专利名称：一种通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数进行曲面绘制的系统的制作方法
技术领域：
一种通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数进行 曲面绘制的系统技术领域[0001]本实用新型涉及计算机三维建模技术，特别是涉及一种通过计算零维三角多项式 系统所有实根及其重数进行曲面绘制的系统。
背景技术：
[0002]确定给定代数曲面的几何和连接关系，并用网格近似表示曲面是计算机图形学和 几何建模的一个重要课题。曲面网格化可以正确地显示曲面，也可以用来展示曲面上的工 程应用，例如有限元分析、计算机三维建模、计算机辅助设计、对象三维重建等应用。[0003]如何绘制出给定的隐式方程确定的曲面是近年来颇为流行的一个课题。最流行 的就是Marching Cube方法，将给定的空间不断细分为更小的立方体，直到每个小立方体 中曲面的几何结构都能够被确定(参见LORENSEN, ff. E.，AND CLINE, H. E. 1987. Marching cubes a high resolution 3d surface construction algorithm.1n Proc. SIGGRAPH 1987，ACM Press.). Plantinga和Vegter提出了法线变化条件从而给出更好的网格化算 法(参见 PLANTINGA，S.，AND VEGTER，G. 2004.1sotopic implicit surface meshing.1n Proc. Symp. on Geometry Processing,251-260. PLANTINGA, S.，AND VEGTER, G. 2007.1sotopic meshing of implicit surfaces. The Visual Computer 23，45-58.) · Hart 等提 出 了基于 Morse 理论的算法(参见 HART，J. C. 1998. Morse theory for implicit surface modeling.1n Mathematical Visualization, Springer-verlag, H. Hege and K. Polthier, Eds. ,257-268.)，该算法引入一个变元来确定曲面的几何结构。这些算法都是纯粹的数值 方法，直接对曲面网格化，速度较快，但是都只能处理无奇点的曲线或曲面，对有奇点的几 何对象，可能会绘制出错误的图形。[0004]近年有些学者提出符号数值混合算法，先用柱形代数方法将欧氏空间分为柱 形胞腔，使给定曲面在每个胞腔中都不变号，从而得到一种计算曲面几何结构的新方 法。这类方法的基本步骤都是先通过分解空间确定曲面的几何结构和连接关系，然后再 将非奇部分网格化(参见 D. S. Arnon, G. Collins，and S. Mccallum，1988. Cylindrical algebraic decomposition， iii an adjacency algorithm for three-dimensional space. J. Symbolic Comput. 5，1，2，163-187. J. S. Cheng, X. S. Gao，and M. Li, 2005. Determine the topology of real algebraic surfaces.1n Mathematics of Surfaces， Springer-Verlag,121-146. S. Mccallum, and，G.E. Collins,2002. Local box adjacency algorithms for cylindrical algebraic decompositions. J. Symbolic Comput.33， 321-342.B. Mourrain, and J.P.Tecourt，2005. Computing the topology of real algebraic surfaces.1n MEGA electronic proceedings.)。在这种方法中，如何进行空间 的分解就显得尤为重要，空间分解一般是通过确定曲面的奇点，以及曲面在奇点处的连接 关系来得到。曲面的奇点是一个零维三角多项式系统的实根，奇点连接着的分枝数，即该奇 点的重数，就是对应实根的重数。[0005]因此，求解零维三角多项式系统，即有有限个零点的三角多项式系统，是计算科学、工程等领域的一个基本问题。用数值的方法来求解零维三角多项式系统一般会因为数值表示的误差导致结果不正确，并且不能够计算重数。Lu等人提出一种隔离零维三角系统实根的方法(参见 Z. Lu, B. He, Y. Luo and L. Pan, An algorithm of real rootisolation for polynomial systems, in Proceedings of International Workshop onSymbolic-Numeric Computation, Xi 1 an, China, Julyl9_21,94-107, 2005.),但是他们的方法没有终止判定条件，也不能处理重根。Collins等用区间算法和Descartes方法来计算(参见 G. E. Collins, J. R. Johnson, and ff. Krandick, Interval arithmetic incylindrical algebraic decom-position, J. Symb. Comput. , 34 :145-157,2002. )。Xia和Yang也提出了一种基于结式计算的算法(参见B. Xia and L. Yang, An algorithm forisolating the real solutions of sem1-algebraic systems, J. Symb. Comput. ,34 461-477,2002.)，但是他们的方法在有些情况下会失效。
实用新型内容基于现有技术的不足，本实用新型提供一种通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数进行曲面绘制的系统，该系统通过计算零维三角多项式系统的所有实根及其重数得到曲面的特征点及其重数，从而确定特征点之间连接关系得到曲面连接关系图，最后绘制出空间结构准确的曲面图像，其系统如图1所示。—种通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数进行曲面绘制的系统，其特征在于包括隐式曲面方程生成装置；曲面特征点生成装置，其通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数得到曲面的特征点及其重数；曲面连接图生成装置，其通过确定特征点之间的连接关系得到连接关系图；曲面绘制装置，其在连接关系图的基础上直接绘制网格曲面或者通过其他光顺化方法绘制更光滑的曲面；显示装置，显示绘制得到的曲面图像。目前，许多需要对象三维建模的领域都涉及到如何绘制隐式曲面图像的问题。本实用新型提出的技术方案，采用首先通过计算零维三角多项式系统得到曲面的特征点，然后通过确定特征点之间连接关系得到曲面连接关系图，最后通过连接关系图绘制曲面的方法，避免了纯数值方法绘制有奇点隐式曲面出错的工程难题，能够保证绘制出空间结构准确的立体曲面图像。本实用新型操作明确，结果鲁棒，可以用于隐式曲面的立体绘制。
图1本实用新型的系统框图；图2本实用新型的技术方案流程图；图3确定曲面特征点流程图；图4计算零维三角多项式系统所有实根流程图；图5多项式系统预处理流程图；[0019]图6估计根的上界流程图；图7曲面连接关系图中确定边集合不意图；图8曲面连接关系图中确定面集合不意图；图9-11本实用新型效果图。
具体实施方式
一种通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数进行曲面绘制的系统 ，首先，确定曲面的特征点；然后确定特征点处曲面的连接情况；最后，后绘制出曲面。具体流程参见图2。下面具体介绍关键的实现细节1.确定曲面f (X1, x2, X3) = O的特征点,流程如图3所示。特征点包括曲面的独立奇点，奇异线上的点，与奇点邻近的非奇点。执行如下步骤(I)确定特征点满足的零维三角多项式系统。奇点包含在零维三角多项式系统Σ 3 = {f! (X1)，f2 (X1, X2)，!^(X1, X2, X3) } (I)的实根中，其中
权利要求1.一种通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数进行曲面绘制的系统，其特征在于包括 隐式曲面方程生成装置； 曲面特征点生成装置，其通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数得到曲面的特征点及其重数； 曲面连接图生成装置，其通过确定特征点之间的连接关系得到连接关系图； 曲面绘制装置，其在连接关系图的基础上直接绘制网格曲面或者通过其他光顺化方法绘制更光滑的曲面； 显示装置，显示绘制得到的曲面图像。
专利摘要一种通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数进行曲面绘制的系统，其包括隐式曲面方程生成装置；曲面特征点生成装置，其通过计算零维三角多项式系统所有实根及其重数得到曲面的特征点及其重数；曲面连接图生成装置，其通过确定特征点之间的连接关系得到连接关系图；曲面绘制装置，其在连接关系图的基础上直接绘制网格曲面或者通过其他光顺化方法绘制更光滑的曲面；显示装置，显示绘制得到的曲面图像。
文档编号G06T17/30GK202838443SQ20122000509
公开日2013年3月27日 申请日期2012年1月9日 优先权日2012年1月9日
发明者李家, 程进三, 高小山 申请人:北京电子科技学院