专利名称：一种基于最小二乘法的Lagrange反解分析方法
技术领域：
本发明涉及一种冲击加载下计算材料本构关系的计算方法，具体来说，是涉及一种基于最小二乘法的Lagrange反解分析方法。
背景技术：
近年来，随着人们安全意识的逐渐提高，人们对固体材料在高应变率下的本构模型开展了越来越多的研究。Lagrange分析方法主要就是在事先不作任何本构假定的情况下，通过测量材料不同位置处的一些力学信息(如应力、应变或粒子速度等)的变化，由冲击动力学的三个守恒方程经过适当的数学推演及数值计算，求得其他未知的力学量。该方法主要是用来研究分析材料对冲击加载的动态力学响应形态。Lagrange分析方法中需要已知各个拉格朗日位置处的试验数据，而该试验数据可以在试验中通过嵌入在材料内部不同拉格朗日位置处的传感器测量试件的应力时程、应变时程或粒子速度时程获得。因此，通过Lagrange分析方法来研究材料率型本构关系的研究，具体可以有三种求解途径(I)当测量的物理量为应力时程时，根据Lagrange分析方法来求解可以得到粒子速度，应变等时程关系，该方法不存在数学上的计算障碍。(2)当测量的物理量为粒子速度时程时，根据Lagrange分析方法来求解得到应力、应变时程关系，在求解应力时程关系时还需要已知初始位置处的一条应力时程作为边界条件。然而在同一个位置难以同时测量两个物理量。(3)当测量的物理量为应变时程时，根据Lagrange分析方法来求解粒子速度、应力时程关系，不仅需要已知初始位置处的一条粒子速度时程作为边界条件来求解粒子速度时程关系，还需要已知初始位置处的一条应力时程作为边界条件来求解应力时程关系。因此，对于Lagrange分析的三种方法，第一种方法最易于实现；第二种方法需要已知一个应力边界条件；第三种方法最为困难，需要已知一个应力边界条件、一个粒子速度边界条件。关于Lagrange分析方法的研究,最早是由Fowles R和Williams R. F.在70年代初期提出的，但是由于难以实现而未能得到实际应用。Cowperthwaite和Williams将这一方法的应用范围作了进一步推广。1973年Grady在Fowles的基础上提出了路径线法，用来计算Lagrange分析中所需要的导数。在此基础上，Seaman等人提出了曲面拟合法,即根据实验测量波形的波形特征进行分区曲面拟合，Seaman假定所拟合的曲面是单调光滑的，且沿径线的三阶导数3V/淡3 =0。后来，学者们提出了反解分析方法，反解法避开了 Seaman假定而求得应力流场，但由于其结果依赖于假定的未知应力函数形式而可能产生非唯一解，因而它也曾遭到Seaman的否定。GuptaYM提出自洽检验法，由于速度波形推应力波形时需要作一定的假设，因此该方法通过应力场再回过来反推速度场，从而验证结果的可靠性。1989年C. A. Forest提出了冲量时间积分函数法，并将其应用于数据处理和方差估计中，该方法在测量应力来求解是非常有效的，但是当测量的量完全不涉及应力时，要建立精确的函数形式仍有困难。基于上述原因，传统的方法均是采用第一种方法，即通过锰铜传感器来测量应力并求解出其他物理量(粒子速度、应变等)。但是，粒子速度计的时间响应比测量应力的锰铜传感器好，有效记录时间也长一些，因此，粒子速度计更适合用于测量冲击波后流场的信息。那么，提出一种以粒子速度为已知条件的计算方法成为关键。
发明内容
针对已知粒子速度作为已知条件时传统Lagrange分析方法的不足，我们提供一种基于最小二乘法的Lagrange反解分析方法,能够在已知粒子速度条件下,无需再增加应力边界条件，降低了实验测量的难度，且计算精度也比传统方法的更高。本发明通过以下技术手段实现一种基于最小二乘法的Lagrange反解分析方法，包括以下步骤
I)构造路径线将沿等时线的积分转换成沿径线和沿迹线的积分；路径线是人为构造的，在各个Lagrange位置处记录到波形的特征点以及特征点之间，将其按等时间划分并按照对应点相互连接起来的曲线；设某一力学量P = ，其中，h为Lagrange位置，t为时间，其在空间的关系如图I所示；假设实验测量了 η个Lagrange位置处的信号，则即有η条迹线数据；对应第i条迹线来说，其开始时间为t—结束时间为ti;因此有效时间长度为= 1,2,…，η;将迹线按等时间分割成N个点后，其每条迹线间隔为Ati = - -~T- (i = 1,2,…，η)
TV-I在(h，t)平面上同时得到nXN个离散点(hi； toi+(j-l) Ati),简记为(i，j);对于每一个固定的j，可得到η个上离散点，因此用最小二乘法拟合一条曲线，这条曲线就叫做第j条(h，t)径线，见图2所示；因为在所研究的流场区域内，前导冲击波波速变化不太大，只要适当选取各条迹线的有效时间长度，用二次多项式来构造(h，t)径线已能满足要求，即tj = bljh2+b2jh+bij (i = 1,2,…，η)对某一确定的路径线j (h, t),当h —定时，j和t有确定的对应关系,故可以用j代替t，而把变量-表示为，这样即可以求解出偏导数，即
在= φ _ θφ _
Qh t dh 1 dt h dh 12)构造目标函数利用最小二乘法将流场中的粒子速度、压力结合动量守恒方程得到一个整体函数；有关拉氏分析的基本原理,Fowles于1973年已经做过较全面的阐述,在忽略热传导、体积力、内部能源和能穴的假定条件下，一维平面波拉格朗日坐标下的守恒方程为
pb/ Ρ)γτ动量守恒P。了+1 = 0(I)
ot oh质量守恒+ = O(2) ot oh
能量守恒 0020]式中ε、u、σ分别表示应变、粒子速度和应力；E表示比内能，h和t分别表示拉格朗日坐标和时间，P C1表示试件的初始密度，其 中应力应变以压为正，相速度以右行波为正；根据路径线法，将沿等时线的计算转化为沿径线和沿迹线的计算，即
式中下标“t”表示沿时间的偏导数，下标“J”表示沿径线的偏导数，下标“h”表示沿迹线的偏导数；将公式⑴按照路径法即可表示为
对于传统的方法，在测量了粒子速度历程情况下将公式(5)写为如下差分形式
在已知粒子速度情况下，按照公式(6)求解应力时还需要一条应力边界条件；GuptaYM提出自洽检验法，由于速度波形推应力波形时需要作一定的假设，而根据应力场求解其他力学量是无需假设，因此该方法还需要通过应力场再回过来反推速度场，检验计算结果的正确性；为了能够满足自洽检验法，这里仍旧从应力场来求解粒子速度的方程出发，将其应力场按差分形式展开得
按照公式(7)求解得到的应力场自然满足自洽检验法；假定沿径线的应力剖面σ为关于h的η-l次多项式函数，即应力的η阶导数dnaIdhn = O ；
则其沿经线的偏导数为
则公式(7)变为
令
权利要求
1.一种基于最小二乘法的Lagrange反解分析方法，其特征在于包括以下步骤 1)构造路径线将沿等时线的积分转换成沿径线和沿迹线的积分； 路径线是人为构造的，在各个Lagrange位置处记录到波形的特征点以及特征点之间，将其按等时间划分并按照对应点相互连接起来的曲线；设某一力学量0 = ，其中，h为Lagrange位置，t为时间,假设实验测量了 n个Lagrange位置处的信号,则即有n条迹线数据；对应第i条迹线来说，其开始时间为U，结束时间为因此有效时间长度为(t-tj，i = 1,2,…，n ;将迹线按等时间分割成N个点后，其每条迹线间隔为
全文摘要
本发明提供一种基于最小二乘法的Lagrange反解分析方法，属于冲击加载下计算材料本构关系技术领域。包括以下步骤1)构造路径线、即将沿等时线的积分转换成沿径线和沿迹线的积分；2)构造目标函数、即利用最小二乘法将流场中的粒子速度、压力结合动量守恒方程得到的一个整体函数；3)反解应力和应变、即通过目标函数反解出应力和应变关系。该方法能够对已知粒子速度条件下，无需已知第一条应力边界即可以求解出应力和应变时程关系，减少了实验测量的数据量，且测量粒子速度较应力更方便、精度更高。
文档编号G06F19/00GK102663257SQ201210115870
公开日2012年9月12日 申请日期2012年4月18日 优先权日2012年4月18日
发明者陶为俊 申请人:广州大学