基于半定规划的贝尔对角态的量子导向的制作方法

技术特征：

1.双量子比特贝尔对角态在二投影测量算符下的导向性研究已经完成，由于导向性的范围因投影测量算符不同而不同，其过程并未涉及到其他投影测量算符下的研究(n＝4，6，8，10)；本发明主要是基于半定规划的贝尔对角态的量子导向，通过选择多面体构建多测量算符，首次利用半定规划方法(SDP)方法通过编写程序计算解决贝尔对角态基于其他投影测量算符下的导向性问题。最终本发明以列表的形式采用SDP方法不断修正改善扩大了贝尔对角态基于其他投影测量算符下的导向的范围，共包括以下三个过程：

S1)投影测量算符的构建：对于单比特量子态的投影测量，当变量是Z时其本征值为+1和-1，相应的特征向量为|0〉和|1〉，例如当量子态是当测量结果是+1时，其概率为反之，当测量结果为-1时，其概率为1/2。一般的，当V是任意的三维实向量，其测量结果根据Bloch球体的定义可以表示为v·σ≡v₁σ₁+v₂σ₂+v₃σ₃，σ₁，σ₂，σ₃是Pauli算子，根据不同的投影测量算符取得多面体上相应的点后利用|a|²+|b|²＝1，解之，即可得到相应的投影测量算符，本发明中此步骤尤为重要，若取点的方式及过程不正确，直接影响导向范围的变化；

S2)半定规划方法应用于Werner态下三投影测量算符下的导向性：量子导向主要设计到双方的通信，以Alice和Bob，共享纠缠态通过测量Alice的子系统，Bob在一定的范围采用一定的方式可以得到其测量结果σ_a|x，半定规划方法是解决凸优化问题的工具，基本的优化问题遵循以下规则，本发明结合求导向权重的给定条件进行在约束条件

及下使最大化，其中λ是Alice所拥有的任意变量，D_λ(a|x)是Alice单方的条件概率分布，σ_λ是Bob所拥有的态。本发明以Werner态的三投影测量算符为实例，其状态可表示为其中是单比特量子态，I是密度矩阵算子；

1)三投影测量算符的选择：本发明以选择八面体为主，采用非对称的三个点坐标，根据v·σ≡v₁σ₁+v₂σ₂+v₃σ₃，得出X，Y，Z三投影测量算符，而对于其他投影测量算符(n＝4，6，8，10)时所对应选择的多面体方案分别是：n＝4，立方体；n＝6，正二十面体；n＝8，正二十面体的非对称的6个点和正十二面体的2个点；n＝10，正十二面体；按照投影测量算符，选择相应的非对称的点的坐标即可得到所对应的投影测量算符；

2)三投影测量算符所构成矩阵的部分转置：X，Y，Z算符在满足本征值为+1或-1的条件下，共存在6种算符测量的情况，分别为：X₊₁，X_-1，Y₊₁，Y_-1，Z₊₁，Z_-1具体投影测量算符为X₊₁＝|0〉，X_-1＝|1〉，程序验证的时需要对投影测量算符构成的矩阵进行部分转置矩阵，可以得到非标准化后Bob的在ρ态下的测量结果，其结果代表投影测量算符的偏迹为：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(1\right)}\≡{\mathrm{\σ}}_{+1|X}={\mathrm{Tr}}_A\[(X_{+1}{X}_{+1}^T\⊗I)\mathrm{\ρ}\],& {\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(2\right)}\≡{\mathrm{\σ}}_{-1|X}={\mathrm{Tr}}_A\[(X_{-1}{X}_{-1}^T\⊗I)\mathrm{\ρ}\],\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(3\right)}\≡{\mathrm{\σ}}_{+1|Y}={\mathrm{Tr}}_A\[(Y_{+1}{Y}_{+1}^T\⊗I)\mathrm{\ρ}\],& {\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(4\right)}\≡{\mathrm{\σ}}_{-1|Y}={\mathrm{Tr}}_A\[(X_{-1}{X}_{-1}^T\⊗I)\mathrm{\ρ}\],\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(5\right)}\≡{\mathrm{\σ}}_{+1|Z}={\mathrm{Tr}}_A\[(Z_{+1}{Z}_{+1}^T\⊗I)\mathrm{\ρ}\],& {\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(6\right)}\≡{\mathrm{\σ}}_{-1|Z}={\mathrm{Tr}}_A\[(Z_{-1}{Z}_{-1}^T\⊗I)\mathrm{\ρ}\]\end{array},$

则Alice所拥有的任意变量为

λ_n＝[x_i，y_j，z_k]≡[〈x_i|X|x_i〉，〈x_i|Y|x_i〉，〈x_i|Z|x_i〉]；

3)半定规划方法获得导向权重：在获得Alice测量所得到的测量结果，依据Alice的单方条件分布可以得到其概率分布集合为：

$\[D_{{\mathrm{\λ}}_1}(+1|X),...,D_{{\mathrm{\λ}}_8}(+1|X)\]=\[0,0,0,0,1,1,1,1\],$

$\[D_{{\mathrm{\λ}}_1}(-1|X),...,D_{{\mathrm{\λ}}_8}(-1|X)\]=\[1,1,1,1,0,0,0,0\],$

$\[D_{{\mathrm{\λ}}_1}(+1|Y),....,D_{{\mathrm{\λ}}_8}(+1|Y)\]=\[0,0,1,1,0,0,1,1\],$

$\[D_{{\mathrm{\λ}}_1}(-1|Y),...,D_{{\mathrm{\λ}}_8}(-1|Y)\]=\[1,1,0,0,1,1,0,0\],$

$\[D_{{\mathrm{\λ}}_1}(+1|Z),...,D_{{\mathrm{\λ}}_8}(+1|Z)\]=\[0,1,0,1,0,1,0,1\],$

$\[D_{{\mathrm{\λ}}_1}(-1|Z),...,D_{{\mathrm{\λ}}_8}(-1|Z)\]=\[1,0,1,0,1,0,1,0\];$

根据半定规划方法的条件可到不可导向的集合

拆分后可得

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(1\right)US}\≡{\mathrm{\σ}}_{+1|X}^{US}={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_5}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_6}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_7}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_8},& {\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(2\right)US}\≡{\mathrm{\σ}}_{-1|X}^{US}={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_1}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_2}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_3}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_4}\end{array},$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(3\right)US}\≡{\mathrm{\σ}}_{+1|Y}^{US}={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_3}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_4}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_7}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_8},& {\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(4\right)US}\≡{\mathrm{\σ}}_{-1|Y}^{US}={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_1}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_2}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_5}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_6}\end{array},$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(5\right)US}\≡{\mathrm{\σ}}_{+1|Z}^{US}={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_2}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_4}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_6}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_8},& {\mathrm{\σ}}_{a|x}^{\left(6\right)US}\≡{\mathrm{\σ}}_{-1|Z}^{US}={\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_1}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_3}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_5}+{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\λ}}_7}\end{array};$

利用半定规划函数包SW＝sdpvar(n，1)，n为计算循环的次数；根据再判断导权重是否大于0即可判断导向的范围；

以Werner态下三投影测量算符的导向性为例，通过半定规划方法所得结果与早期实验结果相比较，得出结果半定规划方法的结果与早期实验结果一致，证明了半定规划方法的可行性；

S3)其他投影测量算符下的贝尔对角态的导向范围：

在验证了Werner态在三投影测量算符下的导向可证明本发明在双量子比特系统求取导向的范围是正取可取的，由于双量子比特系统中贝尔对角态，这部分的成果主要是在投影测量下完成的，这些态无论在理论上还是在实验上都具有相对简单的结构，一般的双量子比特系统态可以通过可逆转的SLOCC转化成贝尔对角态，所以说任何关于贝尔对角态的进展潜在的帮助我们理解双量子比特系统；

通过改善约化后，双量子比特系统贝尔对角态的表达方式如下：

其中σ_j是当j＝1，2，3时的Pauli算子，σ是Pauli算子相应的向量，T(t_ij)是相关矩阵；

贝尔对角态含有3个参数，呈现正四面体，其中存在可分离态和导向态根据其投影测量算符的不一致，导向范围因此有所差异，由于这种差异性结构，本发明对贝尔对角态通过截取代表贝尔对角态的正四面体获取截面，设置p，q从而确定与贝尔对角态中参数t₁的关系，进而按照获得导向的步骤得到导向范围，在投影测量算符不同的情况下得到导向范围。