即各位上的权L相同。为了简明起见，对于一般计算而言，本文以下只讨论数制中的“进制”。“进制”中的底数Q称为“进制的位值”，简称为“进位值”或“位值”。显然，根据上述数制的三大要素，数制可以有无穷无尽的种类。1.2混数及对称1.2.1混数及混数进制。当数元集Zi中含数元0时，该相应进制被称为“含0进制”;当数元集Zi中不含数元0时，该相应进制被称为“不含0进制”。通常情况下，所谓进制均指“含0进制”；因此，当不致误解时，“进制”专指“含0进制”。当数元集Zi中，全部数元为连续整数成为“整数段”时，该相应进制被称为“整数段进制”。对于Q进制，则称为“整数段Q进制”。恩格斯指出“零比其他一切数都有更丰富的内容。”鉴于“0”的这种特殊重要性，在《数制理论SZLL》中，含0整数段去掉0时，仍作为一种特殊的整数段。当数元集Zi中可为正数元、负数元或中性数元0时，相应进制被称为“混数进制”。混数进制中的数，称为“混数”。“混数”中既有正数元又有负数元的数，称“纯混数”。1.2.2对称在《数制理论SZLL》中，当数元集Zi中的正负数元是相反数时，相应进制称为“对称进制”。对于Q进制，则称为“对称Q进制”。简称为“称Q进制”；当数元集的正负数元不是相反数时，相应进制称为“不对称进制”。对于Q进制，则称为“不对称Q进制”；当数元集的正负数元不全是相反数时，相应进制称为“偏对称进制”。对于Q进制，则称为“偏对称Q进制”。简称为“偏Q进制”。1.3基数P与位值Q的关系在任一个具有整数段数元集的Q进制中，当P=Q时，自然数在该进制中可以连续唯一的形态表达，称为“连续进制”，又称“普通进制”；对于Q进制，则称为“普Q进制”。简称为“普Q进制”；当P>Q时，自然数在该进制中可以连续，但有时以多种形态表达，称为“重复进制”，或“增强进制”。对于Q进制，又称为“增强Q进制”，简称为“增Q进制”；当P<Q时，自然数在该进制中只能断续的形态表达，称为“断续进制”，或“减弱进制”。对于Q进制，又称为“减弱Q进制”，简称为“减Q进制”。1.4进制的符号名称在《数制理论SZLL》中建立了“代数数制系统”。一个进制的符号名称采用“ZiLi”；对联合集进制中联合Q进制时，则为ZiQi。单一集进制中联合Q进制时，则为ZQi。联合集进制中单一Q进制时，则为ZiQ。单一集进制中单一Q进制时，则为ZQ。这里Q的具体数值，以中文小写数来表示。本文以下只讨论单一集进制中，单一Q进制的情况。在上述1.3节“普Q进制”中，需要特别指出的是对于含0的普Q进制，Z={0,1,…，(Q-I)Io故ZQ={0,1,…，(Q_1)}Q，Q为>1的整数，称为“含0普Q进制”。符号表示为{含0，Q}；对于不含0的ZQ={1，2，…，Q}Q，Q为自然数，称为“不含0普Q进制”。符号表示为{不含0，Q}。含0和不含0的普Q进制，合起来统称为“普Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q}。当不致误解时，“含O普Q进制”亦可称为“普Q进制”，亦以符号{Q}来表示。故可以符号{二}及{十}来表示普通二进制及普通十进制。1.5本文专门研究的几类混数进制本文仅研究如下的几种混数进制典型。它们是混Q进制、增Q进制、偏Q进制及称Q进制。简写为“混/增/偏/称Q进制”(“/”表“或者”，下同。)。Q为自然数。分叙如下。1.5.1混Q讲制ZQ={0，士1，…，士(Q-1MQ进制，Q为>1的整数，称为“含0混Q进制”。符号表示为{含0，(Π；对于不含OWZQ={士1，士2，…，士Q}Q进制，Q为自然数，称为“不含0混Q进制”。符号表示为{不含0，Q*}。含0和不含0的混Q进制，合起来统称为“混Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q*}。当不致误解时，“含0混Q进制”亦可称为“混Q进制”，亦以符号{(Π来表示。在《数制理论SZLL》中，{十的名称是“单一基数P=19，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十九，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，士1，士2，…，士9}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十*}，称为“混十进制”。{二的名称是“单一基数P=3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，士1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二1，称为“混二进制”。1.5.2增Q进制在上述1.3节“增Q进制”中，本文只讨论如下这种类型增Q进制中，特别重要的一种是P=Q+l>Q。Q为自然数。对于含0的ZQ={0，士1，…，士Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0增Q进制”。符号表示为{含0，Δ}；对于不含0的ZQ={士1，士2，…，士(Q+1)/2}Q进制，Q为正奇数，称为“不含0增Q进制”。符号表示为{不含0，Qa}0含0和不含0的增Q进制，合起来统称为“增Q进制”，Q为自然数。符号表示为{9Δ}。当不致误解时，“含0增Q进制”亦可称为“增Q进制”，亦以符号{9Δ}来表示。在《数制理论SZLL》中，{十1的名称是“单一基数P=11，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十一，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，士1，士2，…，士5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十1，称为“增十进制”；{二1的名称是“单一基数P=3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，士1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二1，称为“增二进制”。1.5.3偏Q进制在上述1.2.2节“偏Q进制”中，本文只讨论如下这种类型在“普Q进制”的偏Q进制中，特别重要的是在其“数元集”中，仅有一个绝对值最大的正数元没有相应的负数元，其余均为0或对称数元的一种。Q为自然数。本文中，偏Q进制仅指这一种。对于含OWZQ={0，士1，…，士(Q/2-l)，Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0偏Q进制”。符号表示为{含0，Q，}；对于不含0的ZQ={士1，士2，…，士(Q-I)/2，(Q+1)/2}Q，Q为正奇数，称为“不含0偏Q进制”。符号表示为{不含0，Q’}。含0和不含0的偏Q进制，合起来统称为“偏Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q’}。当不致误解时，“含O偏Q进制”亦可称为“偏Q进制”，亦以符号{Q’}来表示。故可以符号{十’}及{二’}来表示“偏十进制”及“偏二进制”。在《数制理论SZLL》中，{十’}的名称是“单一基数P=10，含0，整数段，偏对称的十进制”。可写为{十，含0，整数段，偏对称}十进制，或者写为{0，士1，士2，…，士4，5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十’}，称为《偏十进制》；{二’}的名称是“单一基数P=2，含0，整数段，偏对称的二进制”。可写为{二，含0，整数段，偏对称}二进制，或者写为{0，1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二’}，称为《偏二进制》。1.5.4称Q进制在上述1.2.2节“称Q进制”中，本文只讨论如下这种类型在“普Q进制”的称Q进制中，对于普通对称含OWZQ={0，士1，…，士(Q_l)/2}Q进制，9为>1的奇数，称为“含0普通对称Q进制”。符号表示为{含0，Q”}；对不含0的ZQ={士1，…，士Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“不含0普通对称Q进制”。符号表示为{不含0，Q”}。含0和不含0的普通对称Q进制，合起来统称为“普通对称Q进制”，当不致误解时，简称为“称Q进制”。Q为>1的整数。符号表示为{Q”}。当不致误解时，“含0普通对称Q进制”，亦可称为“称Q进制”，亦以符号{Q”}来表示。在《数制理论SZLL》中，{三”}的名称是“单一基数P=3，含0，整数段，对称的三进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}三进制，或者写为{0，士1}三进制。一般情况下，进一步符号表示为{三”}，称为“称三进制”。1.6混数进制编码以混数进制来编码的方法，称为“混数编码”。当A进制数元以B进制数来编码时，A进制数按位排列成相应的B进制数。这称为“以B进制数编码的A进制数”，简称为“B编码的A数”，或“编码B数”，或“编码数”。例，{十}328={二}101001000；其“编码{二}数”为0011，0010，1000。如上述“编码{0，士1}二进制数”，即指以10，士1}二进制(其特况为普通二进制)数来编码的“编码数”。所谓“编码B数”的运算，即为“编码B进制”运算。这时，A进制数的位与位间为A进制运算，但每位中则为B进制运算。A进制数元以B进制数来编码时，所需B进制数的最多位数，称为“码长”。固定的“码长”，称为“定码长”；如最高位0不加以标明，使之成为“空位0”时，相应“码长”是变化的，称为“变码长”。混数进制数字工程方法，所述运算数是混数进制数。可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以Isl个ι从最低位顺序至高位排列来对应，总位数则为Q或(Q-I)或Q/2或(Q+l)/2位。其余高位均为0(或空位0)。同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符。当采用全一码来编码混数进制数时，η个数加法仅为η个数中1或T的不重复排列，称为“排1”；其全一码编译可以定码长或变码长。2.混数进制四则运算。本文研究的混数进制典型是，混Q进制、增Q进制、偏Q进制及称Q进制。简写为“混/增/偏/称Q进制”(“/”表“或者”，下同。)。Q为自然数。进一步，又特别研究Q=10或3的情况。混数进制四则运算之中，特别重要的是混十进制{十、增十进制{十八}、偏十进制{十，}及称三进制{三”}。分述如下。2.1{十*}的四则运算①{十*}的加法例123+45否二427式中求得和为575。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和5不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见3.1转换法则。②{十*}WM^Ml23-456=123+456=339;例112+56-32-85+67-46=72③{十*}的去仿IJ238X89二12g02④{十*}的除法例5728+23=249......12.2{十八}的四则运算①{十八}的加法例1泛3+344=433式中求得和为d。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和433不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见3.1转换法则。②{十1的减法例1豆3-344=1如+3§知341；例112+155-32-1郎+133-55=1如③{十^}的乘法例沔2X131二11502④{十^}的除法例1躬35+23=251……12.3{十’}的四则运算①{十，}的加法例=123+344=433式中求得和为433。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和433不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见3.1转换法则。②{十，}的减法例1泛3-344=1豆3+333=541；例112+1邳-32-125+133-54=132③{十，}的乘法例沔2X131=11502④{十，}的除法例13332+23=251……12.4{三”}的四则运算①{三”}的加法例ioTi+iToo=inii求得和为lllll。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为43。一般来说，所求和lllh不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见3.1转换法则。②{三”}的减法例10i;i-ll00=0lTl③{三”}的乘法例=ionxnoo=noiioo④{三”}的除法例{十}25+18=r"7ioh+noo=i…ill2.5四则运算的特点①加减法合并为加法，减法化为加法来运算。这一来实际计算中，就消除了通常连加减的困难。这是由于混数的特性所决定。②“对冲”技术。这是指n个数的同一位上求和时，若和数为零，则这同一位上n个数可以消去。在算式中，该位上的这n个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。“划Q”技术。对Q进制的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其“按位加”和为零，但该位上产生进位m(与n个数的某一位上和数符号一致)；n为彡2的整数，m为整数；则进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或150位处；同时，将该n个数的某位均置“0”，可以斜线划去，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；在十进制时Q=10，划Q即为“划十”；“划Q”中m=0时，称为“对冲”；在实际运算中，常采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”来获得混数加减的结果。③乘除方法简单。由于采用混数可使除法中的“减”过程变为“加”过程。为了去掉“减”过程的思路，进一步还可以令被除数变号。然后，整个“减”过程完全变成“加”过程。这可使整个运算的复杂性进一步降低。应该注意，此时若出现余数，则要将该余数变号后，才是最终运算结果的余数。同时，除法中的试商过程，可变为予先设定的迭代过程。④四则运算加减乘除，均可全面地显著提高运算速度。⑤加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低了笔算的出错率。3.混十进制{十与普通十进制{十}的关系。3.1{十与{十}数的转换法这里指整数的情况，例如{十*}3哀2乏歹6={十}221716。{十}数本身即为{十*}数的一种特况，故{十}数不经转换即为{十数。因此，{十}数转换成{十1数只要将这些普Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去。{十数转换成{十}数。方法有几种一种是将{十数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例{十*}3S2556={十}302006-80290=221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加T)。另一种方法是在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如3X2XX6。但，当其不在{十数末尾(个位)时，则最低位加T;连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如X1X70X。然后，在其最低位加1。这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。当需转换的{十数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。3.2{十与{十}对照表及其说明(表一)说明①表一中0+0_分别为从正负方向趋近于0所获得的0。②表一中&表示形式为“连续非负整数个9”的全体的缩写。即§，可为0个9，可为1个9，可为99，可为999，…等形式。这种形式表示的集合，称为“连集”。显然，“连集”为无限集。设E为整数，则会为E的“连集”，简称为“连E”。读作“E点”。以“连集”形式表示的一组无穷个数，称为“连集数组”或“连集组数”。③由数10的二种表达形式可知§=0=5。④在{十*}数系统中，“连集”形式有且仅有(0'0'9‘^)四种。由于6=0‘故“连集”形式有且仅有(6，3，§)三种，亦可写为(6，士3)三种。3.3{十*}与{十}关系分析{十}数是{十数的一部分，{十}数集是{十数集的真子集；{十数〕<table>tableseeoriginaldocumentpage17</column></row><table>表一{十}中p=Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。{十*P>Q，因而在该进制中自然数会出现多种形态表达。这正是该进制灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说{十是以多样性来换取了灵活性。有了它，才有了《混进方法HJF》，才有了“笔算工程”的新技术方案。有了它，也才有了处理器及其相应电子计算机新技术方案。{十数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的一组{十“连集组数”。所以，这种{十}数的“一”与{十1“连集组数”的“一”组，二者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{十数与{十}数的互为映射关系。由于变换是集到自身上的对应，所以{十}与{十数是“一一变换”。对于运算系统来说，{十}与{十数系统是“自同构”。相应{十}数的各种运算性质，亦在{十数系统中成立。应当指出，显然，上述对{十}与{十的分析，完全相应于{Q}与{Q*}的分析，因为{十}与{Q}是同构的。由此可知①{Q}数是{Q1数的一部份，{Q}数集是{(H数集的真子集。{(H数〕{Q}数，即{(H数对于{Q}数有真包含关系。②{Q}数与{(H数的关系是“一多对应”，而不是“一一对应”。③同时，{Q}中的“一”个数与相应的{(H中的“一”组“连集组数”，二者之间是“一一对应”关系。④{Q}与{(H数系统是“自同构”。相应{Q}数系统的各种运算性质，亦在{(H数系统中成立。以下3.至3.3节为增Q进制的情况3.增十进制{十1与普通十进制{十}的关系。3.1{十A}与{十}数的转换法{十}数，即{十数对{十}数有真包含关系。{十}数与{十数的关系是“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{十就获得了多样处理的灵活性。这是{十1运算中多样性、快速性的原因。从这一点来说，{十具有较强的功能。这里指整数的情况，例如{十”222324={十}221716。{十}数需经表一转换成为{十1数。{十1数转换成{十}数。方法有几种一种是将{十1数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十1数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例{十&}222324={十}222020-304=221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加T)。另一种方法是在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如222X2X。但，当其不在{十1数末尾(个位)时，则最低位加1;连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如XXX6X5。然后，在其最低位加1。这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。当需转换的{十、数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。3.2{十A}与{十}对照表及其说明(表一)<table>tableseeoriginaldocumentpage18</column></row><table>表一{十A}与{十}数对照表说明①{十}数相应的{十1数可有重复数，也可没有；其中，凡{十1数中没有数字5(正或负)出现时，则相应{十}数没有重复的{十八}数。②凡{十1数中有数字5(正或负)出现时，则相应{十}数有重复的{十1数。此时，该相应{十}数中可有数字5，也可没有。{十1数对{十}数的重复数，以5=15及"B二15为“主重复”，其余重复数均可由此推出。③实质上，由于{十1的数元集中既含有5，又含有石才产生相应的重复数。换句话说，只要{十1的数元集中去掉5或B，则不会产生重复数。这时，相应这种无重复数的进制，称为Q=10的偏Q进制{Q’}。3.3{十~与{十}关系分析{十}数与{十~数的关系是部分“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{十、部分多样性就获得了部分处理的灵活性。这是{十、运算中部分快速性的原因。从这一点来说，{十~具有较强的功能。{十~数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十1数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的一组{十1数。所以，这种{十}数的“一”与{十1数的“一”组，二者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{十~数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{十1数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{十1数系统中成立。{十~*P>Q，因而在该进制中自然数有时会出现多种形态表达。这正是该进制部分灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说{十是以部分多样性来换取了部分灵活性。{十}中P=Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。应当指出，显然，上述对{十}与{十1的分析，完全相应于{Q}与{QA}的分析，因为{十}与{Q}是同构的。由此可知①{Q}数与{Qa}数的关系是部分“一多对应”，而不是“一一对应”。②同时，{Q}中的“一”个数与相应的{Qa}中的“一”组数，二者之间是“一一对应”关系。③{Q}与{Qa}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{Qa}数系统中成立。以下3.至3.3节为偏Q进制的情况3.偏十进制{十’}与普通十进制{十}的关系。3.1{十’}与{十}数的转换法这里指整数的情况，例如{十’}222324={十}221716。{十}数需经表一转换成为{十’}数。{十’}数转换成{十}数。方法有几种一种是将{十’}数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十’}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例{十’}222324={十}222020-304=221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加T)。另一种方法是在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如222X2X。但，当其不在{十’}数末尾(个位)时，则最低位加连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如XXX6X5。然后，在其最低位加1。这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。当需转换的{十’}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。3.2{十’}与{十}对照表及其说明(表一)<table>tableseeoriginaldocumentpage19</column></row><table>表一{十’}与{十}数对照表说明表一中这种无重复数的“普Q进制”进制，属于偏Q进制{Q’}中特别重要的一种。其中，Q=10。3.3{十’}与{十}关系分析{十’}数与{十}数的关系是“一一对应”关系。{十’}数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十’}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的{十’}数。由此，可建立一种{十’}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{十’}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{十’}数系统中成立。{十’}中P=Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有多样性，也缺少了相应的灵活性。应当指出，显然，上述对{十}与{十’}的分析，完全相应于{Q}与{Q’}的分析，因为{十}与{Q}同构。由此可知①{Q}数与{Q’}数的关系是“一一对应”。②{Q}与{Q’}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{Q’}数系统中成立。以下3.至3.2节为称Q进制的情况3.称三进制{三”}与普通十进制{十}的关系。3.1{三”}与{十}数的转换法这里指整数的情况。首先，{十}数转换成{Q}数。当Q=3时，{十}数转换成{三}数。例{十}25={三}221。表一为{十}、{三}及{三”}数对照表。<table>tableseeoriginaldocumentpage20</column></row><table>表一{十}、{三}及{三”}数对照表转换方法是将{十}数连续除以Q，直至商为0时停止。这样，每次均出现一位余数。从最后一位余数起，依式中位置从低到高，列出各位余数。则所获数即为需转换结果{Q}数。然后，将{Q}数转换成{Q”}数。当Q=3时，照表一将{三}数编码转换成{三”}数；再将{三”}数转换成{十}数。例如{三”}10ll:{十}25。首先，将{Q”}数转换成{Q}数。当Q=3时，{三”}数转换成{三}数。例如{三”}10ll=■(三)221。这可以从表一获得。然后，再将{Q}数转换成{十}数。这可以将{Q}数各位乘以该位上的权值，再求和获得。当Q=3时，{三”}数转换成{三}数，再转换成{十}数。例，{三”}10ll:{三}221二{十}25。或者，直接将{Q”}数转换成{十}数，即将{Q”}数各位乘以该位上的权值，再求和获得。当Q=3时，{三”}数直接转换成{十}数。当需转换的{三”}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。3.2{三”}与{十}关系分析。{三”}中P=Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有多样性，也缺少了相应的灵活性。{三”}与{十}数的关系是“一一对应”关系。由此，可建立一种{三”}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{三”}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{三”}数系统中成立。又，由于{十}数系统与{Q}数系统同构，故{三}与{三”}数系统同构。应当指出，显然，上述对{三}与{三”}的分析，完全相应于{Q}与{Q”}的分析。因为{三}与{Q}是同构的。由此可知①{Q}数与{Q”}数的关系是“一一对应”。②{Q}与{Q”}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{Q”}数系统中成立。以上各段3.至3.2/3.3节，分别为混/增/偏/称Q进制的情况4.结论当代中国最伟大的科学家之一钱学森导师，是一位伟大的科学家，思想家和马列主义者。混数进制数学方法，正是属于钱学森特别强调指出的，数学枣手學馋“直接应用的工程技术”。20总称为“三Q发明系列”的数字工程方法，混数进制数字工程方法(本申请为其中之一)，其数学理论基础即为混数进制数学方法(混数进制数学方法为其中之一)。混数进制数学方法在数字工程的总体设计中，这样实施时的“孓禾■莩术”与数字计算系统工程紧密结合的方法，称为“混数进制数字工程方法”。简称为《混进方法HJF》。《混进方法HJF》在各种数字工程的总体设计中，可明显简化各种数字工程的工程结构，可显著提高各种数字工程的运算速度，并且大大降低笔算工程的出错率。权利要求一种算盘；其特征在于，采用混数进制结构。2.如权利要求1的算盘，其特征在于，在盘状长方形机械框架结构中，没有横梁。3.如权利要求1的算盘，其特征在于，竖档(7)呈直线型，或者呈，，型；分为长度相等的上中下三段；每段长度为该竖档上全部算珠的总厚度；竖档(7)可以为15档，或15档以上，或15档以下。4.如权利要求1或3的算盘，其特征在于，每根竖档(7)上有可垂直移动的一些算珠(1)；其上有Q或(Q-I)或Q/2或(Q+l)/2只算珠⑴；当Q=10时，则为10或9或5只算珠⑴。5.如权利要求1的算盘，其特征在于，增/偏Q进制算盘中，可配以表示二值0、Q/2或三值0、士Q/2的标记；当Q=10则配以表示二值0、5或三值0、士5的标记；可在纪录纸上另行标记；或者，以颜色笔在相应每根竖档(7)上下方的上下框，加上可擦去的颜色标记(10)；或者，在上框的上方具有一根横轴，横轴上相应每根竖档(7)，均有可转动的标记；标记为正三角柱体或圆柱体的元器件；或者，不加任何标记。全文摘要本发明涉及算盘领域。依据“混数进制”进行总体设计的算盘，能够显著简化算盘的结构，同时能够显著提高算盘的运算速度。本发明将输入的进行加减的普通Q进制数，转换成混数进制数。然后，顺序串行对混数进制数求和。当二数求和时，从最低位开始顺序串行“按位加”，“按位和”数存入下一运算层；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处。经过如此反复运算，直至运算层中运算后不产生进位为止。则最后输出数，即为所求混数进制加法和数。文档编号G06C1/00GK101825915SQ20091012697公开日2010年9月8日申请日期2009年3月6日优先权日2009年3月6日发明者徐菊园,李志中申请人:李志中