专利名称：求解二维黎曼问题模拟亚音速无粘流的数值方法
技术领域：
本发明属于计算流体力学领域，具体是一种求解二维黎曼问题的数值方法，应用于亚音速、无粘流的流动的数值模拟。
2.
背景技术：
黎曼问题(Riemann Problem)最初在空气动力学领域提出，原来是指一维激波管中的可压缩流体的一种特殊的流动现象。具体是指可压缩流体，如空气，在一维管道中被压缩直至出现激波。激波的出现表明流体的流动出现不连续。跨过激波，流体的速度、密度、压力、熵都出现跳跃变化。1858年，黎曼研究了这种不连续流动现象的特点，提出并解决了一维欧拉方程的一种最简单的初值问题，被后人称为黎曼问题。
图1(a)是黎曼问题的物理模型。图中表示了一维管道⑴中间，有一个隔膜(2)，·以此为分界线，管道(I)被分为左、右两个状态。图中的P，U，P分别表示流体的密度、压力和速度，下标L和R分别表示左右状态。流体在左右两个状态的参数不同，此时隔膜(2)是流体流动中的不连续。当突然打开隔膜(2)后，在管道(I)中的流体流动会出现以不连续处为中心的、随时间发展变化的波动。德国数学家波恩哈德·黎曼利用该物理模型构造出了描述无粘、可压缩流动的一维欧拉方程在流动不连续处的解析解。如图1(b)，黎曼问题的定义所示。图中X-方向是管道(I)内流体流动的方向，纵坐标t是时间轴。从时间O时刻开始，即隔膜(2)被打开的时刻，在当地形成以激波或者是膨胀波形式存在的左侧变量或右侧变量Qk，在它们中间是中间变量，以下标*表示，中间变量又可被接触波分为左中间变量Qft和右中间变量黎曼给出了此四类解析解，它们分别由左、右膨胀波和左、右激波组装而成，同时给出了的判别解的条件。这一工作具有极大的超前性和创造性，为非线性双曲型守恒定律的数学理论奠定了基石，开创了计算流体力学(CFD, Computational FluidDynamics)领域中一类基于特征的求解流体流动控制方程的数值方法之先河。计算流体力学的核心任务在于为求解流体流动的控制方程，如欧拉方程，而构造数值方法。其中最重要的是控制方程中的对流项的空间离散，也是最的困难的工作。因为在数值计算中，大多是在笛卡尔坐标下进行的。计算网格必须根据物体的形状事先生成。网格构成网格单元。由于有流体穿过网格单元的交界面，所以存在控制方程的对流项的通量。对对流项的数值逼近会引起数值解的误差。从上世纪以来，CFD研究者致力于开发更精确、高效率的数值方法来降低数值解的误差。迎风差分方法，其典型代表是Godunov方法，在求解流体的流动过程中取得显著成效，因为它合理表达了对流项的特征。上世纪六十年代出现的Godunov方法的核心技术是在网格单元交界面求解黎曼问题，给出控制方程在网格单元交界面上精确的解。对于多维空间计算中，如二维空间，需要在两个笛卡尔坐标方向逐次求解黎曼问题。然而，对于更一般的情况，如图2(a)所示，网格单元ABCD和ABEF的交界面AB，与速度矢量V不垂直。在交界面处求解黎曼问题时，需要按照图2(b)将V在笛卡尔坐标系(x-y)下的速度分量u，V投影到与AB正交的坐标系(ξ_η)中。在ξ_方向以Ul、Vl之和作为黎曼问题的左变量或右变量。因为黎曼问题在空间上是一维问题，在另一个方向的U2、v2之和作为常数处理，跨过激波，这个速度不变。很明显，违反了激波的熵增原理，会造成数值解一定的误差。而激波愈强，引起的误差越大。为了最大程度减小误差，本发明给出了一个在求解二维欧拉方程时使用的，直接求解二维黎曼问题的数值方法。
3.
发明内容
已知的描述二维、无粘、可压缩流体流动的欧拉方程为
权利要求
1.一种通过求解二维黎曼问题来模拟亚音速、无粘流的数值方法，其特征是包括以下步骤(1)将二维欧拉平面上的欧拉方程经过以雅各比矩阵
2.根据权利要求I所述的一种通过求解二维黎曼问题来模拟无粘、亚音速流动的数值方法，其中所述的计算网格是流函数平面上以λ和ξ为两个方向的二维直角网格。
3.根据权利要求I所述的一种通过求解二维黎曼问题来模拟无粘、亚音速流动的数值方法，其中所述的求解流函数形式的欧拉方程是沿着时间τ方向进行守恒变量&的历遍，以找到其稳定解。
4.根据权利要求I所述的一种通过求解二维黎曼问题来模拟无粘、亚音速流动的数值方法，其中所述的求解计算网格单元边界上的二维黎曼问题的Godunov方法需要求解跨过流线的黎曼问题和沿着流线的黎曼来计算网格单元交界的对流项通量。
5.根据权利要求4所述的跨过流线的黎曼问题和沿着流线的黎曼问题，其特征是在计算单元交界面两侧形成以激波或者是膨胀波形式存在的左侧变量或右侧变量，在其中间是中间变量；中间变量又可被分为左中间变量和右中间变量。
6.根据权利要求4所述的求解跨过流线的黎曼问题和沿着流线的问题的方法包括以下步骤 (1)沿着流函数形式的欧拉方程的特征方程积分，将左侧变量或右侧变量与中间变量连接，其中，左侧变量、右侧变量、中间变量由权利要求5给出； (2)在中间变量中恢复流动速度的幅值； (3)求解组合函数f(U，V)以找到中间变量的流动角；(4)在中间变量中求解速度分量。
7.根据权利要求6所述的求解跨过流线的黎曼问题和沿着流线的黎曼问题的方法，其中所述的在中间变量中恢复流动速度的幅值，是利用通过跨过激波的Rankine-Hugoniot关系和跨过膨胀波的焓不变关系来获得的。
8.根据权利要求6所述的求解跨过流线的黎曼问题和沿着流线的黎曼问题的方法，其中所述的组合函数f (u, V)表示为
全文摘要
本发明属于计算流体力学领域，具体是一种求解二维黎曼问题的数值方法，应用于求解欧拉方程，进行亚音速、无粘流流动的数值模拟。本发明将欧拉平面上的欧拉方程变换到流函数平面，在二维直角网格中，求解跨国流线的黎曼问题和沿着流线的黎曼问题，减小了数值解的误差。
文档编号G06F19/00GK102890751SQ201210349958
公开日2013年1月23日 申请日期2012年9月18日 优先权日2012年9月18日
发明者路明 申请人:天津空中代码工程应用软件开发有限公司