专利名称：基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正方法
技术领域：
本发明是一种应用于可展开结构设计、空间结构施工分析的方法，特别是涉及一种基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正方法。
背景技术：
可动结构具有可动自由度，且结构的刚度矩阵奇异，无法借助常规有限元方法，需采用力法、动力学方法等对该类结构进行运动过程分析。然而，分析中涉及大量的杆件约束，若不对结构的广义坐标进行及时的修正，将引起部分杆件产生不协调变形，使结构偏离应有的运动路径。因此，可动结构广义坐标的违约修正是精确模拟结构展开、折叠过程的关键因素，有助于指导可展结构的形态、展开过程分析，以及空间结构的施工控制。由于矩阵的逆只适用于非奇异方形矩阵，Moore和Penrose提出了广义逆的概念，用于计算任意非方形矩阵或奇异矩阵的伪逆。广义逆具有强大的解决逆问题的能力，已广 泛应用于数理统计、线性规划、最优化理论、控制设计及识别等领域，在土木工程领域也逐渐得到了应用。Hangai提出了基于广义逆理论的广义增量法，以分析整体刚度矩阵奇异的非线性体系；赵孟良和关富玲采用广义逆，得到了空间可展桁架结构运动学约束方程的解；罗尧治和陆金钰运用广义逆得到了结构力平衡方程的特解，并提出了用于求解柔性结构的非线性力法。运用广义逆方法，可有效地对可动结构的广义坐标进行违约修正。但是，随着可动结构规模的增大、几何形态的复杂化，结构具有的节点及杆件数目逐渐增加，结构的广义坐标进行违约修正过程将十分耗时。鉴于土木工程领域大部分可动结构均为对称结构，采用基于群集理论的对称方法能提高广义坐标违约修正过程的计算效率。群集理论是一种采用数学语言描述结构的对称属性的方法，已成熟应用于分子结构、量子力学等领域，在可展结构领域应用极少。本专利将提出一种基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正方法。
发明内容
技术问题本发明的目的是提供一种基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正方法。鉴于可动结构广义坐标的常规违约修正方法计算效率较低，本发明的关键技术问题是针对任一对称的可动结构，能够精确并高效地对其进行广义坐标的违约修正。技术方案针对以上问题，本发明基于群集理论方法，将原结构的广义坐标违约修正问题转变成多个相互独立的子问题，并利用并行计算有效提高违约修正过程的求解效率。技术方案如下一种基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正方法，步骤I建立可动结构的广义位移协调方程J. d = e
式中J为bXq阶结构的广义位移协调矩阵，其中b为可动结构中杆件的总数，q为节点的运动自由度，且上式中d为q维的结构广义坐标向量，e为b维的结构广义变形向量，并向可动结构输入微小位移U，步骤2确定可动结构所属的对称群，所属对称群包括以下特征s个独立的对称操作，μ类不可约表示，步骤3分别计算与所属对称群的各类不可约表示相关联的转换矩阵，具体可通过下式计算=F^j-jyks{t,t)-R^,=F[ijyks(t,t)-T^, 式中变量k = 1，. . .，μ，μ为所属对称群的不可约表示的总类型数，变量t = 1，. . .，lk，且Ik为所属对称群的第k类不可约表示的维数，h为所属对称群内不同对称操作的总数，Γ丨( ,O为体系所属对称群的第s个对称操作下，第k类不可约表示中的第t行、t列的元素，矩阵Rs和Ts分别为可动结构广义坐标向量d和广义变形向量e的转换矩阵，表示与所属对称群的不可约表示Γ丨相关联的第t个关于广义坐标向量d的转换矩阵，K，)表示与所属对称群的不可约表示Γ丨相关联的第t个关于广义变形向量e的转换矩阵，函数F(X)用于求取变量矩阵X的列空间，X为(⑶4或丨(⑶·7；，步骤4分别计算对角化矩阵
&(t,,) = (ve(A>)广 JVf-0，其中变量k=l,..., μ,且t = l,..., Ik,符号OT表示矩阵的转置，步骤5采用列主元QR分解法，分别求解对角化矩阵^^的广义逆，引入置换矩阵P，
对对角化矩阵进行分解
^ =QRPt其中矩阵Q、R、P均为临时变量矩阵，对角化矩阵的广义逆为式中泛为经列主元QR分解法得到的矩阵Q的正交列向量的前r列，其中r为矩阵 的秩，互为经列主元QR分解法得到的矩阵R的正交行向量的前r行，符号(Γ1表示矩阵
的逆，步骤6将每个对角化矩阵的广义逆设_]+根据变量k的大小，当k相同时，再根据变量t的大小，依次沿对角线方向增序排列，组建对称型广义位移协调矩阵的广义逆F，并基于下式求得可动结构各节点的修正位移Λ
A = -V^+(VJT S ，δ为b维向量，表示可动结构中各杆件因微小位移U所产生的不协调变形，Vd, Ve分别为将结构的广义坐标向量d、广义变形向量e转换到对称坐标系下的整体转换矩阵，且κ=ΣΣ ^=ΣΣ v<ekJ)，
k=\ t=\ k=\ t=\最后，将修正位移△施加给可动结构的各节点，完成对可动结构各节点广义坐标的违约修正。有益效果本发明的优点在于充分利用可动结构所固有的对称属性，将原可动结构的广义坐标违约修正问题转变成多个相互独立的子问题，并利用并行计算对各子问题进行求解，显著降低了违约修正所消耗的时间，并且可动结构所具有的对称属性越高，分解得到的子问题个数越多，求解效率越高。
图I为一简单可动结构广义坐标的违约修正示意图。图2为基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正流程图。
具体实施例方式本发明公开了一种基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正方法。以下结合附图，对所公开的方法作进一步地描述。I.可动结构广义坐标的违约修正在给定的几何构形下，根据可动结构中节点及杆件间的约束关系，可建立整体结构的广义位移协调方程J · d = e(I)式中J为bXq阶广义位移协调矩阵，其中b为可动结构中杆件的总数，q为节点的运动自由度，方程(I)中d为q维的结构广义坐标向量，且方程(I)中e为b维的结构广义变形向量。在运动过程分析中，对可动结构施加一个微小位移u后，各节点相应地获得新的广义坐标d+u，但由于节点与杆件间的约束关系，部分杆件将产生不协调变形。例如图I中为一个最简单的单根杆件的可动结构，当产生新的几何构形后，杆件沿轴向伸长，节点偏离了正确的运动路径。因此，必须对各节点的广义坐标进行违约修正，使结构回归正确的运动路径上，其中修正位移Λ为Δ = -J+ · δ(2)式中J+为广义位移协调矩阵J的广义逆，δ为b维向量，表示了各杆件因微小位移u所产生的不协调变形。
2.广义逆的定义与计算对于任意矩阵A，定义矩阵A+为A的唯一的广义逆，且矩阵A、A+之间满足如下四个性质AA+A = A,A+AA+ = A+，(AA+)T = AA+,(A+A)T = A+A(3)式中，Ot表示矩阵的转置。当矩阵A为非奇异方阵时，矩阵的广义逆A+等于矩阵 的逆Α-1。
目前求解矩阵广义逆的理想途径是采用奇异值分解法，这种方法对于任意矩阵都有很好的适用性，计算精度高，但计算非常耗时。为了提高求解效率且适用于奇异矩阵，采用列主元QR分解法并引入置换矩阵P，对矩阵A进行分解A = QRPt(4)需要说明，数值计算过程中为了避免矩阵的病态性，当任意元素的值小于ξ (ξ=le-6)时，该元素修正为零。上式(4)中，矩阵R的对角元素非负、降序排列，且非零值的个数r为矩阵A的秩。因此，矩阵的广义逆A+可表示为A+ = PR(RRT yl (QT Qy1Q1(5)式中泛为式⑷中经列主元QR分解法得到的矩阵Q的正交列向量的前r列，互为式(4)中经列主元QR分解法得到的矩阵R的正交行向量的前r行。3.群集理论的基本概念及矩阵表示对称群G= {gs，s = l，2，3，...，h}通过数学语言描述结构的对称性质，群内各元素gs对应着描述结构各种对称属性的对称操作，h为对称群内不同对称操作的总数。对称操作主要包括恒等操作E (不进行任何操作)，旋转操作(绕主轴逆时针旋转2 π i/n),镜像操作σΑ镜像面与竖向平面的夹角为2 π (i-l)/n)等。在对称操作gs下，可动结构由初始的几何构形转换成等效的另一构形，其中ds = Rs · d, es = Ts · e(6)式中，ds和es分别对应第s个对称操作下结构的广义坐标向量d、广义变形向量e，Rs和Ts分别为向量d和e的转换矩阵。转换矩阵是稀疏矩阵，可分解成相互独立且不能继续约简的子矩阵，称作矩阵的不可约表示Γ。不同坐标系下的转换矩阵不相同，但转换矩阵的不可约表示始终不改变，各对称群的不可约表示可查阅群集理论的相关书籍(例如Point-Group Theory Tables)。土木中常见的可动结构,如可开启屋盖、可折叠柱结构、可展屋面等均属于循环对称群Cnv，当η为偶数时，Cnv群的不可约表示如表I所示表I Cnv型对称群的不可约表不 [注表中》^ = sin 4)找,Cik = cos 4)找]
ηη
权利要求
1.一种基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正方法，其特征在于 步骤I建立可动结构的广义位移协调方程J · d = e 式中J为bXq阶结构的广义位移协调矩阵，其中b为可动结构中杆件的总数，q为节点的运动自由度，且上式中d为q维的结构广义坐标向量，e为b维的结构广义变形向量，并向可动结构输入微小位移u, 步骤2确定可动结构所属的对称群，所属对称群包括以下特征s个独立的对称操作，μ类不可约表示， 步骤3分别计算与所属对称群的各类不可约表示相关联的转换矩阵，具体可通过下式计算 式中变量k = 1，. . .，μ，μ为所属对称群的不可约表示的总类型数， 变量t = 1，. . .，lk，且Ik为所属对称群的第k类不可约表示的维数， h为所属对称群内不同对称操作的总数，为体系所属对称群的第S个对称操作下，第k类不可约表示中的第t行、t列的元素， 矩阵Rs和Ts分别为可动结构广义坐标向量d和广义变形向量e的转换矩阵，表示与所属对称群的不可约表示Γ丨相关联的第t个关于广义坐标向量d的转换矩阵，表示与所属对称群的不可约表示Γ丨相关联的第t个关于广义变形向量e的转换矩阵， 函数F(X)用于求取变量矩阵X的列空间，X为(⑶4或丨(⑶·7；， 步骤4分别计算对角化矩阵
全文摘要
本发明公开了一种基于群集理论的可动结构广义坐标的违约修正方法，涉及可展开结构的设计、空间结构施工分析等领域。所公开方法将可动结构的广义坐标违约修正问题转变成多个相互独立的子问题，并利用并行计算对各子问题进行求解，有效地降低了可动结构广义坐标违约修正过程所消耗的时间。方法的主要步骤为建立可动结构的广义位移协调方程，并确定可动结构所属的对称群。随后，分别计算对称型广义位移协调矩阵的各分块子矩阵，求解相应的广义逆。最后，沿对角线组建整体结构的对称型位移协调矩阵的广义逆，对可动结构各节点的广义坐标进行修正。可动结构的对称性越高，广义坐标违约修正过程的求解效率提高愈显著。
文档编号G06F17/16GK102779113SQ20121001664
公开日2012年11月14日 申请日期2012年1月19日 优先权日2012年1月19日
发明者冯健, 夏仕洋, 庄丽萍, 陈耀 申请人:东南大学