一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法

本发明属于半导体器件与集成电路领域，尤其涉及一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法。

背景技术：

1、使用数值方法进行半导体方程的求解对于分析半导体器件的工作状态至关重要。在不考虑量子效应的经典半导体物理模型下，半导体器件内部的物理过程由泊松方程和电子、空穴的对流扩散方程共三个方程描述。但由于半导体材料的性质，特别是半导体器件中常见的pn结结构存在，半导体控制方程组不易被数值求解，使用常规的数值离散方法极易引起震荡。

2、因此，对于半导体方程的数值求解，现在主要有两条路线：

3、采用基于scharfetter-gummel格式（sg格式）的有限体积法对半导体方程组进行离散，由于sg格式保证了矩阵具有m矩阵的性质，所以不会出现数值震荡，但此方法精度较低，在电场强度较高的区域仅有一阶精度，需要使用较密的网格和较多的未知量才能获得准确的计算结果。

4、采用以局部间断伽辽金（local discontinuous galerkin，ldg）和混合间断伽辽金（hybridizable discontinuous galerkin，hdg）方法为代表的高精度有限元方法对半导体方程组进行离散。此类有限元方法可以通过高阶基函数得到高精度的结果，但在离散半导体的对流扩散方程时会有严重的数值震荡，甚至无法收敛。

技术实现思路

1、为解决上述问题，本发明提出了一种通过调和平均技术对高精度有限元格式的弱形式进行变换的方法，可以使得调整后的有限元格式在保持高精度的同时不再出现数值震荡。将此方法应用在hdg有限元格式中，最终可以实现半导体方程的稳定、精确求解。

2、本发明通过如下技术方案实现：

3、一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法，所述方法包括，

4、确立描述半导体器件稳态下的基本控制方程组；

5、确定电子、空穴漂移-扩散方程满足的边界条件；

6、引入矢量性质的辅助未知量，将基本控制方程组内的方程降阶为仅有一阶微分算子的形式；

7、进行网格划分和控制方程组的空间离散化，由仅有一阶微分算子的控制方程组得到弱形式；

8、将公式中的hdg弱形式中的对流项和扩散项的数值积分通过调和平均变量混合；

9、使用牛顿法求解全部待求未知量。

10、进一步地，

11、半导体器件稳态下的基本控制方程组为

12、(1)，

13、其中，为电离施主浓度，为电离受主浓度，为电子生成率，为电子复合率，为空穴生成率，为空穴复合率， ε为介电常数，为单位电荷；电子连续性方程和空穴连续性方程中，电子电流密度和空穴电流密度为如下的对流项+扩散项的形式

14、(2)，

15、其中，单位电荷、电子迁移率空穴、空穴迁移率、电子扩散系数、空穴扩散系数均为常数。

16、进一步地，

17、所述边界条件包括：

18、和电极欧姆接触的dirichlet边界满足的方程

19、(3)，

20、其中为半导体电极外加的电压，为半导体中的热电压，为本征载流子浓度；

21、和绝缘介质接触的neumann边界满足的方程为零边界通量

22、(4)。

23、进一步地，

24、将基本控制方程组无量纲化，并引入电场强度电子电流密度、空穴电流密度三个矢量性质的辅助未知量，将方程降阶为仅有一阶微分算子的形式

25、(5)，

26、其中，为电场强度基本未知量，为电子数基本未知量，为空穴数基本未知量。

27、进一步地，

28、记全部网格单元的集合为，记函数的内积为，记网格的集合为，记网格分界面的集合为，

29、分别对方程（5）中的6个未知量使用测试函数进行积分，并且通过分部积分引入分界面未知量，最终得到弱形式为

30、（6），

31、其中，在网格单元边界上的矢量通量的定义为

32、（7），

33、其中，为电子稳定系数，实际计算时根据方程中对流项和扩散项的大小指定。

34、进一步地，

35、电子连续性方程中，将分界面未知量在网格单元边界上的积分重新通过分部积分，得到对网格单元内的“对流项+扩散项”的体积分的形式

36、（8），

37、首先将网格单元内的“对流项和扩散项”合为一个未知量进行积分

38、（9），

39、然后将该hdg弱形式的积分项，完整展开为i点的测试函数的形函数和j点的试探函数的形函数的乘积的积分，并将积分中的使用i,j两点的的调和平均变量替代，并且将其从积分中移出，得到

40、（10），

41、对公式(12)中的积分进行等价转换，将其改写为

42、

43、（11），

44、再将调和平均变量展开，得到

45、

46、（12），

47、其中为伯努利函数。

48、与现有技术相比，本发明具有如下优点：

49、将本发明提出的调和平均技巧应用于hdg等高精度有限元格式中，可以在保证较高空间离散精度的同时，也消除数值震荡和不收敛的现象，最终实现半导体方程的稳定、精确数值求解。

50、本发明的其它特征和优点将在随后的说明书中阐述，并且，部分地从说明书中变得显而易见，或者通过实施本发明而了解。本发明的目的和其他优点可通过在说明书、权利要求书以及附图中所指出的结构来实现和获得。

技术特征：

1.一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法，其特征在于，所述方法包括，

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，

技术总结
本发明提供了一种采用调和平均技术的半导体器件运行状态仿真方法，所述方法包括，确立描述半导体器件稳态下的基本控制方程组；确定电子、空穴漂移‑扩散方程满足的边界条件；引入矢量性质的辅助未知量，将基本控制方程组内的方程降阶为仅有一阶微分算子的形式；进行网格划分和控制方程组的空间离散化，由仅有一阶微分算子的控制方程组得到弱形式；将公式中的HDG弱形式中的对流项和扩散项的数值积分通过调和平均技术处理；使用牛顿法求解全部待求未知量。本发明提出了一种通过调和平均技术对高精度有限元格式的弱形式进行变换的方法，可以使得调整后的有限元格式在保持高精度的同时不再出现数值震荡。

技术研发人员：庄池杰,曾嵘,石清元,彭晞雨,任李鑫
受保护的技术使用者：清华大学
技术研发日：
技术公布日：2024/2/19