专利名称：一种用户可控的高度规整三角网格生成方法
技术领域：
本发明涉及三角网格生成方法，尤其涉及一种用户可控的高度规整三角网格生成 方法。
背景技术：
三角网格是数字几何处理中最基本，使用也最广泛的几何表达形式，具有结构简 单，易于获取，表达能力丰富等特点.现有三角网格大多通过交互式建模软件或者3D扫描 工具获得，这些网格虽然已经能够很好地表示几何信息，但是其质量往往不能令人满意，常 见的问题有几何采样不合理，存在大量狭长或者退化的三角形等.网格质量的好坏严重影 响三角网格在很多领域的应用。三角网格的质量主要可以从以下几方面评价1)面片质量面片形状将严重影响数值计算的稳定性和鲁棒性，因此需要尽量保 证面片是等边三角形。2)方向保持网格边需要沿着特征，曲率或者用户指定的方向，以更自然的表示 几何特征。3)特征对齐模型上的特征需要被正确的表示为连续的网格边，以尽量地减少和 原模型之间的Hausdorff距离。4)奇异点分布奇异点(入度不为6的顶点)的数量和位置会严重影响网格的结 构和质量，因此需要被仔细安放。过去的几十年里，研究者提出了非常多的三角网格生成方法，主要关注的是半规 整和高度规整网格，这两类网格的共同特点在于只含有少量的奇异点。1.半规整网格的生成方法。半规整网格是通过基网格细分生成构造和原网格拓扑一致的基三角网格， 然后建立基网格参数化，最后对基网格进行细分。这类方法最早由Eck等人提出(可 参 考 Matthias Eck, DeRose Tony, Duchamp Tom, et al. Multiresolutionanalysis of arbitrary meshes，1995. 173—182)通过构造Voronoi图来得到一个对原网格的 Delaunay三角剖分，使用这个三角剖分作为基网格，通过带边界约束的调和映射(harmonic mapping)来计算基网格内部顶点的参数化坐标。Lee等人提出了一种自适应多分辨率的 ^^LitTl^i (MAPS) (Aaron W, Lee F, Sweldens W, et al. Maps :multiresolution adaptive parameterization ofsurfaces. 1998. 95—104)。该方法首次采用基于顶点删 除的网格简化方法来生成基网格，在简化的过程中同时将移除顶点映射到基网格的平面 上.由于基网格正确保留了原网格的拓扑信息，这类方法能够适应高亏格的模型，同时奇 异点仅会出现在基网格上，所以能够生成半规整的三角网格。这类方法的主要问题在于生 成结果严重依赖于基网格的质量，然而如何构造一个好的基网格仍然是非常困难的问题， 现有基于简化的方法难以控制基网格质量。2.高规整网格的生成方法。
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高度规整网格的生成方法不依赖于对基网格的参数化和细分。文献(Szymczak A, Rossignac J, King D.Piecewise regular meshes :Constructionand compression. Graphical Models，2002，64 (3-4) :183_198)提出一种分片构造规整网格的方法.首先基 于法向将面片聚为6类，然后投影到相应的平面上规整采样(如χ方向的聚类面片投影到 y-z平面)，最后将重采样后的分片连接成有效的网格.这样生成的结果只会在接缝的地方 出现奇异点.文献(SurazhskyV,Gotsman C. Explicit surface remeshing. 2003. 20—30) 直接在网格上通过局部修改来得到高度规整网格，该方法首先使用一系列的局部参数化来 代替全局参数化，使得二维网格优化算法可以快速准确的在三维上操作，然后提出了一种 局部规整化操作(边塌缩和边翻转)来改善连接关系，减少奇异点。高度规整网格很难仅 仅通过局部修改的策略来得到，因此该方法还提出了一种近似全局的操作-移动漂移边 (drifting edge)来改善结果。这类方法同样很难对结果进行控制。
发明内容
本发明的目的在于针对现有技术的不足，提出了一种新的用户可控的高度规整三 角网格生成方法。本发明的方法属于高度规整网格的生成方法，但是引入了丰富的用户控 制。为实现上述目的，本发明采用的技术方案如下用户可控的高度规整三角网格生成方法包括如下步骤(1)根据用户需求在输入网格模型中生成相应的特征约束和输入密度场，根据所 述特征约束和用户需求生成相应的方向场；(2)在输入网格模型上构造3个标量场，所述各标量场的等值线的方向与方向场 一致，并且所述各标量场的相邻等值线之间在网格上的测地距离为l/μ，其中，μ表示步 骤(1)中所述的输入密度场；(3)抽取各标量场的等值线，由抽取出的等值线相交构成三角网格。进一步地，本发明在所述步骤(1)中，按以下步骤在输入网格模型中生成相应的 特征约束并根据所述特征约束和用户需求生成相应的方向场1)若所述输入网格模型为CAD模型，则以该CAD模型上二面角大于45度的边为特 征边，将相连的所述特征边组合成特征线约束；用户在所述输入网格模型上自由指定特征 线及特征线的方向，或者直接执行步骤2)；若所述输入网格模型不是CAD模型，则用户在所述输入网格模型上自由指定特征 线及特征线的方向，或者直接执行步骤2)；2)用户在输入网格模型中其感兴趣的区域上指定其所期望的方向，然后将所指定 的方向和步骤1)中所述的特征线约束的方向通过光顺过程扩散到整个输入网格模型，从 而在输入网格模型中生成光顺的6-对称方向场。进一步地，本发明在所述步骤(1)中，按以下方法生成输入密度场以输入网格模型的平均曲率的倒数作为初始密度，将该初始密度光顺后生成输入 密度场。进一步地，本发明在在所述步骤(2)中，按以下步骤在输入网格模型上构造3个标
量场
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a)计算得到所生成的6-对称方向场中的奇异点分布，然后沿所述奇异点将输入 网格模型割开，通过扩散在割开后的输入网格模型上获得全局一致对齐的方向场。b)在割开后的输入网格模型的边界上添加边界约束。c)借助三角函数处理边界约束中所引入的整数约束问题，得到相应的最小化能量 方程；d)通过高斯_牛顿法迭代求解最小化能量方程，得到所述3个标量场。进一步地，本发明在在所述步骤(3)中，按以下步骤抽取各标量场的等值线并由 抽取出的等值线相交构成三角网格1)从输入网格模型的每个顶点的三角函数值中反求出对应的标量值；2)找出输入网格模型中每个面片内的等值线。3)将输入网格模型中相邻面片之间的等值线组合构成所述三角网格中各三角形 的边，等值线的交点构成生成三角形的顶点。本发明与背景技术相比较，其优点在于1)因为本发明方法不依赖于对基网格的参数化和细分，并采用构造标量场，用标 量场等值线相交构成三角网格的方法，所以能够生成高度规整的三角网格。2)因为本发明方法根据用户需求在输入网格模型中生成相应的特征约束和输入 密度场，根据所述特征约束和用户需求生成相应的方向场，通过密度场来控制网格的采样 密度，通过方向场来控制网格的边方向，通过特征约束来控制特征对齐，所以在保持面片质 量的同时，用户能够直接对网格的边方向、采样密度、特征对齐等进行控制。3)本发明方法将所有的用户需求纳入一个优化问题中整体求解，即通过高斯_牛 顿法迭代求解最小化能量方程得到3个标量场，从而自动得到优化的奇异点分布。
下面结合附图对本发明作进一步说明图1是本发明方法的流程图。图2是用户在输入网格模型上的兴趣区域指定的方向示意图。图3是在输入网格模型上生成的标量场示意图。图4是生成的三角网格示意图。网格上的点表示奇异点，即入度不为6的点。图5是割开网格相邻面片的方向场对齐的6种情况的示意图。
具体实施例方式如图1所示，本发明用户可控的高度规整三角网格生成方法包括如下步骤(1)根据用户需求在输入网格模型中生成相应的特征约束和输入密度场，根据所 述特征约束和用户需求成相应的方向场。如图2所示，图2中箭头是用户在输入网格模型 上的兴趣区域指定的方向。(2)在输入网格模型上构造3个标量场，所述各标量场的等值线的方向与方向场 一致，并且所述各标量场的相邻等值线之间在网格上的测地距离为l/μ，其中，μ表示步 骤(1)中所述的输入密度场。如图3所示，网格线是在输入模型上生成的等值线。(3)抽取标量场的等值线，等值线相交构成三角网格。图4是生成的三角网格，网
6格上的点表示奇异点，即入度不为6的点。其中，在所述步骤(1)中，可按以下步骤在输入网格模型中生成相应的特征约束 并根据所述特征约束和用户需求生成相应的方向场1)若所述输入网格模型为CAD模型，则以该CAD模型上二面角大于45度的边为特 征边，将相连的所述特征边组合成特征线约束；用户在所述输入网格模型上自由指定特征 线及特征线的方向，或者直接执行步骤2)；若所述输入网格模型不是CAD模型，则用户在所述输入网格模型上自由指定特征 线及特征线的方向，或者直接执行步骤2)；2)用户在输入网格模型中其感兴趣的区域上指定其所期望的方向，然后将所指定 的方向和步骤1)中所述的特征线约束的方向通过光顺过程扩散到整个输入网格模型，从 而在输入网格模型中生成光顺的6-对称方向场。在三角网格生成中，用户期望得到等边三角形，即要求任意两条相邻边方向的夹 角都是60°，这恰好和6-对称方向场相符。因此本发明使用6-对称方向场来指导生成网 格的边方向。N-对称方向场定义如下
\( Ia 2knA1
cos(6* +-)θ为N-对称方向场的一个成员向量相对于参考坐标系的角度。一个6-对称方向场可以表示为尺6=矽,-艮1-广妒,-伊}，其中&兄妒都是单位
向量，且两两之间的夹角均为|，分别对应于生成三角形中三条边的方向。用户只需指定&
7Γ 9^7"
方向，然后将其在切平面上按逆时针方向分别旋转j和I，就可以获得对应的另外两个方 Hv,W ο用户首先在网格的兴趣区域上指定期望方向，然后通过一个光顺过程扩散到整个 网格，输入网格的每个面上都将定义一个6-对称方向场。在所述步骤(1)中，按以下方法生成输入密度场以输入网格模型的平均曲率的倒数作为初始密度，将该初始密度光顺后生成输入 密度场。本发明指定密度场μ来控制生成网格的边长。密度场定义在输入网格每条边的 中点上，表示该边上的采样密度。在所述步骤(2)中，可按以下步骤在输入网格模型上构造3个标量场a)方向对齐计算得到所生成的6-对称方向场中的奇异点分布，然后沿所述奇 异点将输入网格模型割开，通过扩散在割开后的输入网格模型上获得全局一致对齐的方向 场。b)边界约束在割开后的输入网格模型的边界上添加边界约束，所述边界约束满 足以下两个条件1)边界两侧的方向场需要对齐；2)标量场是一个周期函数，标量值在穿 过边界时会发生整数周期的跳变。
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c)整数问题的处理借助三角函数处理边界约束中所引入的整数约束问题，得到 相应的最小化能量方程；d)最小化能量方程通过高斯_牛顿法迭代求解最小化能量方程，得到所述3个 标量场O对于三角形网格，构造3个标量场，其等值线方向和方向场一致，相邻等值线间隔 符合密度场要求。具体描述如下对于6对称方向场欠6 = {^-0/，-^,妒，-伊}和密度场 μ，给定一个方向妒\Ψ ^ Φ, V,W})，构造标量场八，使得其等值线厶^n:ne Z和f方向平 行，且相邻等值线之间在网格上的测地距离为1/μ。为了使得；的等值线的方向和P平行，其梯度方向必须和炉垂直。为了使得等值线
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之间的测地距离为一 γ的梯度大小g(y )应该满足gC") = μ Jw
μ
sin(60°)
)因此标量场的梯度
'又
需要满足如下条件
= (2)其中fi表示将向量ρ在其切平面上逆时针旋转|。注意到& 两两之间夹角均
为f，标量场(/ρ -而)的梯度为V(K) = V/,-Wf0 =ξ{μ){ '--Ol) =。这表明
标量场(Λ - A)满足而的梯度要求，故令4 = (fv - fa)，因此只需求解Λ和而。在离散的三角网格M上，对于片面T = (Pi, Pj, Pk)，其方向场为(仏。考虑其中 一条边 =<Pi，P>，本发明定义如下能量来衡量边 上梯度条件的满足程度
Ee =
Ifo(Pj)''Z0(Pi)Λ [MPjhfM).AJ
⑶
Δ,
ui
Vi
(Pi -P1)' μ eii表示边对应的密度值。其中
‘一…-.................. (MflXMPi))
代表点Pi上的标量值。面片τ上梯度的满足程度可以近似为三条边上能量式&之和
Et = Σ A
⑷整个网格M上的能量可以定义为Et在网格表面的积分
Em = Σ eTaT(5)
TeM其中At表示面片T的面积。下面详述构造标量场的每一步。1)方向对齐对于用户输入的6-对称方向场，当方向场中存在奇异点时，方向场J和都是不 可能全局一致对齐的。所以本发明需要进行方向对齐。方向对齐的具体方法是首先找到 方向场中的奇异点，然后沿奇异点将网格割开，使得1)割开后的网格与圆盘同拓扑；2)奇
8异点都分布在割边上。接着在割开后的网格上，通过一个简单的扩散方法就可以获得全局 一致的方向场。*发明il!用文(Palacios J, Zhang E. Rotational symmetry field designon surfaces. ACM Transactions)中的方法来识别6_对称方向场的奇异点。获得奇异点之后， 本发明首先构造割边将网格切开，成其和圆盘同拓扑。这个构造过程很简单从网格上任 一面片出发，按广度优先的顺序不断地通过相邻边把面片加入进来，每次加入都保证当前 面片集合和圆盘同拓扑，这样直到所有面片都被加入.这时没有被遍历过的边就形成了割 边，注意到这个割边可以通过不断地移除其非闭合路径而大大简化。此时，对于不在割边上 的每个奇异点，本发明寻找离其最近的边界点，然后将它们之间的连线加入上面的割边中。 这样就获得了符合要求的割边。令割开后的网格为M。ut，在M。ut上本发明任选一面片Ti,将其方向[^做为参考方向，
通过一个点乘操作来确定如何对齐其相邻面片L上的方
"arg^il2aL) ^ · (^ο (6)其中&表示将面片&法向转到和Ti法向一致的旋转，凡；)表示沿面片L的法向 进行r次60°的旋转。如图5中所示，κ兴0表示^^和%没有对齐，通过将%旋转成
1J Ti1J
力来完成对齐。方向ρ的对齐方式与J一致。使用广度优先的策略，不断地利用对齐后
的面片作为参考来对齐相邻面片，直到遍历完网格上所有面片，这样本发明在割开后的网 格上就获得了全局一致的方向场。完成方向对齐之后，本发明在割开的网格上通过最小化 能量方程(5)来求解标量场A和而。2)边界约束直接在割开的网格上求得的标量场无法保证其等值线在穿过割开边界时的正确 性，本发明需要在边界上添加额外的约束。保证边界上的正确性需要考虑两个因素(1)边 界两侧的方向场需要对齐；(2)标量场是一个周期函数，标量值在穿过边界时会发生整数 周期的跳变。对于处在割开边界上的任一条边e来说，考虑边两侧面片Ti和L方向场的对齐关 系，假设面片Tj的方向为了和Ti对齐而发生K次旋转，再加上对整数周期跳变的考虑，Ti 和Tj上的标量场需要满足如下条件其中夂和ke是整数，表示面片Ti上的标量场。3)整数问题的处理由于在边界约束里引入了整数约束，本发明借助三角函数sin，cos来处理这些整
9数问题。首先将标量场乘以2 π，将公式(7)中的整数周期由(1，10变为(2j 借助三角函数性质 sin(x+2jeJi) = sin(x), cos(x+2je3i) = cos (χ)可将上述
成 其中
cos(7^)' sin(/JO 同理，边eij上的梯度能量(3)可以写成 上述的等式⑶和(9)都可以利用和差化积展开。这里的义，力， 已经被放大了 2 π倍。此时求解变量也已经由标量场(Α,而)变换成它们的三) C0 ^cosif0) ,Sa= sm(fC}) ,Cp =cos(/P) ,Sf=sm{f )。为了保证三角函数值的
明还需要添加约束条件Sin2+COS2 = 1，使用如下能量描述变量。7，&上的约:
peM
7V -jQmp同理得到关于变量的能量乓4)最小化能量方程将能量方程(5)和(10)组合起来得至
Em + ω(Ευ Λ-Ev χ
MV amp l
mm
amp -
\Cj~j ,Cy ,Sy^ 其中ω是权因子，ω = O. 15Aavg，其中Aavg为输入网格面片的平均面习 ω与模型的尺度无关。
JI)
2k
；约束⑵写
(8)
(9)
ΔΓ/' 都
I函数值，令
I"效性，本发
10)
(11)
识，这样使得
10
(11)是一个非线性的能量优化问题，共有4η个变量(η是输入网格的顶点数)。 本文使用高斯_牛顿法迭代求解。为了避免全零解，本发明随机选择一个点，将其对应变量 (Ci7,知，的初值设置为(1，0，1，0)，其他点上的变量初值都被设置为0。在所述步骤(3)中，可按以下步骤抽取各标量场的等值线并由抽取出的等值线相 交构成三角网格1)从输入网格模型的每个顶点的三角函数值中反求出对应的标量值；2)找出输入网格模型中每个面片内的等值线。3)将输入网格模型中相邻面片之间的等值线组合构成所述三角网格中各三角形 的边，等值线的交点构成生成三角形的顶点。在割开后的网格上，本发明首先从每个顶点的三角函数值中反求出对应的标量值 (注意此时的标量值已经被放大了 2 π倍)，然后找出每个面片内满足而=^nn ,fp =2ηπ， (-A =2^r条件的等值线，最后将相邻面片的之间的等值线组合起来就构成了生成三角 形的边，等值线的交点就构成了生成三角形的顶点。在抽取等值线时会遇到奇异点，边和面，它们造成了悬空边(度为1的边)的出 现。移除所有的悬空边后会导致生成网格中存在一些多边形。本发明可以将这些多边形 逐一转换成三角形，步骤如下1)将多边形区域参数化到平面上。2)如果多边形存在小于 90°的内角，选择其中最接近60°的，组合该内角两侧的边形成三角形，更新当前多边形， 若当前多边形仍非三角形，继续步骤(2)。如果不存在小于90°的内角，转步骤(3)。3)在 多边形中心插入一个新的顶点，将多边形的所有顶点都连接到这个新顶点上。
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权利要求
一种用户可控的高度规整三角网格生成方法，其特征在于包括如下步骤(1)根据用户需求在输入网格模型中生成相应的特征约束和输入密度场，根据所述特征约束和用户需求生成相应的方向场；(2)在所述输入网格模型上构造3个标量场，所述各标量场的等值线的方向与步骤(1)所述方向场一致，并且所述各标量场的相邻等值线之间在所述输入网格模型上的测地距离为l/μ，其中，μ表示步骤(1)中所述的输入密度场；(3)抽取所述各标量场的等值线，由抽取出的等值线相交构成三角网格。
2.根据权利要求1所述的用户可控的高度规整三角网格生成方法，其特征在于在所 述步骤(1)中，按以下步骤在输入网格模型中生成相应的特征约束并根据所述特征约束和 用户需求生成相应的方向场1)若所述输入网格模型为CAD模型，则以该CAD模型上二面角大于45度的边为特征 边，将相连的所述特征边组合成特征线约束；用户或者在所述输入网格模型上自由指定特 征线及特征线的方向，或者直接执行步骤2)；若所述输入网格模型不是CAD模型，则用户或者在所述输入网格模型上自由指定特征 线及特征线的方向，或者直接执行步骤2)；2)用户在输入网格模型中其感兴趣的区域上指定其所期望的方向，然后将所指定的方 向和步骤1)中所述的特征线约束的方向通过光顺过程扩散到整个输入网格模型，从而在 输入网格模型中生成光顺的6-对称方向场。
3.根据权利要求1所述的用户可控的高度规整三角网格生成方法，其特征在于在所 述步骤(1)中，按以下方法生成输入密度场以输入网格模型的平均曲率的倒数作为初始密度，将该初始密度光顺后生成输入密度场。
4.根据权利要求2所述的用户可控的高度规整三角网格生成方法，其特征在于在所 述步骤(1)中，按以下方法生成输入密度场以输入网格模型的平均曲率的倒数作为初始密度，将该初始密度光顺后生成输入密度场。
5.根据权利要求4所述的用户可控的高度规整三角网格生成方法，其特征在于在所 述步骤(2)中，按以下步骤在输入网格模型上构造3个标量场a)计算得到所生成的6-对称方向场中的奇异点分布，然后沿所述奇异点将输入网格 模型割开，通过扩散在割开后的输入网格模型上获得全局一致对齐的方向场；b)在割开后的输入网格模型的边界上添加边界约束；c)借助三角函数处理边界约束中所引入的整数约束问题，得到相应的最小化能量方程；d)通过高斯_牛顿法迭代求解最小化能量方程，得到所述3个标量场。
6.根据权利要求1所述的用户可控的高度规整三角网格生成方法，其特征在于在所 述步骤(3)中，按以下步骤抽取各标量场的等值线并由抽取出的等值线相交构成三角网 格1)从输入网格模型的每个顶点的三角函数值中反求出对应的标量值；2)找出输入网格模型中每个面片内的等值线；23)将输入网格模型中相邻面片之间的等值线组合构成所述三角网格中各三角形的边， 等值线的交点构成三角形的顶点。
全文摘要
本发明公开了一种新的用户可控的高度规整三角网格生成方法，包括如下步骤(1)根据用户需求在输入网格模型中生成相应的特征约束和密度场，根据所述特征约束和用户需求生成相应的方向场；(2)在所述输入网格模型上构造3个标量场，所述各标量场的等值线的方向与步骤(1)所述方向场一致，并且所述各标量场的相邻等值线之间在所述输入网格模型上的测地距离为l/μ，其中，μ表示步骤(1)中所述的密度场；(3)抽取所述各标量场的等值线，由抽取出的等值线相交构成三角网格。本发明的有益效果是可生成高度规整的三角网格；能自动得到优化的奇异点分布；在保持面片质量的同时，用户能够直接对网格的边方向、采样密度、特征对齐等进行控制。
文档编号G06T17/20GK101908234SQ20101022861
公开日2010年12月8日 申请日期2010年7月16日 优先权日2010年7月16日
发明者张沐阳, 裴文杰, 鲍虎军, 黄劲 申请人:浙江大学