直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法

本发明属于土木工程，具体涉及一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法。

背景技术：

1、拱结构面内自由振动频率的计算方法，可以分为两种，极坐标系下圆弧拱结构面内自由振动频率解析方法与直角坐标系下拱结构面内自由振动频率数值方法。

2、(1)极坐标系下圆弧拱面内自由振动频率解析方法。该方法以hamilton原理为基础，建立极坐标系下圆弧拱面内平衡微分方程，利用边界条件求解微分方程的特征值，进而得到自由振动频率的解析。该方法简便可行，但由于直角坐标系下拱结构应变表达式与极坐标系下表达式不同，该方法无法用于直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率的计算。

3、(2)直角坐标系下抛物线拱面内自由振动数值方法。该方法基于有限元原理，建立节点、单元、荷载向量与边界条件，通过含有轴向力贡献的单元刚度矩阵与荷载向量建立矩阵方程，求解矩阵方程的特征值与特征向量，进而得到直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率的数值解。数值方法具有较好的问题适应性，但是仅能得到某个具体工程实际问题的数值解，无法得到适合工程师使用的实用公式。

4、基于现有拱结构面内自由振动频率的计算方法，来确定直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析都有一定的困难，主要表现在以下几点：

5、1)极坐标系下圆弧拱面内自由振动频率解析方法，由于直角坐标系下拱结构应变表达式与极坐标系下表达式不同，该方法无法用于直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率的近似解析。

6、2)直角坐标系下拱结构面内自由振动频率数值方法，仅能得到某个具体工程实际问题的数值解，无法得到适合工程师使用的实用公式。

技术实现思路

1、本发明的目的是根据上述现有技术的不足之处，提供一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法，该方法通过提出一种变系数平衡微分方程近似解析方法，来求解抛物线拱面内自由振动频率的实用公式，以解决直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析的问题。

2、本发明目的实现由以下技术方案完成：

3、一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法，其特征在于所述解析方法包括以下步骤：基于直角坐标系下抛物线拱的结构面内应变-位移表达式，在hamilton理论框架下得到所述抛物线拱的面内变系数平衡微分方程，采用曲线弧长微分近似方法将所述面内变系数平衡微分方程简化；选取实际抛物线拱桥的参数范围，进行全参数数值试验，基于响应面法拟合得到所述抛物线拱的面内自由振动振型函数；将所述面内自由振动振型函数代入简化后的所述面内变系数平衡微分方程，得到所述面内变系数平衡微分方程的不平衡差；将所述不平衡差在全拱范围内积分，仅当频率为所述抛物线拱的结构实际振动频率时所述不平衡差为零，进而求出所述抛物线拱的面内自由振动频率的近似解析。

4、所述直角坐标系下所述抛物线拱的结构面内应变-位移表达式为：

5、

6、式中：

7、εm与εb分别为所述抛物线拱上任一点处的压缩应变与弯曲应变；

8、y*为所述抛物线拱的主拱圈横截面内法线坐标；

9、y为所述抛物线拱的竖向坐标，y＝[x2-(l/2)2]/(2p)，其中：x为笛卡尔直角坐标系的横坐标，p＝l2/(8f)，l为所述抛物线拱的跨度，f为所述抛物线拱的矢高；

10、w为所述抛物线拱结构变形后的水平位移；

11、v为所述抛物线拱结构变形后的竖向位移；

12、()′＝d()/dx；()″＝d2()/dx2。

13、所述hamilton理论框架的计算式为：

14、

15、式中：

16、δ为变分符号；

17、t与u分别是所述抛物线拱的结构自身处于平衡状态时的动能和势能；

18、t1为所述抛物线拱的结构自身发生自由振动的初始时刻；

19、t2为所述抛物线拱的结构自身发生自由振动的结束时刻。

20、所述直角坐标系下，简化后的所述抛物线拱的面内变系数平衡微分方程为：

21、

22、式中：

23、v”为v的二阶导数，v为所述抛物线拱结构变形后的竖向位移；

24、e为所述抛物线拱的结构弹性模量；

25、iz为所述抛物线拱的主拱圈横截面抗弯惯性矩，iz＝∫ay*2da，其中，y*为所述抛物线拱的主拱圈横截面内法线坐标；a为所述抛物线拱的主拱圈横截面面积；

26、ch()为双曲余弦函数，a为所述抛物线拱的拱形系数，x为笛卡尔直角坐标系的横坐标；

27、ρ为所述抛物线拱的拱结构材料密度；

28、ω为所述抛物线拱的拱结构自由振动频率。

29、1.根据权利要求4所述的一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法，其特征在于所述面内自由振动振型函数的表达式为：

30、

31、式中：

32、n＝1,2…；

33、x为笛卡尔直角坐标系的横坐标；

34、l为所述抛物线拱的跨度。

35、将所述面内自由振动振型函数代入简化后的所述面内变系数平衡微分方程，得到所述面内变系数平衡微分方程的不平衡差，所述不平衡差为：

36、

37、将所述不平衡差在全拱范围内积分为：

38、

39、式中：

40、e为所述抛物线拱的结构弹性模量；

41、i为所述抛物线拱的结构惯性矩；

42、l为所述抛物线拱的跨度；

43、n＝1,2…；

44、ρ为所述抛物线拱的拱结构材料密度；

45、a为所述抛物线拱的主拱圈横截面面积；

46、ω为所述抛物线拱的拱结构自由振动频率；

47、ch()为双曲余弦函数，a为所述抛物线拱的拱形系数，x为笛卡尔直角坐标系的横坐标。

48、所述抛物线拱的面内自由振动频率的近似解析为：

49、

50、式中：

51、n＝1,2…；

52、e为所述抛物线拱的结构弹性模量；

53、i为所述抛物线拱的结构惯性矩；

54、ρ为所述抛物线拱的拱结构材料密度；

55、a为所述抛物线拱的主拱圈横截面面积；

56、l为所述抛物线拱的跨度；

57、ξ为所述抛物线拱的面内自振频率系数，表达式为：

58、

59、其中，a为所述抛物线拱的拱形系数；sh为双曲正弦函数。

60、本发明的优点是：能够快速得到抛物线拱结构面内自由振动频率高精度近似解析，力学概念清晰、目标明确、方法简单，使得工程技术人员可以避免使用有限元软件进行复杂求解，降低了拱结构面内自由振动频率求解工作量，具有明显的技术经济合理性。

技术特征：

1.一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法，其特征在于所述解析方法包括以下步骤：基于直角坐标系下抛物线拱的结构面内应变-位移表达式，在hamilton理论框架下得到所述抛物线拱的面内变系数平衡微分方程，采用曲线弧长微分近似方法将所述面内变系数平衡微分方程简化；选取实际抛物线拱桥的参数范围，进行全参数数值试验，基于响应面法拟合得到所述抛物线拱的面内自由振动振型函数；将所述面内自由振动振型函数代入简化后的所述面内变系数平衡微分方程，得到所述面内变系数平衡微分方程的不平衡差；将所述不平衡差在全拱范围内积分，仅当频率为所述抛物线拱的结构实际振动频率时所述不平衡差为零，进而求出所述抛物线拱的面内自由振动频率的近似解析。

2.根据权利要求1所述的一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法，其特征在于所述直角坐标系下所述抛物线拱的结构面内应变-位移表达式为：

3.根据权利要求2所述的一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法，其特征在于所述hamilton理论框架的计算式为：

4.根据权利要求3所述的一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法，其特征在于所述直角坐标系下，简化后的所述抛物线拱的面内变系数平衡微分方程为：

5.根据权利要求4所述的一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法，其特征在于所述面内自由振动振型函数的表达式为：

6.根据权利要求5所述的一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法，其特征在于将所述面内自由振动振型函数代入简化后的所述面内变系数平衡微分方程，得到所述面内变系数平衡微分方程的不平衡差，所述不平衡差为：

7.根据权利要求6所述的一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法，其特征在于所述抛物线拱的面内自由振动频率的近似解析为：

技术总结
本发明公开了一种直角坐标系下抛物线拱面内自由振动频率近似解析方法，包括以下步骤：基于直角坐标系下抛物线拱的结构面内应变‑位移表达式，在Hamilton理论框架下得到抛物线拱面内变系数平衡微分方程，采用曲线弧长微分近似方法将面内变系数平衡微分方程简化；选取实际抛物线拱桥的参数范围，进行全参数数值试验，基于响应面法拟合得到抛物线拱面内自由振动振型函数；将其代入简化后的面内变系数平衡微分方程，得到不平衡差；将不平衡差在全拱范围内积分，仅当频率为抛物线拱结构实际振动频率时不平衡差为零，进而求出抛物线拱面内自由振动频率的近似解析。本发明的优点是：根据拱结构参数，可得出拱结构面内自由振动频率的高精度实用解析。

技术研发人员：罗文俊,许玉和,胡常福,朱顺顺,张鑫,李向海,张心纯,杨智军
受保护的技术使用者：华东交通大学
技术研发日：
技术公布日：2024/1/12