一种二维驻波实验演示装置的制作方法

本实用新型涉及物理教学演示教具技术领域，具体涉及一种实验演示装置。

背景技术：

驻波是大学物理中的重点和难点，常见的驻波有一维驻波、二维驻波。前者是课程的重点，不仅要做定量计算，还要做定性演示，而后者由于数学知识等限制，一般只做实验演示或视频演示。国内有学者从理论上做了一些计算，也进行了适当实验研究，但是对于振源与支撑点在圆心重合的情况，未进行更多的计算和实验测量。

技术实现要素：

本实用新型的目的是提供一种二维驻波实验演示装置，解决现有技术中的装置结构复杂、现场展示性不强的技术问题。

一种二维驻波实验演示装置，包括策动力发生器、圆形薄板、石英砂、其特征在于所述的圆形薄板水平放置且底部中心粘贴所述的策动力发生器，所述的策动力发生器振动方向为竖直方向，石英砂均匀铺设于所述圆形薄板上表面形成层状结构。

优选的：上述策动力发生器由低频信号发生器和与其连接的压电陶瓷片组成，压电陶瓷片粘贴于圆形薄板底部中心。压电陶瓷可选用压电陶瓷蜂鸣片，在演示时接通低频信号发生器电源，调整输出幅度与频率，随着信号频率的变化，可以找到一系列形成驻波时的频率；关掉低频信号发生器，测量共振时(形成驻波)每个频率对应的一系列驻波波节的直径，此时驻波波节的分布图像即克拉尼图形。

上述技术方案中：还包括支架，固定于支架上用于拍摄二维驻波图样的ccd相机。ccd相机获取的二维驻波图样输入到计算机中，可以通过ccd图像与实际尺寸的比例关系，直接从ccd相机获取的图像中求出不同的驻波波节的直径。

技术方案以圆形薄板中心为支撑点，将策动力发生器设置于圆形薄板底部中心点并固定，通过改变策动力频率，实现了不同频率下，不同驻波波形及波长的演示与测量，配合ccd相机及图像处理技术实现了不同频率下二维驻波展示与定量测量。

附图说明

图1：二维驻波实验演示装置示意图；

图2：频率为3500hz时形成二维驻波时的石英砂分布图；

图3：频率为3500hz时形成的三维数值模拟图；

图4：频率为3500hz时形成的二维数值模拟图。

其中1为圆形薄板，2为策动力发生器，3为层状结构，4为ccd相机，5为支架，6为水平底座，7为底部中心，8为低频信号发生器。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本新型作进一步描述：

实施例：一种二维驻波实验演示装置，如图1所示，包括水平底座6、圆形薄板1、固定于水平底座的策动力发生器2、放置于水平底座上的支架5、固定在支架5上的ccd相机4、铺设于所述圆形薄板1上表面的的石英砂、其中所述的圆形薄板水平放置且底部中心7粘贴所述的策动力发生器，所述的策动力发生器振动方向为竖直方向，石英砂均匀铺设于所述圆形薄板上表面形成层状结构3。

优选的策动力发生器2由压电陶瓷片和低频信号发生器8组成，压电陶瓷片粘贴于圆形薄板底部中心。

上述的圆形薄板可选用一块水平放置的均质、均厚度的圆形钢薄板，令振源与支撑点重合于圆心，其厚度为2h(h为半厚度，且很小)，半径为a。借助信号发生器使钢板以频率f，垂直板面沿竖直方向做简谐振动。将压电陶瓷片简化为点波源，则可求解薄板振动方程的简正模式及薄板发生共振时驻波波节的位置和半径。

设薄板的密度为ρ，杨氏模量为y.钢板上机械波的波速为u，以圆心原点，取极坐标(r，θ)，任意点t时刻的竖直方向的振动位移(挠度)为η(r，θ，t)(取静止时的位移为零)，又根据理论声学和弹性力学的知识可知，η满足以下方程：

其中，▽⁴＝▽²▽²，▽²为拉普拉斯算符，c是与板材的密度、泊松比、杨氏模量以及半厚度相关的常数，且满足下式，

μ是泊松比，对多数材料，μ约为0.25～0.33.当形成驻波时，振动坐标和时间可分离变量，即

η＝z(r,θ)·e^-iωt(3)

其中z满足如下方程

(▽²-k²)(▽²+k²)z＝0(4)

其中

k⁴＝ω²/c²(5)k是波失，且，k＝2π/λ。ω＝2πf，为波源的圆频率。

通过求解边界条件r＝0处的有限解，得方程(4)的解的简正模式为

z＝r(r)φ(θ)＝[ajm(kr)+bim(kr)](ccosmθ+dsinmθ)(6)

其中jm(x)为m阶贝塞尔函数，im(x)为m阶变形贝塞尔函数，满足im(x)＝i^-mjm(ix).

当支撑点和振动源都在圆心时，由对称性可知，z与θ无关，所以形成的二维驻波图案中只有圆环状的波节线，没有来自圆心的辐射状波节线，即m＝0.此时对应的z的解为

由边界条件可知，只有特定的频率(共振频率)ω0n才可以产生如式(8)的简谐振动(也是驻波)，于是式(5)变为

调节振源的频率ω0＝2πf，当ω0＝ω0n＝2πf0n时，可产生共振。此时满足z0n(r)＝0的r，就是共振波节线的r，即

为了应用matlab求解对应于实验测得的一系列共振频率的(10)式的解，即各频率下、各波节半径的理论值，并且对二维驻波进行仿真，我们进行如下贝塞尔函数与变形贝塞尔函数以及递推公式的推导，即

xj′n(x)+njn(x)＝xjn-1(x)

in(x)＝j^-njn(jx)

j′0(x)＝-j1(x)

i′0(x)＝i1(x)

考虑上述递推关系、相关常数、共振频率以及式(10)，应用matlab，分段解超越方程，即可算出各频率下，圆形波节线半径的理论值ri′.

对于相同材料两种不同厚度的钢板做了实验测量、计算和仿真.查表取杨氏模量y＝210gpa；泊松比μ＝0.31；测得钢板半径a＝20.0cm；钢板半厚度分别为h1＝0.50mm或h2＝0.75mm；两个不同(半)厚度钢板形成驻波的频率如下：

h1＝0.50mm：2200hz，2950hz，3800hz，5600hz，7700hz

h2＝0.75mm：2300hz，3500hz，4800hz，6100hz，10900hz

代入matlab程序中，计算的各共振频率下波节的理论半径ri′填入表1中.

表1圆形薄板波节半径r(cm)的实验值与理论值对比(圆盘：a＝20.0cm，h＝0.75mm)

从实验值与理论值的比对可见，绝大部分数据符合的相当好，相对误差几乎均在5％以下.而对应10900hz的第一环，误差高达26％.这个误差可视为粗大误差.实际上，该误差的出现也是意料之中的.因为本实验的振源与支撑点的重合是通过压电陶瓷片与几乎同半径的圆环支撑实现的，实验条件与理论计算有些差异.这不仅导致小半径对应的数据误差较大，也使驻波图形在该区域有些变形.但其绝大部分数据及驻波图形令人满意，如图2所示、图3、图4是根据数据用matlab仿真的三维、二维驻波图形.驻波半径的理论值是根据图4的曲线，通过分段解超越方程求得的.

通过本实验的测量和计算，可提供一种测量材料杨氏模量的简易方法：将待测材料做成一定半径和厚度的圆盘，与其它实验装置连接后，调整信号发生器频率使之形成驻波.记录形成驻波时的频率f，测量该盘的厚度，并计算其半厚度h，测量波节间距离，并计算波长λ.为了计算材料的杨氏模量，可进行如下推导.

联立式(2)、式(5)可得

其中

带入式(11)，整理得

将本实验材料的泊松比μ＝0.31，密度ρ＝7.8×10³kg/m³，半厚度h＝0.75mm，以及从表1中算出的各频率f下的波长λ带入式(12)，可计算出本钢材的杨氏模量如表2.

表2钢板杨氏模量的测量数据与参考值的比较

对于上述测量结果，我们以3500hz为例进行了不确定度计算，(其它数据请见表3).在式(12)中，密度ρ和泊松比μ取已知的常量，因此不确定度由波长λ，频率f和半厚度h的测量产生.对于频率和半厚度我们采取单次读取和测量，因此只考虑b类不确定度，而波长的测量对结果影响较大，因此进行了多次测量，计算了a类、b类不确定度.根据不确定度的传递公式有，

其中每一项的计算结果为：δλ/λ＝0.012，δf/f＝0.008，δh/h＝0.004.带入上式后得，δy/y＝0.072.以前述的210gpa为标准值，我们可以将最后的结果表示为

y＝(210±15)gpa

比较上述杨氏模量的相对不确定度(7.2％)与表2中3500hz的相对误差(2.9％)可以发现，差异较大.原因有二：第一，波长测量本身误差较大，因为石英砂形成的波节较宽，导致测量误差较大.第二，式(13)表明，波长测量对不确定度的贡献比另外两个量的不确定度大二倍.

表3：不同频率下，杨氏模量测量不确定度计算的相关数据

由此可见，此方法测量的杨氏模量与理论值基本符合，显然，通过测量频率、波长以及其它几何参数来计算材料的杨氏模量是可行的.

以低频信号发生器和压电陶瓷蜂鸣片相连为振源，并与以中心为支撑点的薄钢板相连，形成二维驻波演示系统，初步实现了二维驻波演示，并通过改变信号源频率，实现了不同频率下，不同驻波波形及波长的演示与测量，实现了不同频率下二维驻波展示与定量测量.并用matlab进行数值计算和模拟仿真，实测图案与仿真图形对比，测量数据与仿真数据对比，实验与理论结果基本符合，并通过测量频率、波长以及其它几何参数实现了钢板杨氏模量的测量，并找到测量材料杨氏模量的简便方法。

本技术方案未详细说明部分属于本领域技术人员公知技术。