基于基追踪去噪的向量匹配方法与流程

本发明属集成电路技术领域，具体涉及一种带噪声的传递函数拟合的基于基追踪去噪的向量匹配方法。

背景技术：

现有技术公开了向量匹配(Vector Fitting,VF)算法是一种从测量或仿真的频域数据中拟合有理传递函数模型的高效算法，其中，从一组初始极点开始，VF逐步迭代地把这些极点放在更合适的位置。由于它的鲁棒和高效的表达形式，该算法已经在众多领域得到了广泛应用，如电源系统的瞬态分析，微波系统建模以及格林函数的表示。VF算法的收敛性和精确性对于大多数应用已被证明是非常优秀的，然而，在某些场合，如待拟合的频率响应被噪声污染的情况下，VF算法的精确度和收敛性尚不太令人满意。

在松弛向量匹配(Relaxed Vector Fitting,RVF)算法中，在极点确定步骤引进了一个松弛的非平凡的限制以提升VF算法的重置极点到更合适位置的能力。RVF算法相比传统的VF算法，在有噪声的频率响应情况下可以得到更好的收敛性和精确度。近年来，一种基于方差加权的松弛向量匹配(Variance Weighted Relaxed Vector Fitting,VWRVF)算法被提出来进一步提升RVF算法的收敛性和精确度。该算法应用了最小二乘加权的函数来减小频率响应中的噪声带来的影响，所用的加权函数是噪声数据的方差。该算法需要抽样检测频率响应很多次来获取含噪声数据的方差，如果这些频率响应是测量得到的数据，需要重复测量很多次才能获得方差。因此，这种方法的代价很高。

与本发明相关的现有技术有如下参考文献：

[1]Gustavsen B,Semlyen A.Rational approximation of frequency domain responses by vector fitting.Power Delivery,IEEE Transactions on,1999,14(3):1052-1061.

[2]Morched A,Gustavsen B,Tartibi M.A universal model for accurate calculation of electromagnetic transients on overhead lines and underground cables.Power Delivery,IEEE Transactions on,1999,14(3):1032-1038.

[3]Li E P,Liu E X,Li L W,et al.A coupled efficient and systematic full-wave time-domain macromodeling and circuit simulation method for signal integrity analysis of high-speed interconnects.Advanced Packaging,IEEE Transactions on,2004,27(1):213-223.

[4]Antonini G.SPICE equivalent circuits of frequency-domain responses.Electromagnetic Compatibility,IEEE Transactions on,2003,45(3):502-512.

[5]Okhmatovski V,Cangellaris A C.Evaluation of layered media Green's functions via rational function fitting.Microwave and Wireless Components Letters,IEEE,2004,14(1):22-24.

[6]Gustavsen B.Improving the pole relocating properties of vector fitting.Power Delivery,IEEE Transactions on,2006,21(3):1587-1592.

[7]Ferranti F,Rolain Y,Knockaert L,et al.Variance weighted vector fitting for noisy frequency responses.Microwave and Wireless Components Letters,IEEE,2010,20(4):187-189.

[8]Chen S S,Donoho D L,Saunders M A.Atomic decomposition by basis pursuit.SIAM Journal on scientific computing,1998,20(1):33-61.

[9]Becker S R,Candès E J,Grant M C.Templates for convex cone problems with applications to sparse signal recovery.Mathematical Programming Computation,2011,3(3):165-218.

[10]Sardy S,Bruce A G,Tseng P.Block coordinate relaxation methods for nonparametric wavelet denoising.Journal of computational and graphical statistics,2000,9(2):361-379.

[11]The Vector Fitting web site.[Online]Available: https://www.sintef.no/projectweb/vectfit/downloads/.。

技术实现要素：

本发明的目的在于克服现有技术的缺陷，提供一种带噪声的传递函数拟合的基于基追踪去噪的向量匹配方法。

本发明中，利用压缩感知领域的基追踪去噪(Basis Pursuit Denoising,BPDN)算法的思想以从含噪声的频率响应中精确地恢复传递函数，BPDN可以从含噪声的数据中精确恢复原函数。在本发明中，保持VF算法的基本思想不变，但应用 了BPDN算法来求解包含噪声的最小二乘的问题，实验结果表明所述的方法BPDN-VF可以从含噪声的频率响应中以更高的收敛性得到更加精确的拟合结果；同时，相比VWRVF算法，本发明的方法不需要重复采样频率响应来获得噪声数据的方差，极大降低了计算代价。

具体的，本方法包括：通过测量或模拟获得M个频率数据样本；通过基追踪方法获得拟合有理函数的极点；通过基追踪方法获得拟合有理函数的零点，从含噪声的频率响应中以更高的收敛性得到更加精确的传递函数拟合结果。

更具体的，本发明的基于基追踪去噪的向量匹配方法，包括下述步骤，其流程如图1所示。

步骤1.通过测量或模拟获得M个频率数据样本

步骤2.对于拟合的有理函数H(s)，假定可以用f(s)有理函数来拟合，即假定首先确定极点{p₁,…p_n}；

分步骤2.1.在M个频率数据样本上，形成下述方程，获得最小二乘问题，

其中

这里{a_n}是一组初始极点；

分步骤2.2.利用基追踪方法求解分步骤1中的最小二乘问题：

b＝Ax+z

其中x∈Rⁿ为未知向量，b∈R^m是含噪声的数据，z是噪声项，A，x，b分别为：

x＝[r₁ … r_N d e k₁ … k_N]^T,

b＝[f(s₁) f(s₂) … f(s_M)]^T.

对于上述最小二乘问题，基追踪方法等价求解下述的二次规划问题：

subject toΦα+δp＝y,α≥0,δ＝1,

其中，Φ＝(A,-A)，y＝b，c＝λ；该问题通过块协调松弛(Block-coordinate-relaxation,BCR)算法来求解。

极点确定问题和传统基追踪方法解决的问题略有不同，是由于在矩阵A的元素中存在含噪声的项f(s_i)，而传统问题基追踪方法求解的问题中的矩阵A的元素是确定性的；本发明的实施例中，取A的包含噪声项f(s_i)为例

该列中可以看作为含噪声的采样点f(s)被一阶低通滤波器滤波，噪声因此被滤波器抑制。图2显示了某一采样点处的高斯白噪声的功率谱密度和该高斯白噪声通过一阶低通滤波器后的功率谱密度，明显显示出一阶低通滤波器有效地抑制了噪声；因此，本发明中仍然可以应用BPDN来解决极点的确定问题；

分步骤2.3.由于f(s)的极点就是σ(s)的零点，分步骤2.2中求得σ(s)的表达式后，求得σ(s)的零点，即可得到f(s)的极点{p₁,…p_n}；

步骤3.f(s)的极点{p₁,…p_n}确定后，进一步利用基追踪方法确定f(s)的零点及常数项和一次项系数；

分步骤3.1.在M个频率数据样本上，形成下述方程，获得最小二乘问题，

这里极点{p₁,…p_n}为步骤2中计算得到的极点；

分步骤3.2利用基追踪方法求解分步骤3.1中的最小二乘问题，获得f(s)的残量{r_n}(以及项d和项e)。

本发明方法通过上述3个大步骤，可以获得带噪声的传递函数拟合。

本发明的优点在于，本发明可以从含噪声的频率响应中以更高的收敛性得到更加精确的拟合结果，相比VWRVF算法，本发明的方法不需要重复采样频率响应来获得噪声数据的方差，极大降低了计算代价。

为使本发明的目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面通过具体实施例和附图进一步说明本发明。需要特别指出的是，具体实施例和附图仅是为了说明，显然本领域的普通技术人员可以根据本文说明，在本发明范围内对本发明做出各种各样的修改和改变，这些修正和改变也纳入本发明范围内。另外，本发明引用了公开文献，这些文献是为了更清楚地描述本发明，它们的全文内容均纳入本文进行参考，等价于它们的全文已经在本文中重复叙述过。以下本发明方法缩写为BPDN-VF。

附图说明

图1为本发明方法流程图。

图2为高斯白噪声通过一阶低通滤波器的结果。

图3(a)为本发明第一实施例在20db噪声时与VWRVF方法收敛比较图。

图3(b)为本发明第一实施例在30db噪声时与VWRVF方法收敛比较图。

图4(a)为本发明第一实施例在20db噪声时与VWRVF方法拟合结果比较图。

图4(b)为本发明第一实施例30db噪声时与VWRVF方法拟合结果比较图。

图5(a)为本发明第二实施例在20db噪声时与VWRVF方法收敛比较图。

图5(b)为本发明第二实施例在30db噪声时与VWRVF方法收敛比较图。

图6(a)为本发明第二实施例在20db噪声时与VWRVF方法拟合结果比较图。

图6(b)为为本发明第二实施例30db噪声时与VWRVF方法拟合结果比较图。

具体实施方式

实施例1 18阶的频率范围在0～100kHz的频率响应

该实验例来源于文献[1]中的非平滑测例。实验假设的极点、残量、常数项和比例项可以在文献[1]中找到。

本实施例中，在分析传递函数的频率范围之后，取100个在相应频率范围内均匀分布的采样点。这些采样点会分别受到30dB和20dB复高斯白噪声的污染。在有噪声的情况下，对于极点确定过程1～3个迭代是不够的，为了提高准确度，一般需要多于10个迭代，为了展示迭代过程中相应的逼近误差，本实施例中在每个极点确定的迭代之后计算了拟合传递函数相比无噪声精确传递函数的误差，图3(a)和图3(b)分别展示了在信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)为20dB、30dB时，不同方法在不同迭代次数下的均方根误差(Root-Mean-Square Error)。

表1展示了迭代过程中不同方法可以达到的最精确的结果，图4(a)和图4(b)分别展示了在不同SNR的情况下，不同VF方法各自达到最精确结果时的拟合结果对比。

由图3到图4及表1的结果显示，BPDN-VF可以得到比VWRVF更加精确的结果，且收敛性不会受到噪声的影响；另外，VWRVF需要采样频率响应很多次以获取含噪声的数据采样点的方差，如果这些数据是测量得到的，所需的测量代价可能会很高，而BPDN-VF不需要方差信息，仍然可以获得精确的拟合结果。

实施例2频率范围在0～100kHz的频率响应

该实验例来源于文献[6]中的FDNE测例。实验使用的一组采样点可以在文献[11]中找到。

本实施例中得到300个在相应频率范围内均匀分布的精确的频率响应采样点，并在这些采样点上分别施以30dB和20dB的加性复高斯白噪声，与实施例1相同，本实施例中在每个极点确定的迭代之后计算了拟合传递函数相比精确传递函数的误差，图5(a)和图5(b)分别展示了在不同SNR的情况下，不同方法的均方根误差，表2展示了迭代过程中不同方法可以达到的最小均方根误差，图6(a)和图6(b)分别展示了在不同SNR的情况下，不同VF方法的拟合结果对比。

图5，6以及表2的结果明显显示了BPDN-VF可以得到比VWRVF更加精确的结果，且收敛性不会受到噪声的影响，另外，由于BPDN-VF算法不需要获得数据采样点的方差，如果测量数据是通过测量得到，BPDN-VF算法相比VWRVF方法能极大降低测量代价。