一种高斯径向基函数代理模型的参数确定方法与流程

本发明属于信息处理领域，具体涉及一种高斯径向基函数代理模型的参数确定方法。
背景技术：
：代理模型方法是工程分析、设计、优化过程经常涉及的方法，其基本思想是用一个相对简单的解析函数近似代替原有复杂计算分析模型，利用已知离散数据点(样本)的响应信息来预测未知点响应值。径向基函数代理模型在精度和鲁棒性方面皆较为可靠，是在各工程领域被广泛使用的代理模型。高斯函数具有良好的连续性和可导性，被广泛用作径向基函数的核函数，其表达形式为：式中，σ高斯核函数的核宽度。高斯径向基函数代理模型的基本形式为：式中，x为设计变量向量；xi是第i个样本点的位置向量；N为样本点个数；ri＝||x-xi||为欧式距离；wi为第i个基函数的权系数。高斯径向基函数代理模型中的待求参数为高斯基函数的核宽度σi与权系数wi。核宽度σi的确定对代理模型预测精度有决定性影响，已有确定方法主要有直接确定方法与基于优化的方法两类。前一类方法计算量小，对于均匀分布样本得到的近似模型可实现较高的精度，但当样本分布不均匀时，近似精度无可靠保证；后一类方法对应代理模型的精度相对较高，但计算量也相对较大。技术实现要素：为进一步提高高斯径向基函数代理模型的可靠性、计算效率与近似精度，本发明提出一种高斯径向基函数代理模型的参数确定方法。采用的技术方案是：一种高斯径向基函数代理模型的参数确定方法，具体包括以下步骤：第一步：将样本空间线性映射到n维单位立方体内；采用下式将样本空间线性映射到n维单位立方体内：xk=Xk-XkLXkU-XkLk=1,2,...,n---(3)]]>式中，分别为第k维设计变量的上下界；Xk、xk分别为原设计空间与映射后单位立方体中第k维设计变量的取值。第二步：根据样本分布情况计算各样本点局部密度；采用下式计算各样本点局部密度：ρ(xi)=Σj=1Ne-||xi-xj||2c2=Σj=1Ne-(xi-xj)T(xi-xj)c2---(4)]]>式中，取得：ρ(xi)=Σj=1Ne-||xi-xj||2c2=Σj=1Ne-(xi-xj)T(xi-xj)c2=Σj=1Ne-N2/n(xi-xj)T(xi-xj)---(5)]]>第三步：计算局部密度最小的样本点xs至其它样本点的最小距离ds，min；局部密度最小的样本点xs至其它样本点的最小距离ds，min为：ds,min=minj=1N[(xs-xj)T(xs-xj)];---(6)]]>第四步：确定各样本点的核宽度；采用下式确定各样本点的核宽度：σi=ρ(xs)/ρ(xi)nds,min;---(7)]]>第五步：确定各样本点对应基函数的权系数wi(i＝1，2，…，N)；将样本S：[xi，yi](i＝1，2，…，N)代入公式：得以基函数权系数wi(i＝1，2，…，N)为未知数的N维线性方程组：式中，求解该方程组得wi。至此，公式中的未知参数σi与wi完全确定，即完成了高斯径向基函数代理模型的参数确定过程。为更好理解本发明，对式(7)的由来说明如下：各样本点对应高斯基函数的核宽度σi表征了第i个样本点影响区域的大小，σi的n次方应与密度函数ρ(xi)成反比，即σinσjn=1/ρ(xi)1/ρ(xj)=ρ(xj)ρ(xi)---(10)]]>式(10)包含N-1个独立的方程，待确定的核宽度σi为N个，求得任意样本点核宽度后即可确定其余样本点的核宽度。考虑局部密度最小的样本点xs，设其核宽度为σs，其基函数在距xs最近的样本点的数值为若σs数值过小，其余样本点的核宽度σi也将过小，将导致径向基函数代理模型不光滑；反之若σs数值过大，将导致龙格现象。合理的σs取值应保证样本点xs的基函数的影响域应到达离其最近的样本点的位置，即的数值应足够大，与σs/ds，min的数值关系如图1所示。当σs/ds，min＜0.6592时，数值偏小，即样本点xs的影响偏弱；当σs/ds，min＞1时，本发明取σs/ds，min＝1以保证样本点xs的影响域到达离其最近的样本点，确保代理模型光滑，即σs＝ds，min(12)由式(10)与式(12)即得如式(7)所示的各样本点核宽度的计算公式。本发明的有益效果是：(1)本发明提出的高斯径向基函数代理模型的参数确定方法逻辑清晰、操作简便、易于执行；(2)本发明确定高斯基函数核宽度的方法主要计算量在于计算样本点间的距离(x-xi)T(x-xi)，但(x-xi)T(x-xi)同样是确定权系数wi需要的量，换言之，本发明基函数核宽度确定方法基本不会带来计算量的增加；(3)采用本发明方法得到的高斯径向基函数代理模型通适于均匀/非均匀样本，且具有可靠、高效、高精度的显著特点。附图说明图1为与σs/ds，min的数值关系；图2为本发明提出的高斯径向基函数代理模型的参数确定方法的流程；图3为本发明方法与另外两种方法得到的高斯径向基函数代理模型的MR2值比较；图4为焊接梁空间结构示意图。具体实施方式本发提出的高斯径向基函数代理模型的参数确定方法的流程如图2所示。下面结合附图，对本发明的具体实施方式作进一步的说明。步骤一：将样本空间线性映射到n维单位立方体内：根据式(3)将样本空间线性映射到n维单位立方体内。步骤二：根据样本分布情况计算各样本点局部密度：根据式(5)计算各样本点局部密度ρ(xi)。步骤三：计算局部密度最小的样本点xs至其它样本点的最小距离ds，min：采用下式计算ds，min：ds,min=minj=1N[(xs-xj)T(xs-xj)]---(13)]]>步骤四：确定各样本点的核宽度σi：采用下式确定σi：σi=ρ(xs)/ρ(xi)nds,min---(14)]]>步骤五：确定各样本点对应基函数的权系数wi(i＝1，2，…，N)：将样本S：[xi，yi](i＝1，2，…，N)代入式(2)，得N维线性方程组：式中，求解该方程组即得权系数wi。自此即完成了高斯径向基函数代理模型的参数确定过程。为分析本发明的性能特点，将本发明得到的高斯径向基函数代理模型与以下两种方法得到的模型进行比较分析。已有方法一：采用确定各样本点基函数核宽度，其中di，max为第i个样本点到其他样本点间的最小距离，各样本点对应基函数的权系数的确定方法与本发明类似。(参考文献：S.Kitayama，M.Arakawa，K.Yamazaki.SequentialApproximateOptimizationusingRadialBasisFunctionnetworkforengineeringoptimization[J].OptimizationandEngineering.2011，12：535-557.)已有方法二：采用确定各样本点基函数核宽度，其中dmax为所有样本点间的最大距离，各样本点对应基函数的权系数的确定方法与本发明类似。(参考文献：H.Nakayama，M.Arakawa，R.Sasaki.Simulation-basedoptimizationusingcomputationalintelligence[J].OptimizationandEngineering.2002(3)：201-214.)采用下式准则比较本发明方法与另外两种方法得到的高斯径向基函数代理模型的近似精度：R2=1-Σi=1n(yi-y^i)2Σi=1n(yi-y‾)2---(16)]]>式中，n为验证样本数量；yi为原始模型真实值；为近似模型数值；为yi的平均值。R2≤1，越接近于1表明近似模型精度越高，当R2＝1时表明近似模型在验证样本处的误差为0。取如下所示5个典型测试函数。函数I(一维函数)：f(x)＝xsin(1.5x)0≤x≤10(17)函数II(低维低阶函数)：f(x)＝sin(x1+x2)+(x1-x2)2-1.5x1+2.5x2+1|xi|≤5(18)函数III(低维高阶函数)：f(x)=(10+x1cos(x1))(3+exp(-x22))|xi|≤5---(19)]]>函数IV(高维低阶函数)：f(x)=2(x1-1)2+x22-x1x2+(4-x3)2+3(x4-6)2+0.5(x5-2)2+(x6-10)2+4(x7-9)2+2(x8-5)2+33|xi|≤20---(20)]]>函数V(高维高阶函数)：f(x)=Σi=18exp(xi)(xi-ln(Σk=18exp(xk)))|xi|≤4---(21)]]>采用文献[24]中的方法验证本文提出的核宽度确定方法的性能，验证过程为：函数I取10个随机样本点，函数II、III取50个随机样本点，函数IV、V取200个随机样本点，分别按本发明方法与已有方法一、二确定代理模型，为保证近似精度R2计算的准确性，取足够多的验证样本点，数量为1000，进行20次独立的随机数值仿真实验，计算R2与R2的平均值MR2。三种方法得到代理模型的MR2值比较如图3所示。结果表明，本发明提出的参数确定方法得到的高斯径向基函数代理模型的近似精度显著优于已有方法一、二。本发明提出的参数确定方法得到的高斯径向基函数代理模型可广泛用于工程分析、设计、优化领域，并提高效率与性能。以焊接梁优化问题为例，该问题为经典工程优化设计问题，其示意图如图4所示，优化设计的目标是在满足约束的条件下尽量降低制造成本，四个设计变量分别是x1＝h，x2＝l，x3＝t和x4＝b，约束有最大应力约束，最大变形约束，形状约束等，该优化间题的此优化问题的数学表达式为：Min:f(x)=1.10471x12x2+0.04811x3x4(14.0+x2)s.t.g1(x)=τ(x)-τmax≤0g2(x)=σ(x)-σmax≤0g3(x)=x1-x4≤0g4(x)=0.10471x12+0.04811x3x4(14.0+x2)-5.0≤0g5(x)=0.125-x1≤0g6(x)=δ(x)-δmax≤0g7(x)=P-Pc(x)≤0---(22)]]>式中：τ(x)=(τ′)2+2τ′τ′′x22R+(τ′′)2]]>τ′=P2x1x2,τ′′=MRJ,M=P(L+x22)]]>R=x224+(x1+x32)2]]>J=2{2x1x2[x2212+(x1+x32)2]}]]>σ(x)=6PLx4x32,δ(x)=4PL3Ex33x4]]>Pc(x)=4.013Ex32x46/36L2(1-x32LE4G)]]>P＝6000lb，L＝14in，E＝30×106psi，G＝12×106psiτmax＝13600psi，σmax＝30000psi，δmax＝0.255in采用优化拉丁超立方方法生成40个样本点，根据式(22)计算各样本点的目标函数与约束值，分别采用本发明方法与已有方法一、二建立目标函数与约束值的高斯径向基函数代理模型，在代理模型基础上进行优化，优化结果如表1所示。由表1得，本发明方法所得代理模型对应最优解满足原模型的各个约束条件，为原模型的可行解，设计变量与目标函数值最接近原模型最优解；已有方法一所得代理模型对应最优解也为原模型的可行解，但设计变量与目标函数值偏离原模型最优解较远；已有方法二所得代理模型对应最优解为原模型的不可行解；本发明提出的高斯径向基函数代理模型的参数确定方法用于工程优化时性能优于已有方法一、二。表1不同方法所得代理模型对应最优解的对比本发明提出了逻辑清晰、操作简便、易于执行的高斯径向基函数代理模型的参数确定方法，该方法通适于均匀/非均匀样本，且具有可靠、高效、高精度的显著特点，是高斯径向基函数代理模型参数确定的理想方法。综上所述，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明，任何本领域普通技术人员，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种更动与润饰，因此本发明的保护范围当视权利要求书界定的范围为准。当前第1页1 2 3