一种用于符号线性系统的快速高斯约当消去方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于计算机技术领域，涉及一种用于符号线性系统的快速高斯约当消去方 法。
【背景技术】
[0002] 随着计算机仿真技术的迅猛发展以及虚拟设计的兴起，工业生产加工过程中对仿 真技术的在适用性、准确性、实时性、可靠性等性能的要求也越来越高。
[0003] 目前，业界应用的多物理场建模软件主要包括Simulink、Ansys、MapleSim、 Dymola、SimulationX、MWork等，其中主流软件主要以速度较快的数值计算为主，但其在计 算过程中会由于截断误差的累积造成精度的降低，以及无法保留化简结果以便下次计算， 无法应用到实时性要求较高的硬件在环检测技术上。而符号计算虽然能有效的避免中间 过程的阶段误差，时不变系统实时性好，能够便于研发人员研宄系统输入、输出量之间的关 系，但是其计算过程速度慢。
【发明内容】
[0004] 有鉴于此，本发明的目的在于提供一种用于符号线性系统的快速高斯约当消去方 法，该方法适用于多物理场建模软件中的符号线性系统化简求解，能够极大的提高线性系 统进行快速高斯约当消去符号计算的速度。
[0005] 为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：
[0006] -种用于符号线性系统的快速高斯约当消去方法，其特征在于：包括以下步骤：
[0007] 步骤一：根据工程系统问题，建立数学物理模型，拉氏变换后构建为线性系统，列 出符号矩阵形式的系统状态空间方程；
[0008] 步骤二：根据矩阵大小确定需要进行消去的次数，利用快速高斯约当消去方法直 接构造出系统状态空间方程化简为对角矩阵后的准确结果；
[0009] 步骤三：根据一一对应关系，计算出该系统输入、输出量之间的数学物理关系。
[0010] 进一步，步骤一中的根据工程系统问题，建立数学物理模型，拉氏变换后构建为线 性系统，列出的符号矩阵形式系统状态空间方程的一般形式为：Ax=b，其中，
为状态矩阵，X=[Xix2…xn]T为输出量，b=[bib2…bn]T为输入量。
[0011] 进一步，步骤二中的确定需要消去的次数s表述为：由步骤一所得状态空间方程 的增广矩阵（A|b) = (ay)^的大小nXm来确定，s=min(n,m)，工程中通常n=m-1，s =n〇
[0012] 进一步，步骤二中的快速高斯约当（Gauss-Jordan)消去方法具体包括以下步骤：
[0013] 1)初始值设定：定义 表示增广矩阵（A|b)经过k次消去后第i行第j列元素， 表示增广矩阵（A|b)经过k次消去后第i行第j列元素的构造因子；给定=0;当 1 <i<n，1 <j〈m时，
；当 1 <i<n，j=m时，=夂；
[0014] 2)进行第k次消去后（0彡k彡s)，
[0015] 当i>k，j>k时，元素的构造因子
[0016] 当i〈k，j>k时，元素的构造因子
[0017] 3)结合步骤2)，增广矩阵（A|b)进行第k次消去后（0彡k彡s)转变为（A|b)k， 其中（A|b)k的元素满足：
[0019] 经过k=s次消去化简后的系统状态空间方程对角矩阵形式为：
[0021] 进一步，在步骤三中，根据步骤二中的化简结果，同时根据工程系统通常m=n+1， 判断出该系统输入、输出量存在一一对应关系，并计算出它们之间的数学物理关系。
[0022] 本发明的有益效果在于：本发明所述的方法在化简速度上远优于传统方法，避免 了高斯消去法的回代过程，节约了计算时间；同时，符号计算有利于保证计算结果的精度和 明确的物理关系，能够极大的提高线性系统进行快速高斯约当消去符号计算的速度。
【附图说明】
[0023] 为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行 说明：
[0024] 图1为本发明所述方法的流程示意图；
[0025] 图2为本发明实施案例示意图。
【具体实施方式】
[0026] 下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。
[0027]图1为本发明所述方法的流程示意图，如图所示，本方法包括以下步骤：步骤一， 根据工程系统问题，建立数学物理模型，拉氏变换后构建为线性系统，列出符号矩阵形式的 系统状态空间方程；步骤二，根据矩阵大小确定需要进行消去的次数，利用快速高斯约当消 去方法直接构造出系统状态空间方程化简为对角矩阵后的准确结果；步骤三，根据一一对 应关系，计算出该系统输入、输出量之间的数学物理关系。
[0028] 下面将结合附图1，对本发明的优选实施例进行详细的描述：
[0029] 步骤一中的工程系统的系统状态空间方程的一般形式为：
[0031] 其中，x=[Xix2…xn]T为状态变量，y= [y丄y2…y」1为输出变量，u=[u1u2 ???111)]1为输入变量，六=(3。(〇)11><11为系统矩阵，8=〇^(〇) 11><1)为控制、输入或分布矩 阵，C= 为输出矩阵，D= ((^。.⑴丨^为输出分布矩阵。
[0032] 对于时不变系统，拉氏变换线性化后的矩阵形式的系统状态方程为：
[0034] 结合附图2，在本实施例中，状态变量
，输出变量y=[yiy2] T
[0035] 输入变量u=[ulU2]T，系统矩阵
|控制、输入或分布矩 阵
，输出矩阵C= [1 0 1 0]，输出分布矩阵D= [0 0]。
[0036] 针对系统状态方程，进行拉氏变换后，其增广矩阵为
[0038]所得状态空间方程的增广矩阵的大小为4X5,故需要消去的次数s= 4。
[0039] 利用快速高斯约当消去方法对其进行处理：
[0040]1)初始值设定：定义表示增广矩阵（(I-A) |(BU(s)))经过k次消去后第i行 第j列元素，表示增广矩阵（(I-A) |(BU(s)))经过k次消去后第i行第j列元素的构 造因子；给定
当1彡i彡4, 1彡j〈5时
；当丄彡i彡4,j= 5时，
[0041] 2)进行第k次消去后（0彡k彡4)，
[0042] 当i>k，j>k时，元素的构造因子
[0043] 当i〈k，j>k时，元素的构造因子
[0044] 3)结合步骤2)，增广矩阵（(I-A) |(BU (s)))进行第k次消去后（0彡k彡4)转变 为（(I-A) | (BU(s)))k，其中（(I-A) | (BU(s)))k的元素满足：
[0046] 步骤二中的经过4次快速高斯约当消去方法化简后的系统状态空间方程对角矩 阵形式为：
[0047]
[0048]根据步骤二中的化简结果由（Is-A) ?X(s) =B?U(s)可以判断出该系统输入、 输出量存在 对应关系，即
[0051] 将本发明方法在Maple软件上编程实现后，对本实施案例进行化简处理，传统的 高斯约当消去法的程序响应总时间为〇. 063秒，其中CPU进行的化简时间0. 016秒，而本发 明方法的程序总响应时间为0. 046秒，其中CPU进行的化简时间几乎为0秒。可见，本发 明方法在化简速度上远优于传统方法，避免了高斯消去法的回代过程，节约了计算时间；同 时，符号计算有利于保证计算结果的精度和明确的物理关系。特别地，有限元分析过程中， 网格化后的单元都可以看作是一个个串联或者并联的等效的质量一一阻尼一一弹簧系统， 与该实施案例类似，采用本发明方法对其计算精度和计算速度都有很好的保证。
[0052] 最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通 过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在 形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。
【主权项】
1. 一种用于符号线性系统的快速高斯约当消去方法，其特征在于：包括以下步骤： 步骤一：根据工程系统问题，建立数学物理模型，拉氏变换后构建为线性系统，列出符 号矩阵形式的系统状态空间方程； 步骤二：根据矩阵大小确定需要进行消去的次数，利用快速高斯约当消去方法直接构 造出系统状态空间方程化简为对角矩阵后的准确结果； 步骤三：根据一一对应关系，计算出该系统输入、输出量之间的数学物理关系。2. 根据权利要求1所述的一种用于符号线性系统的快速高斯约当消去方法，其特征 在于：步骤一中的根据工程系统问题，建立数学物理模型，拉氏变换后构建为线性系统，列 出的符号矩阵形式系统状态空间方程的一般形式为：Ax = b，其中，为状态矩 阵，X = [X1 X2…χη]τ为输出量，b = [b i b2…bn]T为输入量。3. 根据权利要求2所述的一种用于符号线性系统的快速高斯约当消去方法，其特征 在于：步骤二中的确定需要消去的次数s表述为：由步骤一所得状态空间方程的增广矩阵 (A|b) = (ai; j)nXm的大小 nXm 来确定，s = min(n, m)，工程中通常 n = m-1，s = η。4. 根据权利要求3所述的一种用于符号线性系统的快速高斯约当消去方法，其特征在 于：步骤二中的快速高斯约当消去方法具体包括以下步骤： 1) 初始值设定：定义表示增广矩阵（A|b)经过k次消去后第i行第j列元素， 表示增广矩阵（A|b)经过k次消去后第i行第j列元素的构造因子；给定= O ;当 I < i < n，I < j〈m 时，〇):.)= <.=式】；当 I < i < n，j = m 时，= ^ ; 2) 进行第k次消去后（0彡k彡s)，当i>k, j>k时，元素的构造因子' 当i〈k, j>k时，元素的构造因子? 3) 结合步骤2)，增广矩阵（A|b)进行第k次消去后（0彡k彡s)转变为（A|b)k，其中 (A|b)k的元素满足：经过k = S次消去化简后的系统状态空间方程对角矩阵形式为：5.根据权利要求4所述的一种用于符号线性系统的快速高斯约当消去方法，其特征在 于：在步骤三中，根据步骤二中的化简结果，同时根据工程系统通常m = n+1，判断出该系统 输入、输出量存在一一对应关系，并计算出它们之间的数学物理关系。
【专利摘要】本发明涉及一种用于符号线性系统的快速高斯约当消去方法，属于计算机技术领域。本方法包括以下步骤：1)根据工程系统问题，建立数学物理模型，拉氏变换后构建为线性系统，列出符号矩阵形式的系统状态空间方程；2)根据矩阵大小确定需要进行消去的次数，利用快速高斯约当消去方法直接构造出系统状态空间方程化简为对角矩阵后的准确结果；3)根据一一对应关系，计算出该系统输入、输出量之间的数学物理关系。本方法将复杂的高斯约当消去过程通过数学方法分析转换，直接根据初始的状态方程计算出化简后的状态方程，省去了中间过程的计算；此外，化简后的矩阵为对角线矩阵，为一一对应关系，减少了其他消去方法的回代过程，极大的提高了计算速度。
【IPC分类】G06F17/16
【公开号】CN104899183
【申请号】CN201510362146
【发明人】李轶, 朱广, 冯勇, 杨文强
【申请人】中国科学院重庆绿色智能技术研究院
【公开日】2015年9月9日
【申请日】2015年6月26日