一种基于哈密顿原理的变压器两体振动模型建立方法与流程

1.本发明涉及电气设备故障诊断技术领域，尤其涉及一种基于哈密顿原理的变压器两体振动模型建立方法。


背景技术：

2.变压器绕组所受电磁力与线圈振动是相互影响、相互耦合的，需要对振动与磁场进行统一分析。在真实的系统里，振动也与线圈结构及垫块材料属性密切相关，非线性振动比线性振动更常见。在研究小振幅振动时，非线性分析更为重要，许多振动现象利用线性理论分析无法做出预测。


技术实现要素：

3.为了解决上述问题，本发明提供了一种基于哈密顿原理的变压器两体振动模型建立方法，具体技术方案如下：
4.一种基于哈密顿原理的变压器两体振动模型建立方法，包括以下步骤：
5.步骤s1，根据绕组线圈的结构特点，将线圈的局部单元抽象并简化为两体振动模型，建立两体振动模型的磁场中的拉格朗日方程；
6.步骤s2，基于哈密顿原理，对于完整的、有势的电磁场电动力系统，在相同始末位置、相同时间、相同的约束条件下，存在唯一真实的运动才能使哈密顿作用量有驻值，求解两体振动模型；
7.步骤s3，确定假设条件，利用哈密顿原理及拉格朗日方程构建两体振动数学模型，得到其运动方程。
8.优选地，所述步骤s1中两体振动模型的磁场中的拉格朗日方程具体为：
9.又因为：h＝b/μ，因此有：
[0010][0011]
则磁场中两体模型的作用量为：
[0012][0013]
其中，b为区域的磁通量密度，h为磁场强度，j为电流密度，a为磁矢位，v为封闭区域的体积。
[0014]
优选地，其特征在于，所述步骤s2中使得哈密顿作用量有驻值，则：
[0015]
又因为∫sδa(t1)ds＝∫sδa(t2)ds＝0，所以有：
[0016][0017]
优选地，所述步骤s3中的假设条件包括以下：
[0018]
(1)两体模型为等位体，位移电流密度远小于传导电流密度，两体模型中的势能仅仅依赖于所有质点在相同时刻的分布，只要其中一个质点位置发生变化则立即影响其他质点，相互作用为瞬间扩散，即绝对时间假；
[0019]
(2)忽略集肤效应，忽略邻近效应；
[0020]
(3)将变压器油视作理想流体，即不可压缩、不计粘性、无热传导。
[0021]
优选地，所述步骤s3中的运动方程包括机械能函数、弹性势能函数、磁场能函数。
[0022]
优选地，两体模型为：两根导线具有相同方向的相同电流，其长度为l，间距为r，半径为r，μ为变压器油磁导率；质量分别为m/2，上下导线位移分别为向量和向量导线间相对位移为所述机械能函数具体如下：
[0023]
两体模型关于机械能的拉格朗日函数为：
[0024][0025]
式中e
p
(r)为机械势能；设r＝r0为双导线系统的平衡位置，即无电流时导线的间距，则
[0026]
优选地，所述弹性势能函数为：将弹性势能函数e
p
(r)在r0处按幂级数展开，保留到第一个非零项，设表征导线间的刚度(拉压刚度或接触刚度)，可得：
[0027][0028]
优选地，所述两体模型的电感为：
[0029][0030]
两体模型关于磁场能的拉格朗日函数为：
[0031][0032]
优选地，将双导线的磁势能在r0处展开至二阶项，可得：
[0033][0034]
根据拉格朗日函数的可加性，可以得到两体模型整体的拉格朗日函数为：
[0035][0036]
再将(11)式带入到式(4)的拉格朗日方程中，并设x＝r-r0，可得运动方程为：
[0037][0038]
优选地，所述运动方程通过哈密顿原理来求解，两体模型的哈密顿作用量为：
[0039][0040]
为使哈密顿作用量有驻值，则有：
[0041][0042]
运动方程中的两个垫块的等效刚度k为平衡位置发生小变形后的线性化近似代替，垫块的应力f应变x曲线满足：
[0043]
f＝ax+bx3；
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(15)
[0044]
式(15)中，a和b为常数；
[0045]
将式(13)中的kx替换为式(15)最终可推出变压器绕组线圈两体模型的运动方程为：
[0046][0047]
本发明的有益效果为：本发明方法根据绕组线圈的结构特点，将线圈的局部单元抽象并简化为两体振动模型，完善考虑机电耦合作用及材料非线性的绕组非线性振动机
理，两体振动模型能够表征出系统的材料非线性以及磁场与振动的耦合，方程的解可以反映绕组机械状态的变化。该方程是绕组振动特性研究及绕组机械故障诊断技术的理论基础之一。
附图说明
[0048]
为了更清楚地说明本发明具体实施方式或现有技术中的技术方案，下面将对具体实施方式或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍。在所有附图中，类似的元件或部分一般由类似的附图标记标识。附图中，各元件或部分并不一定按照实际的比例绘制。
[0049]
图1为两体物理模型；
[0050]
图2两体模型振动示意图。
具体实施方式
[0051]
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0052]
应当理解，当在本说明书和所附权利要求书中使用时，术语“包括”和“包含”指示所描述特征、整体、步骤、操作、元素和/或组件的存在，但并不排除一个或多个其它特征、整体、步骤、操作、元素、组件和/或其集合的存在或添加。
[0053]
还应当理解，在本发明说明书中所使用的术语仅仅是出于描述特定实施例的目的而并不意在限制本发明。如在本发明说明书和所附权利要求书中所使用的那样，除非上下文清楚地指明其它情况，否则单数形式的“一”、“一个”及“该”意在包括复数形式。
[0054]
还应当进一步理解，在本发明说明书和所附权利要求书中使用的术语“和/或”是指相关联列出的项中的一个或多个的任何组合以及所有可能组合，并且包括这些组合。
[0055]
为了研究力学现象，必须选择参考系。不同的参考系使运动规律有着不同的形式。对于两体模型，按照传统分析绕组振动模型时的方法，会固定某一导线作为坐标原点，然而坐标原点的导线事实上也在做着加速运动，如此一来，该参考系并非牛顿力学所适用的惯性参考系。因此，以往的绕组动力学模型存在考虑不全面的地方，即忽略了参考系振动与作用磁场的耦合效应。哈密顿原理是物理学中最重要的原理之一，也是全部力学的基础。该原理可以看作量子力学路径积分费曼公式的经典极限，因此也是广义上的第一性原理，它用一个极其精炼的基本假设将全部力学理论进行了统一，主要着眼于整体和能量。由于其表述与坐标选择无关，因此可以处理除牛顿力学以外的非完整、非保守系统，诸如弹性场、电磁场等问题。
[0056]
当同时给定系统的广义坐标和速度后就可以唯一确定该系统的状态，而且可以预测未来的运动。任意n个可以确定n自由度系统位置的变量s1,s2,s3,
…
,sn称为该系统的广义坐标，而它的倒数称为广义速度，二次导数称为广义加速度。加速度与坐标、速度的关系式称为运动方程。根据哈密顿原理，任何一个力学系统都可以用一个相应的函数表征，如式(1)：
[0057][0058]
或者可以简记为：称为拉格朗日函数。
[0059]
哈密顿作用量的定义为：拉格朗日函数从时刻t＝t1到t＝t2的积分
[0060]
哈密顿原理表述为：对于完整的、有势的力学系统，在相同始末位置、相同时间、相同的约束条件下，存在唯一真实的运动才能使哈密顿作用量有驻值，即哈密顿作用量的变分δs为0，可表示为：
[0061][0062]
且坐标函数在首末时刻的变分为0，即：
[0063]
δs(t1)＝δs(t2)＝0；
ꢀꢀꢀ
(4)
[0064]
则变分展开后的形式为：
[0065][0066]
由式(4)及式(5)可得：
[0067][0068]
式(6)称为力学中的拉格朗日方程，如果给定力学系统的拉格朗日函数已知，则该方程可以建立位置、速度、加速度之间的联系，因此可以作为系统的运动方程。
[0069]
对于如图1所示的系统，首先分析其中一根导线的拉格朗日函数形式。单一导线在惯性参考系中自由运动时，自由系统拉格朗日函数只能依赖于速度的平方，称为系统的动能，即：
[0070][0071]
而当同时考虑两个导线时，导线之间有相互作用，但不受外部任何物体作用，则称为封闭系统。为了描述系统内独立个体之间的相互作用，可以在自由系统的拉格朗日函数中增加关于坐标的函数es(s1,s2,s3,
…
)，称为系统的势能。在两体模型中，动能为两根导线的动能和，势能为垫块中储存的弹性势能，则有：
[0072]
在电磁场中，存在电动力学，同样可以利用哈密顿原理进行描述，在某一封闭区域，其体积为v，表面积为s，且假设该区域的介质无损耗，则这个区域中的电磁场满足麦克斯韦方程组，其拉格朗日方程为：
[0073][0074]
式中：d——电通量密度(v/m^3)；e——电场强度(v/m)；b——磁通量密度(磁感应强度)(t)；h——磁场强度(a/m)；j——电流密度(a/m^2)；a——磁矢位(wb/m)；ρ——电荷
密度(c/m^3)；——电势(v)。
[0075]
本发明的具体实施方式提供了一种基于哈密顿原理的变压器两体振动模型建立方法，包括以下步骤：
[0076]
步骤s1，根据绕组线圈的结构特点，将线圈的局部单元抽象并简化为两体振动模型，建立两体振动模型的磁场中的拉格朗日方程；在图1两体模型图中，由于位移电流密度远小于传导电流密度，因此可称为磁准静态场，而磁准静态场遵循着静态场的规律，认为场和源之间具有类似静态场中的瞬时对应关系。两体振动模型的磁场中的拉格朗日方程具体为：
[0077][0078]
又因为：h＝b/μ，因此有：
[0079][0080]
则磁场中两体模型的作用量为：
[0081][0082]
其中，b为区域的磁通量密度，h为磁场强度，j为电流密度，a为磁矢位，v为封闭区域的体积。
[0083]
步骤s2，基于哈密顿原理，对于完整的、有势的电磁场电动力系统，在相同始末位置、相同时间、相同的约束条件下，存在唯一真实的运动才能使哈密顿作用量有驻值，求解两体振动模型；则：
[0084][0085]
又因为∫sδa(t1)ds＝∫sδa(t2)ds＝0，所以有：
[0086][0087]
式(14)与电磁场理论中的磁场泊松方程一致，也就说明了哈密顿原理所描述的电磁场与传统磁准静态场理论一致。至此，可以通过哈密顿原理将牛顿力学及电磁学统一起来，使两体模型可以进行整体的建模与分析。在实际应用过程中存在一定约束，如变压器油的阻尼作用，这时运动的物体的能量会转换为热量耗散，这种情况下的运动过程已不再是纯力学过程。当然，很多情况下阻尼是比较弱的，它对运动的影响可以忽略。
[0088]
步骤s3，确定假设条件，利用哈密顿原理及拉格朗日方程构建两体振动数学模型，得到其运动方程。
[0089]
基于上述哈密顿原理，为图1所示的两体模型建立运动方程。由于模型与实际变压器绕组有一定区别，首先对该两体模型做出以下基本假设：
[0090]
1)时变电磁场中，电场和磁场不仅随空间坐标的变化而变化，亦与时间有关。本文中的两体模型为等位体，位移电流密度远小于传导电流密度，因此可忽略电场力。两体模型中的势能仅仅依赖于所有质点在相同时刻的分布，只要其中一个质点位置发生变化则立即影响其他质点，相互作用为瞬间扩散，即绝对时间假设；
[0091]
2)当交变电流流过导线时，导线周围的交变磁场会在导线中产生感应电流导致电流分布不均匀，总是趋向于导线表面流动，即集肤效应。本文中电流为50hz，而铜材透入深度9.4mm，与模型尺寸相近，因此可以忽略集肤效应。同时，相邻通流导线会相互影响从而导致电流分布不均匀，即邻近效应，同样的，由于电流频率较低，影响不明显，因此可以忽略邻近效应。
[0092]
3)变压器油作为振动传递的媒质之一，对振动有一定影响，其存在着一定粘性，因此振动的一部分机械能将不可逆地转化为热能，并使振动变得复杂。由于变压器油运动粘度低(小于10-5
)，且绕组振动频率低(500hz以内)，因此可以将变压器油视作理想流体，即不可压缩、不计粘性、无热传导。
[0093]
运动方程包括机械能函数、弹性势能函数、磁场能函数。
[0094]
基于以上基本假设条件，利用哈密顿原理及拉格朗日方程构建两体振动数学模型，得到其运动方程。对如图2所示参数的振动模型进行分析，绕组导线存在扁线圆线等形状，本文以圆导线为例。两根导线具有相同方向的相同电流，其长度为l，间距为r，半径为r，μ为变压器油磁导率。质量分别为m/2，由于质点系的内力不能影响它的质心的运动，因此将质心设为原点。上下导线位移分别为向量和向量导线间相对位移为则电感可以表示为：
[0095][0096]
不失一般性，本发明方法分析两体模型的单机构自由度(轴向振动)，其余自由度具有相同结论(幅向振动)。根据式(15)可得两体模型关于机械能的拉格朗日函数为：
[0097][0098]
式中e
p
(r)为机械势能。设r＝r0为双导线系统的平衡位置，即无电流时导线的间距，则
[0099]
在稳定平衡位置附近的运动是力学系统的一种非常普遍的运动类型，称之为微振动。由于零势能点可任意选取，可取平衡位置处e
p
(r0)＝0，并将弹性势能函数e
p
(r)在r0处按幂级数展开，由于偏离平衡位置很小，因此保留到第一个非零项，二阶项就足够描述该运
动，设表征导线间的刚度(拉压刚度或接触刚度)，可得：
[0100][0101]
由于空间中没有电流，因此根据式(17)可得两体模型关于磁场能的拉格朗日函数为：
[0102][0103]
采用上述相同的方法，同样将双导线的磁势能在r0处展开至二阶项。这样，弹性势能与磁势能具有相同的阶数。可得：
[0104][0105]
根据拉格朗日函数的可加性，可以得到两体模型整体的拉格朗日函数为：
[0106]
再将式(20)带入到式(13)的拉格朗日方程中，并设x＝r-r0(即导线间距相对于平衡位置的偏移量)，可得运动方程为：
[0107][0108]
当然，也可以通过哈密顿原理来求解，两体模型的哈密顿作用量为：
[0109]
为使哈密顿作用量有驻值，则有：
[0110][0111]
由变分引理可得与式(21)一致的结果。运动方程中的两个垫块的等效刚度k为平衡位置发生小变形后的线性化近似代替，而事实上，垫块的应力(f)应变(x)曲线满足：
[0112]
f＝ax+bx3；(24)
[0113]
式(24)中，a和b为常数。对于垫块，a＝1.05
×
108n/m2，b＝1.75
×
109n/m2。
[0114]
因此，将式(23)中的kx替换为式(24)最终可推出变压器绕组线圈两体模型的运动方程为：
[0115][0116]
绕组是非线性、变参数、非自治系统，也可称为马蒂厄-杜芬系统，方程(25)属于变参数非齐次非线性微分方程。由运动方程可得：
[0117]
(1)系统激励体现在方程的非齐次项以及时变参数项
[0118]
(2)系统非线性体现在垫块非线性应力应变ax+bx3以及变参数振动
[0119]
(3)时变参数与振动x的乘积表征着通流导体振动与磁场之间的耦合。
[0120]
(4)振动方程中的导线质量m、垫块刚度k等材料属性对方程的解有着决定性影响：(i)当绕组发生松动，质量不变时，由式(25)可知垫块应变减小，刚度随之减小，进一步导致两体模型固有频率减小，从而影响方程的解；(ii)当绕组发生变形时，绕组对称性被破坏，不同位置处的两体模型或出现松动，或出现紧固，导致局部固有频率增多，且松动部位固有频率减小，紧固部位固有频率增大，进而影响方程的解。
[0121]
至此，本发明方法从具体的绕组线圈抽象并提取出了局部两体模型作为研究对象，并得到了其振动的运动方程。由以上的推论可得：两体振动模型能够表征出系统的材料非线性以及磁场与振动的耦合，方程的解可以反映绕组机械状态的变化。该方程是后续绕组振动特性研究及绕组机械故障诊断技术的理论基础之一。
[0122]
本领域普通技术人员可以意识到，结合本文中所公开的实施例描述的各示例的单元，能够以电子硬件、计算机软件或者二者的结合来实现，为了清楚地说明硬件和软件的可互换性，在上述说明中已经按照功能一般性地描述了各示例的组成。这些功能究竟以硬件还是软件方式来执行，取决于技术方案的特定应用和设计约束条件。专业技术人员可以对每个特定的应用来使用不同方法来实现所描述的功能，但是这种实现不应认为超出本发明的范围。
[0123]
在本技术所提供的实施例中，应该理解到，单元的划分，仅仅为一种逻辑功能划分，实际实现时可以有另外的划分方式，例如多个单元可结合为一个单元，一个单元可拆分为多个单元，或一些特征可以忽略等。
[0124]
最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围，其均应涵盖在本发明的权利要求和说明书的范围当中。