一种三等分一角的尺规作图方法与流程

1.本发明涉及建筑或机械领域中三等分一角的技术领域，特别涉及一种三等分一角的尺规作图方法。


背景技术：

2.目前，在机械或建筑领域中，难免遇到仅用直尺和圆规作图，进行三等分一角的技术问题，但是该问题，目前仍没有很好的解决方案。


技术实现要素：

3.本发明的目的是完成了通过尺规作图来实现三等分一个角，解决了现有技术中无法通过尺规作图三等分一个角的问题。基于此，提供了一种三等分一角的尺规作图方法。
4.本发明实施例提供一种三等分一角的尺规作图方法，包括：
5.根据已知角的半角、半半角的三角函数，将三等分弦与六等分弦相关联，得到公式(1)；
[0006][0007]
(1)式中，2n为六等分弦长，2m为三等分弦长，α为已知角的半半角；作图时将公式(1)式化为：
[0008][0009]
其中，根据公式(2)式设定m，可推出2n，根据2n确定半径r；
[0010]
画出圆弧，在圆弧上用定长2m依次截取，实现将所述已知角三等分。
[0011]
进一步地，具体作图步骤包括：
[0012]
步骤1：作∠aob的平分线oc，∠aoc的平分线od，则∠doc＝α；作rt
△
oc
′d′
、∠od
′c′
o＝rt∠，令od
′
＝b，oc
′
＝c，则根据所述公式(2)作图；
[0013]
步骤2：作出b2+c2与bc；
[0014]
步骤3：分别作出b2+c2+bc与b2+c
2-bc，与
[0015]
将公式(2)变为：
[0016][0017]
步骤4：作出与k2＝b
·a″b″
，则：f2＝c
·c″d″
，
[0018]
则：
[0019]
则：
[0020]
步骤5：作出设则有
[0021]
步骤6：将公式(2)化为：设定m；则有：
[0022]
步骤7：作ef‖oc使之间距离为m；作eg‖od使之间距离为n；ef与eg交于点e，oe即为半径；以oe为半径，o为圆心画弧
⌒
acb；以2m为定长，在
⌒
acb上依次截取
⌒
ae＝
⌒
ee'＝
⌒
e'b；连接oe，oe'，则oe，oe'将已知角∠aob三等分。
[0023]
本发明实施例提供的上述技术方案的有益效果至少包括：
[0024]
本发明实施例提供的一种三等分一角的尺规作图方法，根据已知角的半角、半半角的三角函数，将三等分弦与六等分弦相关联，根据推导得出的公式，采用尺规作图，可实现对已知角的三等分。本发明所提供的方法，破解世界难题，打破“尺规作图所不能”的论断，应用在建筑或机械领域中，步骤作图推导方便、易于实现，实现了对已知角的三等分。
[0025]
本发明的其它特征和优点将在随后的说明书中阐述，并且，部分地从说明书中变得显而易见，或者通过实施本发明而了解。本发明的目的和其他优点可通过在所写的说明书、权利要求书、以及附图中所特别指出的结构来实现和获得。
[0026]
下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。
附图说明
[0027]
附图用来提供对本发明的进一步理解，并且构成说明书的一部分，与本发明的实施例一起用于解释本发明，并不构成对本发明的限制。在附图中：
[0028]
图1为本发明实施例提供的推证i所对应的示意图；
[0029]
图2为本发明实施例提供的推证ii所对应的示意图；
[0030]
图3为本发明实施例提供的推证iii所对应的示意图；
[0031]
图4为本发明实施例提供的推证iv所对应的示意图；
[0032]
图5为为本发明实施例提供的推证v所对应的示意图；
[0033]
图6为本发明实施例提供的公式(1)到公式(2)推理过程所使用的示意图；
[0034]
图7-14为根据公式(2)作图的过程时序图。
具体实施方式
[0035]
下面将参照附图更详细地描述本公开的示例性实施例。虽然附图中显示了本公开
的示例性实施例，然而应当理解，可以以各种形式实现本公开而不应被这里阐述的实施例所限制。相反，提供这些实施例是为了能够更透彻地理解本公开，并且能够将本公开的范围完整的传达给本领域的技术人员。
[0036]
本发明实施例提供了一种三等分一角的尺规作图方法，利用已知角的半角、半半角的三角函数，成功将三等分弦与六等分弦联系在一起，推出关系式：
[0037][0038][0039]
其中，2n为六等分弦长，2m为三等分弦长，α为已知角的半半角(即四分之一)作图时还须将(1)式化为：
[0040][0041]
方可作图；
[0042]
其中，根据(2)式设定m，可推出2n，便可确定半径r。后画出圆弧，在圆弧上用定长2m依次截取，便可将已知角三等分。
[0043]
下面通过具体的论证方式对其进行推导：
[0044]
论证：
[0045]
利用圆弧三等分已知∠aob，假设图形已经作出如图1所示：α为已知∠aob的半半角。点a、c、d、e、f、g、b为圆弧上的六等分点，df为三等分弦，cd为六等分弦；oe为∠aob的平分线、oo1为∠aoe的平分线。
[0046]
作cc1‖oa交oe于c1，cc2‖oo1交oa于c2；
[0047]
dd1‖oe交oa于d1，dd2‖oo1交oe于d2，交cc1于m1；
[0048]
cc1与dd1交于o1，易证：o1m1＝o1d；作圆弧的切线ee1交o1d的延长线于e1；
[0049]
作e1e2‖oo1交oe于e2；
[0050]
∵e1e2‖oo1‖dd2de1‖d2e2；
[0051]
∴四边形de1e2d2为平行四边形。
[0052]
d2e2//＝de1[0053]
d2e2是由de1平移得到。
[0054]
延长cd交e1e2于n，作e1m
⊥
dd2交d2d的延长线于m；
[0055]
则四边形mdne1是矩形；同理在左上角得矩形f1zcw。
[0056]
∴mn＝de1，mn与de交于c3则：c3d＝c3m＝c3e1＝c3n
[0057]
主要线段之间关系，下面用五种方法进行推证：
[0058]
推证i：如图1所示，延长cc1交e1e2的延长线于点n2；
[0059]
现在将三等分一角整个系统延oo1方向整体平移，使o与o1重合，这时d2与d重合，e2与e1重合，且m1与m重合，n2与n重合，证明四边形m1d2n2e2是矩形。
[0060]
对角线d2e2与m1n2的交点为c1，且c1d2＝c1n2＝c1e2＝c1m1；
[0061]
∴得到，o1c3＝o1c1＝oo1；
[0062]
连c1c3则c1c3‖oo1，易得：∠o1c1c3＝∠c3c1e；
[0063]
作c3h
⊥
oe垂足为h，c3h1⊥
cc1，垂足为h1；
[0064]
c1h2⊥
oa垂足为h2；
[0065]
则有c3h1＝c3h＝m，(2m为六等分弦长)；
[0066]
在
△
c3o1h1与
△
c1oh2中，
[0067]
o1c3＝oc1；
[0068]
∠h1o1c3＝∠h2oc1(根据图1所知)
[0069]
∠c3h1o1＝∠c1h2o＝rt∠
[0070]
∴
△
c3o1h1≌
△
c1oh2(aas)
[0071]
如图1所示，其中右下角分别为：矩形m1d2n2e2的放大图形，矩形mdne1的放大图形。
[0072]
∴c1h2＝c3h1＝m
[0073]
这说明，在平移重合后的条件下完全符合作图条件，
[0074]
∴c1d2＝c1m1＝c1e2＝c1n2。
[0075]
推证ii：如图2所示，在c1e2方向上截取c1e2′
＝c3e1；在c1m1方向上取c1m1′
＝c3m；
[0076]
在
△
m1′
c1e2′
与
△
mc3e1中，
[0077]
c1m1′
＝c
3 m；
[0078]
c1m2′
＝c
3 e1；
[0079]
∠m1′
c1e2′
＝∠mc3e1；
[0080]
∴
△
m1′
c1e2′
≌
△
mc3e1(sas)；
[0081]
m1′
e2′
＝me1；
[0082]
这样m1′
落在md2上同时e2′
落在e1e2上。
[0083]
则m1′
与m1重合，e2′
与e2重合。
[0084]
则c1d2＝c1e2；
[0085]
延长m1c1，使c1n2＝c1m1；
[0086]
得四边形m1d2n2e2为矩形，c1为对角线交点；
[0087]
得c1m1＝c1d2＝c1n2＝c1e2。
[0088]
推证iii：如图3所示，当整个系统延oo1方向平移时，o与o1重合，o1上升到o2；则o1o2＝oo1△
o2mf1≌
△
o1m1f2；
[0089]
o2m//＝o1m1，则mm1//＝o2o1，又得mm1//＝oo1；
[0090]
由以前作图知：e1e2//＝oo1，∴mm1//＝e1e2；
[0091]
推出，四边形mm1e2e1为矩形，
[0092]
又推出四边形m1d2n2e2为矩形。
[0093]
且c1m1＝c1d2＝c1n2＝c1e2。
[0094]
推证iv：如图4所示，
[0095]
①
[0096]
延长oo1到o2，使o1o2＝oo1，作o1k
⊥
oo1交oe与k。
[0097]
连接o2k，ko2与d2d的延长线交于m"与e1e2交于n"，
[0098]
km"＝kd2＝o1f2＝o1f1＝o1e1；
[0099]
又∵km"＝kd2，kn"＝ke2，∴m"n"＝d2e2＝de1；
[0100]
∴o1d＝kn"，m"e1‖ko1，dn"‖ko1m"e1//＝dn"；
[0101]
∴m"d＝e1n"；
[0102]
在
△
m"n"d与
△
e1d n"中，
[0103]
m"n"＝e1d；
[0104]
∠m"dn"＝∠e1n
″
d＝rt∠；
[0105]
m"d＝e1n"。
[0106]
②
：∴
△
m"n"d≌
△
e1dn"(hl)
[0107]
得四边形m"dn"e1是矩形，de1与m"n"是对角线。
[0108]
∠de1n"＝α；
[0109]
∴点m"与m重合，点n"与n重合，m"n"与mn重合。
[0110]
图形koo2是轴对称图形。
[0111]
ko1是对称轴；
[0112]
沿o1k对折，则d与m1重合，e1与n2重合。
[0113]
同时：m与n2重合，n与e2重合。
[0114]
∴m1e2//＝dn
[0115]
在
△
mc3e1与
△
m1c1e2中，
[0116]
∠e1mc3＝∠e2m1c1；
[0117]
∠me1c3＝∠m1e2c1；
[0118]
me1＝m1e2[0119]
∴
△
mc3e1≌
△
m1c1e2(asa)
[0120][0121][0122]
得：c1m1＝c1d2＝c1n2＝c1e2；
[0123]
四边形m1d2n2e2为矩形，
[0124]
对角线m1n2与d2e2交于c1。
[0125]
③
推证v：如图5所示，延长oo1到o2使o1o2＝oo1作o1k
⊥
oo1交oe于k；
[0126]
连接o2k，o2k与d2d的延长线交于m"与e1e2交于n"，
[0127]
∵km"＝kd2∴m"d3＝d3d2d3d2＝o1q；
[0128]
∵o2q1＝oq∴o1q1＝o1q；
[0129]
∴m"d3＝o1q1则点m"在f1e1上；
[0130]
∵km"＝kd2kn"＝ke2则m"n"＝d2e2＝de1；
[0131]
∵m"在f1e1上∴m"e1‖o1k又∵∠m"k＝∠e1o1k；
[0132]
则m"k＝e1o1，又∵m"n"＝de1；
[0133]
∴do1＝n"k则d n"‖o1k；
[0134]
在
△
m"n"d与
△
de1m"中，
[0135]
m"n"＝de1；
[0136]
∠m"d n"＝∠d m"e1＝rt∠；
[0137]
∠n"m"d＝∠e1d m"＝α；
[0138]
∴
△
m"n"d≌
△
de1m"(aas)；
[0139]
∴dn"＝m"e1又∵dn"‖m"e1；
[0140]
∴四边形m"dn"e1为矩形，de1与m"n"为对角线；
[0141]
且∠n"m"d＝α；
[0142]
∴m"n"与mn重合，mn在ko2上。
[0143]
④
∴
△
m"n"d≌
△
e1d n"(hl)
[0144]
得四边形m"d n"e1是矩形，de1与m"n"是对角线，
[0145]
∠de1n"＝α
[0146]
点m"与m重合，n"与n重合，m"n"与mn重合。
[0147]
图形koo2是轴对称图形，ko1是对称轴。
[0148]
kn＝ke2[0149]
又∵∠1＝∠2
[0150]
∴ko1是ne2的垂直平分线。
[0151]
作e2m1′⊥
dd2垂足为m1′
，则四边形dm1′
e2n为矩形。
[0152]
∴ko1又是dm1′
的垂直平分线。
[0153]
连接o1m1′
则o1m1′
＝o1d，且∠o1dm1′
＝∠o1m1′
d＝α；
[0154]
∴o1m1′
与o1m1重合，延长o1m1到n2使m1n2＝d2e2；
[0155]
则四边形m1d2n2e2为矩形；
[0156]
对角线m1n2与d2e2交于点c1；
[0157]
∴c1m1＝c1d1＝c1n2＝c1e2。
[0158]
公式推导：综合前五种推证，都得到结果。
[0159]
四边形m1d2n2e2为矩形，对角线m1n2与d2e2交于c1；
[0160]
c1d2＝c1m1＝c1e2＝c1n2；
[0161]
参照图1所示，显然：r＝oe＝od2+d2e2+e2e＝od2+2d2c1+e2e；
[0162]
rt
△
od2n1中，
[0163]
作c1h2⊥
oa，垂足为h2；
[0164]
在rt
△
oc1h2中，
[0165][0166]
在rt
△
e2e1e中,ee2＝m
·
ctgα
[0167]
rt
△
od2n1中，
[0168]
∴
[0169][0170]
在rt
△
o1dk中，
[0171]
oo1＝e2e1[0172]
在rt
△
e1e2e中，
[0173]
∴
[0174]
在
△
oo1d中，应用余弦定理：od＝r
[0175][0176]
∴
[0177]
将cos(180
°-
α)＝-cosα、sin2α＝2sinαcosα，代入得：
[0178][0179][0180]
两边乘以sinα2；
[0181][0182][0183]
两边除以m:
[0184][0185][0186][0187]
利用(1)式求2n时，须先作出cosα；
[0188]
作出适合条件的rt
△a′b′c′
，∠α为已知角的四分之一。如图6所示，
[0189]
∠c
′
＝rt∠，a
′c′
＝b a
′b′
＝c
[0190]
则
[0191]
将代入(1)式并化简：
[0192][0193][0194]
这样就可按下面的步骤用尺规作图了。
[0195]
用公式作图：已知∠aob；
[0196]
求作：将∠aob三等分；
[0197]
作法：
[0198]
1、作∠aob的平分线oc，∠aoc的平分线od，则∠doc＝α；
[0199]
作rt
△
oc
′d′
，∠od
′c′
o＝rt∠，令od
′
＝b，oc
′
＝c；
[0200]
则
[0201]
这样便可用(2)作图；如图7所示。
[0202]
2、先作出b2+c2与bc
[0203]
如图8-9所示：d2＝b2+c2；a
′b′
＝c a
′c′
＝b则e2＝bc；
[0204]
3、分别作出b2+c2+bc与b2+c
2-bc，与如图10所示。
[0205]
这样原式变为：
[0206][0207]
4、作出与如图11所示：
[0208]
k2＝b
·a″b″
[0209]
则：
[0210]
如图12所示：
[0211]
f2＝c
·c″d″
[0212]
则：
[0213]
则：
[0214]
5、作出设则有
[0215]
如图13所示。
[0216]
6、原式则化为：设定m；
[0217]
则有：如图14所示。
[0218]
7、完成作图：
[0219]
(7.1)作ef‖oc使之间距离为m；
[0220]
(7.2)作eg‖od使之间距离为n；
[0221]
ef与eg交于点e，oe即为半径；
[0222]
以oe为半径，o为圆心画弧
⌒
acb
[0223]
(7.3)以2m为定长，在acb上依次截取
⌒
ae＝
⌒
ee'＝
⌒
e'b.
[0224]
(7.4)连接oe，oe'，则oe，oe'将已知角∠aob三等分。
[0225]
作图过程每一步符合公式(2)，所以画图正确。
[0226]
显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。