约束域优化拉丁超立方设计方法与流程

本发明涉及实验设计
技术领域：
，具体的涉及一种约束域优化拉丁超立方设计方法。
背景技术：
：现代工程设计和优化中，大量物理实验被计算机仿真替代以求降低实验成本。在计算机仿真中，往往需要在设计参数空间中进行采样进而对输入输出响应近似建模用于后续分析与设计。合理的实验设计手段可以有效选择采样点，提高近似模型对样本点信息的利用效率。拉丁超立方设计(LatinHypercubeDesign,LHD)由于具有良好的低维投影性质，并且能自由安排仿真次数，在计算机仿真中应用最为广泛。LHD由McKay在1979年首次提出，其设计结果为一矩阵，每一行代表一组输入变量组合，每一列代表对应变量的是采样值，任意一列均是的排列。由于随机LHD的任意性，并不能很好地保证其空间均布性，大量学着对其进行了改进，改进工作主要集中在通过调整各列水平的排列顺序，使采样点拥有更均匀的空间分布特性。然而，在工程实践应用中，仿真模型的输入变量之间往往存在着各种约束，导致大多数情况可行域远小于矩形设计域。这些约束通常可以分为两类，显式约束和隐式约束。显式约束是指存在解析表达式的约束(即不需要调用大计算量仿真模型就可得到的约束，例如几何尺寸约束，原料混合比例约束等)，隐式约束为只需要通过仿真模型才能得出的约束(例如结构应力约束，气动力、热约束等)。在实验设计阶段，将所有显示的约束考虑进去，可以大大减少后续仿真过程中的无效采样点个数，避免为了得到需要的采样点个数，多次重复大规模的采样，从而有效减少了实验设计的计算量。而常规最优拉丁超立方设计方法仅适用于规则矩形设计域，且在采用过程中为确保其空间散布性能最优，使得大部分采样点(甚至所有采样点)落在不可行域内。为了能够获得后续仿真分析所需要的足够可行点，不得不增加矩形域内总采样点个数，造成了大量计算资源的浪费，同时由于增加了总采样点的个数，使得优化拉丁超立方的计算复杂度显著增加。针对约束域的实验设计问题，Douglas【MontgomeryDC,LoredoEN,JearkpapornD,etal.ExperimentalDesignsforConstrainedRegions[J].2002,14(4):587-601.】在中心复合设计的基础上，考虑D-最优和A-最优进行了约束域中心复合设计的改造，但是其考虑的变量个数仅为两个，远小于实际工程问题中需要的设计变量个数，而且由于中心复合设计方法的特点是在边界布点，因此空间分布特性通常较差。Danel【D,SantnerTJ,DeanAM.NoncollapsingSpace-FillingDesignsforBoundedNonrectangularRegions[J].Technometrics,2012,54(2):169-178】等提出了一种适应于高维线性约束域的充满空间实验设计方法，针对任意约束域情况下Fabian【FuerleF,SienzJ.FormulationoftheAudze–EglaisuniformLatinhypercubedesignofexperimentsforconstraineddesignspaces[J].AdvancesinEngineeringSoftware,2011,42(9):680-689】采用遗传算法对Audze–Eglaispotentialenergy进行了优化，提出一种Audze–Eglais最优的约束域拉丁超立方实验设计方法并将其应用于结构优化，由于该方法不仅需要将每个因素各水平的排列进行优化，同时需要对每个因素水平的划分方式进行优化，因此会增加大量无效的计算，且难以保证实验设计点的空间充满特性。现有的约束域实验设计方法其缺点在于：(1)所要求约束为线型模型；(2)高维空间采样效果差；(3)需要的基准采样点数目远大于可行点数目。技术实现要素：本发明的目的在于提供一种约束域优化拉丁超立方设计方法，该发明解决了常规优化拉丁超立方设计仅可以在规则的矩形域内采样，无法在不规则区域内进行有效采样的技术问题。本发明提供一种约束域优化拉丁超立方设计方法，包括以下步骤：步骤S100：输入采样点个数n和各约束变量的基准范围，根据所设定的约束条件，重构各变量的取值范围，得到采样空间；步骤S200：根据可行域采样点个数n，确定基准采样点个数N＝n，设置迭代次数i＝1；步骤S300：采用ESE算法对按式(4)所示的Ψ进行优化，得到ni个可行点；其中，c为可行点个数，其中，dij为第个i采样点和第j个采样点之间的距离，p为正整数；步骤S400：如果ni＝n，输出所有可行点的坐标，ESE算法终止，如果ni≠n则转步骤S500；步骤S500：按式(7)预测n个可行点所需的基准采样点个数N，迭代次数i＝i+1，每次迭代后转步骤S300，以所得ni个可行点作为初始值重复步骤S400～S500，直至得到满足设计需求的可行点个数，迭代结束，输出所得ni个可行点及其坐标N=nNn1---(7).]]>进一步地，重构各变量的取值范围包括以下步骤：，按式(5)～(6)对设计变量的范围的上、下界进行重构，max:xi,i=1,2,...,ms.t.g(x)<0xmin<x<xmax---(5)]]>min:xi,i=1,2,...,ms.t.g(x)<0xmin<x<xmax---(6)]]>其中，g(x)<0为可行域，xmin、xmax为变量原始的上下界。相对现有技术，本发明的技术效果：本发明提供的约束域优化拉丁超立方设计方法，采用按可行性进行加权的方法，对可行采样点个数以及采样点在约束域空间分布特性进行优化，显著减少了基准点个数，降低设计计算复杂度，显著提高约束域拉丁超立方采样的计算效率与空间分布性能。本发明提供的约束域优化拉丁超立方设计方法，通过将可行点和不可行点进行加权，得到尽可能多的在约束域均匀分布的采样点。对于相同的可行点数目，需要的基准采样点个数相对常用的拉丁超立方采用方法大幅减少。本发明提供的约束域优化拉丁超立方设计方法，是一种通用的优化拉丁超立方实验设计方法，当所有采样点均为可行点时可自动退化为常规矩形域的优化拉丁超立方实验设计方法。具体请参考根据本发明的约束域优化拉丁超立方设计方法提出的各种实施例的如下描述，将使得本发明的上述和其他方面显而易见。附图说明图1是本发明约束域优化拉丁超立方设计方法流程示意图；图2是本发明优选算例1进行迭代后所得的采样结果分布示意图；图3是本发明优选算例2进行迭代后所得的采样结果分布示意图；图4是本发明优选算例3进行迭代后所得的采样结果分布示意图。具体实施方式构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。为便于对本发明的理解，对本发明提供方法技术方案概述：该方法对传统的优化拉丁超立方设计进行了扩展，将可行域和不可行域的采样点进行加权，通过建立多目标的优化准则，同时考虑可行点数目和可行点之间的空间分布，对拉丁超立方设计进行优化，得到在任意约束的不规则区域内均匀分布的采样点。首先根据多个约束重新确定设计变量的边界，经过重新构造边界后的设计空间中可行域会大大增加，减少约束域采样的难度。其次通过不断调整基准设计点个数，使可行点个数满足指定需求。进一步，为了防止可行采样点个数小于预定个数的情况，提出了序列调整基准采样点个数的方法，使可行采样点个数满足需求。参见图1，本发明提供的约束域优化拉丁超立方(LHD)设计方法，包括以下步骤：步骤S100：输入采样点个数n和各约束变量的基准范围，根据所设定的约束条件，重构各变量的取值范围，得到采样空间；步骤S200：根据可行域采样点个数n，确定基准采样点个数N＝n，设置迭代次数i＝1；步骤S300：采用ESE算法对按式(4)所示的Ψ进行优化，得到ni个可行点；其中，c为可行点个数，其中，dij为第个i采样点和第j个采样点之间的距离，p为正整数，通常取p＝1或2，在本发明具体算例中p＝2，取任意正整数均可适用。步骤S400：如果ni＝n，输出所有可行点的坐标，所述ESE算法终止，如果ni≠n则转步骤S500；步骤S500：按式(7)预测n个可行点所需的基准采样点个数N，迭代次数i＝i+1，每次迭代后转步骤S300，以所得ni个可行点作为初始值重复步骤S400～S500，直至得到满足设计需求的可行点个数，迭代结束，输出所得ni个可行点及其坐标N=nNn1---(7).]]>具体的该方法的理论推导和详细说明如下：1.1基本模型约束域实验设计的基本思想是在m维空间中采用拉丁超立方设计的方法选择n个实验设计点，使其尽可能均匀地分布在可行域内。因此需要考虑如何完成约束域实验设计的两个目标：1)可行域内的采样点要尽可能的多；2)可行域内采样点的分布要尽可能的均匀。针对第一个目标，可以通过遍历采样点并统计，从而得到其中可行域内采样点的个数(以下简称可行点个数)。为了实现第二个目标，本发明在常用的矩形域φp准则的基础上，提出如下的可行域准则：矩形域φp准则如式(1)所示，是用来衡量样本点在矩形设计空间内分布特性的指标。φp=[Σi=1nΣj=1i-1dij-p]1/p---(1)]]>本发明在遍历采样点得到可行点个数c时，按式(2)赋予每个采样点一个可行性标识：根据每个采样点的可行性标识，将式(1)所示的矩形域φp准则改写成如公式(3)的加权形式：其中，dij为第i个采样点和第j个采样点之间的距离，p为正整数p＝2。遍历所有采样点后所得结果中，可行性标识的非零项共有项，其本质是仅对可行域内的采样点计算相应的φp。若所有采样点均可行，则式(2)与式(1)等价，自动退化为规则矩形域φp指标。本发明提供的约束域优化拉丁超立方实验设计(LatinHypercubeDesign)LHD方法，按式(3)将前述两个目标进行加权后作为优化指标。其中，c为可行点个数，式(4)的意义：第一项需尽可能大，从而使得可行点个数尽可能多，第二项则表示当可行点之间的可行域φp准则最小时，能满足优化指标最大的要求。Ψ表示等号后两项加权所代表的优化指标。1.2求解方法在对设计参数的空间进行采样时，首先必须确定各设计变量及其取值范围，现有的做法是根据经验手动给出各变量范围与约束，此时给出的变量范围和约束由于已有的经验不精确，会导致根据经验设计的空间中存在很大的不可行域。为降低搜索空间，提高实验设计效率，本发明提供的方法首先对设计变量的范围，按式(5)进行重构。max:xi,i=1,2,...,ms.t.g(x)<0xmin<x<xmax---(5)]]>其中g(x)<0为可行域，xmin、xmax为变量原始的上下界。同理，将最大化改为最小化可重构变量的下界，即：min:xi,i=1,2,...,ms.t.g(x)<0xmin<x<xmax---(6).]]>在重构后的设计变量范围内，采用LHD进行采样。得到LHD的采样结果。优化LHD的求解：其本质是优化m个1～n的排列，使实验设计矩阵的空间分布性能最优。通过智能优化方法对式(3)构造的优化指标进行优化，在众多的LHD优化方法中，改进随机进化(enhancedstochasticevolutionary,ESE)算法使用最为广泛，因此本发明采用ESE算法为基础，对修正后适用于约束域优化LHD的指标进行优化。ESE方法有内循环和外循环两部分组成。内循环通过交换每列排列的元素生成新的解，并根据外循环设定的接受规则决定是否接受该解，外循环则负责在每次内循环后更新解的接受规则。在搜索过程中，历史最优解被记录并保存下来作为优化LHD的最优结果，ESE优化方法的详细过程请参考文献【JinR,ChenW,SudjiantoA.Anefficientalgorithmforconstructingoptimaldesignofcomputerexperiments[J].JournalofStatisticalPlanningandInference,2005,134(1):268-287】。1.3采样点个数调整在约束域实验设计中，由于可行域在设计空间内占的比例较小，即使采用最大化可行点个数作为优化目标，在大多数情况下仍然不能保证所有的采样点均在可行域内，会导致按上述方法进行设计后可行点个数并不能达到预先制定的数目，因此需要逐步调整基础采样点个数使可行样本点不小于预定数目。设需要的可行点个数为n，设定基准采样点个数N＝n，得到的可行点个数为n1，则可以预测n个可行点所需的基准采样点N个数为：N=nNn1---(7)]]>重复上述过程，直到n1＝n，则约束优化LHD过程完成，得到在约束域均匀分布的n个采样点，可以用来运行计算机仿真模型并进行后续分析与设计。采用上述迭代过程通过调整基准采样点个数使可行点个数达到预定要求后，输出所得可行点及其分布。同时在每次迭代时，均考虑了各采样点在可行域内为均匀分布。从而保证了在较小的计算代价情况下，获得满足要求的，在可行域内分布均匀的可行采样点。实施例以下以若干低维和高维约束域采样算例，对本算法的有效性进行验证。不失一般性，所有的变量的初始范围全部设为[0，1]。2维算例1：采样点个数50，采样空间如下所示g1(x)=x1/x2>12g2(x)=x2/x1>12---(8)]]>1次迭代计算后，采样点个数为50，停止迭代，设计结果如图2所示，由图2可见，通过本发明提供方法进行采样后，所有样本点均可较好地避开不可行域，并且能实现在可行域内的均匀分布。2维算例2：采样点个数50，采样空间：半径为0.4的圆和两条抛物线之间重叠的区域，其表达式：g1(x)=x2-4(x1-0.5)2≥0g2(x)=x2-4(x1-0.5)2≤0.3g3(x)=(x2-0.5)2+(x1-0.5)2≤0.16---(9)]]>首先将其变量边界进行重构，重构之后的设计空间为图3中的阴影部分。之后在重构的空间内采样，采用本发明提供发放，经过两次迭代后，基准点个数为60，可行点数目达到50个，将其还原到原设计空间中，所得采样点的设计分布结果如图3所示，由图3可见，所得采样点能在不规则形状的可行域内实现均匀分布。3维算例3：采样点个数50，采样空间：圆心分别为[0,0,0]和[1,1,1]，半径均为0.5的两个不连通的八分之一球体内，其表达式如下式所示：g(x)=min{Σi=13xi2-0.25,Σi=13(xi-1)2-0.25}≤0---(10)]]>初始基准样本点个数设为50，两次迭代后，基准点个数为58，可行点个数为50，三维空间采样结果如图4所示，由图4可见，采用本发明提供方法得到的采样点能在不规则形状的可行域内均匀分布。算例1～3所得计算结果与现有的矩形域采样方法【为拉丁超立方设计方法，所用方法步骤参见戴英彪.基于拉丁超立方试验设计的事故再现结果不确定性分析[D].长沙理工大学,2011.中公开的拉丁超立方设计方法】用于处理同一采样空间中相同的可行点需求时，所得得到的结果列于表1中。表1本发明提供方法与现有矩形域采样方法计算结果对比表在算例1～3中，所处理采样区域的可行域占总设计空间的比例均较小，但是采用本发明提供的方法，在两次迭代后，即可获得满足设计需求的可行解数目，且需要的基准点个数略大于可行点需求个数，所需计算代价较小。而对于相同的可行点需求个数，采用矩形域最优拉丁超立方设计(即在相应的矩形域内均匀采样若干个点，使可行点个数满足预定需求，以下简称矩形域采样)时需要的基准点个数远大于本发明提供方法需要的基准点个数，因此采用矩形域最优拉丁超立方设计时寻优难度大于本发明提供方法，因此得到的可行域准则劣于本发明提供方法得到的结果。由表1可知，本发明提供方法计算效率高，迭代计算代价低，所得结果在各类采样空间中均能实现较均匀的分布，是一种有效的约束域实验设计方法。本领域技术人员将清楚本发明的范围不限制于以上讨论的示例，有可能对其进行若干改变和修改，而不脱离所附权利要求书限定的本发明的范围。尽管己经在附图和说明书中详细图示和描述了本发明，但这样的说明和描述仅是说明或示意性的，而非限制性的。本发明并不限于所公开的实施例。通过对附图，说明书和权利要求书的研究，在实施本发明时本领域技术人员可以理解和实现所公开的实施例的变形。在权利要求书中，术语“包括”不排除其他步骤或元素，而不定冠词“一个”或“一种”不排除多个。在彼此不同的从属权利要求中引用的某些措施的事实不意味着这些措施的组合不能被有利地使用。权利要求书中的任何参考标记不构成对本发明的范围的限制。当前第1页1 2 3