一种改进的轮齿加载接触分析方法
【专利摘要】本发明公开了一种改进的轮齿加载接触分析方法。该方法基于变形协调条件，通过几何计算得到齿轮的齿面方程和法向量方程；并在此基础上进行无载荷的轮齿接触分析，得到齿轮啮合的接触印痕、传动误差，齿面的主曲率、主方向，相切齿面的诱导法曲率，从而建立起接触椭圆大小、齿面压缩量与载荷三者之间的关系；结合Hertz理论公式和柔度系数法，考虑安装误差、支撑误差的影响和接触柔度系数的非线性，求出齿轮的载荷分布；根据齿间载荷分配结果，采用Hertz公式计算小大齿轮某时刻下的齿面压力分布和接触应力分布，利用三维有限元模型进行受力计算得到可靠的弯曲应力。轮齿加载接触分析方法对齿轮学的设计、计算和应用有重要意义。
【专利说明】一种改进的轮齿加载接触分析方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于齿轮结构设计分析领域，具体地说，涉及一种改进的轮齿加载接触分 析方法。
【背景技术】
[0002] 轮齿加载接触分析（LTCA)方法在国内外已引起了广泛的重视，但大量的研究还 停留在轮齿接触分析的基础上，如何在齿轮研究领域中建立好几何设计与力学分析的桥 梁，特别是获得齿轮在拟真实工况下的工作性能，对齿轮学的设计、计算和发展具有重要意 义。
[0003] 现有公开的技术文献"齿轮轮齿承载接触分析（LTCA)的模型和方法"（机械传 动，1998,22(2)，pl-3)中，基于柔度系数法和变形协调条件提出了一种轮齿加载接触分 析（LTCA)方法，用于计算轮齿接触应力和弯曲应力，但该方法忽略了接触柔度系数的非线 性影响，以及将接触区域载荷近似处理为线接触载荷来替代实际的区域载荷，当实际接触 区域不是细长形区域，该方法的计算精度将变得更差，故不具有普遍性和较好的计算精度； 其次，该方法将线接触载荷离散为一些点上的集中载荷，当离散点取得较多时，计算变量较 多，计算复杂，对算法的收敛性要求高。
【发明内容】
[0004] 为了避免传统TCA方法忽略轮齿承载接触变形和弯曲变形的影响，能够真实有效 地反应轮齿在加载情况下的齿间载荷分布情况，齿面载荷分布情况，传动误差以及精确的 计算轮齿接触应力和弯曲应力，本发明提出一种改进的轮齿加载接触分析方法。该方法基 于变形协调条件，结合Hertz理论公式和柔度系数法，考虑安装误差、支撑误差的影响和接 触柔度系数的非线性，求出齿轮的载荷分布；在此基础上，利用三维有限元模型进行受力计 算得到可靠的弯曲应力，利用Hertz理论进行了接触应力的计算。
[0005] 本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种改进的轮齿加载接触分析方 法，其特征在于包括以下步骤：
[0006] 步骤1.推导及获得齿面方程、法向量；
[0007] 根据微分几何与哨合原理，求出一对小大齿轮的齿面方程及法向量，其表不为： 在与小齿轮固联的坐标系S1下,小齿轮相邻三个轮齿的齿面方程及法向量为！^(U1, V1), Il1I (U1, V1)，r12 (U1, V1)，n12 (U1, V1)和;r13 (U1, V1)，n13 (U1, V1);在与大齿轮固联的坐标系 S2 下，与 小齿轮各轮齿相啮合的大齿轮齿面的齿面方程及法向量为r21 (u2, v2)，n21 (u2, v2), r22 (u2, v2) ,Tl22 (u2, V2) T23 (ll2, V2) , Il23 (ll2, V2);
[0008] 步骤2.进行无载荷的轮齿接触分析；
[0009] ①计算接触印痕和传动误差
[0010] 以小齿轮三轮齿的中间齿为基准面，分别计算进行多对齿面的无载荷轮齿接触分 析，得到在小齿轮取不同转角^时，多对齿面副的接触印痕和传动误差，其具体如下：
[0011] 建立一个装配坐标系sf，分别将小齿轮、大齿轮的某对啮合轮齿的齿面方程 !Tlj (u" V1)，r2j (u2, V2)及其法向量II1 j (U1, V1)，n2j (u2, V2)转换到装配坐标系Sf下，建立轮齿接 触分析方程组；
【权利要求】
1. 一种改进的轮齿加载接触分析方法，其特征在于包括以下步骤： 步骤1.推导及获得齿面方程、法向量； 根据微分几何与哨合原理，求出一对小大齿轮的齿面方程及法向量，其表不为：在与 小齿轮固联的坐标系Si下，小齿轮相邻三个轮齿的齿面方程及法向量为1^(1^，Vi), 1^(1^， V)，1^(11"Vi) , 1^2(11"Vi)和;1^(11"Vi) , 1^3(11"Vi);在与大齿轮固联的坐标系S2下，与小齿 轮各轮齿相啮合的大齿轮齿面的齿面方程及法向量为r21 (u2,v2),n21 (u2,v2),r22 (u2,v2),n22 ( U2，V2)和『23 (U2,V2)，Il23 (U2,V2); 步骤2.进行无载荷的轮齿接触分析； ① 计算接触印痕和传动误差 以小齿轮三轮齿的中间齿为基准面，分别计算进行多对齿面的无载荷轮齿接触分析， 得到在小齿轮取不同转角叭时，多对齿面副的接触印痕和传动误差，其具体如下： 建立一个装配坐标系Sf，分别将小齿轮、大齿轮的某对啮合轮齿的齿面方程Aj(u"V)，r2j (u2,v2)及其法向量h』（u"V)，n2j (u2,v2)转换到装配坐标系Sf下，建立轮齿接 触分析方程组；
给定一系列的小齿轮转角，通过上述方程组可求出另外五个未知量 大齿轮转角小2 ; 将上述求得变量分别代入小大齿轮的齿面方程rij (Ul，Vl)，r2j (u2,v2)，则可得到某对齿 面上一系列的接触点，即接触路径； 将⑴式求解参数代入传动误差公式A&=()-(九_-4>2^2，则可得到接触 点处的传动误差，并绘制不同轮齿接触对的传动误差曲线； ② 推导齿面的主曲率、主方向 已知，一个齿面方程为r(u,v)，则单位法矢n= (ruXrv)/|ruXrv|，式中，，r'.=drjdv' 曲面r(u，v)上某点P(x，y)的法曲率表示如下：
式中，E，F，G为曲面的第一基本量，L，M，N为曲面的第二基本量，du/dv为点P(x，y)处 的切线方向，其中，五=€，F=ru ?rv，G= 7;2，L=-n?ruu，M=n?ruv，N=n?rvv ; 由（2)式知，匕随y=du/dv而变化，其最大值和最小值成为点P(x，y)的主曲率，对 应切线方向即为主方向； 、是y的函数，对y求导得
当dkn/dy= 0时，kn取极值，有 (knE-L)u+(knF-M) = 0 (4) 联立式⑵与⑷得到 (knF-M)u+(knG-N) = 0 (5) 联立式⑷与（5)，消除y，则有
求解式（6)则可得到主曲率； 联立式⑷与（5)，消除kn，则有 (EM-FL)u2+ (EN-GL)u+ (FN-GM) = 0 (7) 求解式（7)则可得到主方向； 根据罗德里克定理，判断与主曲率对应的主方向，其关系式为：
根据式（7)求出的主方向参数U，可确定主方向的单位矢量：
③相切齿面的诱导法曲率，求得接触椭圆的长短轴方向 根据步骤②求得的主曲率和主方向可得到相切齿面的诱导法曲率，求得接触椭圆的长 短轴方向，其过程如下： 规定小齿轮齿面上的第一主方向今(1)到大齿轮齿面上的第一主方向的有向角为
已知曲面的主曲率及主方向，根据法曲率的欧拉公式表达出任意方向的法曲率
两曲面在切点沿同一方向的法曲率之差，即该方向的诱导法曲率，表示为
是〇⑴的函数，对式（13)求导，令成12>Mr(1>=〇,得到诱导法曲率取极值时对应 的〇(1)，其化简后表示为：
由此，可以进一步得到接触椭圆的长短轴方向：
④建立单个接触位置上接触椭圆大小、齿面压缩量与载荷的关系 由上述步骤①、②、③，求得某时刻接触点位置、法向量、主曲率、主方向、接触椭圆长短 轴方向，建立某时刻接触点位置上接触椭圆大小、齿面压缩量与载荷的关系，具体如下： 根据Hertz接触理论，可得到两轮齿压缩量S。与接触椭圆大小之间的关系
同时，可得到两轮齿压缩量S。与载荷Pi的关系
式中
，Vpv2,EpE2分别为小大齿轮的泊松比和弹性模 量；Re为等效半径，Re=(R，R" )1/2'1/R' =1/R/ +1/V，1/R" =1/%" +1/R2"，R/ 和氏"分别为小大齿轮在椭圆中心位置的主曲率半径；F2(e)函数可看作是对于椭圆偏心 率的修正因子，其相对于相对曲率比值（R'R")的变化曲线已知； 接触椭圆大小、齿面压缩量与载荷的关系由式（16)、（17)确定； 步骤3.计算载荷分配； 通过步骤1，步骤2,得到某时刻小大齿轮副的多齿面接触情况，即某时刻各个齿面的 接触位置、传动误差，同时建立单个接触位置上接触椭圆大小、齿面压缩量与载荷的关系， 下面依据变形协调条件可求出各个接触位置上的载荷分量； 首先，根据轮齿无载荷接触分析得到的多对齿面的传动误差，可判断小齿轮在转动某 转角小i时，小大齿轮的接触点对数m; 设各接触齿面对上分担的载荷分别为Pi，P2,……Pm，则根据变形协调条件和总载荷不 变得到方程组：
式中，Rei为第i对齿轮接触点距转动中心的转动半径；ati表示载荷与切平面之间的 夹角；A0i为加载传动误差，T为小大齿轮传递总扭矩； 已知，加载传动误差A0i由三部分组成，表示为Aei(Pi) =Aei0(Pi)+Aeic(Pi)+Aeib(Pi) (19) 式中，Aei()(PJ为无加载传动误差，Aeic;(PJ为接触变形引起的加载传动误差，Aeib(PJ为轮齿弯曲变形引起的加载传动误差； 下面对三种传动误差分量进行求解： ①求解Aei() (Pi)，根据上述无载荷轮齿接触分析，可得到
② 求解A 0ic; (Pi)，上述按Hertz接触理论建立起两轮齿压缩量Sic;与载荷Pi的关系 即Sic; =f(Pi)，则有
③ 求解Aeib(Pi)，首先，分别建立大小齿轮的三齿三维有限元网格模型，进行齿轮各 个齿面的弯曲柔度系数矩阵提取，其方法如下： 对齿轮的三齿三维有限元模型添加两侧面的位移约束和底面位移约束，下面，分别给 工作齿面上的各个节点施加1N的法向力，提取齿面上所有节点的位移，若某个工作齿面上 有n个节点，则提取出的柔度系数矩阵为[Cfl]nXnX3 ; 对齿轮的三齿三维有限元模型添加两侧面的位移约束和底面位移约束，同时将各个非 工作齿面添加位移约束，下面分别给工作齿面上的各个节点施加1N的法向力，提取齿面上 所有节点的位移，若某个工作齿面上有n个节点，则提取出的柔度系数矩阵为[Cf2]nXnX3 ; 则齿轮的弯曲柔度系数矩阵为 [cf] = [Cfl]-[Cf2] (22) 根据Hertz接触理论可得，一般外形曲面的表面压力为
将接触椭圆区域离散化，建立分割区域内载荷对接触点的弯曲弹性变形量的微分表达 式 dSbi = p(p, 9) *cf(p, 0) ? pdpd0 (24) 由此，建立一个分割区域内载荷对接触点的弯曲弹性变形量的近似表达式 A Sbi = P(f)> e) *cf(p, 0) ? p *Ap *A 0 (25) 其中，p，0是通过将接触椭圆在极坐标下的表示，且有
故P的积分区间为[〇，1]，0的积分区间为[〇,2ji];Cf(P，0)为分割区域类的柔度 系数，通过对区域范围内或周围的节点柔度系数插值而言，插值选取节点越多，cf(P，0) 越精确； 最后，对接触椭圆内所有分割区域内载荷对接触点的弯曲弹性变形量进行求和，则可 得到一个齿面上由弯曲引起的接触点位置的位移量：
由弯曲变形引起的传动误差分量为
式中，Sbil，Sbi2分别代表小大齿轮一对齿轮副在接触点位置的轮齿弯曲变形量； 联立式（18)?（28)，进行求解，则可得到齿间载荷分布Pi，P2,……Pm; 再次计算计入弯曲变形和接触变形后的传动误差，判断小齿轮在转动某转角小i时，小 大齿轮的接触点对数k，若k>m，则将k赋予m，重新进行步骤3,若k=m，则进行下一步； 步骤4.进行强度计算； 按照上述分析计算得到的齿间载荷分配结果，则可根据Hertz理论公式计算小大齿轮 各对轮齿副在小齿轮转动某转角小：时的齿面压力分布和接触应力分布； 根据上述建立小、大齿轮三维有限元模型，将计算好的齿面压力分布等效施加在接触 区域内的节点上，采用现有有限元软件进行弯曲强度计算，则可得到轮齿接触产生的弯曲 应力分布。
【文档编号】G06F17/50GK104408220SQ201410523305
【公开日】2015年3月11日 申请日期:2014年10月8日 优先权日:2014年10月8日
【发明者】项云飞, 郭辉, 赵宁 申请人:西北工业大学