一种载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法
【专利摘要】本发明涉及一种载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法。该载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法包括：S1：建立连续体结构稳健优化模型：S2：根据结构所承受的载荷作用点位置的分布形式以及高斯求积节点位置，选取多个基础工况；S3：初始化设计变量；S4：对各个基础工况进行有限元分析得到相应的结构位移向量；S5：计算结构柔度的均值与标准差；S6：对结构进行灵敏度分析；S7：利用渐近线方法更新设计变量；S8：判断是否满足终止条件，若满足，则停止迭代；否则重复S4至S7直到满足迭代终止条件。本发明计算量小且相对精度较高，在现有拓扑优化基础上实施非常简单。
【专利说明】
一种载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法
技术领域
[0001] 本发明涉及结构拓扑优化技术领域，尤其涉及一种载荷作用点位置不确定的结构 稳健设计方法。
【背景技术】
[0002] 通常情况下，结构拓扑优化是在确定条件下完成的，但是这种最优结构在抵抗外 界扰动时有可能是比较脆弱的，因此研究不确定条件下的结构拓扑优化问题是很有必要 的。在实际的设计过程中存在各类不确定性，如载荷不确定，材料不确定，制造过程产生的 几何尺寸和边界不确定。载荷不确定又分为载荷大小不确定、载荷方向不确定以及载荷作 用点位置不确定。载荷作用点位置不确定对结构系统的影响较大，相对于确定性优化设计 方法，考虑载荷作用点位置不确定性的稳健优化设计方法可以得到更加稳定的结构。载荷 作用点位置不确定的结构稳健设计方法的技术难点是如何准确高效的计算作用点不确定 载荷下结构柔度的均值与标准差以及其对设计变量的灵敏度。
[0003] 现有技术中的随机优化设计方法的优化目标是质量最小化，约束为载荷位置不确 定下柔度的概率可靠度。现有技术中概率型最优拓扑设计方法主要处理载荷作用点位置是 随机情况下的连续类型的结构，其优化模型是在柔度和边界的约束下最小化离散结构重量 的加权和。上述两种方法主要用于载荷作用点位置不确定下基于可靠度的连续体拓扑优 化，并且优化是以结构质量最小化为目标，柔度满足的概率为约束。
[0004] 现有技术中缺少基于载荷作用点位置不确定的稳健性拓扑优化。然而，实际工程 中载荷作用点位置不确定十分常见，研究载荷作用点位置不确定的稳健性拓扑优化很有必 要。
【发明内容】
[0005] 本发明所要解决的技术问题是:如何提供一种载荷作用点位置不确定的稳健性拓 扑优化方法。
[0006] 为解决上述技术问题，本发明提出了一种载荷作用点位置不确定的结构稳健设计 方法，该方法载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法包括：
[0007] S1:建立连续体结构稳健优化模型：
[0008] S2:根据结构所承受的载荷作用点位置的分布形式以及高斯求积节点位置，选取 多个基础工况；
[0009] S3:初始化设计变量；
[0010] S4:对各个基础工况进行有限元分析得到相应的结构位移向量；
[0011] S5:计算结构柔度的均值与标准差；
[0012] S6:对结构进行灵敏度分析；
[0013] S7:利用渐近线方法更新设计变量；
[0014] S8:判断是否满足终止条件，若满足，则停止迭代；否则重复S4至S7直到满足迭代 终止条件。
[0015] 可选地，所述连续体结构稳健优化模型包括：
[0016] /V///7： J = afi(c) + pcr{c^) X
[0017] s.t. :Ku(co)=f(co)(co G 0)
[0018] g = V - Fftax = V - Vyam - ? e=l
[0019] O^p^l
[0020] 其中，J为目标函数，y(c)和〇(c)分别为结构柔度c的均值与标准差，a和0为两个非 负实数且满足a+P=l ;K为结构整体刚度矩阵，f( co )和u( co )分别为结构的载荷与位移向 量，《用于表示载荷作用点位置的不确定性;m为离散的单元数目，w和~分别为单元的体积 和密度，g为连续体结构稳健优化模型的不等式约束，V为每次计算获得的体积用量，V max为 给定的材料体积用量;P为由Pe(e = l，???，m)组成的向量。
[0021] 可选地，所述选取多个基础工况包括：
[0022]根据载荷作用点位置的概率分布函数，找到其对应的高斯求积节点，对每个点施 加载荷建立一种工况，选取出n个基础工况fi，…，fn;
[0023]其中，n是高斯积分的求积节点数。
[0024] 可选地，所述初始化设计变量包括： m
[0025] 将所有的单元赋予相同的密度匕ax ? e-1
[0026] 可选地，所述对各个基础工况进行有限元分析得到相应的结构位移向量包括：
[0027] 对各个基础工况心，…，fn进行有限元有限元分析得到相应的结构位移向量m，…， Un〇
[0028] 可选地，所述计算结构柔度的均值与标准差包括：
[0029]结构柔度的均值为： n
[0030] //(r) = j r(.v, p)f(x)dx ^ ^ Aic{xt, p)；
[0031]结构柔度的方差为：
[0032] <7： (^) = J^：( v-. p)f(x)dx -/.r (r) = />)./ (a-)^a- - /.r (c) = X ^ P) ~
[0033] 其中，c(Xi,p) = f (Xi)u(Xi)表示载荷f (Xi)在位移u(Xi)上所作之功，Xi表示第i个 工况载荷作用点位置表示高斯求积系数。
[0034] 可选地，所述对结构进行灵敏度分析包括：
[0035] 根据结构柔度均值与方差的表达式，目标函数对于各单元密度A的偏导数为：
[0037]约束对于各单元密度的灵敏度为：
[0039] 可选地，所述利用渐近线方法更新设计变量包括：
[0040] 根据灵敏度分析获得的灵敏度信息构造目标函数的近似函数：
[0042] 其中，P(k)为当前迭代点，If和?Tf1为移动渐近线，其迭代格式为：
[0043] If V-)-0.1(din)
[0044] =plk)+0.l{^~p^n)
[0045] 1为设计变量的当前值，prx和分别为~的上下限；
[0046] = max((t/f1 - pf] fdf / dpe,&) , q{ek) = max(-(pf1 ~ ^]f〇f / 0/7^0)；：
[0047] 利用该近似函数代替原优化问题中的目标函数而形成优化子问题；
[0048] 利用对偶方法求解该优化子问题而得到更新后的设计变量。
[0049] 可选地，所述判断是否满足终止条件，若满足，则停止迭代，否则重复S4至S7直到 满足迭代终止条件包括：
[0050]若迭代次数达到了最大次数或者各个离散单元两次迭代密度变化量均小于给定 值，则停止迭代;否则继续迭代过程。
[0051]本发明提供的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，基于已知的载荷作用 点分布规律，将结构柔度看作是作用点位置的函数，采用线性结构的位移叠加原理和高斯 求积公式计算结构的柔度均值与标准差，并对目标函数进行灵敏度分析。该方法计算量小 且相对精度较高，在现有拓扑优化基础上实施非常简单。
【附图说明】
[0052]通过参考附图会更加清楚的理解本发明的特征和优点，附图是示意性的而不应理 解为对本发明进行任何限制，在附图中：
[0053]图1示出了本发明一个实施例的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法的流 程不意图；
[0054]图2示出了本发明一个实施例的基础结构及边界与载荷条件；
[0055]图3a、图3b、图3c示出了本发明一个实施例的三种载荷作用点位置分布示意图；
[0056]图4示出了不考虑载荷作用点位置不确定性的优化结果；
[0057] 图5示出了考虑载荷作用点位置不确定的结构稳健优化结果。
【具体实施方式】
[0058] 下面将结合附图对本发明的实施例进行详细描述。
[0059]图1示出了本发明一个实施例的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法的流 程示意图。如图1所示，该实施例的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，包括：
[0060] S1:建立连续体结构稳健优化模型：
[0061] S2:根据结构所承受的载荷作用点位置的分布形式以及高斯求积节点位置，选取 多个基础工况；
[0062] S3:初始化设计变量；
[0063] S4:对各个基础工况进行有限元分析得到相应的结构位移向量；
[0064] S5:计算结构柔度的均值与标准差；
[0065] S6:对结构进行灵敏度分析；
[0066] S7:利用渐近线方法更新设计变量；
[0067] S8:判断是否满足终止条件，若满足，则停止迭代；否则重复S4至S7直到满足迭代 终止条件。
[0068] 本实施例的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，基于已知的载荷作用点 分布规律，将结构柔度看作是作用点位置的函数，采用线性结构的位移叠加原理和高斯求 积公式计算结构的柔度均值与标准差，并对目标函数进行灵敏度分析。该方法计算量小且 相对精度较高，在现有拓扑优化基础上实施非常简单。
[0069] 在一种可选的实施方式中，所述连续体结构稳健优化模型包括：
[0070] M/'//： J = ajii{c) + p(j(c) X
[0071] s.t. :Ku(co)=f(co)(co e 0) m
[0072] g-=V- ^ - X VVA. - ^ 0 e~l
[0073] O^p^l
[0074] 其中，J为目标函数，y(c)和〇(c)分别为结构柔度c的均值与标准差，a和0为两个非 负实数且满足a+P=l ;K为结构整体刚度矩阵，f( co )和u( co )分别为结构的载荷与位移向 量，《用于表示载荷作用点位置的不确定性;m为离散的单元数目，w和~分别为单元的体积 和密度，g为连续体结构稳健优化模型的不等式约束，V为每次计算获得的体积用量，V max为 给定的材料体积用量;P为由Pe(e = l，???，m)组成的向量。
[0075] 本发明实施例的"建立连续体结构稳健优化模型"的依据和方法为:在一定的载荷 条件下，结构的柔度越小，其承受外载荷的能力越强。在载荷作用点位置不确定条件下，结 构的柔度会随着载荷位置的变化而变化，设计结构时不仅要减小结构柔度的均值y( c)，还 要减小结构柔度随载荷变化而引起的波动，即减小结构柔度的标准差〇(c)。本发明以连续 体结构柔度均值y(c)与标准差 〇(c)的加权和J = ay(C)+伽(c)最小为目标建立优化模型，数 学表达简单且物理意义更加明确。
[0076] 进一步地，所述选取多个基础工况包括：
[0077] 根据载荷作用点位置的概率分布函数，找到其对应的高斯求积节点，对每个点施 加载荷建立一种工况，选取出n个基础工况fi，…，fn;
[0078]其中，n是高斯积分的求积节点数。
[0079] 进一步地，所述初始化设计变量包括： -m
[0080] 将所有的单元赋予相同的密度Kmax /。 €-1
[0081 ]所述对各个基础工况进行有限元分析得到相应的结构位移向量包括：
[0082] 对各个基础工况心，…，fn进行有限元有限元分析得到相应的结构位移向量m，…， Un〇
[0083] 具体地，所述计算结构柔度的均值与标准差包括：
[0084]结构柔度的均值为： n
[0085] //((：) ^-= [ 6'(..v, p)f(x)dx = v Axi.x^p)； /
[0086] 结构柔度的方差为：
[0087] a2 (<；') = | (^v, p)f(x)c!x - jLr(c) = J r" (a\ p)f(x)dx - /r (c) = ^ Ac2 (.v , - /r (f) l
[0088] 其中，c(Xi,p) = f (Xi)u(Xi)表示载荷f (Xi)在位移u(Xi)上所作之功，Xi表示第i个 工况载荷作用点位置表示高斯求积系数。
[0089] 所述对结构进行灵敏度分析包括：
[0090] 根据结构柔度均值与方差的表达式，目标函数对于各单元密度pe的偏导数为：
[0092]约束对于各单元密度的灵敏度为：
[0094] 所述利用渐近线方法更新设计变量包括： 12345 根据灵敏度分析获得的灵敏度信息构造目标函数的近似函数： 2
3 其中，P(k)为当前迭代点，If和？l/f为移动渐近线，其迭代格式为： 4 = pT -〇-i(pr -PD 5 Ulk)=p(ek>+0A(p^-p：'m)
[0i00] /f^为设计变量a的当前值，pr*和#分别为~的上下限；
[0101] pf} - max((6^' - p；；^ f cf / cp^O) ^ q：：'= maxi-ip：,1'):: cf / cP(,. 0)；
[0102] 利用该近似函数代替原优化问题中的目标函数而形成优化子问题；
[0103] 利用对偶方法求解该优化子问题而得到更新后的设计变量。
[0104] 具体地，所述判断是否满足终止条件，若满足，则停止迭代，否则重复S4至S7直到 满足迭代终止条件包括：
[0105] 若迭代次数达到了最大次数或者各个离散单元两次迭代密度变化量均小于给定 值，则停止迭代;否则继续迭代过程。
[0106] 本实施例的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法基于高斯求积公式，将载 荷作用点位置不确定拓扑优化问题转化为多工况确定性拓扑优化形式，对少量的载荷工况 进行结构分析即可得到高精度解;本文算法理论基础简单，易于实施并且适用范围更广，可 适用于载荷作用点位置为各种分布下的不确定性。
[0107] 需要说明的是，本发明实施例的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法的精 度、计算量均与高斯求积节点的数量成正比；一般情况下，少量的求积节点即可达到精度要 求。本发明可以简单的推广到三维结构的稳健设计，因此对实际工程中结构设计具有更强 的适用性。
[0108] 下面以一个具体的二维连续体结构的稳健设计方法为例说明本发明。如图2所示， F为集中载荷大小和方向。该结构的长宽尺寸为100X100,其中结构下端固定，并在上端承 受作用点位置不确定载荷F=10N。载荷的不确定性由载荷作用点位置x表示，并且服从均匀 分布，分布区间为[-8，+8 ]。杆件材料的杨氏模量为1，泊松比为0.3，材料总体积为10000，采 用一致的单位系统。对该结构进行稳健设计优化，使其在给定载荷作用点位置不确定条件 下的结构柔度均值与标准差的加权和最小。
[0109] 该方法具体步骤如下：
[0110] S1:建立结构稳健优化模型：
[0111] M//?: J =
[0112] s.t. :Ku(co)=f(co)(co G 0) iqgoo
[0ii3] zmmax<〇 e=l
[0114] O^p^l
[0115] 其中J为目标函数，y(c)和〇(c)分别为结构柔度的均值与标准差，a = 〇. 8,0 = 0.2; K为结构整体刚度矩阵，f( co )和u( co )分别为结构的载荷与位移向量，co用于表示载荷作用 点位置的不确定性;Vmax = 2000为给定的材料体积用量;P为由个单元密度组成的向量。
[0116] S2:根据高斯积分公式，选取三个求积节点，即载荷作用点位置分别为43.80，50， 56.20，组成三个基础工况，如图3a、图3b、图3c，其中，x为大小和方向确定但作用点位置不 确定载荷f x的作用位置;fx为在作用点x处载荷的大小。
[0117] S3:初始化设计变量。取每个单元的密度均为0.2。
[0118] S4:对三个基础工况进行有限元分析得到相应的结构位移向量Ul，U2，U3;
[0119] S5:结构柔度的均值为外/'⑴办=I為心,.,/》，结构柔度的方差为：
[0120] (c) = j c:(x,p) f\x)dx - u\c) = [c - (a\ p)j\x)dx - ,Lr (c) = 4c '(x, ,p)~ jir (c )=
[0121] S6:进行结构灵敏度分析。目标函数对于的偏导数为：
[0123]约束对于设计变量的灵敏度为：
[0125] S7:利用渐近线方法更新设计变量;首先根据步骤六中灵敏度分析获得的灵敏度 信息构造目标函数的近似函数：
[0127] 其中，x(k)为当前迭代点，和1/^为移动渐近线，其迭代格式为：
[0128] 4*y1 -〇? ]?班-)
[0129] = .Tf)+0.1(.Tfax~xemm)
[0130] >为设计变量Xe5的当前值，xrx和.xf分别为 X(5的上下限； 及f = max((把1 - xf1 )2 5/ / ，0), f f =也狀(―(xf - if) )2 豕 / ^ 似函数代替原优化问题中的目标函数而形成优化子问题;最后利用对偶方法求解该优化子 问题而得到更新后的设计变量。
[0131 ] S8:判断是否满足终止条件，若满足，则停止迭代；否则重复步骤四至步骤七直到 迭代终止。本例中迭代终止的条件是相邻两次迭代所有单元密度均不超过0.01或者迭代次 数超过300。
[0132] 本例中进行了两种条件下的结构优化，其中第一种不考虑不确定性，即确定性优 化;第二种利用本发明的载荷作用点位置不确定结构稳健设计方法，其中a = 0.8，P = 0.2。 两种情况下结构设计的结果分别如图4和图5所示。由图可知，考虑载荷作用点位置不确定 性优化的结构下端分叉，该结构的稳定性明显高于确定条件下的优化结果。本例中每次迭 代只需要对3个基础工况进行结构分析，结构柔度的均值与方差计算以及灵敏度分析所需 要的位移向量均通过对以上3个基础工况的位移向量进行线性运算得到，因此额外的计算 量很小，计算效率很高。另外，本发明理论简单，实施方便。因此，应用本发明获得优化结果 工程实践简单、可操作性强，优化结果较好。
[0133] 本发明提供的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，基于已知的载荷作用 点分布规律，将结构柔度看作是作用点位置的函数，采用线性结构的位移叠加原理和高斯 求积公式计算结构的柔度均值与标准差，并对目标函数进行灵敏度分析。该方法计算量小 且相对精度较高，在现有拓扑优化基础上实施非常简单。
[0134] 虽然结合附图描述了本发明的实施方式，但是本领域技术人员可以在不脱离本发 明的精神和范围的情况下做出各种修改和变型，这样的修改和变型均落入由所附权利要求 所限定的范围之内。
【主权项】
1. 一种载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，其特征在于，包括： Sl:建立连续体结构稳健优化模型： S2:根据结构所承受的载荷作用点位置的分布形式W及高斯求积节点位置，选取多个 基础工况； S3:初始化设计变量； S4:对各个基础工况进行有限元分析得到相应的结构位移向量； S5:计算结构柔度的均值与标准差； S6:对结构进行灵敏度分析； S7:利用渐近线方法更新设计变量； S8:判断是否满足终止条件，若满足，则停止迭代；否则重复S4至S7直到满足迭代终止 条件。2. 根据权利要求1所述的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，其特征在于，所 述连续体结构稳健优化模型包括： s.t.:Ku(?)=f(?)(其中，J为目标函数，y(c)和O(C)分别为结构柔度C的均值与标准差，a和0为两个非负实 数且满足a+e=l;K为结构整体刚度矩阵，f( O )和u( O )分别为结构的载荷与位移向量，O 用于表示载荷作用点位置的不确定性;m为离散的单元数目，Ve和Pe分别为单元的体积和密 度，g为连续体结构稳健优化模型的不等式约束，V为每次计算获得的体积用量，Vmax为给定 的材料体积用量;P为由Pe(e = l，???，m)组成的向量。3. 根据权利要求2所述的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，其特征在于，所 述选取多个基础工况包括： 根据载荷作用点位置的概率分布函数，找到其对应的高斯求积节点，对每个点施加载 荷建立一种工况，选取出n个基础工况f 1，…，fn ; 其中，n是高斯积分的求积节点数。4. 根据权利要求2所述的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，其特征在于，所 述初始化设计变量包括： 将所有的单元赋予相同的密运5. 根据权利要求2所述的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，其特征在于，所 述对各个基础工况进行有限元分析得到相应的结构位移向量包括： 对各个基础工况fl，…，fn进行有限元有限元分析得到相应的结构位移向量Ul，…，Un。 6 .根据权利要求2所述的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，其特征在于，所 述计算结构柔度的均值与标准差包括： 结构柔度的均值为：其中，c(Xi,p) = f (Xi)U(Xi)表示载荷f (Xi)在位移U (Xi)上所作之功，Xi表示第i个工况 载荷作用点位置，Al表示高斯求积系数。7. 根据权利要求2所述的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，其特征在于，所 述对结构进行灵敏度分析包括： 根据结构柔度均值与方差的表达式，目标函数对于各单元密度Pe的偏导数为： 约柬8. 根据权利要求2所述的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，其特征在于，所 述利用渐近线方法更新设计变量包括： 根据灵敏度分析获得的灵敏度信息构造目标函数的近似函数： i利用该近似函数代替原优化问题中的目标函数而形成优化子问题； 利用对偶方法求解该优化子问题而得到更新后的设计变量。9. 根据权利要求2所述的载荷作用点位置不确定的结构稳健设计方法，其特征在于，所 述判断是否满足终止条件，若满足，则停止迭代，否则重复S4至S7直到满足迭代终止条件包 括： 若迭代次数达到了最大次数或者各个离散单元两次迭代密度变化量均小于给定值，贝U 停止迭代;否则继续迭代过程。
【文档编号】G06F17/50GK105912809SQ201610280539
【公开日】2016年8月31日
【申请日】2016年4月28日
【发明人】付志方, 赵军鹏, 王春洁
【申请人】北京航空航天大学